Square (algebra)

수학(mathematics)에서, 제곱(square)은 숫자(number)와 자체를 곱한 것(multiplying)의 결과입니다. 동사 "제곱하기(to square)"는 이 연산을 표시하기 위해 사용됩니다. 제곱하는 것은 거듭제곱 2를 올리는 것(raising to)과 같고, 위첨자(superscript) 2로 표시됩니다; 예를 들어, 3의 제곱은 3²으로 쓸 수 있고, 숫자 9입니다. 위첨자가 유용하지 않은 일부 경우에서, 예를 들어 프로그래밍 언어(programming language) 또는 일반 텍스트(plain text) 파일에서 처럼, 표기법 x^2 또는 x**2는 x²의 자리에 사용될 수 있습니다.

제곱하는 것에 대응하는 형용사는 quadratic입니다.

정수(integer)의 제곱은 역시 제곱 숫자(square number) 또는 완전 제곱이라고 불릴 수 있습니다. 대수학(algebra)에서, 제곱화의 연산은 종종 다항식(polynomial), 다른 표현(expressions), 또는 숫자 이외의 수학적 값의 시스템에서 값으로 일반화됩니다. 예를 들어, linear polynomial(선형 방정식) $x + 1$ 의 제곱은 이차 다항식 $(x +1) 2 = x 2 + 2 x + 1$ 입니다.

제곱화의 중요한 속성 중 하나는, 숫자와 마찬가지로 많은 다른 수학 시스템에 대해, (모든 숫자 $x$ 에 대해), $x$ 의 제곱은 그것의 덧셈의 역원(additive inverse) $- x$ 의 제곱과 같다는 것입니다. 즉, 제곱 함수는 항등식 $x 2 = (- x) 2$ 를 만족시킵니다. 이것은 역시 제곱 함수가 짝수 함수(even function)라고 말함으로써 표현될 수 있습니다.

In real numbers

The graph of the square function $y = x 2$ is a parabola.

제곱화 연산은 제곱 함수 또는 제곱 함수() 또는 제곱화 함수(squaring function)라고 불리는 실수 함수(real function)를 정의합니다. 그것의 도메인(domain)은 전체 실수 직선(real line)이고, 그것의 이미지(image)는 비-음의 실수의 집합입니다.

제곱 함수는 양수의 순서를 보존합니다; 더 큰 숫자는 더 큰 제곱을 가집니다. 다시 말해서, 제곱은 구간 $[0, +\infty)$ 위에 단조 함수(monotonic function)입니다. 음수에서, 더 큰 절댓값을 가진 숫자가 더 큰 제곱을 가지므로, 제곱은 $(-\infty,0]$ 위에 단조적으로 감소하는 함수입니다. 따라서, 영(zero)은 제곱 함수의 (전연적인) 최솟값(minimum)입니다. 숫자 $x$ 의 제곱 $x 2$ 은 $x$ 보다 작은 (즉, $x 2 < x$ ) 것과 $0 < x < 1$ , 즉, $x$ 가 열린 구간(open interval) $(0,1)$ 에 속하는 것은 필요충분 조건입니다. 이것은 정수의 제곱이 결코 원래 숫자 $x$ 보다 작을 수 없음을 의미합니다.

모든 각 양의 실수(real number)는 정확하게 둘의 숫자의 제곱이며, 그것 중 하나는 엄격하게 상수이고 그것 중 다른 하나는 엄격하게 음수입니다. 영은 오직 하나의 숫자, 자체의 제곱입니다. 이 이유로, 그것의 제곱이 원래 숫자인 비-음의 숫자를 비-음의 실수와 결합시키는 제곱근(square root) 함수를 정의하는 것이 가능합니다.

음수의 제곱근은 실수(real number)의 시스템 내에서 취할 수 없는데, 왜냐하면 모든 실수의 제곱은 비-음수(non-negative)이기 때문입니다. 음수에 대해 실수 제곱근의 없음은 −1의 제곱근 중 하나인 허수 단위(imaginary unit) $i$ 를 가정함으로써 실수 시스템을 복소수(complex number)로 확장하기 위해 사용될 수 있습니다.

속성 "모든 각 비-음의 실수는 제곱이다"는 모든 각 비-음의 원소가 제곱이고 모든 각 홀수 차수의 다항식이 근을 가짐을 만족하는 순서화된 필드(ordered field)인 실수 닫힌 필드(real closed field)의 개념으로 일반화되어 왔습니다. 실수 닫힌 필드는 그것들의 대수적 속성에 의해 실수의 필드와 구별될 수 없습니다: 일-차 논리(first-order logic)에서 표현될 수 있는 (즉, ∀ 또는 ∃에 의해 정량화된 변수가 집합이 아닌 원소를 나타내는 공식에 의해 표현됨) 실수의 모든 각 속성은 모든 각 실수 닫힌 필드에 대해 참이고, 반대로 특정 실수 닫힌 필드에 대해 참인 일-차 논리의 모든 각 속성은 역시 실수에 대해 참입니다.

In geometry

기하학에서 제곱 함수의 몇 가지 주요 사용처가 있습니다.

제곱 함수의 이름은 넓이(area)의 정의에서 그 중요성을 보여줍니다: 길이가 $l$ 을 갖는 정사각형(square)의 넓이는 $l 2$ 와 같다는 사실에서 비롯됩니다. 넓이는 크기에 이차적으로 달라집니다: $n$ 배 더 큰 모양의 넓이는 $n 2$ 배 더 큽니다. 이것은 평면뿐만 아니라 삼차원에서 넓이에 대해 유지됩니다: 예를 들어, 구의 표면 넓이는 그것의 반지름의 제곱에 비례하며, 중력과 같은 물리적 힘의 강도가 거리에 따라 어떻게 변하는지를 설명하는 역 제곱 법칙(inverse-square law)에 의해 물리적으로 나타나게 되는 사실입니다.

제곱 함수는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)와 그 일반화, 평행사변형 법칙(parallelogram law)을 통해 거리(distance)와 관련됩니다. 유클리드(Euclidean) 거리는 매끄러운 함수(smooth function)가 아닙니다: 고정된 점으로부터 거리의 삼-차원 그래프(three-dimensional graph)는 원뿔의 끝에서 비-매끄러운 점을 갖는 원뿔(cone)을 형성합니다. 어쨌든, 그것의 그래프로 포물면체(paraboloid)를 가지는 거리의 제곱 ( $d 2$ 또는 $r 2$ 로 표시함)은 매끄러운 함수이고 해석적 함수(analytic function)입니다.

유클리드 벡터(Euclidean vector)와 자체의 점 곱(dot product)은 그것의 길이의 제곱과 같습니다: $v \cdot v = v 2$ . 이것은 안의 곱(inner product)을 통해 선형 공간(linear space)에서 이차 형식(quadratic form)으로 더욱 일반화됩니다. 역학(mechanics)에서 관성 텐서(inertia tensor)는 이차 형식의 예제입니다. 그것은 관성의 모멘트(moment of inertia)와 크기 (길이(length))의 이차 관계를 시연합니다.

무한하게 많은 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triple), 처음 둘의 제곱의 합이 세 번째의 제곱과 같음을 만족하는 셋의 양의 정수의 집합이 있습니다. 이들 세-쌍의 각각은 직각 삼각형의 정수 변을 제공합니다.

In abstract algebra and number theory

제곱 함수는 임의의 필드(field) 또는 링(ring)에서 정의됩니다. 이 함수의 이미지에서 원소는 제곱이라고 불리고 제곱의 역 이미지는 제곱근(square root)이라고 불립니다.

제곱화의 개념은 숫자 모듈로 홀수 소수(prime number) $p$ 에 의해 형성된 유한 필드(finite field) Z/pZ에서 특히 중요합니다. 이 필드의 비-영 원소는 만약 그것이 Z/pZ에서 제곱이면 이차 잔여(quadratic residue)라고 불리고, 그렇지 않으면, 그것은 이차 비-잔여라고 불립니다. 영은 하나의 제곱이지만, 이차 잔여로 고려되지 않습니다. 이 유형의 모든 각 유한 필드는 정확히 $(p - 1)/2$ 이차 잔여를 가지고 정확히 $(p - 1)/2$ 이차 비-잔여를 가집니다. 이차 잔여는 곱셈 아래에서 그룹(group)을 형성합니다. 이차 잔여의 속성은 숫자 이론(number theory)에서 광범위하게 사용됩니다.

보다 일반적으로, 링에서, 제곱 함수는 때때로 링을 분류하기 위해 사용되는 다른 속성을 가질 수 있습니다.

영은 어떤 비-영 원소의 제곱일 수 있습니다. 비-영 원소의 제곱이 결코 영이 아님을 만족하는 교환 링(commutative ring)은 축소된 링(reduced ring)이라고 불립니다. 보다 일반적으로, 교환 링에서, 제곱근 아이디얼(radical ideal)은 $x^{2}\in I$ 가 $x\in I$ 를 의미하는 것을 만족하는 아이디얼 $I$ 입니다. 개념 둘 다는 힐베르트 영점-정리(Hilbert's Nullstellensatz)때문에 대수적 기하학(algebraic geometry)에서 중요합니다.

자체의 제곱과 같은 링의 원소는 거듭상등(idempotent)이라고 불립니다. 임의의 링에서, 0과 1은 거듭상등입니다. 필드에서 및 보다 일반적으로 정수 도메인(integral domain)에서 다른 거듭상등이 없습니다. 어쨌든, 정수 모듈로(modulo) $n$ 의 링은 $2 k$ 거듭상등을 가지며, 여기서 $k$ 는 $n$ 의 구별되는 소수 인수(prime factors)의 개수입니다. 모든 각 원소가 그것의 제곱과 같은 (모든 각 원소가 거듭상등임) 교환 링은 부울 링(Boolean ring)이라고 불립니다; 컴퓨터 과학(computer science)으로부터 예제는 곱셈 연산으로 비트별 AND(bitwise AND)와 덧셈 연산으로 비트별 XOR을 갖는 그것의 원소가 이진수(binary number)인 링입니다.

전체적으로 순서화된 링(totally ordered ring)에서, 임의의 $x$ 에 대해, $x 2 \geq 0$ 입니다. 게다가, $x 2 = 0$ 인 것과 $x = 0$ 인 것은 필요충분 조건입니다.

2가 교환-가능인 극상-교환 대수(supercommutative algebra)에서, 임의의 홀수 원소의 제곱은 영과 같습니다.

만약 A가 교환 반그룹(commutative semigroup)이면, 우리는 다음을 가집니다:

\forall x,y\in A\quad (xy)^{2}=xyxy=xxyy=x^{2}y^{2}.

이차 형식(quadratic form)의 언어에서, 이 상등은 제곱 함수가 "합성 허용되는 형식"이라고 말합니다. 사실, 제곱 함수는 다른 이차 형식이 역시 합성을 허용하는 것을 구성되는 기초입니다. 그 절차는 딕슨(L. E. Dickson)에 의해 두배함으로써 쿼터니언(quaternion)에서 옥토니언(octonion)을 생성하기 위해 도입되었습니다. 두배화 방법은 실수(real number) 필드(field) ℝ과 제곱 함수로 시작했던 알버트(A. A. Albert)에 의해 형식화되었으며, 그것을 이차 형식 $x 2 + y 2$ 을 갖는 복소수 필드를 얻기 위해 두배하고, 그런-다음 쿼터니언(complex number)을 얻기 위해 다시 두배합니다. 두배화 절차는 케일리–딕슨 구성(Cayley–Dickson construction)라고 불리고, 인볼루션을 갖는 필드 F에 걸쳐 차원 2ⁿ의 대수를 형성하기 위해 일반화되어 왔습니다.

제곱 함수 z²는 합성 대수(composition algebra) ℂ의 "노름"이며, 여기서 항등 함수는 이중-복소수, 이중-쿼터니언, 및 이중-옥토니언 합성 대수로 이어지는 케일리–딕슨 구성을 시작하기 위해 자명한 인볼루션을 형성합니다.

In complex numbers and related algebras over the reals

복소(complex) 제곱 함수 $z 2$ 는 각 비-영 복소수가 정화하게 둘의 제곱근을 가짐을 만족하는 복소 평면(complex plane)의 두 부분의 덮개입니다. 이 맵은 포물선 좌표(parabolic coordinates)와 관련됩니다.

복소수의 절대 제곱(absolute square)은 그것의 복소 켤레(complex conjugate)를 포함하는 곱 $z z *$ 입니다;^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8] 그것은 역시 복소 모듈러스(complex modulus) 또는 절댓값, $| z | 2$ 의 관점에서 표현될 수 있습니다. 그것은 복소 점 곱(complex dot product)으로 벡터로 일반화될 수 있습니다.

Other uses

제곱은 대수학에서, 보다 일반적으로 거의 모든 각 수학의 가지에서, 및 많은 단위(units)가 제곱과 역(inverse) 제곱을 사용하여 정의되는 역시 물리학(physics)에서 어디에나 존재합니다. 아래를 참조하십시오.

최소 제곱(Least squares)은 과도-결정된 시스템(overdetermined system)에서 사용되는 표준 방법입니다.

제곱화는 값의 집합, 또는 확률 변수(random variable)의 표준 편차를 결정하는 것에서 통계(statistics)와 확률 이론(probability theory)에서 사용됩니다. 집합의 평균(mean) ${\overline {x}}$ 으로부터 각 값 $x i$ 의 편차는 차이 $x_{i}-{\overline {x}}$ 로 정의됩니다. 이들 편차가 제곱되고, 그런-다음 평균이 새로운 숫자의 집합에서 취합니다 (집합의 각각은 양수입니다). 이 평균은 분산(variance)이고, 그것의 제곱근은 표준 편차입니다. 금융(finance)에서, 금융 상품의 변동성(volatility)은 그것의 가치의 표준 편차입니다.

Footnotes

^ Weisstein, Eric W. "Absolute Square". mathworld.wolfram.com.
^ Moore, Thomas (January 9, 2003). Six Ideas That Shaped Physics: Unit Q - Particles Behaves Like Waves. McGraw-Hill Education. ISBN 9780072397130 – via Google Books.
^ Blanpied, William A. (September 4, 1969). Physics: Its Structure and Evolution. Blaisdell Publishing Company. ISBN 9780471000341 – via Google Books.
^ Greiner, Walter (December 6, 2012). Quantum Mechanics: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642579745 – via Google Books.
^ Burkhardt, Charles E.; Leventhal, Jacob J. (December 15, 2008). Foundations of Quantum Physics. Springer Science & Business Media. ISBN 9780387776521 – via Google Books.
^ Senese, Fred (August 24, 2018). Symbolic Mathematics for Chemists: A Guide for Maxima Users. John Wiley & Sons. ISBN 9781119273233 – via Google Books.
^ Steiner, Mark (June 30, 2009). The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem. Harvard University Press. ISBN 9780674043985 – via Google Books.
^ Maudlin, Tim (March 19, 2019). Philosophy of Physics: Quantum Theory. Princeton University Press. ISBN 9780691183527 – via Google Books.

Square (algebra)

In real numbers

In geometry

In abstract algebra and number theory

In complex numbers and related algebras over the reals

Other uses

See also

Related identities

Related physical quantities

Footnotes

Further reading