Zero-dimensional space

Original article: w:Zero-dimensional space

This article is about zero dimension in topology. For several kinds of zero space in algebra, see zero object (algebra).

수학(mathematics)에서, 영-차원 토폴로지적 공간(zero-dimensional topological space 또는 nildimensional space)은 주어진 토폴로지적 공간에 차원(dimension)을 할당하는 여러 가지 동등한 개념 중 하나와 관련하여 차원 영을 가지는 토폴로지적 공간(topological space)입니다. 영-차원 공간의 그래픽 묘사는 한 점(point)입니다.

Definition

구체적으로:

• 토폴로지적 공간은 만약 공간의 모든 각 열린 덮개(open cover)가 서로소 열린 집합에 의한 덮개인 세분화(refinement)를 가지면 르베그 덮는 차원(Lebesgue covering dimension)에 관해 영-차원입니다.:
• 토폴로지적 공간은 만약 공간의 모든 각 유한한 열린 덮개가 그 공간에서 임의의 점이 이 세분화의 정확하게 하나의 열린 집합에 포함됨을 만족하는 유한한 열린 덮개인 세분화를 가지면 유한-에서-유한으로의 덮는 차원에 관해 영-차원입니다.
• 토폴로지적 공간은 만약 그것이 닫힌-열린 집합(clopen sets)으로 구성된 기저(base)를 가지면 작은 귀납적 차원(small inductive dimension)에 관해 영-차원입니다.

위의 세 가지 개념은 분리-가능(separable), 메트릭-가능 공간(metrisable spaces)에 대해 일치합니다.

Properties of spaces with small inductive dimension zero

• 영-차원 하우스도르프 공간(Hausdorff space)은 필연적으로 전체적으로 분리(totally disconnected)되지만, 그 전환은 실패합니다. 어쨌든, 지역적으로 컴팩트(locally compact) 하우스도르프 공간이 영-차원인 것과 그것이 전체적으로 분리된 것은 필요충분 조건입니다. (비-자명한 방향에 대해 (Arhangel'skii & Tkachenko 2008, Proposition 3.1.7, p.136)를 참조하십시오.)
• 영-차원 폴란드 공간(Polish spaces)은 기술적 집합 이론(descriptive set theory)에 특히 편리한 설정입니다. 그러한 공간의 예로는 칸토어 공간(Cantor space)과 베르 공간(Baire space)이 있습니다.
• 하우스도르프 영-차원 공간은 정확하게 토폴로지적 거듭제곱 $2^{I}$의 부분-공간(subspaces)이며, 여기서 $2=\{0,1\}$는 이산 토폴로지(discrete topology)로 주어집니다. 그러한 공간은 때때로 칸토어 정육면체(Cantor cube)라고 불립니다. 만약 I가 셀-수-있는 무한(countably infinite)이면, $2^{I}$는 칸토어 공간입니다.

Hypersphere

영-차원 초-구(hypersphere)는 한 쌍의 점입니다. 영-차원 공(ball)은 한 점입니다.

Notes

• Arhangel'skii, Alexander; Tkachenko, Mikhail (2008). Topological Groups and Related Structures. Atlantis Studies in Mathematics. Vol. 1. Atlantis Press. ISBN 978-90-78677-06-2.
• Engelking, Ryszard (1977). General Topology. PWN, Warsaw.
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.