Abstract algebra

수학, 보다 구체적으로 대수학에서, 추상 대수학(abstract algebra) 또는 현대 대수학(modern algebra)는 대수적 구조(algebraic structures)의 연구입니다.^[1] 대수적 구조는 그룹(groups), 링(rings), 필드(fields), 모듈(modules), 벡터 공간(vector space), 격자(lattices), 및 대수(algebras)를 포함합니다. 용어 추상적 대수(abstract algebra)는 20세기 초에 대수학의 오래된 부분, 보다 구체적으로 계산과 추론에서 숫자를 나타내기 위해 변수(variables)를 사용하는 기초 대수학(elementary algebra)과 구별하기 위해 만들어졌습니다.

대수적 구조는, 그들의 관련 준동형(homomorphism)과 함께, 수학적 카테고리(mathematical categories)를 형성합니다. 카테고리 이론(Category theory)은 다양한 구조에 대해 유사한 속성과 구조를 표현하기 위한 통일된 방법을 허용하는 형식론입니다.

보편 대수학(universal algebra)은 단일 대상으로 대수적 구조의 유형을 연구하는 관련 주제입니다. 예를 들어, 그룹의 구조는 그룹의 다양체(variety of groups)라고 불리는 보편 대수학에서 단일 대상입니다.

History

19세기 이전에, 대수학(algebra)은 다항 방정식의 해에 대한 연구를 의미했습니다. 추상 대수학은 19세기 동안 더 복잡한 문제와 해결 방법이 개발되면서 존재하게 되었습니다. 구체적인 문제와 예제는 숫자 이론, 기하학, 해석학, 및 대수 방정식(algebraic equations)의 해에서 나왔습니다. 현재 추상 대수학의 일부로 인식되는 대부분의 이론은 수학의 다양한 가지에서 이질적인 사실의 모음으로 시작하여, 다양한 결과를 그룹화하는 핵심 역할을 하는 공통 주제를 획득하고, 마침내 개념의 공통 집합을 기반으로 통합되었습니다. 이러한 통일은 20세기 초 수십 년 동안 발생했었고 그룹, 링, 및 필드와 같은 다양한 대수적 구조(algebraic structures)의 형식적인 공리적(axiomatic) 정의를 초래했습니다.^[2] 이러한 역사적 발전은 각 장을 구조의 형식적 정의로 시작하고 그 후에 구체적인 예를 보여주는^[3] 반 데르 바르던(Van der Waerden)의 Moderne Algebra와 같은 인기 있는 교과서에서 볼 수 있는 처리 방식과 거의 반대입니다.^[4]

Elementary algebra

다항식 또는 대수 방정식(algebraic equations)의 연구는 오랜 역사를 가지고 있습니다. 기원전 1700년경, 바빌론 사람들은 단어 문제로 지정된 이차 방정식을 풀 수 있었습니다. 이 단어 문제 단계는 수사학적 대수(rhetorical algebra)로 분류되고 16세기까지 지배적인 접근 방식이었습니다. 무하마드 이븐 무사 알-콰리즈미(Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)는 기원후 830년에 "대수학(algebra)"이라는 단어를 시작했지만, 그의 연구는 전적으로 수사학적 대수학이었습니다. 완전한 기호적 대수학은 프랑수아 비에트(François Viète)의 1591년 New Algebra가 나올 때까지 나타나지 않았고, 심지어 이것은 데카르트의 1637년 La Géométrie에서 기호가 부여된 철자가 된 단어가 있었습니다.^[5] 기호 방정식을 푸는 공식 연구를 통해 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 18세기 후반에 음수(negative numbers)와 허수(imaginary numbers)와 같은 "넌센스" 근간으로 고려되었던 것을 받아들였습니다.^[6] 어쨌든, 대부분의 유럽 수학자들은 19세기 중반까지 이러한 개념에 저항했습니다.^[7]

조지 피콕(George Peacock)의 1830년 Treatise of Algebra은 대수학을 엄격하게 기호적인 기반에 두려는 최초의 시도였습니다. 그는 오래된 산술적 대수학(arithmetical algebra)과 구별되는 새로운 기호적 대수학(symbolical algebra)을 구별했습니다. 산술적 대수학에서 $a-b$ 는 $a\geq b$ 로 제한되지만, 기호적 대수학에서는 모든 연산 규칙이 제한 없이 적용됩니다. 이러한 피콕을 사용하면 $(a-b)(c-d)=ac+bd-ad-bc$ 에서 $a=0,c=0$ 를 놓음으로써 $(-a)(-b)=ab$ 와 같은 법칙을 보입니다. 피콕은 자신의 주장을 정당화하기 위해 동등한 형식의 영속성 원칙(principle of the permanence of equivalent forms)이라고 명명한 것을 사용했지만, 그의 추론은 귀납법의 문제(problem of induction)로 어려움을 겪었습니다.^[8] 예를 들어, ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$ 는 비-음의 실수(real numbers)에 대해 유지되지만, 일반적인 복소수(complex numbers)에 대해 유지되지 않습니다.

Early group theory

수학의 여러 영역은 그룹 연구로 이어졌습니다. 오차 방정식의 해에 대한 라그랑주의 1770년 연구는 다항식의 갈루아 그룹(Galois group of a polynomial)으로 이어졌습니다. 페르마의 작은 정리(Fermat's little theorem)에 대한 가우스의 1801년 연구는 정수 모듈로 n의 링(ring of integers modulo n), 정수 모듈로 n의 곱셈 그룹(multiplicative group of integers modulo n), 및 순환 그룹(cyclic groups)과 아벨 그룹(abelian groups)의 보다 일반적인 개념으로 이어졌습니다. 클라인의 1872년 에르랑겐 프로그램(Erlangen program)은 기하학을 연구하고 유클리드 그룹(Euclidean group)과 투영 변환(projective transformations) 그룹과 같은 대칭 그룹(symmetry groups)으로 이어졌습니다. 1874년 리(Lie)는 "미분 방정식의 갈루아 이론"을 목표로 리 그룹(Lie groups)의 이론을 도입했습니다. 1976년에 푸앵카레와 클라인은 해석학에서 자기동형 함수에 대한 연구를 기반으로 뫼비우스 변환(Möbius transformations) 그룹, 및 모듈러 그룹(modular group)과 폭스 그룹(Fuchsian group)과 같은 부분-그룹을 도입했습니다.^[9]

그룹의 추상적 개념은 19세기 중반에 서서히 나타났습니다. 1832년 갈루아는 "그룹"이라는 용어를 처음으로 사용했으며,^[10] 이는 합성 아래에서 닫힌 순열의 모음을 의미합니다.^[11] 아서 케일리(Arthur Cayley)의 1854년 논문 On the theory of groups은 그룹을 결합 합성 연산과 항등식 1–오늘날 모노이드(monoid)라고 불림–을 갖는 집합으로 정의했습니다.^[12] 1870년에 크로네커는 닫힌, 교환, 결합, 및 왼쪽 취소 속성 $b\neq c\to a\cdot b\neq a\cdot c$ 을 갖는 추상 이항 연산을 정의했으며,^[13] 유한 아벨 그룹(abelian group)에 대해 현대 법칙과 유사합니다.^[14] 그룹에 대한 베버의 1882년 정의는 결합적이었고 왼쪽과 오른쪽 취소를 갖는 닫힌 이항 연산이었습니다.^[15] 1882년 발터 폰 뒤크(Walther von Dyck)는 그룹 정의의 일부로 역 원소를 최초로 요구했습니다.^[16]

일단 이 추상적인 그룹 개념이 등장하면, 이 추상적인 설정에서 결과가 다시 공식화되었습니다. 예를 들어, 사일로의 정리(Sylow's theorem)는 1887년 프로베니우스에 의해 유한 그룹의 법칙에서 직접 입증되었지만, 프로베니우스는 순열 그룹에 대한 코시의 정리와 모든 각 유한 그룹이 순열 그룹의 부분-그룹이라는 사실을 따랐다고 말했습니다.^[17]^[18] 오토 횔더(Otto Hölder)는 1889년에 몫 그룹, 1893년에 그룹 자기-동형과 마찬가지로 단순 그룹을 정의하여 이 분야에서 특히 다작이었습니다. 그는 역시 조르당-횔더 정리(Jordan–Hölder theorem)를 완성했습니다. 데데킨트와 밀러는 해밀턴 그룹(Hamiltonian groups)을 독립적으로 특성화하고 두 원소의 교환자(commutator) 개념을 도입했습니다. Burnside, Frobenius, 및 Molien은 19세기 말에 유한 그룹의 표시 이론(representation theory)을 만들었습니다.^[17] J. A. de Séguier의 1904년 모노그래프 Elements of the Theory of Abstract Groups(추상 그룹 이론의 원소)는 유한 그룹으로 제한되기는 했지만 "구체적인" 그룹을 부록으로 분류하여 이들 결과 중 많은 부분을 추상적이고 일반적인 형태로 제시했습니다. 유한과 무한 추상 그룹에 대한 첫 번째 논문은 O. K. Schmidt의 1916 Abstract Theory of Groups였습니다.^[19]

Early ring theory

비-교환 링 이론은 복소수를 초복소수(hypercomplex numbers)로 확장, 특히 1843년에 윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton)의 쿼터니언(quaternions)으로 시작했습니다. 곧 다른 많은 숫자 시스템이 뒤따랐습니다. 1844년에, 해밀턴은 이중쿼터니언(biquaternions)를, 케일리는 옥토니언(octonions)를, 그라스만(Grassman)은 외부 대수(exterior algebras)를 도입했습니다.^[20] 제임스 코클(James Cockle)는 1848년에 테사린(tessarines)과^[21] 1849년에 공-쿼터니언(coquaternions)을 제시했습니다.^[22] 윌리엄 킹던 클리퍼드(William Kingdon Clifford)는 1873년에 분할-이중쿼터니언(split-biquaternions)을 도입했습니다. 게다가 케일리는 1854년에 실수와 복소수에 걸쳐 그룹 대수(group algebras)와 1855년과 1858년의 두 논문에서 정사각 행렬(square matrices)을 도입했습니다.^[23]

일단 충분한 예제가 있었다면, 그것들을 분류하는 일만 남았습니다. 1870년 논문에서, 벤저민 퍼스(Benjamin Peirce)는 차원이 6 미만인 150개 이상의 초복소수 시스템을 분류하고, 결합 대수(associative algebra)의 명확한 정의를 제공했습니다. 그는 거듭제곱영(nilpotent)와 거듭상등(idempotent) 원소를 정의하고 임의의 대수는 하나 또는 나머지 하나를 포함하고 있음을 입증했습니다. 그는 역시 피어스 분해(Peirce decomposition)를 정의했습니다. 1878년 프로베니우스와 1881년 찰스 샌더스 퍼스(Charles Sanders Peirce)는 $\mathbb {R}$ 에 걸쳐 오직 유한-차원의 나눗셈 대수가 실수, 복소수, 및 쿼터니언이라는 것을 독립적으로 입증했습니다. 1880년대에, 킬링(Killing)과 카르탕(Cartan)은 반-단순 리 대수가 단순인 것으로 분해될 수 있고, 모든 단순 리 대수를 분류될 수 있음을 보였습니다. 이에 영감을 받아, 1890년대 카르탕, 프로베니우스, 및 몰리엔(Molien)은 (독립적으로) $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$ 에 걸쳐 유한-차원 결합 대수는 거듭제곱영 대수와 몇 가지 단순 대수(simple algebras), 나눗셈 대수에 걸쳐 제곱 행렬의 곱인 반-단순 대수의 직접 합(direct sums)으로 고유하게 분해될 수 있음을 입증했습니다. 카르탕은 직접 합과 단순 대수와 같은 개념을 처음으로 정의했고, 이들 개념은 상당한 영향력을 미쳤습니다. 1907년에, 웨더번(Wedderburn)은 카르탕의 결과를 임의적인 필드로 확장했으며, 현재 웨더번 주요 정리(Wedderburn principal theorem)와 아르틴–웨더번 정리(Artin–Wedderburn theorem)라고 합니다.^[24]

교환 링에 대해, 여러 영역이 함께 교환 링 이론으로 이어졌습니다.^[25] 1828년과 1832년의 두 논문에서, 가우스는 가우스 정수(Gaussian integers)를 공식화했고 그것들이 고유 인수분해 도메인(unique factorization domain, UFD)을 형성함을 보였고 복이차 상호관계(biquadratic reciprocity) 법칙을 입증했습니다. 야코비(Jacobi)와 아인슈타인(Eisenstein)은 거의 동시에 아인슈타인 정수(Eisenstein integers)에 대한 삼차 상호관계(cubic reciprocity)를 입증했습니다.^[24] 페르마의 마지막 정리(Fermat's last theorem)에 대한 연구는 대수적 정수(algebraic integers)로 이어졌습니다. 1847년에, 개브리엘 라미(Gabriel Lamé)는 자신이 FLT를 입증했다고 생각했지만, 그가 모든 원분 필드(cyclotomic field)가 UFD라고 가정했기 때문에 그의 증명은 잘못되었으며, 여전히 쿠머(Kummer)가 지적했듯이, $\mathbb {Q} (\zeta _{23}))$ 는 UFD가 아닙니다.^[26] 1846년과 1847년에 쿠머는 아이디얼 숫자(ideal numbers)를 도입했고 원분 필드에 대한 아이디얼 소수로 고유한 인수분해를 입증했습니다.^[27] 데데킨트는 1971년에 이것을 대수적 숫자 필드의 정수 도메인에서 모든 각 비-영 아이디얼은 데데킨트 도메인(Dedekind domains) 이론의 전조 현상, 소수 아이디얼(prime ideals)의 고유한 곱임을 보여주기 위해 확장했습니다. 전반적으로, 데데킨트의 연구는 대수적 숫자 이론(algebraic number theory)의 주제를 만들었습니다.^[28]

1850년대에 리만은 리만 표면(Riemann surface)의 기본 개념을 도입했습니다. 리만의 방법은 1870년에 바이어슈트라스에 의해 의문이 제기되었던, 그가 디리클레의 원리(Dirichlet's principle)라고 부르는 가정에 의존했습니다.^[29] 훨씬 나중에, 1900년에, 힐베르트는 변화의 계산법에서 직접 방법(direct method in the calculus of variations)을 개발함으로써 리만의 접근 방식을 정당화했습니다.^[30] 1860년대와 1870년대에 Clebsch, Gordan, Brill, 특히 M. Noether는 대수적 함수(algebraic functions)와 곡선을 연구했습니다. 특히, 뇌터(Noether)는 이것을 현대 언어를 사용하지 않았지만, 다항식에 대해 다항식 링 $\mathbb {R} [x,y]$ 에서 두 대수적 곡선에 의해 생성된 아이디얼의 원소가 되기 위해 어떤 조건이 필요한지 연구했습니다. 1882년 데데킨트와 베버는 대수적 숫자 이론에 대한 데데킨트의 초기 연구와 유사하게, 리만 표면의 첫 번째 엄격한 정의와 리만–로흐 정리Riemann–Roch theorem)의 엄격한 증명을 허용했던 대수적 함수 필드(algebraic function fields) 이론을 만들었습니다. 1880년대의 크로네커, 1890년의 힐베르트, 1905년의 라스커(Lasker), 1913년의 맥컬리(Macauley)는 뇌터의 연구에 내재된 다항식 링의 이상을 추가로 조사했습니다. 라이커는 라이커-뇌터 정리(Lasker-Noether theorem)의 특별한 경우, 즉 다항식 링에서 모든 각 아이디얼은 으뜸 아이디얼(primary ideals)의 유한 교집합이라는 것을 입증했습니다. 맥컬리는 이 분해의 고유성을 입증했습니다.^[31] 전반적으로, 이 연구는 대수적 기하학(algebraic geometry)의 발전으로 이어졌습니다.^[25]

1801년 가우스는 정수에 걸쳐 이항 이차 형식(binary quadratic forms)을 도입하고 그것들의 동등성(equivalence)을 정의했습니다. 그는 나아가서 이항 형식의 불변(invariant of a binary form)인 이들 형식의 판별식(discriminant)을 추가로 정의했습니다. 1860년대와 1890년대 사이에 불변 이론(invariant theory)이 개발되었고 대수학의 주요 영역이 되었습니다. Cayley, Sylvester, Gordan, 및 다른 사람들은 이항 사차 형식과 삼차 형식에 대해 야코비(Jacobian)와 헤세(Hessian) 행렬을 찾았습니다.^[32] 1868년에 Gordan은 복소수에 걸쳐 이항 형식의 불변의 등급화된 대수(graded algebra)가 유한하게 생성되었음, 즉 기저를 가짐을 증명했습니다.^[33] 힐베르트는 1885년에 불변량에 관한 논문을 썼고 1890년에 임의의 차수 또는 변수의 임의의 개수의 임의의 형식이 기저를 가짐을 보여주었습니다. 그는 이것을 1890년에 힐베르트의 기저 정리(Hilbert's basis theorem)로 확장했습니다.^[34]

일단 이들 이론이 개발되었지만, 추상적 링 개념이 등장하기까지는 여전히 수십 년이 걸렸습니다. 최초의 공리적 정의는 1914년에 아브라함 프렝켈(Abraham Fraenkel)에 의해 주어졌습니다.^[34] 그의 정의는 주로 표준 공리였습니다: 그룹 (반드시 교환적은 아님)을 형성하는 덧셈과, 결합적이고 덧셈에 걸쳐 분산되고 항등 원소를 가지는 곱셈, 두 개의 연산을 갖는 집합이었습니다.^[35] 게다가, 그는 정수의 링과 같이 현재 공통적으로 사용되는 링을 제외하는 p-진수 숫자(p-adic numbers)에 대한 연구에서 영감을 받은 "정규 원소"에 대한 두 가지 공리를 가지고 있었습니다. 이를 통해 프렝켈은 덧셈이 교환적임을 입증할 수 있었습니다.^[36] 프렝켈의 연구는 슈타이니츠(Steinitz)의 1910 필드 정의를 링으로 옮기는 것을 목표로 했지만, 구체적 시스템에 대한 기존 연구와 연결되지 않았습니다. 마사조 소노(Masazo Sono)의 1917년 정의는 현재 정의와 동등한 최초의 정의였습니다.^[37]

1920년, 에미 뇌터(Emmy Noether)는 W. Schmeidler와 공동으로 링에서 왼쪽과 오른쪽 아이디얼(left and right ideals)을 정의했던 아이디얼의 이론(theory of ideals)에 대한 논문을 발표했습니다. 이듬해 그녀는 (수학적) 아이디얼과 관련하여 오름 체인 조건(ascending chain conditions)을 분석한 Idealtheorie in Ringbereichen(링에서 아이디얼 이론)이라는 획기적인 논문을 발표했습니다. 이 출판물은 "뇌터 링(Noetherian ring)"이라는 용어와 Noetherian이라고 불리는 몇 가지 다른 수학적 대상을 낳았습니다.^[38]^[39] 저명한 대수학자 어빙 커플랜스키(Irving Kaplansky)는 이 연구를 "혁명적"이라고 불렀습니다;^[38] 다항식 링의 속성과 불가분의 관계가 있는 것처럼 보이는 결과는 단일 공리에서 비롯된 것으로 나타났습니다.^[40] 뇌터의 연구에서 영감을 얻은 아르틴은 내려가는 체인 조건(descending chain condition)을 생각해 냈습니다. 이들 정의는 추상적 링 이론의 탄생을 표시했습니다.^[41]

Early field theory

1801년 가우스는 정수 모드 p(integers mod p)를 도입했으며, 여기서 p는 소수입니다. 갈루아는 이것을 1830년에 $p^{n}$ 원소를 갖는 유한 필드(finite fields)로 확장했습니다.^[42] 1871년에 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)는 네 개의 산술 연산으로 닫혀 있는 실수 또는 복소수의 집합에 대해,^[43] (유기적으로 닫힌 엔터디를 제안하기 위해) "몸체(body)" 또는 "신체(corpus)"를 의미하는 독일어 단어 Körper를 도입했습니다. 영어 용어 "필드(field)"는 1893년에 무어(Moore)에 의해 도입되었습니다.^[44] 1881년에 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)는 그가 현대 용어로 유리 분수(rational fractions)의 필드인 그가 유리성의 도메인(domain of rationality)이라고 부르는 것을 정의했습니다.^[45] 추상 필드의 첫 번째 명확한 정의는 1893년 하인리히 마르틴 베버(Heinrich Martin Weber)에 기인햇습니다. 여기에는 곱셈에 대한 결합 법칙이 빠져 있었지만, 유한 필드와 대수적 숫자 이론과 대수적 기하학의 필드를 포함했습니다.^[46] 1910년 슈타이니츠는 지금까지 축적된 추상적 필드 이론의 지식을 종합했습니다. 그는 현대적 정의로 필드를 공리적으로 정의하고 그것들의 특성(characteristic)에 의해 분류하고, 오늘날 흔히 볼 수 있는 많은 정리를 입증했습니다.^[47]

Other major areas

선형 방정식 시스템(systems of linear equations)의 풀이, 이것은 선형 대수(linear algebra)으로 이어졌습니다.^[48]

Modern algebra

19세기 말과 20세기 초에는 수학 방법론의 변화가 있었습니다. 추상 대수학은 20세기 초에 현대 대수학(modern algebra)이라는 이름으로 등장했습니다. 그것의 연구는 수학의 지적 엄격함(intellectual rigor)을 위한 추진의 일부였습니다. 처음에는, 전체 수학 (및 자연 과학(natural sciences)의 주요 부분)이 의존하는 고전 대수학(algebra)의 가정이 공리 시스템(axiomatic systems)의 형태를 취했습니다. 더 이상 구체적인 대상의 속성을 설정하는 데 만족하지 않고, 수학자들은 일반 이론에 관심을 돌리기 시작했습니다. 특정 대수적 구조(algebraic structures)에 대한 형식적인 정의는 19세기에 등장하기 시작했습니다. 예를 들어, 다양한 순열 그룹에 대한 결과는 추상 그룹(abstract group)의 일반적인 개념과 관련된 일반 정리의 예시로 보이게 되었습니다. 다양한 수학적 대상의 구조와 분류에 대한 질문이 전면에 나왔습니다.

이들 과정은 모든 수학을 통틀어 발생했지만, 특히 대수학에서 두드러지게 되었습니다. 그룹(groups), 링(rings), 및 필드(fields)와 같은 많은 기본 대수적 구조에 대해 기본 연산과 공리를 통한 형식 정의가 제안되었습니다. 따라서 그룹 이론(group theory)과 링 이론(ring theory)과 같은 것들이 순수 수학(pure mathematics)에서 자리를 잡았습니다. 에른스트 슈타이니츠(Ernst Steinitz)에 의한 일반 필드의 대수적 조사와 다비트 힐베르트(David Hilbert), 에밀 아르틴(Emil Artin), 및 에미 뇌터(Emmy Noether)에 의한 교환 링과 그 뒤에 일반 링의 대수적 조사는, 교환 링에서 아이디얼을 고려했던 에른스트 쿠머(Ernst Kummer), 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker), 및 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)와 그룹의 표시 이론(representation theory)에 관한 게오르크 프로베니우스(Georg Frobenius)와 이사이 슈어(Issai Schur)의 연구를 기반으로, 추상 대수학을 정의하게 되었습니다. 19세기 후반과 20세기 전반기의 이들 발전은 바르텔 반 데르 바르던(Bartel van der Waerden)의 Moderne Algebra에서 시스템적으로 드러났으며, 그 책은 1930-1931년에 출판된 두 권으로 된 모노그래프로 수학 세계에서 방정식 이론(the theory of equations)에서 대수적 구조 이론(theory of algebraic structures)으로 대수(algebra)라는 단어의 의미를 영원히 바꾸어 놓았습니다.

Basic concepts

다양한 양의 세부 사항을 추상화함으로써, 수학자들은 수학의 많은 영역에서 사용되는 다양한 대수적 구조를 정의했습니다. 예를 들어, 연구된 거의 모든 시스템은 집합 이론(set theory)의 정리가 적용되는 집합(sets)입니다. 그것들 위에 정의된 특정 이항 연산을 가지는 그것들 집합은 마그마(magmas)를 형성하며, 마그마에 관한 개념과 집합에 관한 개념이 적용됩니다. 우리는 (반-그룹을 형성하기 위해) 결합성; (그룹을 형성하기 위해) 항등원과 역수; 및 기타 더 복잡한 구조와 같은 대수적 구조에 대한 추가 제약 조건을 추가할 수 있습니다. 추가 구조와 함께, 더 많은 정리를 입증할 수 있지만, 일반성은 줄어듭니다. 대수적 대상의 (일반성 측면에서) "계층 구조"는 해당 이론의 계층 구조를 생성합니다: 예를 들어, 그룹 이론(group theory)의 정리는 링 (특정 공리와 함께 두 개의 이항 연산을 갖는 대수적 대상)를 연구할 때 사용할 수 있는데, 왜냐하면 링은 연산 중 하나에 걸친 그룹입니다. 일반적으로, 일반성의 총양과 이론의 풍부함 사이에는 균형이 있습니다: 더 일반적인 구조는 보통 더 작은 비-자명한(nontrivial) 정리와 더 적은 응용을 가집니다.

단일 이항 연산(binary operation)을 갖는 대수적 구조의 예는 다음과 같습니다:

여러 연산과 관련된 예는 다음과 같습니다:

Branches of abstract algebra

Group theory

그룹은 이항 연산 $\cdot :G\times G\rightarrow G$ , "그룹 곱"과 함께 집합 $G$ 입니다. 그 그룹은 다음 정의 공리를 만족시킵니다:

Identity(항등원): $G$ 에서 각 원소 $a$ 에 대해, $e\cdot a=a\cdot e=a$ 를 유지함을 만족하는 원소 $e$ 가 존재합니다.

Inverse(역원): $G$ 의 각 원소 $a$ 에 대해, $a\cdot b=b\cdot a=e$ 가 되도록 하는 원소 $b$ 가 존재합니다.

Associativity(결합성): $G$ 에서 원소의 각 세-쌍 $a,b,c$ 에 대해, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ 임을 유지합니다.

Applications

그것의 일반성 때문에, 추상 대수학은 수학과 과학의 많은 분야에서 사용됩니다. 예를 들어, 대수적 토폴로지(algebraic topology )는 대수적 대상을 토폴로지를 연구하기 위해 사용합니다. 2003년에 입증된 푸앵카레 추측(Poincaré conjecture)은 연결성에 대한 정보를 암호화하는 매니폴드의 기본 그룹(fundamental group)이 매니폴드가 구인지 여부를 결정하기 위해 사용될 수 있다고 주장합니다. 대수적 숫자 이론( Algebraic number theory)은 정수의 집합을 일반화하는 다양한 숫자 링(rings)을 연구합니다. 대수적 숫자 이론의 도구를 사용하여, 앤드루 와일스(Andrew Wiles)는 페라마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)를 입증했습니다.

물리학에서 그룹은 대칭 연산을 나타내기 위해 사용되고, 그룹 이론의 사용법은 미분 방정식을 단순화할 수 있습니다. 게이지 이론(gauge theory)에서, 지역적 대칭(local symmetry)의 요구 사항은 시스템을 설명하는 방정식을 추론하기 위해 사용될 수 있습니다. 그것들의 대칭을 설명하는 그룹은 리 그룹(Lie groups)이고, 리 그룹과 리 대수에 대한 연구는 물리적 시스템에 대해 많은 것을 보여줍니다; 예를 들어, 이론에서 힘 운반체(force carriers)의 숫자는 리 대수의 차원과 같고, 리 대수가 비-아벨이면 이들 보손(bosons)은 매개하는 힘과 상호 작용합니다.^[49]

References

^ Finston, David R.; Morandi, Patrick J. (29 August 2014). Abstract Algebra: Structure and Application. Springer. p. 58. ISBN 978-3-319-04498-9. Much of our study of abstract algebra involves an analysis of structures and their operations
^ Kleiner 2007, pp. xi–xii.
^ Kleiner 2007, p. 41.
^ van der Waerden, Bartel Leendert (1949). Modern Algebra. Vol I. Translated by Blum, Fred. New York, N. Y.: Frederick Ungar Publishing Co. MR 0029363.
^ Kleiner 2007, pp. 1–13.
^ Euler, Leonard (1748). Introductio in Analysin Infinitorum [Introduction to the Analysis of the Infinite] (in Latin). Vol. 1. Lucerne, Switzerland: Marc Michel Bosquet & Co. p. 104.
^ Martinez, Alberto (2014). Negative Math. Princeton University Press. pp. 80–109.
^ Kleiner 2007, pp. 13–14.
^ Kleiner 2007, pp. 17–22.
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "The abstract group concept", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
^ Kleiner 2007, p. 23.
^ Cayley, A. (1854). "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1". Philosophical Magazine. 4th series. 7 (42): 40–47. doi:10.1080/14786445408647421.
^ Kronecker, Leopold (1895). "Auseinandeesetzung einiger eigenschaften der klassenanzahl idealer complexer zahlen" [An exposition of some properties of the class number of ideal complex numbers]. In Hensel, Kurt (ed.). Leopold Kronecker's werke : Herausgegeben auf veranlassung der Königlich preussischen akademie der wissenschaften. Leipzig ; Berlin : B.G. Teubner. p. 275.
^ Kleiner 2007, p. 27.
^ Kleiner 2007, p. 32.
^ Kleiner 2007, p. 33.
^ ^a ^b Kleiner 2007, p. 34.
^ Frobenius, G. (April 2008) [1887]. "Neuer Beweis des Sylowschen Satzes" [New Proof of Sylow's Theorem] (PDF). Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). 1887 (100). Translated by Gutfraind, Sasha: 179–181. doi:10.1515/crll.1887.100.179. S2CID 117970003.
^ Kleiner 2007, p. 35.
^ Kleiner 2007, pp. 42–43.
^ Cockle, James (1848). "On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra". The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 33. Taylor & Francis: 435–9. doi:10.1080/14786444808646139.
^ Cockle, James (1849). "On Systems of Algebra involving more than one Imaginary". The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 35. Taylor & Francis: 434–7. doi:10.1080/14786444908646384.
^ Kleiner 2007, p. 43.
^ ^a ^b Kleiner 2007, pp. 43–47.
^ ^a ^b Kleiner 2007, p. 42.
^ Kleiner 2007, p. 48.
^ Kleiner 2007, p. 50.
^ Kleiner 2007, pp. 51–52.
^ Kleiner 2007, p. 54.
^ Monna 1975, pp. 55–56, citing Hilbert, David (1905), "Über das Dirichletsche Prinzip", Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German), vol. 129, pp. 63–67
^ Kleiner 2007, pp. 54–57.
^ Kleiner 2007, pp. 57–58.
^ Gordan, Paul (1868), "Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binären Form eine ganze Funktion mit numerischen Coeffizienten einer endlichen Anzahl solcher Formen ist", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 1868, no. 69, pp. 323–354, doi:10.1515/crll.1868.69.323, S2CID 120689164
^ ^a ^b Kleiner 2007, p. 58.
^ Frankel, A. (1914) "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. Reine Angew. Math. 145: 139–176
^ Corry, Leo (January 2000). "The origins of the definition of abstract rings". Modern Logic. 8 (1–2): 5–27. ISSN 1047-5982.
^ Kleiner 2007, pp. 58–59.
^ ^a ^b Kimberling 1981, p. 18.
^ Dick, Auguste (1981), Emmy Noether: 1882–1935, translated by Blocher, H. I., Birkhäuser, ISBN 3-7643-3019-8, p. 44–45.
^ Kleiner 2007, p. 59.
^ Kleiner 2007, p. 60.
^ Kleiner 2007, p. 70.
^ Kleiner 2007, p. 66.
^ "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F)".
^ Kleiner 2007, p. 67.
^ Kleiner 2007, pp. 72–73.
^ Kleiner 2007, pp. 74–76.
^ Hart, Roger (2011). The Chinese roots of linear algebra. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9958-4. OCLC 794700410.
^ Schumm, Bruce (2004), Deep Down Things, Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-7971-X

Bibliography

Gray, Jeremy (2018). A history of abstract algebra: from algebraic equations to modern algebra. Springer Undergraduate Mathematics Series. Cham, Switzerland. doi:10.1007/978-3-319-94773-0. ISBN 978-3-319-94773-0. S2CID 125927783.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
Kimberling, Clark (1981). "Emmy Noether and Her Influence". In Brewer, James W; Smith, Martha K (eds.). Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work. Marcel Dekker. pp. 3–61.
Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel (ed.). A history of abstract algebra. Boston, Mass.: Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0-8176-4685-1.
Monna, A. F. (1975), Dirichlet's principle: A mathematical comedy of errors and its influence on the development of analysis, Oosthoek, Scheltema & Holkema, ISBN 978-9031301751

External links

Charles C. Pinter (1990) [1982] A Book of Abstract Algebra, second edition, from University of Maryland

[1] Finston, David R.; Morandi, Patrick J. (29 August 2014). Abstract Algebra: Structure and Application. Springer. p. 58. ISBN 978-3-319-04498-9. Much of our study of abstract algebra involves an analysis of structures and their operations

[FOOTNOTEKleiner2007xi–xii-2] Kleiner 2007, pp. xi–xii.

[FOOTNOTEKleiner200741-3] Kleiner 2007, p. 41.

[4] van der Waerden, Bartel Leendert (1949). Modern Algebra. Vol I. Translated by Blum, Fred. New York, N. Y.: Frederick Ungar Publishing Co. MR 0029363.

[FOOTNOTEKleiner20071–13-5] Kleiner 2007, pp. 1–13.

[6] Euler, Leonard (1748). Introductio in Analysin Infinitorum [Introduction to the Analysis of the Infinite] (in Latin). Vol. 1. Lucerne, Switzerland: Marc Michel Bosquet & Co. p. 104.

[7] Martinez, Alberto (2014). Negative Math. Princeton University Press. pp. 80–109.

[FOOTNOTEKleiner200713–14-8] Kleiner 2007, pp. 13–14.

[FOOTNOTEKleiner200717–22-9] Kleiner 2007, pp. 17–22.

[AbsGroup-10] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "The abstract group concept", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.

[FOOTNOTEKleiner200723-11] Kleiner 2007, p. 23.

[12] Cayley, A. (1854). "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1". Philosophical Magazine. 4th series. 7 (42): 40–47. doi:10.1080/14786445408647421.

[13] Kronecker, Leopold (1895). "Auseinandeesetzung einiger eigenschaften der klassenanzahl idealer complexer zahlen" [An exposition of some properties of the class number of ideal complex numbers]. In Hensel, Kurt (ed.). Leopold Kronecker's werke : Herausgegeben auf veranlassung der Königlich preussischen akademie der wissenschaften. Leipzig ; Berlin : B.G. Teubner. p. 275.

[FOOTNOTEKleiner200727-14] Kleiner 2007, p. 27.

[FOOTNOTEKleiner200732-15] Kleiner 2007, p. 32.

[FOOTNOTEKleiner200733-16] Kleiner 2007, p. 33.

[FOOTNOTEKleiner200734-17] Kleiner 2007, p. 34.

[18] Frobenius, G. (April 2008) [1887]. "Neuer Beweis des Sylowschen Satzes" [New Proof of Sylow's Theorem] (PDF). Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). 1887 (100). Translated by Gutfraind, Sasha: 179–181. doi:10.1515/crll.1887.100.179. S2CID 117970003.

[FOOTNOTEKleiner200735-19] Kleiner 2007, p. 35.

[FOOTNOTEKleiner200742–43-20] Kleiner 2007, pp. 42–43.

[21] Cockle, James (1848). "On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra". The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 33. Taylor & Francis: 435–9. doi:10.1080/14786444808646139.

[22] Cockle, James (1849). "On Systems of Algebra involving more than one Imaginary". The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 35. Taylor & Francis: 434–7. doi:10.1080/14786444908646384.

[FOOTNOTEKleiner200743-23] Kleiner 2007, p. 43.

[FOOTNOTEKleiner200743–47-24] Kleiner 2007, pp. 43–47.

[FOOTNOTEKleiner200742-25] Kleiner 2007, p. 42.

[FOOTNOTEKleiner200748-26] Kleiner 2007, p. 48.

[FOOTNOTEKleiner200750-27] Kleiner 2007, p. 50.

[FOOTNOTEKleiner200751–52-28] Kleiner 2007, pp. 51–52.

[FOOTNOTEKleiner200754-29] Kleiner 2007, p. 54.

[30] Monna 1975, pp. 55–56, citing Hilbert, David (1905), "Über das Dirichletsche Prinzip", Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German), vol. 129, pp. 63–67

[FOOTNOTEKleiner200754–57-31] Kleiner 2007, pp. 54–57.

[FOOTNOTEKleiner200757–58-32] Kleiner 2007, pp. 57–58.

[33] Gordan, Paul (1868), "Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binären Form eine ganze Funktion mit numerischen Coeffizienten einer endlichen Anzahl solcher Formen ist", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 1868, no. 69, pp. 323–354, doi:10.1515/crll.1868.69.323, S2CID 120689164

[FOOTNOTEKleiner200758-34] Kleiner 2007, p. 58.

[35] Frankel, A. (1914) "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. Reine Angew. Math. 145: 139–176

[36] Corry, Leo (January 2000). "The origins of the definition of abstract rings". Modern Logic. 8 (1–2): 5–27. ISSN 1047-5982.

[FOOTNOTEKleiner200758–59-37] Kleiner 2007, pp. 58–59.

[FOOTNOTEKimberling198118-38] Kimberling 1981, p. 18.

[39] Dick, Auguste (1981), Emmy Noether: 1882–1935, translated by Blocher, H. I., Birkhäuser, ISBN 3-7643-3019-8, p. 44–45.

[FOOTNOTEKleiner200759-40] Kleiner 2007, p. 59.

[FOOTNOTEKleiner200760-41] Kleiner 2007, p. 60.

[FOOTNOTEKleiner200770-42] Kleiner 2007, p. 70.

[FOOTNOTEKleiner200766-43] Kleiner 2007, p. 66.

[44] "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F)".

[FOOTNOTEKleiner200767-45] Kleiner 2007, p. 67.

[FOOTNOTEKleiner200772–73-46] Kleiner 2007, pp. 72–73.

[FOOTNOTEKleiner200774–76-47] Kleiner 2007, pp. 74–76.

[48] Hart, Roger (2011). The Chinese roots of linear algebra. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9958-4. OCLC 794700410.

[49] Schumm, Bruce (2004), Deep Down Things, Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-7971-X

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

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