수학(mathematics) 에서, 교대 급수 (alternating series )는 모든 n 에 대해 an > 0을 갖는 다음 형식의 무한 급수(infinite series) 입니다:
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
+
1
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}
일반적인 항의 부호는 양 및 음 사이를 교대합니다. 임의의 급수에서 처럼, 교대하는 급수가 수렴(series converges) 하는 것과 부분 합의 결합된 수열이 수렴(converges) 하는 것은 필요충분 조건입니다.
Examples 기하 급수 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 는 합이 1/3이 됩니다.
교대 조화 급수(alternating harmonic series) 는 유한 합을 가지지만 조화 급수(harmonic series) 는 그렇지 않습니다.
메르카토르 급수(Mercator series) 는 자연 로그(natural logarithm) 의 해석적 표현을 제공합니다:
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
=
ln
(
1
+
x
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\;=\;\ln(1+x).}
삼각법(trigonometry) 에서 사용되는 함수 사인과 코사인은, 비록 그들이 직각 삼각형의 변의 비율로 초등 대수학에서 소개될지라도, 미적분학에서 교대 급수로 정의될 수 있습니다. 사실,
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
.
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}
교대 인수 (–1)n 쌍곡선 함수(hyperbolic function) sinh 및 cosh를 얻습니다.
정수 또는 양의 인덱스 α에 대해, 첫 번째 종류의 베셀 함수(Bessel function) 는 교대 급수와 함께 정의될 수 있을 것입니다:
J
α
(
x
)
=
∑
m
=
0
∞
(
−
1
)
m
m
!
Γ
(
m
+
α
+
1
)
(
x
2
)
2
m
+
α
{\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}
z )는 감마 함수(gamma function) 입니다.만약 s 가 복소수(complex number) 이면, 디리클레 에타 함수(Dirichlet eta function) 는 교대 급수로 형성됩니다:
η
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
s
=
1
1
s
−
1
2
s
+
1
3
s
−
1
4
s
+
⋯
{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
그것은 해석적 숫자 이론(analytic number theory) 에서 사용됩니다.
Alternating series test "라이프니츠 테스트" 또는 교대 급수 테스트(alternating series test) 로 알려진 정리는, 교대 급수는 만약 항 an 이 단조적으로(monotonically) 0에 수렴하면 수렴일 것이라고 말합니다.
증명: 수열
a
n
{\displaystyle a_{n}}
m
{\displaystyle m}
m
<
n
{\displaystyle m<n}
S
n
−
S
m
≤
a
m
{\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}
S
n
−
S
m
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
a
k
−
∑
k
=
0
m
(
−
1
)
k
a
k
=
∑
k
=
m
+
1
n
(
−
1
)
k
a
k
=
a
m
+
1
−
a
m
+
2
+
a
m
+
3
−
a
m
+
4
+
⋯
+
a
n
=
a
m
+
1
−
(
a
m
+
2
−
a
m
+
3
)
−
(
a
m
+
4
−
a
m
+
5
)
−
⋯
−
a
n
≤
a
m
+
1
≤
a
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
−
(
a
m
−
a
m
+
1
)
{\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}
S
n
−
S
m
≤
a
m
{\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}
−
a
m
≤
S
n
−
S
m
{\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}
a
m
{\displaystyle a_{m}}
0
{\displaystyle 0}
S
m
{\displaystyle S_{m}}
코시 수열(Cauchy sequence) (즉, 급수는 코시 기준(Cauchy criterion) 을 만족시킵니다)을 형성하고 따라서 수렴합니다. 논증은 짝수
m
{\displaystyle m}
Approximating sums 위의 평가는
n
{\displaystyle n}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
오차 경계(error bound) 를 제공합니다:
|
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
a
k
−
∑
k
=
0
m
(
−
1
)
k
a
k
|
≤
|
a
m
+
1
|
.
{\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}
Absolute convergence 급수
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
∑
|
a
n
|
{\displaystyle \sum |a_{n}|}
절대적으로 수렴(converges absolutely) 입니다.
정리: 절대적으로 수렴하는 급수는 수렴합니다.
증명:
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
∑
|
a
n
|
{\displaystyle \sum |a_{n}|}
∑
2
|
a
n
|
{\displaystyle \sum 2|a_{n}|}
0
≤
a
n
+
|
a
n
|
≤
2
|
a
n
|
{\displaystyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}
∑
(
a
n
+
|
a
n
|
)
{\displaystyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}
비교 테스트(comparison test) 에 의해 수렴합니다. 그러므로, 급수
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
∑
a
n
=
∑
(
a
n
+
|
a
n
|
)
−
∑
|
a
n
|
{\displaystyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}
Conditional convergence 급수가, 만약 그것이 수렴이지만 절대적으로 수렴이 아니면, 조건적으로 수렴(conditionally convergent) 입니다.
예를 들어, 조화 급수(harmonic series)
∑
n
=
1
∞
1
n
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},\!}
는 발산하지만, 교대하는 버전
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\!}
은 교대 급수 테스트(alternating series test) 에 의해 수렴입니다.
Rearrangements 임의의 급수에 대해, 우리는 합의 순서를 재배열함으로써 새로운 급수를 생성할 수 있습니다. 급수가 만약 임의의 재배치가 원래 급수와 같은 수렴을 갖는 급수를 생성하면 무조건적으로 수렴(unconditionally convergent) 입니다. 절대적으로 수렴하는 급수는 무조건적으로 수렴입니다 . 그러나 리만 급수 정리(Riemann series theorem) 는, 조건적으로 수렴하는 급수가 임의의 수렴을 생성하기 위해 재배열될 수 있음을 말합니다.[1]
예를 들어, 1=0이라는 하나의 거짓 증명은 무한 합에 대해 결합성의 실패를 이용합니다.
또 다른 예제로써, 우리는 다음임을 압니다 :
ln
(
2
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
=
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
⋯
.
{\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}
그러나, 급수가 절대적으로 수렴은 아니므로, 우리는
1
2
ln
(
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2)}
(
1
−
1
2
)
−
1
4
+
(
1
3
−
1
6
)
−
1
8
+
(
1
5
−
1
10
)
−
1
12
+
⋯
=
1
2
−
1
4
+
1
6
−
1
8
+
1
10
−
1
12
+
⋯
=
1
2
(
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
1
6
+
⋯
)
=
1
2
ln
(
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}
Series acceleration 연습에서, 교대 급수의 숫자적 합은 다양한 급수 가속(series acceleration) 기법 중 임의의 하나를 사용하여 가속화될 수 있을 것입니다. 가장 오래된 기법 중 하나는 오일러 합계(Euler summation) 의 그것이고, 심지어 더 빠른 수렴을 제공할 수 있는 많은 현대 기법이 있습니다.
See also Notes References
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281936608c4249c3f423b7d3a2c35c41671951be)