Jump to content

Mathematics

This is a fully translated article. Click here for more information.
From DawoumWiki, the free Mathematics self-learning
Original article: w:Mathematics
Several terms redirect here. For other uses, see Mathematics (disambiguation), Maths (disambiguation) and Math (disambiguation).
Part of a series on
Mathematics
Areas
Relationship with sciences
Mathematics Portal

수학(Mathematics)은 숫자, 형식과 관련된 구조, 모양 및 그것들이 포함된 공간, 및 수량과 그 변화와 같은 주제를 포함하는 지식의 영역입니다. 이들 주제는 각각 숫자 이론(number theory),[1] 대수학(algebra),[2] 기하학(geometry),[1] 및 해석학(analysis)의[3][4] 주요 하위-분야를 갖는 현대 수학에서 표현됩니다.

대부분의 수학적 활동은 추상적인 대상(abstract objects)의 속성의 발견을 포함하고 그것을 입증하기 위한 순수 이성의 사용을 포함합니다. 이들 대상은 자연에서 추상화(abstraction) 또는—현대 수학에서—공리(axioms)라고 불리는 특정 속성으로 규정된 엔트리로 구성됩니다. 증명은 이미 확립된 결과에 대한 연역적 규칙(deductive rules)의 연속적인 적용으로 구성됩니다. 이들 결과는 이전에 입증된 정리(theorems), 공리, 및—자연에서 추상화의 경우에서—고려 중인 이론의 진정한 출발 점으로 고려되는 몇 가지 기본 속성을 포함합니다.[5]

수학은 자연 과학(natural sciences), 공학(engineering), 의학(medicine), 금융(finance), 컴퓨터 과학(computer science), 및 사회 과학(social sciences)에서 필수적입니다. 비록 수학이 현상을 모델링하는 데 광범위하게 사용될지라도, 수학의 기본 진리는 임의의 과학적 실험과 독립적입니다. 통계학(statistics)과 게임 이론(game theory)과 같은 수학의 일부 영역은 그것들의 응용과 긴밀한 상관 관계에서 개발되고 종종 응용 수학(applied mathematics) 아래에서 그룹화됩니다. 다른 수학적 영역은 임의의 응용과 독립적으로 개발되지만 (따라서 순수 수학이라고 불림), 실용적인 응용은 종종 나중에 발견됩니다.[6][7] 적합한 예제는 유클리드로 거슬러 올라가지만, (컴퓨터 네트워크의 보안에 대해) RSA 암호-시스템에서 사용되기 전에는 실용적인 응용을 가지지 않았던 정수 인수분해(integer factorization)의 문제입니다.

역사적으로, 증명의 개념과 그와 관련된 수학적 엄격함(mathematical rigour)은 그리스 수학, 특히 유클리드의 원론에서 처음 등장했습니다.[8] 그것의 시작 이래로, 수학은 대수학과[a] 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)이 새로운 주제의 영역으로 도입될 때 16세기와 17세기까지 본질적으로 기하학과 산술 (자연수와 분수의 조작)으로 나뉘었습니다. 그 이후로, 수학적 혁신과 과학적 발견(scientific discoveries) 사이의 상호 작용은 두 학문 모두의 발전에서 급격한 증가로 이어져 왔습니다.[9] 19세기 말에, 수학에서 토대적 위기는 공리적 방법(axiomatic method)의 시스템화로 이어졌습니다.[10] 이것은 수학 영역과 그 응용 분야의 수를 극적으로 증가시켰습니다. 예를 들어, 이것은 60개 이상의 수학 첫 번째-수준 영역을 나열하는 현대 수학 주제 분류(Mathematics Subject Classification)에서 볼 수 있습니다.

Etymology

단어 mathematics는 고대 그리스어 máthēma (μάθημα)에서 유래한 것으로, "배운 것(that which is learnt)",[11] "알게 된 것(what one gets to know)", 따라서 역시 "연구(study)"와 "과학(science)"을 의미합니다. "Mathematics"에 대한 단어는 심지어 고전 시대에도 "수학적 연구"라는 더 좁고 보다 기술적인 의미를 갖게 되었습니다.[12] 그것의 형용사는 mathēmatikós (μαθηματικός)으로, "배움과 관련된(related to learning)" 또는 "학문에 정진하는(studious)"을 의미하며, 마찬가지로 나아가서 "수학적"을 의미하게 되었습니다. 특히, mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη; Latin: ars mathematica)는 "수학적 예술"을 의미했습니다.

비슷하게, 피타고라스주의(Pythagoreanism)에서 사고의 두 개의 주요 학파 중 하나는 mathēmatikoi (μαθηματικοί)로 알려져 있었습니다—이는 현대의 의미에서 "수학자"라기 보다는 당시에 "학습자"를 의미했습니다. 피타고라스-학파는 산술과 기하학의 연구에만 그 단어를 사용하도록 제한한 최초의 사람들일 것입니다. 아리스토텔레스 (기원전 384–322) 시대에 이 의미는 완전하게 확립되었습니다.[13]

1700년경까지 라틴어와 영어에서, 용어 mathematics는 보다 공통적으로 "수학(mathematics)"라기 보다는 "점성술(astrology)" (또는 때때로 "천문학(astronomy)")을 의미했습니다; 그 의미는 약 1500년에서 1800년까지 그의 현재의 의미로 점진적으로 바뀌었습니다. 이것은 몇 가지 오역의 결과로 생겼습니다. 예를 들어, 기독교인들이 점성가를 의미하는 mathematici을 조심해야 한다는 성 아우구스티누스(Saint Augustine)의 경고는 때때로 수학자들의 비난으로 오역됩니다.[14]

영어에서 명백한 복수형은 그리스어 복수형 ta mathēmatiká (τὰ μαθηματικά)에 기반되고 대략 "수학적인 모든 것"을 의미하는 라틴어 중성 복수형 mathematica (Cicero)으로 거슬러 올라가지만, 비록 영어가 그리스어에서 물려받은 물리학(physics)과 형이상학(metaphysics)의 패턴을 따라 형용사 mathematic(al)만 차용했고 명사 mathematics을 새롭게 형성했던 것은 그럴듯합니다.[15] 영어에서, 명사 mathematics은 단수 동사를 취합니다. 그것은 종종 maths, 또는 북미에서 math으로 축약됩니다.[16]

Areas of mathematics

르네상스 이전에, 수학은 두 가지 주요 영역: 숫자 조작과 관련된 산술(arithmetic)과 모양 연구와 관련된 기하학(geometry)으로 구분되었습니다.[17] 수비학(numerology)과 점성술과 같은 일부 유형의 유사-과학(pseudoscience)은 당시 수학과 명확하게 구분되지 않았습니다.[18]

르네상스 기간 동안, 두 개의 영역이 더 나타났습니다. 수학적 표기법(Mathematical notation)은 대수학(algebra)으로 이어졌으며, 이는 대략적으로 말하면 연구와 형식(formulas)의 조작으로 구성됩니다. 미적분학(Calculus)은, 무한소 미적분(infinitesimal calculus)과 적분 미적분(integral calculus)의 두 개의 부분필드로 구성되며, 다양한 수량 (변수) 사이의 전형적으로 비-선형 관계를 모델링하는 연속 함수(continuous functions)의 연구입니다. 이러한 네 가지 주요 영역–산술, 기하학, 대수학, 미적분[19]–으로의 분할은 19세기 말까지 지속되었습니다. 천체 역학(celestial mechanics)과 고체 역학(solid mechanics)과 같은 영역은 종종 수학자에 의해 연구되었지만, 지금은 물리학에 속하는 것으로 고려됩니다.[20] 이 기간 동안 개발된 일부 주제는 수학보다 앞서고 확률 이론(probability theory)과 조합론(combinatorics)과 같은 영역으로 나뉘며, 나중에 자율 영역으로 여겨지게 되었습니다.[21]

19세기 말에, 수학에서 토대적 위기와 그에 따른 공리적 방법(axiomatic method)의 시스템화는 수학의 새로운 영역을 폭발적으로 이끌었습니다.[22][10] 2020년 수학 주제 분류(Mathematics Subject Classification)는 63개 이상의 첫 번째-수준 영역을 포함하고 있습니다.[23] 이들 영역 중 일부는 숫자 이론 (고등 산술에 대해 현대식 이름)과 기하학과 관련하여 사실인 이전 구분에 해당합니다. 몇몇 다른 첫 번째-수준 영역은 그것들의 이름에 "기하학"을 가지거나 공통적으로 기하학의 일부로 여깁니다. 대수학과 미적분학은 첫 번째-수준 영역으로 나타나지 않고 각각 여러 첫 번째-수준 영역으로 나뉩니다. 수학적 논리(mathematical logic)와 토대(foundations)와 같은 다른 첫 번째-수준 영역은 20세기에 등장했거나 이전에는 수학으로 여겨지지 않았습니다.

Number theory

Main article: Number theory
This is the Ulam spiral, which illustrates the distribution of prime numbers. The dark diagonal lines in the spiral hint at the hypothesized approximate independence between being prime and being a value of a quadratic polynomial, a conjecture now known as Hardy and Littlewood's Conjecture F.

숫자 이론은 숫자, 즉, 자연수 의 조작으로 시작했고, 정수 와 유리수 로 확장되었습니다. 이전에는, 숫자 이론은 산술이라고 불렀으나, 요즘 이 용어는 수치 계산(numerical calculations)에 주로 사용됩니다.[24] 숫자 이론의 기원은 고대 바빌로니아와 아마도 중국으로 거슬러 올라갑니다. 두 명의 저명한 초기 숫자 이론가는 유클리드(Euclid)와 디오판토스(Diophantus)였습니다.[25] 추상적 형식에서 숫자 이론의 현대 연구는 주로 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)와 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에 기인합니다. 그 분야는 아드리앵-마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)와 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 기여로 완전한 결실을 맺었습니다.[26]

쉽게 설명되는 많은 숫자 문제는 수학 전반에 걸친 정교한 방법을 요구하는 해결책을 가집니다. 한 가지 두드러진 예제는 페르마의 마지막 정리(Fermat's last theorem)입니다. 이 추측은 1637년 피에르 드 페르마에 의해 설명되었지만, 그것은 대수적 기하학(algebraic geometry), 카테고리 이론(category theory), 및 호몰로지 대수(homological algebra)에서 스킴 이론(scheme theory)을 포함한 도구를 사용했던 앤드루 와일스(Andrew Wiles)에 의해 1994년에야 입증되었습니다.[27] 또 다른 예제는 2보다 큰 모든 각 짝수는 두 소수의 합이라고 주장하는 골드바흐의 추측입니다. 1742년 크리스티안 골드바흐(Christian Goldbach)에 의해 언급된, 그것은 상당한 노력에도 불구하고 오늘날까지 입증되지 않았습니다.[28]

숫자 이론은 해석적 숫자 이론, 대수적 숫자 이론, 숫자의 기하학 (방법 지향), 디오판토스 방정식, 및 초월 이론 (문제 지향)을 포함한 여러 부분영역을 포함합니다.

Geometry

Main article: Geometry
On the surface of a sphere, Euclidian geometry only applies as a local approximation. For larger scales the sum of the angles of a triangle is not equal to 180°.

기하학은 수학의 가장 오래된 가지 중 하나입니다. 그것은 주로 측량(surveying)과 건축(architecture)의 요구를 위해 개발되었지만, 이후 많은 다른 부분분야로 꽃을 피운 직선(lines), 각도(angles), 및 원(circles)과 같은 모양에 관한 경험적 레시피로 시작되었습니다.[29]

근본적인 혁신은 모든 각 주장이 입증되어야 한다는 요구 사항과 함께 고대 그리스인에 의한 증명(proofs) 개념의 도입이었습니다. 예를 들어, 두 길이가 같다는 것을 측정으로 확인하는 것만으로는 충분하지 않습니다; 그것들의 상등은 이전에 인정된 결과 (정리)와 몇 가지 기본 명제로부터 추론을 통해 입증되어야 합니다. 기본 명제는 증명의 대상이 아닌데 왜냐하면 그것들은 자제-명백 (공준)이거나, 그것들은 연구 주제의 정의의 일부 (공리)이기 때문입니다. 모든 수학에 대해 토대적인 이 원리는 기하학에 대해 처음으로 정교화되었고, 기원전 300년경 유클리드에 의해 그의 저서 원론에서 시스템화되었습니다.[30][31]

그 결과 유클리드 기하학(Euclidean geometry)은 유클리드 평면 (평면 기하학)과 (삼-차원) 유클리드 공간에서 직선, 평면, 및 원으로 구성된 모양과 그것들의 배열의 연구입니다.[b][29]

유클리드 기하학은 르네 데카르트(René Descartes)가 현재 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)라고 불리는 것을 도입한 17세기까지 방법이나 범위의 변경 없이 개발되었습니다. 실수를 선분의 길이로 정의하는 대신 (숫자 직선을 참조), 그것들의 좌표 (숫자임)를 사용하여 점의 표현을 허용했던 이것은 주요 패러다임의 변화(change of paradigm)였습니다. 이것은 기하학 문제를 풀기 위해 대수학 (및 나중에 미적분)을 사용하는 것을 허용합니다. 이것은 기하학을 두 가지 새로운 부분필드: 순수하게 기하학적 방법을 사용하는 합성 기하학(synthetic geometry)과 시스템적으로 좌표를 사용하는 해석적 기하학(analytic geometry)으로 분할합니다.[32]

해석적 기하학은 원과 직선과 관련되지 않은 곡선(curves)의 연구를 허용합니다. 그러한 곡선은 함수의 그래프(graph of functions)로 정의될 수 있습니다 (그 연구는 미분 기하학으로 이어졌습니다). 그것들은 역시 암시적 방정식, 종종 다항 방정식 (대수적 기하학을 낳음)으로 정의될 수 있습니다. 해석 기하학은 역시 삼 차원보다 높은 공간(spaces)을 고려할 수 있게 합니다.[29]

19세기에, 수학자들은 평행 공준(parallel postulate)을 따르지 않는 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometries)을 발견했습니다. 해당 공준의 진리에 의문을 제기함으로써, 이 발견은 수학의 토대적 위기(foundational crisis of mathematics)를 드러내는 러셀의 역설(Russel's paradox)에 합류하는 것으로 여겨져 왔습니다. 위기의 이러한 측면은 공리적 방법(axiomatic method)을 시스템화하고, 선택된 공리의 진리가 수학적 문제가 아니라는 것을 채택함으로써 해결되었습니다.[33][10] 차례로, 공리적 방법은 공리를 변경함으로써 또는 공간(space)의 특정 변환 아래에서 불변(invariant)인 속성을 고려함으로써 얻은 다양한 기하학에 대한 연구를 허용합니다.[34]

현재, 기하학의 하위 영역은 다음을 포함합니다:

Algebra

Main article: Algebra
The quadratic formula, which concisely expresses the solutions of all quadratic equations
The Rubik's Cube group is a concrete application of group theory[35]

대수학은 방정식(equations)과 형식(formulas)을 조작하는 기술입니다. 디오판토스(Diophantus) (3세기)와 알-콰리즈미(al-Khwarizmi) (9세기)는 대수학의 두 명의 주요 선구자였습니다.[36][37] 첫 번째 사람은 해를 얻을 때까지 새로운 관계를 추론하여 미지의 자연수를 포함하는 일부 방정식을 풀었습니다. 두 번째 사람은 방정식을 변환하기 위한 시스템적인 방법 (예를 들어, 방정식의 한 쪽에서 다른 쪽으로 항을 이동하는 것)을 도입했습니다. 용어 algebra는 그가 그의 주요 논문 제목에서 이들 방법 중 하나를 이름-짓는 데 사용했던 "부서진 부분의 재결합"을[38] 의미하는 아랍 단어 al-jabr에서 파생되었습니다.

대수학은 미지수 또는 지정되지 않은 숫자를 나타내는 변수(variables)의 사용을 도입했던 프랑수아 비에트(François Viète) (1540–1603)와 함께 그 자체로 하나의 영역이 되었습니다.[39] 이것은 수학자들에게 수학적 형식(mathematical formulas)을 사용하여 표현된 숫자에 대해 수행되어야 하는 연산을 설명하는 것을 허용합니다.

19세기까지, 대수학은 주로 선형 방정식 (현재 선형 대수)과 대수적 방정식 (비록 그것이 모호할 수 있지만 여전히 사용 중인 용어)이라고 불리었던 단일 미지수(unknown)에서 다항 방정식의 연구로 구성되었습니다. 19세기 동안, 수학자들은 변수를 산술 연산의 일반화가 종종 유효한 숫자 이외의 것 (예를 들어, 행렬, 모듈러 정수, 및 기하학적 변환)을 나타내기 위해 사용하기 시작했습니다.[40] 대수적 구조(algebraic structure)의 개념은 그 원소가 지정되지 않은 집합(set), 집합의 원소에 작용하는 연산, 및 이들 연산이 따라야 하는 규칙으로 구성되어 이를 해결합니다. 이러한 변화로 인해, 대수학의 범위는 대수적 구조의 연구를 포함하도록 성장했습니다. 이러한 대수의 대상은 에미 뇌터(Emmy Noether)의 영향과 연구에 의해 확립된 현대 대수학 또는 추상 대수학(abstract algebra)이라고 불렸습니다.[41] (후자 용어는 수식을 조작하는 이전 방법과 관련된 기본 대수학에 반대되는 교육적 맥락에서 주로 나타납니다.)

일부 유형의 대수적 구조는 많은 수학 영역에서 유용하고 종종 근본적인 속성을 가지고 있습니다. 그것들의 연구는 대수학의 자율적인 부분이 되었고, 다음을 포함합니다:

수학적 대상으로서 대수적 구조의 유형의 연구는 보편적 대수(universal algebra)와 카테고리 이론(category theory)의 목적입니다.[42] 후자는 (대수적 구조뿐만 아니라) 모든 각 수학적 구조에 적용됩니다. 그 기원에서, 그것은 토폴로지적 공간(topological spaces)과 같은 비-대수적 대상의 대수적 연구를 허용하기 위해 호몰로지 대수와 함께 도입되었습니다; 이 특정 응용의 분야는 대수적 토폴로지(algebraic topology)라고 불립니다.[43]

Calculus and analysis

Main articles: Calculus and Mathematical analysis
A Cauchy sequence consists of elements that become arbitrarily close to each other as the sequence progresses (from left to right).

미적분은, 이전에 무한소 미적분(infinitesimal calculus)이라고 불렀으며, 17세기 수학자 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)에 의해 독립적이고 동시에 소개되었습니다.[44] 그것은 근본적으로 서로 의존하는 변수들의 관계의 연구입니다. 미적분은 18세기 오일러(Euler)에 의해 함수 개념의 도입과 많은 다른 결과와 함께 확장되었습니다.[45] 현재, "미적분"은 주로 이러한 이론의 기초적인 부분을 참조하고, "해석학"은 공통적으로 고급 부분에 사용됩니다.

해석학은 변수가 실수를 나타내는 실수 해석학(real analysis)과 변수가 복소수를 나타내는 복소 해석학(complex analysis)으로 더 세분됩니다. 해석학은 다음을 포함하는 수학의 다른 영역에서 공유하는 많은 하위 영역을 포함합니다:

Discrete mathematics

Main article: Discrete mathematics
A diagram representing a two-state Markov chain. The numbers are the probability of changing from one state to another state.

이산 수학은, 넓게 말하자면, 개별적이고 셀-수-있는 수학적 대상(mathematical objects)의 연구입니다. 예제는 모든 정수의 집합입니다.[46] 여기서 연구 대상이 이산이기 때문에, 미적분(calculus)과 수학적 해석학(mathematical analysis)의 방법이 직접 적용되지 않습니다.[c] 알고리듬—특히 그것들의 구현과 계산 복잡성—은 이산 수학에서 중요한 역할을 합니다.[47]

네 가지 색깔 정리(four color theorem)와 최적 구 포장(optimal sphere packing)은 20세기 후반에 해결된 이산 수학의 두 가지 주요 문제였습니다.[48] 오늘날까지 열린 채 남아있는 P 대 NP 문제(P versus NP problem)는 이산 수학에서도 중요한데, 왜냐하면 그 해는 많은 계산적으로 어려운 문제에 잠재적으로 영향을 미칠 수 있기 때문입니다.[49]

이산 수학은 다음을 포함합니다:

Mathematical logic and set theory

The Venn diagram is a commonly used method to illustrate the relations between sets.
Main articles: Mathematical logic and set theory

수학적 논리와 집합 이론의 두 주제는 19세기 말부터 수학에 속하게 되었습니다.[50][51] 이 시기 이전에는, 집합이 수학적 대상(mathematical objects)으로 고려되지 않았고, 논리학(logic)은, 비록 수학적 증명(mathematical proofs)에 사용되었지만, 철학(philosophy)에 속했고 수학자에 의해 구체적으로 연구되지 않았습니다.[52]

무한 집합(infinite sets)의 칸토어(Cantor)의 연구 이전에, 수학자들은 실제로 무한한 모음을 고려하는 것을 꺼려했고, 무한대(infinity)를 끝없는 열거(enumeration)의 결과로 여겼습니다. 칸토어의 연구는 실제로 무한한 집합을 고려했을 뿐만 아니라[53] 이것이 칸토어의 대각선 논증(Cantor's diagonal argument)에 따라 무한대의 다른 크기를 의미한다는 것을 보여줌으로써 많은 수학자들을 화나게 했습니다. 이것은 칸토어의 집합 이론에 걸친 논쟁(controversy over Cantor's set theory)으로 이어졌습니다.[54]

같은 시기에, 수학의 다양한 영역은 기본 수학적 대상의 이전의 직관적인 정의가 수학적 엄격함(mathematical rigour)을 보장하는 데 불충분하다고 결론지었습니다. 그러한 직관적인 정의의 예제는 "집합은 대상의 모음", "자연수는 세는 것에 사용되는 것", "점은 모든 각 방향에서 영 길이를 갖는 모양", "곡선은 움직이는 점에 의해 남겨진 흔적", 등입니다.

이것이 수학의 토대적 위기(foundational crisis of mathematics)가 되었습니다.[55] 그것은 결국 형식화된 집합 이론(formalized set theory) 내부에 공리적 방법(axiomatic method)을 시스템화함으로써 주류 수학에서 해결되었습니다. 대략적으로 말하면, 각 수학적 대상은 모든 유사한 개체 집합과 이들 대상이 가져야 하는 속성에 의해 정의됩니다.[22] 예를 들어, 페아노 산술(Peano arithmetic)에서, 자연수는 "영은 숫자이다", "각 숫자는 고유한 다음수를 가진다", "영을 제외한 각 숫자는 고유한 직전수를 가진다", 및 몇 가지 추론 규칙에 의해 정의됩니다.[56] 이러한 방법으로 정의된 대상의 "본성"은 많은 수학자들이 이 본성에 대한 의견을 가지고 있고, 그들의 의견—때때로 "직관"이라고 불림—을 그들의 연구와 증명을 안내하기 위해 사용하더라도 수학자들이 철학자에게 맡기는 철학적 문제입니다.

이 접근법은 "논리" (즉, 허용된 추론하는 규칙의 집합), 정리, 증명, 등을 수학적 대상으로 고려하고, 이것들에 대한 정리를 입증하는 것을 허용합니다. 예를 들어, 괴델의 불완전성 정리(Gödel's incompleteness theorems)는, 대략적으로 말하자면, 자연수를 포함하는 모든 각 일관된 형식 시스템에서, 참 (더 강력한 시스템에서는 입증-가능)이지만 시스템 내부에서는 입증될 수 없는 정리가 있다고 주장합니다.[57] 수학의 토대에 대한 이러한 접근 방식은 20세기 전반부 동안 브라우어르(Brouwer)가 이끄는 수학자에 의해 도전을 받았으며, 그는 제외된 중간의 법칙(law of excluded middle)이 명시적으로 결여된 직관적 논리(intuitionistic logic)를 조장했었습니다.[58][59]

이들 문제와 논쟁은 모델 이론 (다른 이론 내에서 일부 논리 이론을 모델링), 증명 이론, 유형 이론, 계산-가능성 이론, 및 계산 복잡성 이론과 같은 하위 영역으로 수학적 논리의 광범위한 확장으로 이어졌습니다. 비록 수학적 논리의 이들 관점이 컴퓨터가 등장하기 전에 도입되었지만, 컴파일러 설계, 프로그램 인증, 증명 보조도구, 및 컴퓨터 과학의 다른 측면에서의 사용은 차례로 이들 논리적 이론의 확장에 기여했습니다.[60]

Statistics and other decision sciences

Main article: Statistics
Whatever the form of a random population distribution (μ), the sampling mean (x̄) tends to a Gaussian distribution and its variance (σ) is given by the central limit theorem of probability theory.[61]

통계학의 분야는 수학적 방법, 특히 확률 이론(probability theory)을 기반으로 한 절차를 사용하여 데이터 표본의 수집과 처리에 사용되는 일종의 수학적 응용입니다. 통계학자는 무작위 표본화(random sampling) 또는 무작위 실험(experiments)을 통해 데이터를 생성합니다.[62] 통계학적 표본 또는 실험의 설계는 사용될 해석적 방법을 결정합니다. 관찰 연구(observational studies)에서 데이터의 분석은 모델 선택(model selection)과 추정(estimation)을 사용하는, 통계적 모델(statistical models)과 추론(inference)의 이론을 사용하여 수행됩니다. 모델과 그에 따른 예측(predictions)은 그런-다음 새로운 데이터(new data)에 대해 테스트되어야 합니다.[d]

통계적 이론(Statistical theory)은 예를 들어 매개변수 추정, 가설 테스트, 및 최상을 선택하는 것에서 절차를 사용하는 것과 같은 통계적 동작의 위험 (예상된 손실)을 최소화하는 것과 같은 결정 문제(decision problems)를 연구합니다. 수학적 통계(mathematical statistics)의 이들 전통적인 영역에서, 통계적-결정 문제는 특정 제약 조건: 예를 들어, 주어진 신뢰 수준을 갖는 모집단 평균ㅇ르 추정하는 데 비용을 최소화하는 것을 종종 포함하는 설문 조사의 설계 아래에서, 예상된 손실 또는 비용과 같은 목적 함수(objective function)를 최소화함으로써 형식화됩니다.[63] 최적화(optimization)를 사용하기 때문에, 통계의 수학적 이론은 운영 연구(Operations research), 제어 이론(control theory), 및 수학적 경제학(mathematical economics)과 같은 다른 의사 결정 과학(decision sciences)과 겹칩니다.[64]

Computational mathematics

Main article: Computational mathematics

계산 수학은 전형적으로 인간의 수치적 능력에 비해 너무 큰 수학적 문제(mathematical problems)의 연구입니다.[65][66] 수치 해석학(Numerical analysis)은 함수형 해석학(functional analysis)과 근사 이론(approximation theory)을 사용하는 해석학(analysis)에서 문제에 대한 방법을 연구합니다; 수치 해석학은 반올림 오차(rounding errors)에 특별히 중점을 둔 근사(approximation)와 이산화(discretization)의 연구를 광범위하게 포함합니다.[67] 수치 해석학과, 보다 광범위하게, 과학 컴퓨팅은 역시 수학적 과학의 비-해석적 주제, 특히 알고리듬-행렬-및-그래프-이론의 연구입니다. 계산 수학의 다른 영역은 컴퓨터 대수(computer algebra)와 기호적 계산(symbolic computation)을 포함합니다.

History

Main article: History of mathematics

Ancient

수학의 역사는 추상화(abstractions)의 끊임없이-증가하는 시리즈입니다. 진화론적으로 말하면, 이제까지 발견된 최초의 추상화, 많은 동물들에 의해 공유된 것은 아마도 숫자의 추상화일 것입니다:[68] 예를 들어, 두 개의 사과 모음과 두 개의 오렌지 모음이 (말하자면) 공통점이 있다는 것, 즉, 그것들의 두 개가 있다는 인식입니다. 뼈에서 발견된 탈리에 의해 알 수 있듯이, 물리적 대상을 세는 방법을 인식하는 것 외에도, 선사 시대 사람들은 시간—일, 계절, 또는 연도와 같은 추상적인 양을 세는 방법도 알고 있었을 것입니다.[69][70]

The Babylonian mathematical tablet Plimpton 322, dated to 1800 BC

더 복잡한 수학에 대한 증거는 바빌로니아인과 이집트인이 세무와 기타 재무 계산, 건물과 건축, 및 천문학에 대해 산술, 대수학, 및 기하학을 사용하기 시작할 때, 기원전 3000년경까지 나타나지 않았습니다.[71] 메소포타미아와 이집트에서 가장 오래된 수학 텍스트는 기원전 2000년에서 1800년 사이입니다. 많은 초기 문헌에서 피타고라스의 세-쌍(Pythagorean triples)을 언급하고 따라서, 추론에 의해, 피타고라스의 정리(Pythagorean theorem)는 기본 산술과 기하학 다음으로 가장 오래되고 널리 퍼진 수학적 개념인 것 같습니다. 기본 산술 (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 나눗셈)이 고고학 기록에 처음 등장한 것은 바빌로니아 수학입니다. 바빌로니아인들은 역시 자리-값 시스템을 보유하고 있었고 각도와 시간을 측정하기 위해 오늘날에도 여전히 사용되고 있는 육십진 숫자-표시 시스템을 사용했습니다.[72]

기원전 6세기에, 그리스 수학은 별개의 학문으로 부상하기 시작했고 피타고라스 학파와 같은 일부 고대 그리스인들은 수학을 그 자체로 하나의 주제로 고려했던 것으로 보입니다.[73] 기원전 300년경, 유클리드는 공준과 첫 번째 원리를 통해 수학적 지식을 체계화했으며, 이는 오늘날 수학에서 사용되는 정의, 공리, 정리, 및 증명으로 구성된 공리적 방법(axiomatic method)으로 발전했습니다.[74] 그의 저서, 원론(Elements)은 역사상 가장 성공적이고 영향력 있는 교과서로 널리 알려져 있습니다.[75] 고대의 가장 위대한 수학자는 종종 시러큐스(Syracuse)의 아르키메데스 (기원전 약 287–212년)로 여겨집니다.[76] 그는 회전 고체(solids of revolution)의 표면 넓이와 부피를 계산하는 데 공식을 개발했었고 현대 미적분과 크게 다르지 않은 방식으로 무한 급수의 합으로 포물선(parabola)의 호 아래 넓이를 계산하기 위해 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용했습니다.[77] 그리스 수학의 다른 주목할 만한 업적은 원뿔 단면 (페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga), 기원전 3세기),[78] 삼각법 (니케아의 히파르코스(Hipparchus of Nicaea), 기원전 2세기),[79] 대수학의 시작(디오판토스(Diophantus), 기원후 3세기)입니다.[80]

The numerals used in the Bakhshali manuscript, dated between the 2nd century BC and the 2nd century AD

오늘날 전 세계적으로 사용되는, 힌두-아라비아 숫자-표시 시스템과 그 연산의 사용에 대한 규칙은 기원후 1000년 동안 인도에서 발전했었고 이슬람 수학을 통해 서구 세계로 전파되었습니다.[81] 인도 수학의 다른 주목할만한 발전은 사인(sine)과 코사인(cosine)의 현대적 정의와 근사, 및 초기 형식의 무한 급수(infinite series)를 포함합니다.[82][83]

Medieval and later

A page from al-Khwārizmī's Algebra

이슬람의 황금 시대(Golden Age of Islam), 특히 9세기와 10세기 동안, 수학은 그리스 수학을 기반으로 하는 많은 중요한 혁신을 보였습니다. 이슬람 수학(Islamic mathematics)의 가장 주목할만한 업적은 대수학(algebra)의 발전이었습니다. 이슬람 기간의 다른 업적은 구면 삼각법(spherical trigonometry)의 발전과 아라비아 숫자-표시 시스템에 십진 점(decimal point)의 추가를 포함합니다.[84] 이 시기로부터 많은 유명한 수학자들은 알-콰리즈미(Al-Khwarizmi), 오마르 카이얌(Omar Khayyam), 및 샤라프 알-딘 알-천(Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī)와 같은 페르시아 사람들이었습니다.[85]

초기 현대 기간 동안, 수학은 서유럽에서 가속화되는 걸음으로 발전하기 시작했으며, François Viète (1540–1603)에 의한 변수(variables)와 기호적 표기법(symbolic notation)의 도입, 기하학(geometry)을 대수학(algebra)으로 줄이기 위해 René Descartes (1596–1650)에 의한 좌표(coordinates)의 도입, 및 17세기에 Isaac Newton (1642–1726/27)과 Gottfried Leibniz (1646–1716)에 의한 미적분(calculus)의 개발과 같은 수학에 혁명을 일으켰던 혁신이 있었습니다. Leonhard Euler (1707–1783), 18세기의 가장 저명한 수학자는 이들 혁신을 표준화된 용어로 단일 말뭉치로 통합하고, 그것들을 수많은 정리의 발견과 증명으로 완성했습니다. 아마도 19세기 최고의 수학자는 독일 수학자 Carl Gauss였으며, 그는 대수학(algebra), 해석학(analysis), 미분 기하학(differential geometry), 행렬 이론(matrix theory), 숫자 이론(number theory), 및 통계학(statistics)과 같은 분야에 수많은 공헌을 했습니다.[86] 20세기 초에, Kurt Gödel은 그의 불완전성 정리(incompleteness theorems)를 발표함으로써 수학을 변형시켰으며, 이는 임의의 일관된 공리적 시스템—산술을 설명할 수 있을 만큼 강력하다면—이 입증될 수 없는 참 명제를 포함할 것임을 부분적으로 보여줍니다.[57]

수학은 그 이후 크게 확장되어 왔고, 양 측의 이득을 위해 수학과 과학(science) 사이에 유익한 상호 작용이 있어 왔습니다. 수학적 발견은 오늘날에도 계속 만들어지고 있습니다. 미하일 세브리크(Mikhail B. Sevryuk)에 따르면, 2006년 1월 미국 수학 협회의 게시판(Bulletin of the American Mathematical Society)의 이슈에서, "1940 년 (MR의 운영의 첫 해) 이후 수학적 리뷰(Mathematical Reviews) 데이터베이스에 포함된 논문 및 책의 숫자는 현재 백구십만 개 이상이고, 매년 7만 5천개 이상의 항목이 매년 데이터베이스에 추가됩니다. 이 외양에 있는 연구의 압도적인 다수는 새로운 수학적 정리(theorem)와 그의 증명(proofs)을 포함합니다."[87]

Symbolic notation and terminology

Main articles: Mathematical notation, Language of mathematics, and Glossary of mathematics
An explanation of the sigma (Σ) summation notation

수학적 표기법은 복잡한 개념(concepts)과 속성(properties)을 간결하고, 명확하고, 정확한 방법으로 표현하기 위해 과학(science)과 공학(engineering)에서 널리 사용됩니다. 이 표기법은 연산, 불특정 숫자, 관계 및 기타 수학적 대상을 나타내는 데 사용되는 기호로 구성되고, 그런-다음 그것들을 표현(expressions)과 형식(formulas)으로 조립합니다.[88] 보다 정확하게, 숫자와 기타 수학적 대상은 일반적으로 라틴어 또는 그리스 문자이고, 종종 아래-첨자를 포함하는 변수(variables)라고 불리는 기호에 의해 표시됩니다. 연산과 관계는 일반적으로 + (덧셈), × (곱셈), (적분), = (상등), < (보다 작음)과 같은[89] 특정 기호 또는 상형-문자에 의해 표시됩니다.[90] 모든 이들 기호는 일반적으로 특정 규칙에 따라 표현과 형식을 형성하기 위해 그룹화됩니다.[91] 통상적으로, 표현과 형식은 단독으로 나타나지 않고, 현재 언어의 문장에 포함되며, 여기서 표현이 명사구의 역할을 하고 형식은 절의 역할을 합니다.

수학은 다양한 추상적이고, 이상화된 대상의 속성과 그것들이 상호 작용하는 방법을 연구하는 광범위한 분야를 포괄하는 풍부한 용어를 개발해 왔습니다. 그것은 의사소통을 위한 표준 토대를 제공하는 엄격한 정의(definitions)를 기반으로 합니다. 공리 또는 공준(postulate)은 증명의 필요 없이 참으로 취해지는 수학적 명제입니다. 만약 수학적 명제가 아직 입증(또는 반증)되지 않았으면, 그것은 추측(conjecture)이라고 이름-짓습니다. 연역적 추론(deductive reasoning)을 사용하는 일련의 엄격한 논증을 통해, 참으로 입증된 명제는 정리(theorem)가 됩니다. 주로 또 다른 정리를 입증하기 위해 사용되는 특수한 정리는 보조-정리(lemma)라고 불립니다. 보다 일반적인 발견의 일부를 형성하는 입증된 사례는 따름정리(corallary)라고 불립니다.[92]

수학에서 사용되는 수많은 기술 용어는 다항식(polynomial) 및 위상-동형(homeomorphism)과 같은 신조어(neologism)입니다.[93] 다른 기술 용어는 공통적인 의미와 약간 다를 수 있는 정확한 의미로 사용되는 공통적인 언어의 단어입니다. 예를 들어, 수학에서 "또는"은 "하나, 다른 하나 또는 둘 다"를 의미하는 반면, 공통 언어에서는, 그것은 모호하거나 "하나 또는 다른 하나이지만 둘 다는 아님"을 의미합니다 (수학에서, 후자는 "배타적 또는(exclusive or)"이라고 불립니다). 마지막으로, 많은 수학적 용어는 완전하게 다른 의미로 사용되는 공통적인 단어입니다.[94] 이것은 정확하고 참된 수학적 주장인 문장으로 이어질 수 있지만, 필요한 배경 지식을 가지지 않는 사람들에게는 말도 안 되는 것처럼 보일 수 있습니다. 예를 들어, "모든 각 자유 모듈은 플랫입니다" 및 "필드는 항상 링입니다".

Relationship with science

수학은 과학에서 현상을 모델링(modeling)하는 데 사용되며, 이는 그런-다음 실험 법칙에서 만들어진 예측을 허용합니다.[95] 임의의 실험으로부터 수학적 진리의 독립성은 그러한 예측의 정확성이 모델의 적합성에 달려 있다는 것을 의미합니다.[96] 잘못된 수학적 개념으로 인한 것이 아니라, 부정확한 예측은 사용된 수학적 모델을 변경해야 함을 의미합니다.[97] 예를 들어, 수성의 근일점 세차(perihelion precession of Mercury)는 더 나은 수학적 모델로서 뉴턴의 중력 법칙을 대체했던 아인슈타인의 일반 상대성의 출현 후에야 설명될 수 있었습니다.[98]

수학이 과학인지에 대한 철학적 논쟁은 여전히 ​​있습니다. 어쨌든, 실제로, 수학자들은 전형적으로 과학자들과 그룹화되고, 수학은 물리적 과학과 많은 공통 점을 공유합니다. 그것들처럼, 반증-가능(falsifiable)인데, 이는 수학에서 결과나 이론이 틀렸으면, 이것은 반대-예제(counterexample)를 제공함으로써 입증될 수 있음을 의미합니다. 과학에서와 마찬가지로, 이론(theories)과 결과 (정리)는 종종 실험(experimentation)을 통해 얻습니다.[99] 수학에서, 실험은 선택한 예제에 대한 계산 또는 그림의 연구 또는 수학적 대상의 다른 표현 (종종 물리적 지원 없이 마음 표현)으로 구성될 수 있습니다. 예를 들어, 가우스 (19세기의 가장 위대한 수학자 중 한 명)는 자신의 정리를 어떻게 하게 되었느냐는 질문에, "durch planmässiges Tattonieren" (시스템적인 실험을 통해)라고 답한 적이 있습니다.[100] 어쨌든, 일부 저자는 수학이 경험적 증거(empirical evidence)에 의존하지 않는다는 점에서 과학의 현대 개념과 다르다고 강조합니다.[101][102][103][104]

Pure and applied mathematics

Main articles: Applied mathematics and Pure mathematics
Isaac Newton
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Isaac Newton (left) and Gottfried Wilhelm Leibniz developed infinitesimal calculus.

19세기까지, 서양에서 수학의 발전은 주로 기술(technology)과 과학(science)의 필요에 의해 동기 부여되었고, 순수 수학과 응용 수학 사이에 명확한 구분이 없었습니다.[105] 예를 들어, 자연수와 산술은 계산의 필요성 때문에 도입되었고, 기하학은 측량(surveying), 건축(architecture), 및 천문학(astronomy)에 의해 동기 부여되었습니다. 나중에 아이작 뉴턴(Isaac Newton)은 그의 중력의 법칙(law of gravitation)과 함께 행성의 운동을 설명하기 위해 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)을 도입했습니다. 게다가, 대부분의 수학자들은 과학자이기도 했고, 많은 과학자들이 수학자이기도 했습니다.[106] 어쨌든, 고대 그리스의 순수 수학의 전통에서 주목할만한 예외가 발생했습니다.[107]

19세기에서, 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)와 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)와 같은 수학자들은 점차 내부 문제, 즉, 순수 수학에 대한 연구에 집중했습니다.[105][108] 이것은 수학을 순수 수학과 응용 수학으로 나누는 것으로 이어졌고, 후자는 종종 수학적 순수주의자들 사이에서 더 낮은 가치를 가지는 것으로 고려되었습니다. 어쨌든, 둘 사이의 경계는 자주 흐려집니다.[109]

제2차 세계대전의 여파로 미국과 다른 지역에서 응용 수학의 발전이 급증했습니다.[110][111] 20세기 후반 동안, 응용을 위해 개발된 많은 이론이 순수 수학의 관점에서 흥미로웠고, 순수 수학의 많은 결과가 수학 외부에 응용되는 것으로 나타났습니다; 차례로, 이들 응용에 대한 연구는 "순수 이론"에 대한 새로운 통찰력을 제공할 수 있습니다.

첫 번째 경우의 예제는 양자 역학(quantum mechanics)에서 수행된 계산을 검증하기 위해 로랑 슈바르츠(Laurent Schwartz)에 의해 도입된 분포의 이론으로, 즉시 (순수) 수학적 해석학의 중요한 도구가 되었습니다.[112] 두 번째 경우의 예제는 알프레트 타르스키(Alfred Tarski)에 의해 참으로 증명되었던 순수 수학의 문제, 실수의 일-차 이론의 결정-가능성으로, 너무 높은 계산 복잡도로 인해 구현이 불가능한 알고리듬(algorithm)을 가집니다.[113] 구현될 수 있고 다항 방정식과 부등식의 시스템을 풀 수 있는 알고리듬을 얻기 위해, 조지 콜린스(George Collins)는 실수 대수적 기하학(real algebraic geometry)의 기본 도구가 된 원통형 대수적 분해(cylindrical algebraic decomposition)를 도입했습니다.[114]

오늘날, 순수 수학과 응용 수학의 구분은 수학을 넓은 분야로 나누는 것보다 수학자 개인의 연구 목적에 따른 문제입니다.[115][116] 수학 주제 분류(Mathematics Subject Classification)는 "순수 수학"도 "응용 수학"도 언급되어 있지 않습니다. 어쨌든, 이들 용어는 케임브리지 대학교(University of Cambridge)에 있는 수학 학부(Faculty of Mathematics)와 같은 일부 대학교 학과의 이름에서 여전히 사용됩니다.

Unreasonable effectiveness

수학의 비합리적인 효율성(unreasonable effectiveness of mathematics)은 물리학자 유진 위그너(Eugene Wigner)에 의해 이름-지어지고 처음 명시한 현상입니다.[7] 많은 수학적 이론, 심지어 "가장 순수한" 이론도 그것들의 초기 대상 외부에 응용을 가진다는 사실입니다. 이들 응용은 수학의 그것들의 초기 영역을 완전히게 벗어날 수 있고, 수학 이론이 도입되었을 때 완전하게 알려지지 않은 물리적 현상과 관련될 수 있습니다.[117] 수학 이론의 예상치 못한 응용의 예제는 수학의 많은 영역에서 찾을 수 있습니다.

주목할만한 예제는 RSA 암호 시스템을 통해 보안 인터넷(internet) 통신에 대해 공통적인 사용 전에 2,000년 이상 전에 발견되었던 자연수의 소수 인수분해입니다.[118] 두 번째 역사적 예제는 타원(ellipses) 이론입니다. 그것들은 고대 그리스 수학자에 의해 원뿔 단면 (즉, 원뿔과 평면의 교차점)으로 연구되었습니다. 요하네스 케플러(Johannes Kepler)가 행성의 궤적이 타원임을 발견한 것은 거의 2,000년 후입니다.[119]

19세기에 기하학 (순수 수학)의 내적 발전은 비-유클리드 기하학, 삼 차원보다 높은 차원의 공간과 매니폴드를 정의하고 연구하게 되었습니다. 그 당시에, 이들 개념은 물리적 현실과 완전히 동떨어진 것처럼 보였지만, 20세기 초에, 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)은 이들 개념을 근본적으로 사용한 상대성 이론(theory of relativity)을 발전시켰습니다. 특히, 특수 상대성(special relativity)의 시공간은 4-차원의 비-유클리드 공간이고, 일반 상대성의 시공간은 4-차원의 (곡선화된) 매니폴드입니다.[120][121]

수학과 물리학 사이의 상호 작용의 두드러진 측면은 수학이 물리학에서 연구를 주도할 때입니다. 이것은 양전자(positron)와 바리온(baryon) 의 발견으로 설명됩니다. 두 경우 모두에서, 이론의 방정식은 설명될 수 없는 해를 가졌으며, 이는 미지의 입자(particle)의 존재를 추측하고, 이들 입자를 탐색하게 되었습니다. 두 경우 모두에서, 이들 입자는 특정 실험을 통해 몇 년 후 발견되었습니다.[122][123][124]

Philosophy

Main article: Philosophy of mathematics

Reality

수학과 물질적 현실 사이의 연결은 적어도 피타고라스(Pythagoras) 시대 이후로 철학적 논쟁을 불러일으켜 왔습니다. 고대 철학자 플라톤(Plato)은 물질적 현실을 반영하는 추상화(abstractions) 자체가 시간과 공간 외부에 존재하는 현실을 가지고 있다고 주장했습니다. 그 결과, 수학적 대상(mathematical objects)이 추상적으로 어떻게든 독자적으로 존재한다는 철학적 견해는 종종 플라톤주의(Platonism)라고 참조됩니다. 가능한 철학적 의견과는 별개로, 현대 수학자들은 연구의 대상을 실제 대상으로 생각하고 이야기하기 때문에 일반적으로 플라톤주의자로 고려될 수 있습니다.[125]

아르망 보렐(Armand Borel)은 수학 현실의 이러한 견해를 다음과 같이 요약하고, 그의 견해를 뒷받침하는 G. H. Hardy, Charles Hermite, Henri Poincaré 및 Albert Einstein의 인용문을 제공했습니다:[122]

어떤 것이 우리 마음 속에 있는 것과 같은 형식으로 다른 사람의 마음 속에 존재하고 우리가 그것에 대해 함께 생각하고 토론할 수 있다고 확신하는 순간 ("주관적"이 아닌) 객관적이 됩니다.[126] 수학의 언어는 매우 정밀하기 때문에, 그러한 합의가 존재한다는 개념을 정의하는 데 이상적으로 적합합니다. 내 생각에, 그것은 우리에게 객관적인 존재, 수학의 현실에 대한 느낌을 제공하기에 충분합니다 ...

그럼에도 불구하고, 플라톤주의와 추상화(abstraction)에 대한 동시적 견해는 수학의 비합리적인 효율성(unreasonable effectiveness)을 설명하지 않습니다.[127]

Proposed definitions

Main article: Definitions of mathematics

수학의 정의 또는 수학의 인식론적 지위(epistemological status)—즉 다른 인간 활동 중에서 수학의 위치에 대한 일반적인 합의는 없습니다.[128][129] 많은 전문 수학자들이 수학의 정의에 관심이 없거나, 정의할 수 없는 것으로 생각합니다.[128] 심지어 수학이 예술인지 과학인지에 대한 합의조차 없습니다.[129] 어떤 사람들은 그냥 "수학은 수학자가 하는 일이다"라고 말합니다.[128] 이것은 무엇이 수학이고 무엇이 수학이 아닌지에 대해 그들 사이에 강한 합의가 있기 때문에 이치에 맞습니다. 대부분의 제안된 정의는 연구 대상에 의해 수학을 정의하려고 시도합니다.[130]

아리스토텔레스(Aristotle)는 수학을 "수량의 과학"으로 정의했었고 이 정의는 18세기까지 널리 퍼졌습니다. 어쨌든, 아리스토텔레스는 양에만 초점을 맞추는 것이 수학을 물리학과 같은 과학과 구별하지 못할 수도 있다고 지적했습니다; 그의 관점에서, 실제 사례 집합과 "생각에서 분리할 수 있는" 속성으로서의 추상화와 연구하는 수량은 수학을 차별화합니다.[131] 19세기에, 수학자들이 물리적 현실과 명확한 관계를 가지는 않는 무한 집합과 같은 주제를 다루기 시작했을 때, 다양한 새로운 정의가 주어졌습니다.[132] 20세기 초부터 등장했고 계속해서 등장하는 수많은 수학의 새로운 영역과 함께, 수학을 이러한 연구의 대상에 의해 정의하는 것은 불가능한 일이 되었습니다.

수학을 정의하는 또 다른 접근법은 그 방법을 사용하는 것입니다. 따라서, 그 타당성이 증명에 의존하는, 즉 순전하게-논리적인 추론에 의존하는 주장인 정리(theorems)를 입증할 수 있는 즉시 연구 영역이 수학으로 인정될 수 있습니다.[133]

Rigor

See also: Logic

수학적 추론은 엄격함(rigor)을 요구합니다. 이것은 정의가 절대적으로 모호하지 않아야 하고 증명(proofs)이 경험적 증거와 직관의 임의의 사용 없이 추론 규칙(inference rules)의 연속적인 적용으로[e] 축소될 수 있어야 함을 의미합니다.[f][134] 엄격한 추론은 수학에만 국한되지 않지만, 수학에서, 엄격함의 표준은 어떤 다른 곳보다 훨씬 높습니다. 수학의 간결함에도 불구하고, 엄격한 증명은 표현하기 위해 수백 페이지가 필요할 수 있습니다. 컴퓨터-지원 증명(computer-assisted proofs)의 출현은 255 페이지의 파이트–톰프슨 정리(Feit–Thompson theorem)와 같이[g] 증명 길이가 더욱 확장되었습니다.[h][135] 이러한 추세의 결과는 무-오류로 고려될 수는 없지만 그에 첨부된 가능성을 가지는 유사-경험주의자(quasi-empiricist) 증명의 철학입니다.[10]

수학에서 엄격함의 개념은 고대 그리스로 거슬러 올라가며, 여기서 그들의 사회는 논리적이고, 연역적인 추론을 장려했습니다. 어쨌든, 이러한 엄격한 접근 방식은 무리수와 무한대 개념과 같은 새로운 접근 방식의 탐색을 방해하는 경향이 있었을 것입니다. 엄격한 증명을 시연하는 방법은 기호적 표기법의 사용을 통한 16세기에 향상되었습니다. 18세기에, 사회적 변화는 수학자들을 가르침을 통해 생계를 유지하도록 이끌었고, 이는 수학의 놓여있는 개념에 대해 더 신중하게 생각하도록 이끌었습니다. 이것은 기하학 방법에서 대수학과 그런-다음 산술 증명으로 전환하는 동안 더 엄격한 접근 방식을 생성했습니다.[10]

19세기 말에, 수학의 기본 개념에 대한 정의가 역설 (비-유클리드 기하학과 바이어스트라스 함수)과 모순 (러셀의 역설)을 피할 만큼 정확하지 않은 것으로 나타났습니다. 이것은 수학적 이론의 묵시적(apodictic) 추론 규칙을 갖는 공리(axioms); 고대 그리스인들에 의해 개척된 공리적 방법(axiomatic method)의 재-도입를 포함함으로써 해결되었습니다.[10] 그 결과, "엄밀함"은 더 이상 수학에서 관련 개념이 아닌데, 왜냐하면 증명은 정확하거나 잘못된 것 중 하나이고, "엄격한 증명"은 단순히 pleonasm이기 때문입니다. 엄격함의 특별한 개념이 작용하는 곳은 증명의 사회화된 측면에서, 다른 수학자들에 의해 명백히 반박될 수 있는 곳입니다. 증명이 수년 또는 수십 년 동안 승인된 후에는, 그것은 신뢰할 수 있는 것으로 고려될 수 있습니다.[136]

그럼에도 불구하고, "엄격함"의 개념은 수학적 증명이 무엇인지 초보자에게 가르치는 데 여전히 유용할 수 있습니다.[137]


Psychology (aesthetic, creativity and intuition)

수학적 정리의 타당성은 이론적으로 컴퓨터 프로그램(computer program)에 의해 자동으로 수행될 수 있는 그 증명의 엄격함에만 의존합니다. 이것이 수학적 작업에 창의성의 여지가 없다는 것을 의미하지는 않습니다. 반대로, 많은 중요한 수학적 결과 (정리)는 다른 수학자들이 풀지 못한 문제의 해결책이고, 그것들을 해결하기 위한 방법의 발명은 해결 과정의 근본적인 방법일 수 있습니다.[138][139] 극단적인 예제는 아페리의 정리(Apery's theorem)입니다: 로저 아페리(Roger Apéry)는 증명을 위한 아이디어만 제공했고, 정식 증명은 불과 몇 달 후에 다른 세 명의 수학자에 의해 제공되었습니다.[140]

창의성과 엄격함은 수학자 활동의 유일한 심리적 측면이 아닙니다. 일부 수학자들은 자신의 활동을 게임으로, 보다 구체적으로는 퍼즐을 푸는 것으로 볼 수 있습니다.[141] 수학적 활동의 이러한 측면은 레크리에이션 수학(recreational mathematics)에서 강조됩니다.

수학자들은 수학에 대한 미학적 가치를 찾을 수 있습니다. 아름다움과 마찬가지로, 그것은 정의하기 어렵고, 공통적으로 단순성, 대칭성, 완전성, 및 일반성과 같은 속성을 포함하는 우아함과 관련이 있습니다. A Mathematician's Apology에서 G. H. Hardy는 미학적 고려 사항이 그 자체로 순수 수학의 연구를 정당화하기에 충분하다는 믿음을 표현했습니다. 그는 역시 수학적 미학에 기여하는 중요성, 의외성, 및 필연성과 같은 다른 기준을 식별했습니다.[142] Paul Erdős는 가장 아름다운 증명의 제안된 신성한 모음집, "The Book"에 대해 말함으로써 이러한 감정을 더욱 아이러니하게 표현했습니다. Erdős에 의해 영감을 받은 1998년 책 Proofs from THE BOOK은 특히 간결하고 계시적인 수학적 논증의 모음입니다. 포함된 특히 우아한 결과의 일부 예제는 무한하게 많은 소수가 있다는 유클리드의 증명과 조화 해석(harmonic analysis)을 위한 빠른 푸리에 변환(fast Fourier transform)입니다.[143]

일부 사람들은 수학을 과학으로 고려하는 것은 7개의 전통적인 교양 과목(liberal arts)에서 수학의 예술성과 역사를 경시하는 것이라고 생각합니다.[144] 이러한 관점의 차이가 나타나는 한 가지 방법은 수학적 결과가 (예술에서 처럼) 생성되는지 또는 (과학에서 처럼) 발견되는지에 대한 철학적 논쟁에서 나타납니다.[122] 레크리에이션 수학(recreational mathematics)의 인기는 많은 사람들이 수학 문제를 푸는 데서 찾는 즐거움의 또 다른 신호입니다.

20세기에, 수학자 L. E. J. Brouwer는 직관주의(intuitionism)로 알려진 철학적 관점을 시작하기도 했으며, 이는 주로 수학을 마음 속의 특정 창의적 과정과 동일시합니다.[145] 직관주의는 차례로 논리에 의해 간접적으로 보장되는 것이 아니라 직접 구성될 수 있는 경우에만 수학적 대상을 유효한 것으로 고려하는 구성주의(constructivism)로 알려진 입장의 한 가지 특징입니다. 이것은 헌신적인 구성주의자들을 특정 결과, 특히 제외된 중간의 법칙(law of excluded middle)에 기초한 실존적 증명(existential proofs)과 같은 주장을 거부하도록 이끕니다.[146]

결국, 구성주의도 직관주의도 고전적 수학(classical mathematics)을 대체하거나 주류 수용을 달성하지 못했습니다. 어쨌든, 이들 프로그램은 직관적 논리(intuitionistic logic)와 기타 토대적 통찰력과 같은 특정 개발에 동기를 부여했으며, 이는 그 자체로 높게 평가됩니다.[146]

Education

Main article: Mathematics education

수학은 문화적 경계와 시대를 넘나드는 놀라운 능력을 가지고 있습니다. 인간의 활동으로서, 수학의 실천은 교육, 진로, 인정, 대중화, 등 사회적 측면을 가지고 있습니다. 교육에서 수학은 커리큘럼의 핵심 부분입니다. 과정의 내용은 다양하지만, 세계의 많은 국가에서 상당한 시간 동안 학생들에게 수학을 가르칩니다.[147]

수학을 공부하는 일부 학생들은 해당 과목의 성과에 대해 걱정이나 두려움을 갖게 될 수 있습니다. 이것은 수학 불안 또는 수학 공포증으로 알려져 있고, 학업 수행에 영향을 미치는 가장 두드러진 장애로 여깁니다. 수학 불안은 부모와 교사의 태도, 사회적 고정관념, 및 개인적 특성과 같은 다양한 요인으로 인해 발생할 수 있습니다. 불안에 대처하는 데 도움이 되는 것은 교육적 접근 방식의 변화, 부모 및 교사와의 상호 작용, 및 개인에 맞는 맞춤 치료를 통해 얻을 수 있습니다.[148]

Awards and prize problems

Main category: Mathematics awards
The front side of the Fields Medal with an illustration of the Greek polymath Archimedes

수학에서 가장 권위 있는 상은 1936년에 제정되어 4년마다 (제2차 세계 대전 전후를 제외하고) 최대 4명의 개인에게 수여되는 필즈 메달(Fields Medal)입니다.[149][150][151][152] 그것은 노벨상과 수학적으로 동등한 것으로 고려됩니다.[152]

다른 권위 있는 수학 상은 다음을 포함합니다:[153]

"힐베르트의 문제"라고 불리는 유명한 23 개의 열린 문제의 목록은 1900년 독일의 수학자 다비트 힐베르트(David Hilbert)에 의해 수집되었습니다.[161] 이 목록은 수학자 사이에서 큰 명성을 얻었고,[162] 2022년 당시, 최소 13 개의 문제 (해석 방법에 따라 다름)가 해결되어 왔습니다.[163]

"밀레니엄 상 문제"라는 제목의 7가지 중요한 문제의 새로운 목록이 2000년에 발표되었습니다. 그들 중 유일한 하나, 리만 가설(Riemann hypothesis)이 힐베르트의 문제 중 하나와 중복됩니다. 이들 문제 중 아무 것에 대한 해결책은 100만 달러의 상금을 수반합니다.[164] 현재까지, 이러한 문제 중 유일한 하나, 푸앵카레 추측(Poincaré conjecture)이 해결되었습니다.[165]

See also

Notes

  1. ^ Here, algebra is taken in its modern sense, which is, roughly speaking, the art of manipulating formulas.
  2. ^ This includes conic sections, which are intersections of circular cylinders and planes.
  3. ^ However, some advanced methods of analysis are sometimes used; for example, methods of complex analysis applied to generating series.
  4. ^ Like other mathematical sciences such as physics and computer science, statistics is an autonomous discipline rather than a branch of applied mathematics. Like research physicists and computer scientists, research statisticians are mathematical scientists. Many statisticians have a degree in mathematics, and some statisticians are also mathematicians.
  5. ^ This does not mean to make explicit all inference rules that are used. On the contrary, this is generally impossible, without computers and proof assistants. Even with this modern technology, it may take years of human work for writing down a completely detailed proof.
  6. ^ This does not mean that empirical evidence and intuition are not needed for choosing the theorems to be proved and to prove them.
  7. ^ The book containing the complete proof has more than 1,000 pages.
  8. ^ For considering as reliable a large computation occurring in a proof, one generally requires two computations using independent software

References

  1. ^ a b "mathematics, n.". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. Retrieved June 16, 2012. The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis.
  2. ^ Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. pp. 4. ISBN 0-486-41712-3. Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.
  3. ^ LaTorre, Donald R.; Kenelly, John W.; Biggers, Sherry S.; Carpenter, Laurel R.; Reed, Iris B.; Harris, Cynthia R. (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. p. 2. ISBN 1-4390-4957-2. Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.
  4. ^ Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. p. 2.10. ISBN 0-07-066753-5. The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.
  5. ^ Hipólito, Inês Viegas (2015). "Abstract Cognition and the Nature of Mathematical Proof" (PDF). In Kanzian, Christian; Mitterer, Josef; Neges, Katharina (eds.). Realism – Relativism – Constructivism. 38th International Wittgenstein Symposium, August 9–15, 2015. Kirchberg am Wechsel, Austria. Austrian Ludwig Wittgenstein Society. pp. 132–134. Retrieved 2022-11-05. (at ResearchGate)
  6. ^ Peterson 2001, p. 12.
  7. ^ a b Wigner, Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences". Communications on Pure and Applied Mathematics. 13 (1): 1–14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. Archived from the original on February 28, 2011.
  8. ^ Wise, David. "Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion". jwilson.coe.uga.edu. Archived from the original on June 1, 2019. Retrieved October 26, 2019.
  9. ^ Alexander, Amir (2011). "The Skeleton in the Closet: Should Historians of Science Care about the History of Mathematics?". Isis. 102 (3): 475–480. doi:10.1086/661620. PMID 22073771. S2CID 21629993.
  10. ^ a b c d e f Kleiner, Israel (December 1991). "Rigor and Proof in Mathematics: A Historical Perspective". Mathematics Magazine. 64 (5). Taylor & Francis, Ltd.: 291–314. doi:10.1080/0025570X.1991.11977625. JSTOR 2690647.
  11. ^ "mathematic (n.)". Online Etymology Dictionary. Archived from the original on March 7, 2013.
  12. ^ Both meanings can be found in Plato, the narrower in Republic. 510c. Archived February 24, 2021, at the Wayback Machine, but Plato did not use a math- word; Aristotle did, commenting on it. μαθηματική. Liddell, Henry George; Scott, Robert; A Greek–English Lexicon at the Perseus Project. OED Online. Mathematics.
  13. ^ Perisho, Margaret W. (Spring 1965). "The Etymology of Mathematical Terms". Pi Mu Epsilon Journal. 4 (2): 62–66. JSTOR 24338341.
  14. ^ Boas, Ralph (1995) [1991]. "What Augustine Didn't Say About Mathematicians". Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories by the Late Ralph P. Boas, Jr. Cambridge University Press. p. 257.
  15. ^ The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary, sub "mathematics", "mathematic", "mathematics".
  16. ^ "maths, n." and "math, n.3". Oxford English Dictionary, on-line version (2012).
  17. ^ Bell, E. T. (2012). The Development of Mathematics. Dover Books on Mathematics (reprint, revised ed.). Courier Corporation. p. 3. ISBN 9780486152288.
  18. ^ Tiwari, Sarju (1992). Mathematics in History, Culture, Philosophy, and Science. Mittal Publications. p. 27. ISBN 9788170994046.
  19. ^ Restivo, S. (December 2013). Mathematics in Society and History. Springer Netherlands. pp. 14–15. ISBN 9789401129442.
  20. ^ Musielak, Dora (2022). Leonhard Euler and the Foundations of Celestial Mechanics. Springer International Publishing. pp. 1–183. ISBN 9783031123221.
  21. ^ Biggs, N. L. (May 1979). "The roots of combinatorics". Historia Mathematica. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.
  22. ^ a b Warner, Evan (2013). "Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics" (PDF). Columbia University. pp. 1–17. Retrieved 2022-11-04.
  23. ^ Dunne, Edward; Hulek, Klaus (March 2020). "Mathematics Subject Classification 2020" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 67 (3). Retrieved 2022-11-04.
  24. ^ LeVeque, William J. (January 5, 2014). Fundamentals of Number Theory. Dover Publications. pp. 1–30. ISBN 9780486141503.
  25. ^ Goldman, Jay (1997). The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory. CRC Press. pp. 1–3. ISBN 9781439864623.
  26. ^ Weil, André (2007). Number Theory, An Approach Through History From Hammurapi to Legendre. Birkhäuser Boston. pp. 1–3. ISBN 9780817645717.
  27. ^ Kleiner, Israel (February 2000). "From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem". Elemente der Mathematik. 55: 19–37. doi:10.1007/PL00000079. S2CID 53319514.
  28. ^ Wang, Yuan (2002). The Goldbach Conjecture. Series in pure mathematics. Vol. 4 (revised ed.). World Scientific. pp. 1–18. ISBN 9789812776600.
  29. ^ a b c Straume, Eldar (September 2014). "A Survey of the Development of Geometry up to 1870". ePrint. arXiv:1409.1140. Bibcode:2014arXiv1409.1140S.
  30. ^ Hilbert, David (1962). The Foundations of Geometry. Open Court Publishing Company. p. 1.
  31. ^ Hartshorne, Robin (November 11, 2013). Geometry: Euclid and Beyond. Springer New York. pp. 9–13. ISBN 9780387226767.
  32. ^ Boyer, Carl B. (June 28, 2012). History of Analytic Geometry. Dover Publications. pp. 74–102. ISBN 9780486154510.
  33. ^ Stump, David J. (1997). "Reconstructing the Unity of Mathematics circa 1900". Perspectives on Science. 5 (3): 383. doi:10.1162/posc_a_00532. S2CID 117709681.
  34. ^ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (February 1996). "Non-Euclidean geometry". MacTuror. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Retrieved 2022-11-06.
  35. ^ Joyner, D. (2008). Adventures in group theory: Rubik's Cube, Merlin's machine, and other mathematical toys (2nd ed.). Johns Hopkins University Press. pp. 219–232. ISBN 9780801890130.
  36. ^ Christianidis, Jean; Oaks, Jeffrey (May 2013). "Practicing algebra in late antiquity: The problem-solving of Diophantus of Alexandria". Historia Mathematica. 40 (2): 127–163. doi:10.1016/j.hm.2012.09.001.
  37. ^ Kleiner 2007, "History of Classical Algebra" pp. 3–5.
  38. ^ Lim, Lisa (December 21, 2018). "Where algebra got its x from, and Xmas its X". South China Morning Post. Retrieved August 9, 2022.
  39. ^ Oaks, J. A. (2018). "François Viète's revolution in algebra" (PDF). Archive for History of Exact Sciences. 72 (3): 245–302. doi:10.1007/s00407-018-0208-0. S2CID 125704699. Retrieved 2022-11-08.
  40. ^ Kleiner 2007, "History of Linear Algebra" pp. 79–101.
  41. ^ Corry, Leo (December 6, 2012). Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures. Birkhäuser Basel. pp. 247–252. ISBN 9783034879170.
  42. ^ Riche, Jacques (2007). Beziau, J. Y.; Costa-Leite, Alexandre (eds.). From Universal Algebra to Universal Logic. Italy: Polimetrica International Scientific. pp. 3–39. ISBN 9788876990779. {{cite book}}: |work= ignored (help)
  43. ^ Krömer, Ralph (2007). Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory. Science Networks. Historical Studies. Vol. 32. Springer Science & Business Media. pp. xxi–xxv, 1–91. ISBN 9783764375249.
  44. ^ Guicciardini, Niccolo (2017). "The Newton–Leibniz Calculus Controversy, 1708–1730" (PDF). In Schliesser, Eric; Smeenk, Chris (eds.). The Oxford Handbook of Newton. Oxford handbooks. Oxford University Press. doi:10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9. ISBN 9780199930418. Retrieved 2022-11-09.
  45. ^ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (September 1998). "Leonhard Euler". MacTutor. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Retrieved 2022-11-09.
  46. ^ Franklin, James (2017). "Discrete and continuous: a fundamental dichotomy in mathematics". Journal of Humanistic Mathematics. 7 (2): 355–378. doi:10.5642/jhummath.201702.18. S2CID 6945363. Retrieved 2022-11-10.
  47. ^ Maurer, Stephen B. (1997). Rosenstein, Joseph G.; Franzblau, Deborah S.; Roberts, Fred S. (eds.). What is Discrete Mathematics? The Many Answers. DIMACS: Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. Vol. 36. American Mathematical Society. pp. 121–124. ISBN 9780821885789. {{cite book}}: |work= ignored (help)
  48. ^ Downey, Rod (2014). Turing's Legacy: Developments from Turing's Ideas in Logic. Issue 42 of Lecture Notes in Logic. Cambridge University Press. pp. 260–261. ISBN 9781107043480.
  49. ^ Sipser, Michael (July 1992). The history and status of the P versus NP question. STOC '92: Proceedings of the twenty-fourth annual ACM symposium on Theory of Computing. pp. 603–618. doi:10.1145/129712.129771.
  50. ^ Ewald, William (November 17, 2018). "The Emergence of First-Order Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 2022-11-02.
  51. ^ Ferreirós, José (June 18, 2020). "The Early Development of Set Theory". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 2022-11-02.
  52. ^ Ferreirós, José (2001). "The Road to Modern Logic—An Interpretation" (PDF). Bulletin of Symbolic Logic. 7 (4): 441–484. doi:10.2307/2687794. hdl:11441/38373. JSTOR 2687794. S2CID 43258676. Retrieved 2022-11-11.
  53. ^ Wolchover, Natalie (December 3, 2013). "Dispute over Infinity Divides Mathematicians". Scientific American. Retrieved 2022-11-01.
  54. ^ Zhuang, C. "Wittgenstein's analysis on Cantor's diagonal argument". PhilArchive. Retrieved 2022-11-18.
  55. ^ Avigad, Jeremy; Reck, Erich H. (December 11, 2001). ""Clarifying the nature of the infinite": the development of metamathematics and proof theory" (PDF). Carnegie Mellon Technical Report CMU-PHIL-120. Retrieved 2022-11-12.
  56. ^ Hamilton, Alan G. (1982). Numbers, Sets and Axioms: The Apparatus of Mathematics. Cambridge University Press. pp. 3–4. ISBN 9780521287616.
  57. ^ a b Raatikainen, Panu (October 2005). "On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems". Revue Internationale de Philosophie. 59 (4): 513–534. JSTOR 23955909. Retrieved 2022-11-12.
  58. ^ Moschovakis, Joan (September 4, 2018). "Intuitionistic Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 2022-11-12.
  59. ^ McCarty, Charles. "At the Heart of Analysis: Intuitionism and Philosophy". Philosophia Scientiæ, Cahier spécial 6: 81–94. doi:10.4000/philosophiascientiae.411.
  60. ^ Halpern, Joseph; Harper, Robert; Immerman, Neil; Kolaitis, Phokion; Vardi, Moshe; Vianu, Victor (2001). "On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science" (PDF). Archived (PDF) from the original on March 3, 2021. Retrieved January 15, 2021.
  61. ^ Rouaud, Mathieu (2013). Probability, Statistics and Estimation (PDF). p. 10. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.
  62. ^ Rao, C.R. (1997). Statistics and Truth: Putting Chance to Work. World Scientific. ISBN 978-981-02-3111-8.
  63. ^ Rao, C.R. (1981). "Foreword". In Arthanari, T.S.; Dodge, Yadolah (eds.). Mathematical programming in statistics. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: Wiley. pp. vii–viii. ISBN 978-0-471-08073-2. MR 0607328.
  64. ^ Whittle 1994, pp. 10–11, 14–18.
  65. ^ Marchuk, Gurii Ivanovich (April 2020). "G I Marchuk's plenary: ICM 1970". MacTutor. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Retrieved 2022-11-13.
  66. ^ Johnson, Gary M.; Cavallini, John S. (September 1991). Phua, Kang Hoh; Loe, Kia Fock (eds.). Grand Challenges, High Performance Computing, and Computational Science. Singapore Supercomputing Conference'90: Supercomputing For Strategic Advantage. World Scientific. p. 28.
  67. ^ Trefethen, Lloyd N. (2008). Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.). Numerical Analysis (PDF). Princeton University Press. pp. 604–615. ISBN 9780691118802. Retrieved 2022-11-13. {{cite book}}: |work= ignored (help)
  68. ^ Dehaene, Stanislas; Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (Aug 1998). "Abstract representations of numbers in the animal and human brain". Trends in Neurosciences. 21 (8): 355–61. doi:10.1016/S0166-2236(98)01263-6. PMID 9720604. S2CID 17414557.
  69. ^ See, for example, Wilder, Raymond L. Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study. passim.
  70. ^ Zaslavsky, Claudia (1999). Africa Counts: Number and Pattern in African Culture. Chicago Review Press. ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC 843204342.
  71. ^ Kline 1990, Chapter 1.
  72. ^ Boyer 1991, "Mesopotamia" pp. 24–27.
  73. ^ Heath, Thomas Little (1981) [1921]. A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. New York: Dover Publications. p. 1. ISBN 978-0-486-24073-2.
  74. ^ Mueller, I. (1969). "Euclid's Elements and the Axiomatic Method". The British Journal for the Philosophy of Science. 20 (4): 289–309. doi:10.1093/bjps/20.4.289. ISSN 0007-0882. JSTOR 686258.
  75. ^ Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119.
  76. ^ Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 120.
  77. ^ Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 130.
  78. ^ Boyer 1991, "Apollonius of Perga" p. 145.
  79. ^ Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162.
  80. ^ Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180.
  81. ^ Ore, Øystein (1988). Number Theory and Its History. Courier Corporation. pp. 19–24. ISBN 9780486656205.
  82. ^ Singh, A. N. (January 1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics". Osiris. 1: 606–628. JSTOR 301627.
  83. ^ Kolachana, A.; Mahesh, K.; Ramasubramanian, K. (2019). Use of series in India. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-13-7326-8_20. ISBN 978-981-13-7325-1. {{cite book}}: |work= ignored (help)
  84. ^ Saliba, George (1994). A history of Arabic astronomy: planetary theories during the golden age of Islam. New York University Press. ISBN 978-0-8147-7962-0. OCLC 28723059.
  85. ^ Faruqi, Yasmeen M. (2006). "Contributions of Islamic scholars to the scientific enterprise". International Education Journal. 7 (4). Shannon Research Press: 391–399. Retrieved 2022-11-14.
  86. ^ Archibald, Raymond Clare (January 1949). "History of Mathematics After the Sixteenth Century". The American Mathematical Monthly. Part 2: Outline of the History of Mathematics. 56 (1): 35–56. doi:10.2307/2304570. JSTOR 2304570.
  87. ^ Sevryuk 2006, pp. 101–09.
  88. ^ Wolfram, Stephan (October 2000). Mathematical notation: Past and future. MathML and Math on the Web: MathML International Conference 2000, Urbana Champaign, USA. Retrieved 2022-11-16.
  89. ^ Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (2017). "AMS style guide" (PDF). American Mathematical Society. p. 75. Retrieved 2022-11-16.
  90. ^ Douglas, Heather; Headley, Marcia Gail; Hadden, Stephanie; LeFevre, Jo-Anne (December 3, 2020). "Knowledge of Mathematical Symbols Goes Beyond Numbers". Journal of Numerical Cognition. 6 (3): 322–354. doi:10.5964/jnc.v6i3.293.
  91. ^ Jansen, A. R.; Marriott, K.; Yelland, G. W. (2000). Constituent structure in mathematical expressions (PDF). Proceedings of the 22th Annual Meeting of the Cognitive Science Society. Vol. 22. p. 238. Retrieved 2022-11-16.
  92. ^ Rossi, Richard J. (2011). Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. John Wiley & Sons. pp. 1–14, 47–48. ISBN 9781118030578.
  93. ^ "Earliest Uses of Some Words of Mathematics". MacTutor. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Retrieved 2022-11-19.
  94. ^ Silver, Daniel S. "The New Language of Mathematics". The American Scientist. 105 (6): 364–371. Retrieved 2022-11-19.
  95. ^ Bellomo, Nicola; Preziosi, Luigi (December 22, 1994). Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation. Mathematical Modeling. Vol. 1. CRC Press. p. 1. ISBN 9780849383311.
  96. ^ Hennig, Christian (2010). "Mathematical Models and Reality: A Constructivist Perspective" (PDF). Foundations of Science. 15: 29–48. doi:10.1007/s10699-009-9167-x. Retrieved 2022-11-17.
  97. ^ Frigg, Roman; Hartmann, Stephan (February 4, 2020). "Models in Science". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 2022-11-17.
  98. ^ Stewart, Ian (2018). "Mathematics, Maps, and Models". In Wuppuluri, Shyam; Doria, Francisco Antonio (eds.). The Map and the Territory: Exploring the Foundations of Science, Thought and Reality. The Frontiers Collection. Springer. p. 345. doi:10.1007/978-3-319-72478-2_18. ISBN 9783319724782.
  99. ^ "The science checklist applied: Mathematics". undsci.berkeley.edu. Archived from the original on October 27, 2019. Retrieved 2019-10-27.
  100. ^ Mackay, A. L. (1991). Dictionary of Scientific Quotations. London: Taylor & Francis. p. 100. ISBN 9780750301060.
  101. ^ Bishop, Alan (1991). "Environmental activities and mathematical culture". Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education. Norwell, Massachusetts: Kluwer Academic Publishers. pp. 20–59. ISBN 978-0-7923-1270-3. Archived from the original on December 25, 2020. Retrieved April 5, 2020.
  102. ^ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. p. 228. ISBN 9780387982694.
  103. ^ Nickles, Thomas (2013). "The Problem of Demarcation". Philosophy of Pseudoscience: Reconsidering the Demarcation Problem. Chicago: The University of Chicago Press. p. 104. ISBN 9780226051826.
  104. ^ Pigliucci, Massimo (2014). "Are There 'Other' Ways of Knowing?". Philosophy Now. Archived from the original on May 13, 2020. Retrieved 6 April 2020.
  105. ^ a b Ferreirós, J. (2007). "Ό Θεὸς Άριθμητίζει: The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss". In Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert; Schwermer, Joachim (eds.). The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. Springer Science & Business Media. pp. 235–268. ISBN 9783540347200.
  106. ^ Kuhn, Thomas S. "Mathematical vs. Experimental Traditions in the Development of Physical Science". The Journal of Interdisciplinary History. 7 (1). The MIT Press: 1–31. doi:10.2307/202372. JSTOR 202372.
  107. ^ Asper, Markus (2009). "The two cultures of mathematics in ancient Greece". In Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (eds.). The Oxford Handbook of the History of Mathematics. Oxford Handbooks in Mathematics. OUP Oxford. pp. 107–132. ISBN 9780199213122.
  108. ^ Maddy, P. "How applied mathematics became pure" (PDF). The Review of Symbolic Logic. 1 (1): 16–41. doi:10.1017/S1755020308080027. Retrieved 2022-11-19.
  109. ^ Silver, Daniel S. (2017), "In Defense of Pure Mathematics", in Pitici, Mircea (ed.), The Best Writing on Mathematics, 2016, Princeton University Press, pp. 17–26, ISBN 9780691175294
  110. ^ Parshall, Karen Hunger (2022). "The American Mathematical Society and Applied Mathematics from the 1920s to the 1950s: A Revisionist Account". Bulletin of the American Mathematical Society. 59: 405–427. Retrieved 2022-11-20.
  111. ^ Stolz, Michael (2002). "The History Of Applied Mathematics And The History Of Society" (PDF). Synthese. 133: 43–57. doi:10.1023/A:1020823608217. Retrieved 2022-11-20.
  112. ^ Lützen, J. (2011). "Examples and reflections on the interplay between mathematics and physics in the 19th and 20th century". In Schlote, K. H.; Schneider, M. (eds.). Mathematics meets physics: A contribution to their interaction in the 19th and the first half of the 20th century. Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch. Retrieved 2022-11-19.
  113. ^ Marker, Dave (July 1996). "Model theory and exponentiation". Notices of the American Mathematical Society. 43 (7): 753–759. Retrieved 2022-11-19.
  114. ^ Chen, Changbo; Maza, Marc Moreno (August 2014). Cylindrical Algebraic Decomposition in the RegularChains Library. International Congress on Mathematical Software 2014. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 8592. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-662-44199-2_65. Retrieved 2022-11-19.
  115. ^ Pérez-Escobar, José Antonio; Sarikaya, Deniz (2021). "Purifying applied mathematics and applying pure mathematics: how a late Wittgensteinian perspective sheds light onto the dichotomy". European Journal for Philosophy of Science. 12 (1): 1–22. doi:10.1007/s13194-021-00435-9.
  116. ^ Takase, M. (2014). "Pure Mathematics and Applied Mathematics are Inseparably Intertwined: Observation of the Early Analysis of the Infinity". A Mathematical Approach to Research Problems of Science and Technology. Mathematics for Industry. Vol. 5. Tokyo: Springer. doi:10.1007/978-4-431-55060-0_29.
  117. ^ Sarukkai, Sundar (February 10, 2005). "Revisiting the 'unreasonable effectiveness' of mathematics". Current Science. 88 (3): 415–423. JSTOR 24110208.
  118. ^ Wagstaff, Jr., Samuel S. (2021). "History of Integer Factoring" (PDF). In Bos, Joppe W.; Stam, Martijn (eds.). Computational Cryptography, Algorithmic Aspects of Cryptography, A Tribute to AKL. London Mathematical Society Lecture Notes Series 469. Cambridge University Press. pp. 41–77. Retrieved 2022-11-20.
  119. ^ "Curves: Ellipse". MacTutor. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Retrieved 2022-11-20.
  120. ^ Mukunth, Vasudevan (September 10, 2015). "Beyond the Surface of Einstein's Relativity Lay a Chimerical Geometry". The Wire. Retrieved 2022-11-20.
  121. ^ Wilson, Edwin B.; Lewis, Gilbert N. (November 1912). "The Space-Time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics". Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences. 48 (11): 389–507. doi:10.2307/20022840. JSTOR 20022840.
  122. ^ a b c Borel, Armand (1983). "Mathematics: Art and Science". The Mathematical Intelligencer. 5 (4). Springer: 9–17. doi:10.4171/news/103/8. ISSN 1027-488X.
  123. ^ Hanson, Norwood Russell (November 1961). "Discovering the Positron (I)". The British Journal for the Philosophy of Science. 12 (47). The University of Chicago Press: 194–214. doi:10.1093/bjps/xiii.49.54. JSTOR 685207.
  124. ^ Ginammi, Michele (February 2016). "Avoiding reification: Heuristic effectiveness of mathematics and the prediction of the Ω– particle". Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 53: 20–27. doi:10.1016/j.shpsb.2015.12.001.
  125. ^ Balaguer, Mark (2016). "Platonism in Metaphysics". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2016 ed.). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Archived from the original on January 30, 2022. Retrieved April 2, 2022.
  126. ^ See L. White (1947). "The locus of mathematical reality: An anthropological footnote". Philosophy of Science. 14 (4): 289–303. doi:10.1086/286957. S2CID 119887253. 189303; also in J.R. Newman (1956). The World of Mathematics. Vol. 4. New York: Simon and Schuster. pp. 2348–2364.
  127. ^ Voskoglou, Michael Gr. (2017). "Studying the Winger's "Enigma" about the Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences". American Journal of Applied Mathematics and Statistics. 5 (3): 95–100. doi:10.12691/ajams-5-3-2.
  128. ^ a b c Mura, Roberta (Dec 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences". Educational Studies in Mathematics. 25 (4): 375–85. doi:10.1007/BF01273907. JSTOR 3482762. S2CID 122351146.
  129. ^ a b Tobies, Renate; Neunzert, Helmut (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. Springer. p. 9. ISBN 978-3-0348-0229-1. [I]t is first necessary to ask what is meant by mathematics in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.
  130. ^ Ziegler, Günter M.; Loos, Andreas (November 2, 2017). Kaiser, G. (ed.). “What is Mathematics?” and why we should ask, where one should experience and learn that, and how to teach it. Proceedings of the 13th International Congress on Mathematical Education. ICME-13 Monographs. Springer. doi:10.1007/978-3-319-62597-3_5.
  131. ^ Franklin, James (July 8, 2009). Philosophy of Mathematics. pp. 104–106. ISBN 978-0-08-093058-9.
  132. ^ Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics. American Mathematical Society (1991 reprint). pp. 285–286. ISBN 978-0-8218-2102-2.
  133. ^ Brown, Ronald; Porter, Timothy (January 2000). "The Methodology of Mathematics". The Mathematical Gazette. 79 (485): 321–334. doi:10.2307/3618304.
  134. ^ Hamami, Yacin (June 2022). "Mathematical Rigor and Proof" (PDF). The Review of Symbolic Logic. 15 (2): 409–449. doi:10.1017/S1755020319000443. Retrieved 2022-11-21.
  135. ^ Peterson, Ivars (1988). The Mathematical Tourist. Freeman. p. 4. ISBN 978-0-7167-1953-3. A few complain that the computer program can't be verified properly, (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).
  136. ^ Perminov, V. Ya. (1988). "On the Reliability of Mathematical Proofs". Philosophy of Mathematics. 42 (167 (4)). Revue Internationale de Philosophie: 500–508.
  137. ^ Davis, Jon D.; McDuffie, Amy Roth; Drake, Corey; Seiwelld, Amanda L. (2019). "Teachers' perceptions of the official curriculum: Problem solving and rigor". International Journal of Educational Research. 93: 91–100. doi:10.1016/j.ijer.2018.10.002.
  138. ^ Yaftian, Narges (June 2, 2015). "The Outlook of the Mathematicians' Creative Processes". Procedia - Social and Behavioral Sciences. 191: 2519–2525. doi:10.1016/j.sbspro.2015.04.617.
  139. ^ Nadjafikhah, Mehdi; Yaftian, Narges (October 10, 2013). "The Frontage of Creativity and Mathematical Creativity". Procedia - Social and Behavioral Sciences. 90: 344–350. doi:10.1016/j.sbspro.2013.07.101.
  140. ^ van der Poorten, A. (1979). "A proof that Euler missed... Apéry's Proof of the irrationality of ζ(3)" (PDF). The Mathematical Intelligencer. 1 (4): 195–203. doi:10.1007/BF03028234. S2CID 121589323. Retrieved 2022-11-22.
  141. ^ Petkovi, Miodrag (September 2, 2009). Famous Puzzles of Great Mathematicians. American Mathematical Society. pp. xiii–xiv. ISBN 9780821848142.
  142. ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42706-7. Retrieved 2022-11-22. See also A Mathematician's Apology.
  143. ^ Alon, Noga; Goldston, Dan; Sárközy, András; Szabados, József; Tenenbaum, Gérald; Garcia, Stephan Ramon; Shoemaker, Amy L. (March 2015). Alladi, Krishnaswami; Krantz, Steven G. (eds.). "Reflections on Paul Erdős on His Birth Centenary, Part II". Notices of the American Mathematical Society. 62 (3): 226–247. doi:10.1090/noti1223.
  144. ^ See, for example Bertrand Russell's statement "Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty ..." in his History of Western Philosophy. 1919. p. 60.
  145. ^ Snapper, Ernst (September 1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism". Mathematics Magazine. 52 (4): 207–16. doi:10.2307/2689412. JSTOR 2689412.
  146. ^ a b Iemhoff, Rosalie (2020). "Intuitionism in the Philosophy of Mathematics". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2020 ed.). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Archived from the original on April 21, 2022. Retrieved April 2, 2022.
  147. ^ Mullins, Ina V.S.; Martin, Micheal O.; Foy, Pierre; Kelly, Dana L.; Fishbein, Bethany (2020). TIMSS 2019 International Results in Mathematics and Science. TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education and Human Development, Boston College and International Association for the Evaluation of Educational Achievement. pp. 448–451. ISBN 978-1-889938-54-7.
  148. ^ Luttenberger, Silke; Wimmer, Sigrid; Paechter, Manuela (2018). "Spotlight on math anxiety". Psychology Research Behavior Management. 11: 311–322. doi:10.2147/PRBM.S141421. PMID 30123014.{{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI (link)
  149. ^ Monastyrsky 2001, p. 1: "The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics."
  150. ^ Riehm 2002, pp. 778–82.
  151. ^ "Fields Medal | International Mathematical Union (IMU)". www.mathunion.org. Archived from the original on December 26, 2018. Retrieved February 21, 2022.
  152. ^ a b "Fields Medal". Maths History. Archived from the original on March 22, 2019. Retrieved February 21, 2022.
  153. ^ "Mathematics Prizes". Wolfram MathWorld. Retrieved 2022-11-17.
  154. ^ "About the Abel Prize". The Abel Prize. Archived from the original on April 14, 2022. Retrieved January 23, 2022.
  155. ^ "Abel Prize | mathematics award". Encyclopedia Britannica. Archived from the original on January 26, 2020. Retrieved January 23, 2022.
  156. ^ "CHERN MEDAL AWARD" (PDF). www.mathunion.org. June 1, 2009. Archived (PDF) from the original on June 17, 2009. Retrieved February 21, 2022.
  157. ^ "Chern Medal Award". International Mathematical Union (IMU). Archived from the original on August 25, 2010. Retrieved January 23, 2022.
  158. ^ "The Leroy P Steele Prize of the AMS". School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Retrieved 2022-11-17.
  159. ^ Chern, S. S.; Hirzebruch, F. (September 2000). Wolf Prize in Mathematics. doi:10.1142/4149. ISBN 978-981-02-3945-9. Archived from the original on February 21, 2022. Retrieved February 21, 2022.
  160. ^ "The Wolf Prize". Wolf Foundation. Archived from the original on January 12, 2020. Retrieved January 23, 2022.
  161. ^ "Hilbert's Problems: 23 and Math". Simons Foundation. May 6, 2020. Archived from the original on January 23, 2022. Retrieved January 23, 2022.
  162. ^ Newton, Tommy (2007). "A New Approach to Hilbert's Third Problem" (PDF). Western Kentucky University. Archived (PDF) from the original on January 22, 2013. Retrieved February 21, 2022.
  163. ^ "Hilbert's Problems: 23 and Math". Simons Foundation. May 6, 2020. Retrieved January 23, 2022.
  164. ^ "The Millennium Prize Problems". Clay Mathematics Institute. Archived from the original on July 3, 2015. Retrieved January 23, 2022.
  165. ^ "Millennium Problems". Clay Mathematics Institute. Archived from the original on December 20, 2018. Retrieved January 23, 2022.

Bibliography

Further reading

At Wikiversity, you can learn more and teach others about Mathematics at the School of Mathematics.
Library resources about
Mathematics

Retrieved from "https://dawoum.duckdns.org/w/index.php?title=Mathematics&oldid=85113"