Adjugate matrix

선형 대수(linear algebra)에서, 정사각 행렬(square matrix) $A$ 의 수반(adjugate) 또는 고전적 인접(classical adjoint)은 여인수 행렬(cofactor matrix)의 전치이고 $adj(A)$ 로 표시됩니다.^[1]^[2] 그것은 역시 때때로 부가 행렬(adjunct matrix),^[3]^[4] 또는 "인접(adjoint)"이라고 알려져 있지만,^[5] 오늘날 후자의 용어는 통상적으로 행렬에 대해 켤레 전치(conjugate transpose)인 인접 연산자(adjoint operator)인 다른 개념을 참조합니다.

행렬과 그것의 수반 행렬의 곱은 그 대각선 엔트리가 원래 행렬의 행렬식(determinant)인 대각 행렬 (주요 대각선에 없는 엔트리는 0임)을 제공합니다:

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,

여기서 $I$ 는 $A$ 와 같은 크기의 항등 행렬(identity matrix)입니다. 결과적으로, 역-가능 행렬(invertible matrix)의 곱셈 역은 그 수반을 행렬식으로 나눔으로써 구할 수 있습니다.

Definition

$A$ 의 수반(adjugate)은 $A$ 의 여인수 행렬(cofactor matrix) $C$ 의 전치(transpose)입니다:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.

더 자세히, $R$ 이 단위 교환 링(commutative ring)이고 $A$ 가 $R$ 에서 엔트리를 갖는 $n \times n$ 행렬이라고 가정합니다. $M ij$ 로 표시되는 $A$ 의 $(i, j)$ -소행렬식(minor)은 $A$ 의 행 $i$ 와 열 $j$ 를 제거한 결과로 생긴 $(n - 1) \times (n - 1)$ 행렬의 행렬식(determinant)입니다. $A$ 의 여인수 행렬(cofactor matrix)은 그 $(i, j)$ 엔트리가 $A$ 의 $(i, j)$ 여인수(cofactor)인 $n \times n$ 행렬 $C$ 이며, 이는 $(i, j)$ -소행렬식 곱하기 부호 인수입니다:

\mathbf {C} =\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}.

$A$ 의 수반은 $C$ 의 전치, 즉, 그 $(i, j)$ 엔트리가 $A$ 의 $(j, i)$ 여인수인 $n \times n$ 행렬입니다:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}=\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\right)_{1\leq i,j\leq n}.

Important consequence

수반은 $A$ 와 그 수반의 곱이 그 대각선 엔트리가 행렬식 $det(A)$ 인 대각 행렬(diagonal matrix)을 산출하도록 정의됩니다. 즉,

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,

여기서 $I$ 는 $n \times n$ 항등 행렬(identity matrix)입니다. 이것은 행렬식의 라플라스 전개(Laplace expansion)의 결과입니다.

위 공식은 행렬 대수학의 기본 결과 중 하나, 즉 $A$ 가 역가능(invertible)인 것과 $det(A)$ 가 $R$ 의 역가능 원소(invertible element)인 것은 필요충분(iff) 조건임을 의미합니다. 이것이 성립할 때, 위 방정식은 다음을 산출합니다:

{\begin{aligned}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )&=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},\\\mathbf {A} ^{-1}&=\det(\mathbf {A} )^{-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).\end{aligned}}

Examples

1 × 1 generic matrix

0 x 0 행렬의 행렬식은 1이기 때문에, 임의의 1 × 1 행렬 (복소수 스칼라)의 수반은 $\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ 입니다. $\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {A} \mathbf {I} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I}$ 임을 관찰하십시오.

2 × 2 generic matrix

다음 2 × 2 행렬의 수반은

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

다음과 같습니다:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.

직접 계산에 의해,

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .

이 경우에서, $det$ ( $adj$ (A)) = $det$ (A)이고 따라서 $adj$ ( $adj$ (A)) = A라는 것도 참입니다.

3 × 3 generic matrix

다음 3 × 3 행렬을 생각해 보십시오

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}.

그것의 여인수 행렬은 다음과 같습니다:

\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},

여기서

{\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det \!{\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}.

그것은 수반은 그것의 여인수 행렬의 전치입니다,

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.

3 × 3 numeric matrix

구체적인 예제로, 다음을 가집니다:

\operatorname {adj} \!{\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.

수반은 행렬식의 역(inverse) 곱하기 행렬식, $-6$ 인지 확인하는 것은 쉽습니다.

수반의 두 번째 행, 세 번째 열에서 $-1$ 은 다음과 같이 계산되었습니다. 수반의 (2,3) 엔트리는 A의 (3,2) 여인수입니다. 이 여인수는 원래 행렬 A의 세 번째 행과 두 번째 열을 삭제함으로써 얻은 부분행렬(submatrix)을 사용하여 계산됩니다:

{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.

(3,2) 여인수는 부호 곱하기 이 부분행렬의 행렬식입니다:

(-1)^{3+2}\operatorname {det} \!{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,

그리고 이것은 수반의 (2,3) 엔트리입니다.

Properties

임의의 $n \times n$ 행렬 $A$ 에 대해, 기본 계산은 수반이 다음과 같은 속성을 가지고 있음을 보여줍니다:

$\operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I}$ , 여기서 $\mathbf {I}$ 는 항등 행렬(identity matrix)입니다.
$\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {0}$ , 여기서 $\mathbf {0}$ 은 영 행렬(zero matrix)이며, $n=1$ 이면 $\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {I}$ 임을 제외합니다.
$\operatorname {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )$ , 여기서 $c$ 는 임의의 스칼라입니다.
$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}$ .
$\det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-1}$ .
만약 A가 역가능이면, $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}$ $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}$ 입니다. 다음임이 따라옵니다:
- $adj(A)$ 는 역 $(det A) -1 A$ 을 갖는 역가능입니다.
- $adj(A -1) = adj(A) -1$ .
$adj(A)$ 는 $A$ 에서 엔트리별 다항식(polynomial)입니다. 특히, 실수(real) 또는 복소수에 걸쳐, 수반은 $A$ 의 엔트리의 매끄러운 함수(smooth function)입니다.

복소수에 걸쳐,

$\operatorname {adj} ({\overline {\mathbf {A} }})={\overline {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}}$ , 여기서 막대는 복소수 켤레(complex conjugation)를 나타냅니다.
$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{*})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{*}$ , 여기서 별표는 켤레 전치(conjugate transpose)를 나타냅니다.

$B$ 가 또 다은 $n \times n$ 행렬이라고 가정합니다. 그런-다음

\operatorname {adj} (\mathbf {AB} )=\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).

이는 세 가지 방법으로 입증될 수 있습니다. 한 가지 방법은, 임의의 교환 링에 대해 유효하며, 코시–비네 공식(Cauchy–Binet formula)을 사용한 직접 계산입니다. 두 번째 방법은, 실수 또는 복소수에 대해 유효하며, 먼저 역가능 행렬 $A$ 와 $B$ 에 대해 다음임을 관찰하는 것입니다:

\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {B} )\mathbf {B} ^{-1}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {AB} )(\mathbf {AB} )^{-1}=\operatorname {adj} (\mathbf {AB} ).

모든 각 비-역가능 행렬은 역가능 행렬의 극한이기 때문에, 수반의 연속성(continuity)은 그런-다음 $A$ 또는 $B$ 중 하나가 역가능이 아닐 때 공식이 참으로 유지된다는 것을 의미합니다.

이전 공식의 따름정리(corollary)는 임의의 비-음 정수 $k$ 에 대해 다음이라는 것입니다:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{k})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{k}.

만약 $A$ 가 역가능이면, 위의 공식은 역시 음수 $k$ 에 대해 유지됩니다.

다음 항등식으로부터

(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {A} +\mathbf {B} ),

우리는 다음을 추론합니다:

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {A} .

$A$ 가 $B$ 와 교환한다고 가정합니다. 왼쪽과 오른쪽의 항등식 $AB = BA$ 에 $adj(A)$ 를 곱하면 다음임을 입증합니다:

\det(\mathbf {A} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} ).

만약 $A$ 가 역가능이면, 이것은 $adj(A)$ 도 $B$ 와 교환한다는 것을 의미합니다. 실수 또는 복소수에 걸쳐, 연속성은 $A$ 가 역가능이 아닐 때조차도 $adj(A)$ 가 $B$ 와 교환한다는 것을 의미합니다.

마지막으로, 두 번째 증명보다 더 일반적인 증명이 있으며, 이는 n × n 행렬이 적어도 2n + 1 원소 (예를 들어, 정수 모듈로 11에 걸쳐 5 × 5 행렬)을 갖는 필드(field)에 걸쳐 엔트리를 갖기만 하면 됩니다. $det(A + t I)$ 는 많아야 차수 n을 갖는 t에서 다항식이므로, 그것은 많아야 n개의 근(roots)을 가집니다. $adj((A + t I)(B))$ 의 ij 번째 엔트리는 많아야 차수 n의 다항식이고, $adj(A + t I) adj(B)$ 에 대해서도 마찬가지임에 주목하십시오. ij 번째 엔트리에서 이들 두 다항식은 $A + t I$ 가 역가능인 필드의 적어도 n + 1 원소를 가지고, 역가능 행렬에 대해 항등식을 입증했으므로 적어도 n + 1개 점에서 일치합니다. n + 1개의 점에 일치하는 차수 n의 다항식은 동일해야 합니다 (그것들을 서로 빼고 많아야 차수 n의 다항식에 대해 n + 1개의 근을 가집니다 – 그것들의 차이가 동일하게 0이 아닌 한 모순입니다). 두 다항식은 동일하므로, 그것들은 모든 각 t의 값에 대해 같은 값을 가집니다. 따라서, 그것들은 t = 0일 때 같은 값을 취합니다.

위의 속성과 기타 기본 계산을 사용하여, $A$ 가 다음 속성 중 하나를 가지면, $adj A$ 도 마찬가지라는 것을 간단하게 보여줄 수 있습니다:

만약 $A$ 가 역가능이면, 위에서 언급한 대로, $A$ 의 행렬식과 역의 관점에서 $adj(A)$ 에 대한 공식이 있습니다. $A$ 가 역가능이 아닐 때, 수반은 다르지만 밀접하게 관련된 공식을 만족시킵니다.

만약 $rk(A) \leq n - 2$ 이면, $adj(A) = 0$ 입니다.
만약 $rk(A) = n - 1$ 이면, $rk(adj(A)) = 1$ 입니다. (일부 소행렬식은 비-영이므로, $adj(A)$ 는 비-영이고 따라서 랭크(rank) 적어도 1을 가집니다; 항등식 $adj(A) A = 0$ 은 $adj(A)$ 의 널공간(nullspace)의 차원(dimension)이 적어도 $n - 1$ 임을 의미하므로, 그것의 랭크는 많아야 1입니다.) 따라서 $adj(A) = α xy T$ 가 되며, 여기서 $α$ 는 스칼라이고 $x$ 와 $y$ 는 $Ax = 0$ 와 $A T y = 0$ 를 만족하는 벡터입니다.

Column substitution and Cramer's rule

$A$ 를 열 벡터(column vectors)로 분할합니다:

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.

$b$ 를 크기 $n$ 의 열 벡터라고 놓습니다. $1 \leq i \leq n$ 를 고정하고 $A$ 의 열 $i$ 를 $b$ 로 대체함으로써 형성된 행렬을 생각해 보십시오:

(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {b} &\mathbf {a} _{i+1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.

라플라스는 $i$ 열을 따라 이 행렬의 행렬식을 전개합니다. 결과는 곱 $adj(A) b$ 의 엔터리 $i$ 입니다. 다양한 가능한 $i$ 에 대해 이들 행렬식을 수집하면 열 벡터의 상등을 산출합니다:

\left(\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\right)_{i=1}^{n}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} .

이 공식은 다음과 같은 구체적인 결과를 가집니다. 다음 선형 방정식 시스템을 생각해 보십시오:

\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .

$A$ 가 비-특이(non-singular)라고 가정합니다. 왼쪽의 이 시스템에 $adj(A)$ 를 곱하고 행렬식으로 나누면 다음을 산출합니다:

\mathbf {x} ={\frac {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} }{\det \mathbf {A} }}.

이 상황에 이전 공식을 적용하면 크라메르의 규칙(Cramer's rule)을 산출합니다:

x_{i}={\frac {\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )}{\det \mathbf {A} }},

여기서 $x i$ 는 $x$ 의 $i$ 번째 엔트리입니다.

Characteristic polynomial

$A$ 의 특성 다항식(characteristic polynomial)을 다음과 같이 놓습니다:

p(s)=\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\sum _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s].

$p$ 의 첫 번째 나누어진 차이(divided difference)는 차수 $n - 1$ 의 대칭 다항식(symmetric polynomial)입니다:

\Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\sum _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t].

$s I - A$ 에 그 수반을 곱합니다. 케일리-해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)에 의해 $p (A) = 0$ 이기 때문에, 일부 기본 조작이 드러납니다:

\operatorname {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\Delta p(s\mathbf {I} ,\mathbf {A} ).

특히, $A$ 의 분해(resolvent)는 다음으로 정의됩니다:

R(z;\mathbf {A} )=(z\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1},

그리고 위의 공식에 의해, 이것은 다음과 같습니다:

R(z;\mathbf {A} )={\frac {\Delta p(z\mathbf {I} ,\mathbf {A} )}{p(z)}}.

Jacobi's formula

수반은 행렬식의 도함수(derivative)에 대한 야코비의 공식(Jacobi's formula)에도 나타납니다. 만약 $A (t)$ 가 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)이면, 다음과 같습니다:

{\frac {d(\det \mathbf {A} )}{dt}}(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (\mathbf {A} (t))\mathbf {A} '(t)\right).

따라서 행렬식의 전체 도함수(total derivative)는 수반의 전치입니다:

d(\det \mathbf {A} )_{\mathbf {A} _{0}}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} _{0})^{\mathsf {T}}.

Cayley–Hamilton formula

$p A (t)$ 를 $A$ 의 특성 다항식이라고 놓습니다. 케일리-해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)는 다음이라고 말합니다:

p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=\mathbf {0} .

상수 항을 분리하고 방정식에 $adj(A)$ 를 곱하면 $A$ 와 $p A (t)$ 의 계수에만 의존하는 수반에 대한 표현식을 제공합니다. 이들 계수는 완비 지수 벨 다항식(Bell polynomials)을 사용하여 $A$ 의 거듭제곱의 대각합(traces)의 관점에서 명시적으로 표현될 수 있습니다. 결과 수식은 다음과 같습니다:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{\ell =1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\ell })^{k_{\ell }},

여기서 $n$ 은 $A$ 의 차원이고, 합은 $s$ 와 다음 선형 디오판토스 방정식(Diophantine equation)을 만족시키는 $k l \geq 0$ 의 모든 수열에 걸쳐 취합니다:

s+\sum _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1.

2 × 2 경우에 대해, 이것은 다음을 제공합니다:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {I} _{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} .

3 × 3 경우에 대해, 이것은 다음을 제공합니다:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{3}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)-\mathbf {A} (\operatorname {tr} \mathbf {A} )+\mathbf {A} ^{2}.

4 × 4 경우에 대해, 이것은 다음을 제공합니다:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathbf {I} _{4}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right)-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)+\mathbf {A} ^{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} ^{3}.

같은 공식은 $A$ 의 특성 다항식을 효율적으로 결정하는 파데예프–르베리에 알고리듬(Faddeev–LeVerrier algorithm)의 종료 단계에서 직접 따릅니다.

Relation to exterior algebras

수반은 외부 대수(exterior algebras)를 사용하여 추상적인 용어로 볼 수 있습니다. $V$ 를 $n$ -차원 벡터 공간이라고 놓습니다. 외부 곱(exterior product)은 다음과 같은 쌍선형 쌍을 정의합니다:

V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V.

추상적으로, $\wedge ^{n}V$ 는 $R$ 과 동형적(isomorphic)이고, 임의의 그러한 동형 아래에서 외부 곱은 완전 쌍화(perfect pairing)를 이룹니다. 그러므로, 그것은 다음과 같은 동형을 산출합니다:

\phi \colon V\ \xrightarrow {\cong } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V).

명시적으로, 이 쌍은 $v \in V$ 를 $\phi _{\mathbf {v} }$ 로 보내며, 여기서

\phi _{\mathbf {v} }(\alpha )=\mathbf {v} \wedge \alpha .

$T : V \to V$ 가 선형 변환(linear transformation)이라고 가정합니다. $T$ 의 $(n - 1)$ 번째 외부 거듭제곱에 의한 당김은 $Hom$ 공간의 사상을 유도합니다. $T$ 의 수반(adjugate)은 다음과 같은 합성입니다:

V\ \xrightarrow {\phi } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}} \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {\phi ^{-1}} \ V.

만약 $V = R n$ 이 정식의 기저(canonical basis) $e 1, \dots, e n$ 이 부여되고, 이 기저(basis)에서 $T$ 의 행렬이 $A$ 이면, $T$ 의 수반은 $A$ 의 수반입니다. 이유를 확인하기 위해, $\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n}$ 에 기저를 제공합니다:

\{\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\}_{k=1}^{n}.

$R n$ 의 기본 벡터 $e i$ 를 고정합니다. $\phi$ 아래에서 $e i$ 의 이미지는 기본 벡터를 보내는 위치에 따라 결정됩니다:

\phi _{\mathbf {e} _{i}}(\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

기본 벡터 위에, $T$ 의 $(n - 1)$ 번째 외부 거듭제곱은 다음과 같습니다:

\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto \sum _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}.

이들 각 항은 $k = i$ 항을 제외하고 $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$ 아래에서 영으로 매핑됩니다. 그러므로, $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$ 의 당김은 다음에 대한 선형 변환입니다:

\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},

즉, 그것은 다음과 같습니다:

\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{\mathbf {e} _{j}}.

$\phi$ 의 역을 적용하면 $T$ 의 수반이 다음에 대한 선형 변환임을 알 수 있습니다:

\mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{j}.

결과적으로, 그 행렬 표현은 $A$ 의 수반입니다.

만약 $V$ 가 안의 곱(inner product)과 부피 형식이 부여되면, 맵 $φ$ 는 더 분해될 수 있습니다. 이 경우에서, $φ$ 는 호지 별 연산자(Hodge star operator)와 이중화의 합성으로 이해될 수 있습니다. 구체적으로, 만약 $ω$ 가 부피 형식이면, 그것은 안의 곱과 함께 동형을 결정합니다:

\omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbf {R} .

이것은 다음 동형을 유도합니다:

\operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbf {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.

$R n$ 에서 벡터 $v$ 는 다음 선형 함수형에 해당합니다:

(\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.

호지 별 연산자의 정의에 의해, 이 선형 함수형은 $* v$ 와 이중입니다. 즉, $ω \lor \circ φ$ 는 $v \mapsto * v \lor$ 와 같습니다.

Higher adjugates

$A$ 를 $n \times n$ 행렬이라고 놓고, $r \geq 0$ 을 고정합니다. $A$ 의 $r$ 번째 더 높은 수반( $r$ th higher adjugate)은 $adj r A$ 로 표시되는 ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ 행렬이며, 그 엔트리는 ${1, ..., m}$ 의 크기 $r$ 부분집합 $I$ 와 $J$ 에 의해 인덱싱됩니다. $I c$ 와 $J c$ 는 각각 $I$ 와 $J$ 의 여집합을 나타낸다고 놓습니다. 역시 $\mathbf {A} _{I^{c},J^{c}}$ 는 그 인덱스가 각각 $I c$ 와 $J c$ 에 있는 행과 열을 포함하는 $A$ 의 부분행렬을 나타낸다고 놓습니다. 그런-다음 $adj r A$ 의 $(I, J)$ 엔트리는 다음입니다:

(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det \mathbf {A} _{J^{c},I^{c}},

여기서 $σ(I)$ 와 $σ(J)$ 는 각각 $I$ 와 $J$ 의 원소의 합입니다.

더 높은 수반의 기본 속성은 다음을 포함합니다:

$adj 0 (A) = det A$ .
$adj 1 (A) = adj A$ .
$adj n (A) = 1$ .
$adj r (BA) = adj r (A) adj r (B)$ .
$\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )C_{r}(\mathbf {A} )=C_{r}(\mathbf {A} )\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )I_{\binom {n}{r}}$ , where $C r (A)$ denotes the $r$ th compound matrix.

더 높은 수반은 $V$ $\wedge ^{r}V$ 와 $\wedge ^{n-1}V$ 를 각각 $\wedge ^{r}V$ 와 $\wedge ^{n-r}V$ 로 대체하여 보통의 수반과 유사한 방식으로 추상적인 대수적 용어로 정의될 수 있습니다.

Iterated adjugates

역가능 행렬 A의 수반을 $k$ 번 반복적으로 취하면 다음을 산출합니다:

\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}},

\det(\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}.

예를 들어,

\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} .

\det(\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} )))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{2}}.

References

^ Gantmacher, F. R. (1960). The Theory of Matrices. Vol. 1. New York: Chelsea. pp. 76–89. ISBN 0-8218-1376-5.
^ Strang, Gilbert (1988). "Section 4.4: Applications of determinants". Linear Algebra and its Applications (3rd ed.). Harcourt Brace Jovanovich. pp. 231–232. ISBN 0-15-551005-3.
^ Claeyssen, J.C.R. (1990). "On predicting the response of non-conservative linear vibrating systems by using dynamical matrix solutions". Journal of Sound and Vibration. 140 (1): 73–84. doi:10.1016/0022-460X(90)90907-H.
^ Chen, W.; Chen, W.; Chen, Y.J. (2004). "A characteristic matrix approach for analyzing resonant ring lattice devices". IEEE Photonics Technology Letters. 16 (2): 458–460. doi:10.1109/LPT.2003.823104.
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Bibliography

Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

External links

Matrix Reference Manual
Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
"Adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }". Wolfram Alpha.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[1] Gantmacher, F. R. (1960). The Theory of Matrices. Vol. 1. New York: Chelsea. pp. 76–89. ISBN 0-8218-1376-5.

[2] Strang, Gilbert (1988). "Section 4.4: Applications of determinants". Linear Algebra and its Applications (3rd ed.). Harcourt Brace Jovanovich. pp. 231–232. ISBN 0-15-551005-3.

[3] Claeyssen, J.C.R. (1990). "On predicting the response of non-conservative linear vibrating systems by using dynamical matrix solutions". Journal of Sound and Vibration. 140 (1): 73–84. doi:10.1016/0022-460X(90)90907-H.

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