Intersection (set theory)

Original article: w:Intersection (set theory)

For broader coverage of this topic, see Intersection (mathematics).

The intersection of two sets $A$ and $B$, represented by circles. $A\cap B$ is in red.

수학(mathematics)에서, A ∩ B에 의해 표시되는, 두 집합(sets) A와 B의 교집합은 B에 역시 속하는 A의 모든 원소 (또는 동등하게, A에 역시 속하는 B의 모든 원소)를 포함하는 집합입니다.

Notation and terminology

교집합은 항 사이에 기호 "∩"를 사용하여 쓰입니다; 즉, 중위 표기법(infix notation)으로 표시됩니다. 예를 들어,

$\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$

$\{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\emptyset$

$\mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N}$

$\{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}$

2보다 많은 집합의 교집합은 다음으로 쓸 수 있습니다:

$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$

이것은 대문자-시그마 표기법(Capital-sigma notation)과 비슷합니다.

이 기사에서 사용된 기호의 설명에 대해, 수학 기호의 테이블(table of mathematical symbols)을 참조하십시오.

Definition

Intersection of three sets:
$~A\cap B\cap C$

Intersections of the Greek, Latin and Russian alphabet, considering only the shapes of the letters and ignoring their pronunciation

Example of an intersection with sets

A ∩ B에 의해 표시되는, 두 집합 A와 B의 교집합은 집합 A와 B 둘 다의 구성원인 모든 대상의 집합입니다. 기호에서,

$A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.$

즉, x가 교집합 A ∩ B의 원소인 것과 x가 A의 원소 및 B의 원소 둘 다인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

예를 들어:

• 집합 {1, 2, 3} 및 {2, 3, 4}의 교집합은 {2, 3}입니다.
• 숫자 9는 소수(prime number) {2, 3, 5, 7, 11, ...}의 집합 및 홀수(odd numbers) {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}의 집합의 교집합 안에 있지 않은데, 왜냐하면 9는 소수가 아닙니다.

교집합은 결합적(associative) 연산입니다; 즉, 임의의 집합 A, B, 및 C에 대해, 우리는 A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C을 가집니다. 교집합은 역시 교환적(commutative)입니다; 임의의 A와 B에 대해, 우리는 A ∩ B = B ∩ A를 가집니다. 따라서 여러 집합의 교집합에 대해 이야기하는 것이 좋습니다. A, B, C, 및 D의 교집합은, 예를 들어, A ∩ B ∩ C ∩ D로 분명하게 쓰입니다.

전체-집합 내부에서, 우리는 A의 여집합(complement) A^c를 A 안에 있지 않은 U의 모든 원소의 집합으로 정의할 수 있습니다. 이제 A와 B의 교집합은 드 모르간의 법칙(De Morgan's laws)에서 쉽게 파생된 그들의 여집합의 합집합(union)의 여집합으로 쓸 수 있습니다:
A ∩ B = (A^c ∪ B^c)^c

Intersecting and disjoint sets

우리는 만약 x가 A와 B에 속하면 A가 원소 x에서 B와 교차한다 (만난다)고 말합니다. 우리는 만약 A가 일부 원소에서 B와 교차하면 A가 B와 교차한다(만난다)고 말합니다. 만약 그들의 교차가 거주(inhabited)되면 A는 B와 교차합니다.

우리는 만약 A가 B와 교차하지 않으면 A와 B는 서로소이다라고 말합니다. 일반 언어에서, 그들은 공통에서 원소를 가지지 않습니다. A와 B는 만약 그들의 교차가 빈 것(empty)이면 서로소라고 말하며, $A\cap B=\varnothing$로 표시됩니다.

예를 들어, 집합 {1, 2} 및 {3, 4}이지만, 짝수의 집합은 6의 배수(multiples)에서 3의 배수의 집합과 교차합니다.

Arbitrary intersections

가장 일반적인 개념은 집합의 임의의 비-빈 모음의 교차입니다. 만약 M이 그의 원소가 자체로 집합인 비-빈 집합이면, x는 M의 교집합의 한 원소인 것과 M의 모든 각 원소 A에 대해, x가 A의 원소인 것은 필요충분 조건입니다. 기호에서:

$\left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).$

이 마지막 개념에 대해 표기법은 상당히 변할 수 있습니다. 집합 이론가(Set theorists)는 때때로 "⋂M"로 쓸 것이지만, 다른 사람들은 대신에 "⋂_A∈M A"로 쓸 것입니다. 후자 표기법은 "⋂_i∈I A_i"로 일반화될 수 있으며, 이것은 모음 {A_i : i ∈ I}의 교집합을 참조합니다. 여기서 I는 비-빈 집합이고, A_i는 I에서 모든 각 i에 대해 집합입니다.

인덱스 집합(index set) I가 자연수(natural number)의 집합인 경우에서, 무한 곱(infinite product)의 표기법과 유사한 표기법은 보일 수 있습니다:

$\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.$

형식화가 어려울 때, 이것은 "A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ..."라고 역시 쓸 수 있습니다. 이 마지막 예제, 셀-수-없이 많은 집합의 교집합은 실제로 매우 공통적입니다; 한 예제에 대해 σ-대수(σ-algebras)에 대한 기사를 참조하십시오.

Nullary intersection

Conjunctions of the arguments in parentheses

The conjunction of no argument is the tautology (compare: empty product); accordingly the intersection of no set is the universe.

이전 섹션에서 우리는 M이 빈 집합(empty set) (∅)인 경우는 제외했음에 주목하십시오. 그 이유는 다음과 같습니다: 모음 M의 교집합이 집합으로 정의됩니다 (집합-구성 표기법(set-builder notation)을 참조하십시오).

$\bigcap _{A\in M}A=\{x:\forall A\in M,x\in A\}.$

만약 M이 빈 것이면, M에서 집합 A가 없으므로, 질문은 "어떤 x'가 명시된 조건을 만족시킵니까?"가 됩니다. 대답은 모든 각 가능한 x인 것으로 보입니다. M이 반 것일 때, 위에 주어진 조건은 공허한 진리(vacuous truth)의 예제입니다. 따라서 빈 가족의 교집합은 전체 집합(universal set) (교집합의 연산에 대해 항등 원소(identity element))이어야 합니다.

불행히도, 표준 (ZFC) 집합 이론에 따르면, 전체 집합은 존재하지 않습니다. 이 집합에 대한 수정은 만약 우리가 집합의 집합에 걸쳐 교집합이 집합의 해당 집합에 걸쳐 합집합의 부분-집합임을 주목하면 찾아질 수 있습니다. 이것은 기호적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$\bigcap _{A\in M}A\subseteq \bigcup _{A\in M}A.$

그러므로, 우리는 다음으로 정의를 약간 수정할 수 있습니다:

$\bigcap _{A\in M}A=\left\{x\in \bigcup _{A\in M}A:\forall A\in M,x\in A\right\}.$

이제 만약 M이 빈 것이면, 문제는 없습니다. 교집합은 빈 집합인데, 왜냐하면 빈 집합에 걸쳐 합집합은 빈 집합이기 때문입니다. 사실, 이것은 만약 우리가 공리 (예를 들어 집합의 거듭제곱 집합(power set))에 의해 정의된 연산을 제외하고, 모든 각 집합이 반드시 다른 집합의 부분집합 또는 대체(replacement)로 정의되어야 할 때, ZFC에서 집합을 정의하는 것이면, 처음 위치에서 정의된 연산입니다.

See also

• Complement
• Intersection graph
• Logical conjunction
• Naive set theory
• Symmetric difference
• Union
• Cardinality
• Iterated binary operation
• MinHash

Further reading

• Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (Second ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (Second ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (Sixth ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

External links

• Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.