Vector field

벡터 미적분학과 물리학(physics)에서, 벡터 필드(vector field)는 도메인의 각 점, 공간(space)의 부분집합, 가장 공통적으로 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 에 벡터(vector)를 할당한 것입니다.^[1] 평면에서 벡터 필드는 평면 내의 한 점에 각각 부착된 주어진 크기와 방향을 갖는 화살표 모음으로 시각화될 수 있습니다. 벡터 필드는 종종, 예를 들어, 바람과 같이 삼 차원 공간을 통해 움직이는 유체의 속력과 방향, 또는 한 점에서 또 다른 점으로 변할 때 자기력이나 중력과 같은 어떤 힘의 강도와 방향을 모델링하기 위해 사용됩니다.

미분과 적분 미적분의 원소는 벡터 필드로 자연스럽게 확대됩니다. 벡터 필드가 힘(force)을 나타내고, 벡터 필드의 선 적분(line integral)은 경로를 따라 움직이는 힘에 의해 수행한 일(work)을 나타내고, 이 해석 아래에서 에너지의 보존(conservation of energy)은 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)의 특수한 경우로 나타납니다. 벡터 필드는 공간에서 움직이는 흐름의 속도를 나타내는 것으로 유용하게 생각될 수 있고, 이 물리적 직감은 (흐름의 부피의 변화의 비율을 나타내는) 발산(divergence)과 (흐름의 회전을 나타내는) 컬(curl)과 같은 개념으로 이어집니다.

벡터 필드는 벡터-값 함수(vector-valued function)의 특수한 경우이며, 그것의 도메인의 차원은 그것의 치역의 차원과 관련이 없습니다; 예를 들어, 공간 곡선(space curve)의 위치 벡터(position vector)는 주변 공간의 더 작은 부분집합에 대해서만 정의됩니다. 마찬가지로, n 좌표, n-차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 도메인 위에 벡터 필드는 실수의 n-튜플을 도메인의 각 점에 결합하는 벡터-값 함수로 나타낼 수 있습니다. 벡터 필드의 이러한 표현은 좌표 시스템에 따라 다르고, 한 좌표 시스템에서 다른 좌표 시스템으로 전달할 때 잘-정의된 변환 법칙 (covariance and contravariance of vectors)이 있습니다.

벡터 필드는 종종 유클리드 공간의 열린 부분집합(open subsets)에서 논의되지만, 역시 표면과 같은 다른 부분집합에서 의미가 있으며, 여기서 그것들은 각 점에서 표면에 접하는 화살표 (접 벡터)를 결합합니다. 보다 일반적으로, 벡터 필드는 미분-가능 매니폴드(differentiable manifolds) 위에 정의되며, 이는 작은 스케일에서 유클리드 공간처럼 보이지만, 큰 스케일에서 더 복잡한 구조를 가질 수 있는 공간입니다. 이 설정에서, 벡터 필드는 매니폴드의 각 점 (즉, 매니폴드에 대한 접 다발의 섹션)에서 접선 벡터를 제공합니다. 벡터 필드는 텐서 필드(tensor field)의 한 종류입니다.

Definition

Vector fields on subsets of Euclidean space

Two representations of the same vector field: v(x, y) = −r. The arrows depict the field at discrete points, however, the field exists everywhere.

$R n$ 의 부분집합 $S$ 가 주어지면, 벡터 필드는 표준 데카르트 좌표 $(x 1, \dots, x n)$ 에서 벡터-값 함수 $V : S \to R n$ 에 의해 표현됩니다. 만약 $V$ 의 각 성분이 연속이면, $V$ 는 연속 벡터 필드입니다. 각 성분이 매끄러운 함수 (몇 번이라도 미분-가능)임을 의미하는 매끄러운 벡터 필드에 초점을 맞추는 것이 공통적입니다. 벡터 필드는 n-차원 공간 내의 개별 점에 벡터를 할당하는 것으로 시각화될 수 있습니다.^[1]

하나의 표준 표기법은 좌표 방향에서 단위 벡터에 대해 ${\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ 을 쓰는 것입니다. 이들 용어에서, ${\mathbf {R} }^{n}$ 의 열린 부분집합 $S$ 의 모든 각 매끄러운 벡터 필드 $V$ 는 $S$ 위의 일부 매끄러운 함수 $V_{1},\ldots ,V_{n}$ 에 대해 다음으로 쓸 수 있습니다:^[2]

\sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}

이 표기법을 사용하는 이유는 벡터 필드가 매끄러운 함수의 공간에서 자체로의 벡터 필드의 방향에서 미분함으로써 주어지는 선형 맵(linear map), $V\colon C^{\infty }(S)\to C^{\infty }(S)$ 을 결정하는 것입니다.

Example: 벡터 필드 $-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}$ 는 $\mathbf {R} ^{2}$ 에서 원점을 중심으로 반시계-방향 회전을 나타냅니다. 함수 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ 가 회전적으로 불변임을 나타내기 위해 다음을 계산하십시오:

{\bigg (}-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg )}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.

$S$ 위에 정의된 벡터 필드 $V$ , $W$ 와 $S$ 위에 정의된 매끄러운 함수 $f$ , 스칼라 곱셈과 벡터 덧셈의 연산이 주어지면, $(fV)(p):=f(p)V(p)$ $(V+W)(p):=V(p)+W(p),$ 함수의 곱셈이 점-별로 정의되는 매끄러운 함수의 링(ring)에 걸쳐 모듈로(module) 매끄러운 벡터 필드를 만듭니다.

Coordinate transformation law

물리학에서, 벡터(vector)는 다른 배경 좌표 시스템에 관해 같은 벡터를 측정할 때 좌표가 어떻게 변경되는지에 따라 추가적으로 구별됩니다. 벡터의 변환 속성(transformation properties of vectors)은 벡터를 단순한 스칼라 목록 또는 코벡터(covector)와 기하학적으로 구별되는 엔터티로 구별합니다.

따라서 $(x 1, ..., x n)$ 이 데카르트 좌표의 선택임을 가정하며, 이러한 관점에서 벡터 $V$ 의 성분은 다음과 같습니다: $V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})$ 그리고 (y₁,...,y_n)이 다른 좌표 시스템을 정의하는 x_i의 n 함수라고 가정합니다. 그런-다음 새로운 좌표에서 벡터 V의 성분이 다음 변환 법칙을 만족시키기 위해 필요합니다:

V_{i,y}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}}V_{j,x}.

(1)

그러한 변환 법칙은 반변(contravariant)이라고 불립니다. 유사한 변환 법칙이 물리학에서 벡터 필드를 특징짓습니다: 구체적으로 특별히, 벡터 필드는 서로 다른 좌표 시스템과 관련하는 변환 법칙 (1)에 따라 각 좌표 시스템에서 n 함수의 사양입니다.

벡터 필드는 따라서 숫자 또는 스칼라를 공간에서 모든 각 점에 결합하는 스칼라 필드(scalar fields)와 대조되고, 역시 좌표 변경 아래에서 변환하지 않는 단순한 스칼라 필드의 목록과도 대조됩니다.

Vector fields on manifolds

미분-가능 매니폴드(differentiable manifold) $M$ 이 주어지면, $M$ 위에 벡터 필드는 $M$ 에서 각 점에 접 벡터(tangent vector)를 할당입니다.^[2] 보다 정확하게, 벡터 필드 $F$ 는 $p\circ F$ 이 항등 매핑이 되도록 $M$ 에서 접 다발 $TM$ 으로의 매핑(mapping)이며, 여기서 $p$ 는 $TM$ 에서 $M$ 으로의 투영을 나타냅니다. 다시 말해서, 벡터 필드는 접 다발(tangent bundle)의 섹션(section)입니다.

대안적인 정의: 매니폴드 $M$ 위에 매끄러운 벡터 필드 $X$ 는 $X$ 가 유도(derivation): 모든 $f,g\in C^{\infty }(M)$ 에 대해 $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ 임을 만족하는 선형 맵 $X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ 입니다.^[3]

만약 매니폴드 $M$ 이 매끄럽거나 해석적이면—즉, 좌표의 변경이 매끄러운 (해석적) 것이면—매끄러운 (해석적) 벡터 필드의 개념을 이해할 수 있습니다. 매끄러운 매니폴드 $M$ 위에 모든 매끄러운 벡터 필드의 모음은 종종 $\Gamma (TM)$ 또는 $C^{\infty }(M,TM)$ (특히, 벡터 필드를 섹션으로 생각할 때)으로 표시됩니다; 모든 매끄러운 벡터 필드의 모음은 ${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$ (fraktur "X")로도 표시됩니다.

Examples

지구 위의 공기 이동에 대한 벡터 필드는 지구 표면 위의 모든 각 점에 대해 해당 점의 바람 속력과 방향과 벡터를 연관시킵니다. 이것은 바람을 나타내기 위한 화살표를 사용하여 그릴 수 있습니다; 화살표의 길이 (크기)는 바람 속력의 표시일 것입니다. 보통의 기압 지도에서 "높음"은 소스 (다른 쪽을 가리키는 화살표) 역할을 하고, "낮음"은 싱크 (향하는 쪽을 가리키는 화살표)가 되는데, 왜냐하면 공기는 높은 압력 영역에서 낮은 압력 영역으로 이동하는 경향이 있기 때문입니다.
움직이는 유동체의 속도(velocity) 필드. 이 경우에서, 속도 벡터는 유동체에서 각 점과 결합됩니다.
흐름선, 줄무늬선, 및 경로선은 (시간-종속) 벡터 필드에서 만들 수 있는 세 가지 유형의 선입니다. 그것들은:
- 줄무늬선: 여러 시간에 걸쳐 특정 고정 점을 통과하는 입자에 의해 생성되는 선
- 경로선: (영 질량의) 주어진 입자가 따라가는 경로를 보여줍니다.
- 흐름선 (또는 필드선): 순간 필드에 영향을 받는 입자의 경로 (즉, 필드가 고정된 경우 입자의 경로).
자기 필드(Magnetic fields). 야전선은 작은 철제 파일링을 사용하여 드러낼 수 있습니다.
맥스웰의 방정식(Maxwell's equations)을 사용하면 주어진 초기 조건과 경계 조건의 집합을 사용하여 유클리드 공간의 모든 점에 대해 해당 점에서 하전된 테스트 입자가 경험하는 힘의 크기와 방향을 추론할 수 있습니다. 결과 벡터 필드는 전자기 필드입니다.
무거운 물체에 의해 생성된 중력 필드(gravitational field)도 벡터 필드입니다. 예를 들어, 구형 대칭 몸체에 대한 중력 필드 벡터는 몸체로부터의 방사형 거리가 증가함에 따라 감소하는 벡터의 크기와 함께 모두 구의 중심을 향할 것입니다.

Gradient field in euclidean spaces

A vector field that has circulation about a point cannot be written as the gradient of a function.

벡터 필드는 그래디언트 연산자 (델(del): ∇에 의해 표시됨)를 사용하여 스칼라 필드(scalar fields)를 벗어나서 구성될 수 있습니다.^[4]

열린 집합 S 위에 정의된 벡터 필드 V는 다음임을 만족하는 S 위에 실수-값 함수 (스칼라 필드) f가 존재하면 그래디언트 필드 또는 보존 필드(conservative field)라고 불립니다: $V=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).$

결합된 흐름은 그래디언트 흐름(gradient flow)이라고 불리고, 그래디언트 하강(gradient descent)의 방법에서 사용됩니다.

보존 필드에서 임의의 닫힌 곡선(closed curve) γ (γ(0) = γ(1))를 따라 경로 적분(path integral)은 영입니다: $\oint _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\oint _{\gamma }\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).$

Central field in euclidean spaces

$Rn \ {0}$ 에 걸쳐 $C \infty$ -벡터 필드는 만약 다음이면 중심 필드(central field)라고 불립니다: $V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbb {R} ))$ 여기서 $O(n, R)$ 는 직교 그룹(orthogonal group)입니다. 우리는 중앙 필드가 영 부근의 직교 변환(orthogonal transformations) 아래에서 불변(invariant)이라고 말합니다.

점 0은 필드의 중심(center)이라고 불립니다.

직교 변환은 실제로 회전과 반사이므로, 불변 조건은 중심 필드의 벡터가 항상 0을 향하거나 0에서 멀어지는 것을 의미합니다. 이것은 대안적인 (그리고 더 간단한) 정의입니다. 중앙 필드는 하나의 반축 위에 정의하고 적분하면 역-그래디언트(antigradient)를 제공하기 때문에 항상 그래디언트 필드입니다.

Operations on vector fields

Line integral

물리학에서 공통적인 기술은 곡선(curve)을 따라 벡터 필드를 적분하는 것이며, 역시 그것의 선 적분(line integral)을 결정하는 것이라고 불립니다. 직관적으로, 이것은 스칼라 곱으로 표현되는 곡선의 접선을 갖는 선으로 모든 벡터 성분을 합산합니다. 예를 들어, 공간에서 어떤 점에서 각 벡터가 입자에 작용하는 힘을 나타내는 힘 필드 (예를 들어, 중력)에 있는 입자가 주어지면, 특정 경로를 따라 선 적분은 입자가 이 경로를 따라 이동할 때 입자에 수행된 일입니다. 직관적으로, 그것은 곡선을 따라 각 점에서 힘 벡터와 작은 접선 벡터의 스칼라 곱의 합입니다.

선 적분은 리만 적분(Riemann integral)과 유사하게 구성되고 곡선이 정류-가능이고 (유한 길이를 가짐) 벡터 필드가 연속적이면 존재합니다.

$[a, b]$ (여기서 $a$ 와 $b$ 는 실수임)에서 $t$ 에 의해 매개변수화된 벡터 필드 $V$ 와 곡선 $γ$ 가 주어지면, 선 적분은 다음과 같이 정의됩니다: $\int _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.$

벡터 필드 토폴로지를 표시하기 위해, 선 적분 합성곱(line integral convolution)을 사용할 수 있습니다.

Divergence

유클리드 공간 위에 벡터 필드의 다이버전스(divergence)는 함수 (또는 스칼라 필드)입니다. 삼-차원에서, 다이버전스는 임의의 차원에 대한 명백한 일반화와 함께 다음에 의해 정의됩니다:

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},$ 한 점에서의 다이버전스는 점 주변의 작은 부피가 벡터 흐름에 대해 소스 또는 싱크인 정도를 나타내며, 다이버전스 정리(divergence theorem)에 의해 정확한 결과가 됩니다.

다이버전스는 리만 매니폴드(Riemannian manifold), 즉, 벡터의 길이를 측정하는 리만 메트릭(Riemannian metric)을 갖는 매니폴드에서도 정의될 수 있습니다.

Curl in three dimensions

컬(curl)은 벡터 필드를 취하고 또 다른 벡터 필드를 생성하는 연산입니다. 컬은 오직 삼-차원에서 정의되지만, 컬의 일부 속성은 외부 도함수(exterior derivative)를 갖는 더 높은 차원에서 포획될 수 있습니다. 삼차원에서, 그것은 다음에 의해 정의됩니다: $\operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.$ 컬은 한 점에서 벡터 흐름의 각 운동량(angular momentum)의 밀도, 즉 흐름이 고정된 축을 중심으로 순환하는 총량을 측정합니다. 이 직관적인 설명은 스토크스의 정리(Stokes' theorem)에 의해 정확해졌습니다.

Index of a vector field

벡터 필드의 인덱스는 고립된 영 (즉, 필드의 고립된 특이점) 주위의 벡터 필드의 동작을 설명하는 데 도움이 되는 정수입니다. 평면에서, 인덱스는 안장 특이점에서 −1 값을 취하지만 소스 또는 싱크 특이점에서 +1 값을 취합니다.

벡터 필드가 정의된 매니폴드의 차원을 n이라고 놓습니다. 다른 영들이 S의 내부에 놓이지 않도록 영 주위에 작은 구 S를 가져옵니다. 이 구에서 차원 n − 1의 단위 구로의 맵은 이 구 위의 각 벡터를 단위 길이 벡터를 형성하기 위해 길이로 나눔으로써 구성될 수 있으며, 이는 단위 구 Sⁿ⁻¹ 위의 한 점입니다. 이것은 S에서 Sⁿ⁻¹로의 연속 맵을 정의합니다. 그 점에서 벡터 필드의 인덱스는 이 맵의 차수(degree)입니다. 이 정수는 S의 선택에 의존하지 않고, 따라서 벡터 필드 자체에만 의존한다는 것을 알 수 있습니다.

전체로 벡터 필드의 인덱스는 유한한 수의 영만 있을 때 정의됩니다. 이 경우에서, 모든 영들은 고립되고, 벡터 필드의 인덱스는 모든 영들에서 인덱스의 합으로 정의됩니다.

인덱스는 임의의 비-특이점 (즉, 벡터가 비-영인 점)에서 정의되지 않습니다. 그것은 소스 주변에서 +1과 같고, 보다 일반적으로 k 수축하는 차원과 n−k 확장하는 차원을 가지는 안장 주변에서 (−1)^k와 같습니다. 삼-차원 공간에 있는 보통의 (2-차원) 구에 대해, 구에 있는 임의의 벡터 필드의 인덱스가 2여야 한다는 것을 보일 수 있습니다. 이것은 모든 각 그러한 벡터 필드가 영을 가져야 함을 보여줍니다. 이것은 R³에서 벡터가 연속적인 방식에서 단위 구 S²의 각 점에 할당되면, "머리카락을 평평하게 빗질"할 수 없다, 즉, 그것들이 모두 비-영이고 S²에 접함을 만족하는 연속 방법에서 벡터를 선택할 수 없다는 털난 공 정리(hairy ball theorem)를 의미합니다.

유한한 수의 영들을 갖는 컴팩트 매니폴드 위에 벡터 필드에 대해, 푸앵카레-호프 정리(Poincaré-Hopf theorem)는 벡터 필드의 인덱스가 매니폴드의 오일러 특성(Euler characteristic)과 같다고 말합니다.

Physical intuition

Magnetic field lines of an iron bar (magnetic dipole)

마이클 패러데이(Michael Faraday)는, 그의 힘의 선(lines of force)이라는 개념에서, 필드 자체가 연구의 대상이 되어야 한다고 강조했고, 이는 필드 이론(field theory)의 형식으로 물리학 전반에 걸쳐 연구 대상이 되었습니다.

자기 필드 외에도, 패러데이에 의해 모델링되었던 다른 현상은 전기 필드와 빛 필드(light field)를 포함합니다.

최근 수십 년 동안 복잡한 유체와 고체의 역학에서 화학적 운동학과 양자 열역학에 이르기까지 물리학에서 비-반전가능 동역학과 진화 방정식의 많은 현상학적 공식은 "가장 가파른 엔트로피 상승" 또는 "그래디언트 흐름"이라는 기하학적 아이디어를 열역학의 두 번째 법칙과의 호환성을 보장하고 Onsager 상호관계와 같은 잘 알려진 거의 평형 결과를 훨씬 비-평형 영역으로 확장하는 일관된 보편적 모델링 프레임워크로 수렴되어 왔습니다. ^[5]

Flow curves

공간 영역을 통과하는 유체의 흐름을 생각해 보십시오. 임의의 주어진 시간에서, 유체의 임의의 점은 그것과 결합된 특정 속도를 가집니다; 따라서 임의의 흐름과 결합된 벡터 필드가 있습니다. 그 전환도 역시 참입니다: 벡터 필드를 그것의 속도로 가지는 벡터 필드에 흐름을 결합할 수 있습니다.

$S$ 위에 정의된 벡터 필드 $V$ 가 주어지면, 구간 $I$ 에서 각 $t$ 에 대해 다음임을 만족하는 $S$ 위에 곡선 $\gamma (t)$ 를 정의합니다: $\gamma '(t)=V(\gamma (t))\,.$

피카르-린델뢰프 정리(Picard–Lindelöf theorem)에 의해, 만약 $V$ 가 립시츠 연속(Lipschitz continuous)이면, 일부 $\varepsilon >0$ 에 대해, 다음이 되도록 $S$ 에서 각 점 $x$ 에 대해 고유한 $C^{1}$ -곡선 $\gamma _{x}$ 가 있습니다: ${\begin{aligned}\gamma _{x}(0)&=x\\\gamma '_{x}(t)&=V(\gamma _{x}(t))\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\subset \mathbb {R} .\end{aligned}}$

곡선 $\gamma _{x}$ 는 동치 클래스(equivalence classes)로의 벡터 필드 $V$ 와 분할 $S$ 의 적분 곡선(integral curves) 또는 궤적(trajectories) (또는 덜 공통적으로, 흐름선)이라고 불립니다. 구간 $(-\varepsilon ,+\varepsilon )$ 을 전체 실수 직선으로 확장하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 흐름은 예를 들어 유한한 시간 내에 $S$ 의 가장자리에 도달할 수 있습니다. 이차원 또는 삼차원에서, 벡터 필드를 $S$ 위에 흐름을 발생시키는 것으로 시각화할 수 있습니다. 만약 우리가 점 $p$ 에서 이 흐름에 입자를 떨어뜨리면, 입자는 초기 점 $p$ 에 의존하는 흐름에서 곡선 $\gamma _{p}$ 를 따라 이동할 것입니다. 만약 $p$ 가 $V$ 의 정류 점이면 (즉, 벡터 필드가 점 $p$ 에서 영 벡터와 같으면), 그 입자는 $p$ 에 남게 됩니다.

전형적인 응용은 유체에서 경로선, 측지선 흐름, 및 1-매개변수 부분그룹과 리 그룹에서 지수 맵입니다.

Complete vector fields

정의에 의해, $M$ 위에 벡터 필드는 만약 그것의 각 흐름 곡선이 항상 존재하면 완비(complete)라고 불립니다.^[6] 특히, 매니폴드 위에 컴팩트하게 지원된(compactly supported) 벡터 필드가 완비입니다. 만약 $X$ 가 $M$ 위에 완비 벡터 필드이면, $X$ 를 따른 흐름에 의해 생성된 미분-동형(Diffeomorphisms)의 1-매개변수 그룹은 항상 존재합니다; 그것은 다음과 같은 매끄러운 매핑에 의해 설명됩니다:

\mathbf {R} \times M\to M.

경계 없이 컴팩트 매니폴드 위에, 모든 각 매끄러운 벡터 필드는 완비입니다. 실수 직선 $\mathbb {R}$ 위에 불완비(incomplete) 벡터 필드 $V$ 의 예제는 $V(x)=x^{2}$ 에 의해 제공됩니다. 초기 조건 $x(0)=x_{0}$ 를 갖는 미분 방정식 ${\textstyle x'(t)=x^{2}}$ 는 $x_{0}\neq 0$ (및 $x_{0}=0$ 이면 모두 $t\in \mathbb {R}$ 에 대해 $x(t)=0$ )이면 고유한 해 ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ 를 가집니다. 그러므로, $x_{0}\neq 0$ 에 대해, $x(t)$ 는 ${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$ 에서 정의되지 않으므로 $t$ 의 모든 값에 대해 정의될 수 없습니다.

The Lie bracket

두 벡터 필드에 결합된 흐름은 서로 교환할 필요가 없습니다. 그것들의 교환하려는 실패는 다시 벡터 필드인 두 벡터 필드의 리 괄호(Lie bracket)에 의해 설명됩니다. 리 괄호는 매끄러운 함수 $f$ 위에 벡터 필드의 작용의 측면에서 간단한 정의를 가집니다:

[X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).

f-relatedness

매니폴드 사이의 매끄러운 함수, $f:M\to N$ 가 주어지면, 도함수는 접 다발 위에 유도된 맵, $f_{*}:TM\to TN$ 입니다. 벡터 필드 $V:M\to TM$ 와 $W:N\to TN$ 가 주어지면, 우리는 방정식 $W\circ f=f_{*}\circ V$ 가 유지되면 $W$ 는 $V$ 와 $f$ -관련되었다고 말합니다.

만약 $V_{i}$ 가 $W_{i}$ , $i=1,2$ 에 대해 $f$ -관련되었으면, 리 괄호 $[V_{1},V_{2}]$ 는 $[W_{1},W_{2}]$ 와 $f$ -관련됩니다.

Generalizations

벡터를 p-벡터 (벡터의 p-번째 외부 거듭제곱)로 대체하면 p-벡터 필드가 생성됩니다; 이중 공간과 외부 거듭제곱을 취하면 미분 k-형식이 생성되고, 이들 결과를 조합하면 일반적인 텐서 필드(tensor fields)가 생성됩니다.

대수적으로, 벡터 필드는 매니폴드 위에 매끄러운 함수의 대수의 유도(derivations)로 특징지을 수 있으며, 이는 교환 대수에 걸쳐 미분 미적분의 이론에서 개발된 대수 위에 유도로서 교환 대수 위에 벡터 필드를 정의하는 것으로 이어집니다.

References

^ ^a ^b Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. 2012. p. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3. {{cite book}}: Cite uses deprecated parameter |authors= (help)
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^ Dawber, P.G. (1987). Vectors and Vector Operators. CRC Press. p. 29. ISBN 978-0-85274-585-4.
^ Beretta, Gian Paolo (2020-05-01). "The fourth law of thermodynamics: steepest entropy ascent". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 378 (2170): 20190168. arXiv:1908.05768. Bibcode:2020RSPTA.37890168B. doi:10.1098/rsta.2019.0168. ISSN 1471-2962. S2CID 201058607.
^ Sharpe, R. (1997). Differential geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.

Bibliography

Hubbard, J. H.; Hubbard, B. B. (1999). Vector calculus, linear algebra, and differential forms. A unified approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7.
Warner, Frank (1983) [1971]. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3.
Boothby, William (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, volume 120 (second ed.). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X.

External links

Media related to Vector fields at Wikimedia Commons

Online Vector Field Editor
"Vector field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Vector field — Mathworld
Vector field — PlanetMath
3D Magnetic field viewer
Vector fields and field lines
Vector field simulation An interactive application to show the effects of vector fields

[Galbis-2012-p12-1] Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. 2012. p. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3. {{cite book}}: Cite uses deprecated parameter |authors= (help)

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