Translational symmetry

Original article: w:Translational symmetry

For translational invariant functions $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ it is $f(A)=f(A+t)$. The Lebesgue measure is an example for such a function.

기하학(geometry)에서, 기하학적 도형을 평행이동하기 위해, 그것을 한 장소에서 회전 없이 또 다른 장소로 움직이는 것입니다. 평행이동은 물건을 a만큼 "미끄러지게 합니다: T_a(p) = p + a.

물리학(physics)과 수학(mathematics)에서, 연속 평행이동적 대칭(translational symmetry)은 임의의 평행이동 아래에서 방정식 시스템의 불변(invariance)입니다. 이산 평행이동적 대칭(symmetry)은 이산(discrete) 평행이동 아래에서 불변입니다.

유사하게 함수 위의 연산자(operator) A는 만약 A 적용 후에 결과가 인수 함수가 평행이동되면 변경되지 않으면 평행이동 연산자( translation operator) $T_{\delta }$에 관해 평행이동적으로 불변이라고 말합니다. 더 정확하게, 아음임을 유지해야 합니다: $$\forall \delta \ Af=A(T_{\delta }f).$$

물리 법칙(Laws of physics)은 만약 그것들이 공간의 다른 점을 구별하지 않으면 공간 평행이동 아래에서 평행이동적으로 불변입니다. 뇌터의 정리(Noether's theorem)에 따르면, 물리적 시스템의 공간 평행이동적 대칭은 운동량 보존 법칙(momentum conservation law)과 동등합니다.

대상의 평행이동적 대칭은 특정 평행이동이 대상을 변경하지 않음을 의미합니다. 주어진 대상에 대해, 이것이 적용되는 평행이동이 그룹, 대상의 대칭 그룹(symmetry group), 또는 대상이 대칭의 더 많은 종류를 가지면, 대칭 그룹의 부분그룹을 형성합니다.

Geometry

평행이동적 불변은, 적어도 한 방향으로, 대상이 무한하다는 것을 암시합니다: 임의의 주어진 점 p에 대해, 평행이동적 대칭으로 인해 같은 속성을 갖는 점의 집합은 무한한 이산 집합 {p + na | n ∈ Z} = p + Z a을 형성합니다. 토대 도메인은, 예를 들어, a가 독립적인 방향을 가지는 임의의 초평면(hyperplane) H에 대해 H + [0, 1] a입니다. 이것은 한쪽에서 시작하는 벡터가 다른 쪽에서 끝남을 만족하는 1D에서 선분, 2D에서 무한 스트립, 3D에서 슬랩입니다. 스트립과 슬랩은 벡터에 수직이 될 필요가 없으며, 따라서 벡터의 길이보다 좁거나 얇을 수 있음에 주목하십시오.

차원이 1보다 높은 공간에서, 다중 평행이동적 대칭이 있을 수 있습니다. 각각의 k 독립 평행이동 벡터의 집합에 대해, 대칭 그룹은 Z^k와 동형적입니다. 특히, 중복도는 차원과 같을 수 있습니다. 이것은 대상이 모든 방향으로 무한하다는 것을 의미합니다. 이 경우에서, 모든 평행이동의 집합은 격자(lattice)를 형성합니다. 평행이동 벡터의 다른 기저가 같은 격자를 생성하는 것과 하나가 행렬식(determinant)의 절댓값이 1인 정수 계수의 행렬에 의해 또 다른 하나로 변환되는 것은 필요충분 조건입니다. 평행이동 벡터의 집합에 의해 형성된 행렬의 행렬식의 절댓값은 끼인 n-차원 평행육면체(parallelepiped) 집합의 초부피입니다 (역시 격자의 covolume라고 불립니다). 이 평행육면체는 대칭의 토대 영역(fundamental region)입니다: 그 안에 또는 위에 임의의 패턴이 가능하고, 이것은 전체 대상을 정의합니다. lattice (group)도 참조하십시오.

예를 들어, 2D에서 a와 b 대신 a와 a − b를 취할 수 있고, 이런 식입니다. 2D에서 일반적으로, ps − qr가 1 또는 −1임을 만족하는 정수 p, q, r에 대해 pa + qb와 ra + sb를 취할 수 있습니다. 이것은 a와 b 자체가 다른 두 벡터의 정수 선형 조합임을 보장합니다. 만약 그렇지 않으면, 모든 평행이동은 다른 쌍에서 가능하지는 않습니다. 각 쌍 a, b는 평행사변형, 같은 넓이를 갖는 모두, 교차 곱(cross product)의 크기를 정의합니다. 하나의 평행사변형은 전체 대상을 완전히 정의합니다. 추가 대칭 없이, 평행사변형은 토대 도메인입니다. 벡터 a와 b는 복소수에 의해 표시될 수 있습니다. 주어진 두 개의 격자 점에 대해, 격자 모양을 생성하기 위한 세 번째 점의 선택의 동등성은 모듈러 그룹(modular group)에 의해 표시되며, lattice (group)을 참조.

대안적으로, 예를 들어, 직사각형은 평행이동 벡터가 수직이 아닌 경우에도 전체 물체를 정의할 수 있고, 그것이 하나의 평행이동 벡터와 평행한 두 변을 가지면, 다른 평행이동 벡터는 직사각형의 한 변에서 시작하여 반대쪽 변에서 끝납니다.

예를 들어, 그것 위에 비대칭 패턴을 갖는, 행에서 같은 방향화된 모두, 각 행에 대해 절반, 한 타일이 아닌 항상 같은 분수의 이동을 갖는 같은 직사각형 타일로 타일링을 생각해 보십시오. 그런-다음 우리는 오직 평행이동적 대칭, 벽지 그룹 p1만 가집니다 (이동 없이 같은 것이 적용됩니다). 타일에 패턴 중 차수 2의 회전적 대칭과 함께, p2를 가집니다 (타일 위의 패턴의 더 많은 대칭은 타일의 배열로 인해 그것을 변경하지 않습니다). 직사각형은 타일의 일부와 또 다른 타일의 일부로 구성된 평행사변형보다 토대 영역 (또는 그것들 중 2개의 집합)으로 고려하기에 더 편리한 단위입니다.

2D에서, 임의의 길이의 벡터에 대해 한 방향으로 평행이동적 대칭이 있을 수 있습니다. 같은 방향에 있지 않은 한 직선은 전체 대상을 완전히 정의합니다. 유사하게, 3D에서, 임의의 길이의 벡터에 대해 하나 또는 두 방향으로 평행이동적 대칭이 있을 수 있습니다. 하나의 평면 (교차-단면) 또는 직선은, 각각, 전체 대상을 완전히 정의합니다.

Examples

The less-than-relation on the real numbers is invariant under translation.

• 프리즈 패턴(Frieze patterns) 모두는 평행이동적 대칭을 가지고, 때때로 다른 종류를 가집니다.
• 절댓값의 후속 계산을 갖는 푸리에 변환(Fourier transform)은 평행이동-불면 연산자입니다.
• 다항 함수(polynomial function)에서 다항식 차수로의 매핑은 평행이동-불변 함수형입니다.
• 르베그 측정(Lebesgue measure)은 완전(complete) 평행이동-불변 측정(measure)입니다.

See also

• Glide reflection
• Displacement
• Periodic function
• Lattice (group)
• Translation operator (quantum mechanics)
• Rotational symmetry
• Lorentz symmetry
• Tessellation
• List of cycles § Mathematics of waves and cycles

References

• Stenger, Victor J. (2000) and MahouShiroUSA (2007). Timeless Reality. Prometheus Books. Especially chpt. 12. Nontechnical.