Algebraic number

대수적 숫자(algebraic number)는 유리(rational) 계수를 갖는 (또는 동등하게, 분모를 제거(clearing denominators)함으로써, 정수(integer) 계수를 갖는) 하나의 변수에서 비-영 다항식(polynomial)의 근(root) (즉, 다항식을 0으로 만드는 값)인 임의의 (실수(real number)를 포함하는) 복소수(complex number)입니다.

모든 정수와 유리수는, 모두 정수의 근(roots of integers)이기 때문에, 대수적입니다. $π$ 및 $e$ 와 같은 대수적이 아닌 실수와 복소수는 초월적 숫자(transcendental number)라고 불립니다.

복소수의 집합(set)은 셀-수-없지만(uncountable), 대수적 숫자의 집합은 셀-수-있고(countable) 복소수의 부분집합으로 르베그 측정(Lebesgue measure)에서 측정 영(measure zero)을 가집니다. 해당 의미에서, 거의 모든(almost all) 복소수는 초월적(transcendental)입니다.

Examples

모든 유리수(rational number)는 대수적입니다. 정수(integer) $a$ 와 (비-영) 자연수(natural number) $b$ 의 몫으로 표현된 임의의 유리수는 위의 정의를 만족시키는데 왜냐하면 $x = a / b$ 는 비-영 다항식, 즉 $bx - a$ 의 근이기 때문입니다.^[1]
유리 계수 $a$ , $b$ , 및 $c$ 를 갖는 이차 다항식 $ax 2 + bx + c$ 의 이차 무리수(quadratic irrational number)는 대수적 숫자입니다. 만약 이차 무리수가 일계수 ( $a = 1$ )이면, 근은 이차 정수(quadratic integer)로 더 제한됩니다.
구성-가능 숫자(constructible number)는 직선자와 컴퍼스를 사용하여 주어진 단위 길이로부터 구성될 수 있습니다. 그것은 모든 이차 무리수, 모든 유리수, 및 기본 산술 연산(basic arithmetic operations)과 제곱근의 추출을 사용하여 이것들로부터 형성될 수 있는 모든 숫자를 포함합니다. (1, −1, $i$ , 및 − $i$ 에 대해 세는 방향을 지정함으로써, $3+i{\sqrt {2}}$ 와 같은 복소수가 구성-가능으로 고려됩니다.)
기본 산술 연산과 $n$ -번째 근( $n$ th roots)의 추출의 임의의 조합을 사용하여 대숫적 숫자로부터 형성된 임의의 표현은 또 다른 대수적 숫자를 제공합니다.
기본 산술 연산과 $n$ -번째 근의 관점에서 표현될 수 있는 다항식 근 (예를 들어, $x 5 - x + 1$ 의 근). 그것은 많이 발생하지만 차수 5 이상의 모든 다항식이 그렇지는 않습니다.
가우스 정수(Gaussian integer), $a$ 와 $b$ 둘 다가 정수이고 역시 이차 정수인 복소수 $a + bi$ .
$π$ 의 유리(rational) 배수의 삼각 함수(trigonometric functions)의 값 (정의되지 않을 때 제외): 즉, $cos π / 7$ , $cos 3 π / 7$ , $cos 5 π / 7$ 와 같은 삼각 숫자(trigonometric number)는 $8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0$ 를 만족시킵니다. 다항식은 유리수에 걸쳐 기약(irreducible)이고 따라서 셋의 코사인은 켤레 대수적 숫자입니다. 마찬가지로, $tan 3 π / 16$ , $tan 7 π / 16$ , $tan 11 π / 16$ , $tan 15 π / 16$ 는 기약 다항식 $x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0$ 을 만족시키고, 따라서 켤레 대수적 정수(algebraic integer)입니다.
일부 무리수는 대수적입니다:
- 무리수 ${\sqrt {2}}$ 와 ${\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}$ 은 대수적인데 왜냐하면 그것들은 각각 다항식 $x 2 - 2$ 와 $8 x 3 - 3$ 의 근이기 때문입니다.
- 황금 비율(golden ratio) $φ$ 는 대수적인데 왜냐하면 그것은 다항식 $x 2 - x - 1$ 의 근이기 때문입니다.
- 숫자 $π$ 와 e는 대수적 숫자가 아닙니다 (린데만–바이어슈트라스 정리(Lindemann–Weierstrass theorem)를 참조하십시오).^[2]

Properties

Algebraic numbers on the complex plane colored by degree (red = 1, green = 2, blue = 3, yellow = 4)

대수적 숫자가 주어지면, 그 숫자를 근으로 가지는 최소 차수(degree)의 (유리 계수를 가진) 고유한 일계수 다항식(monic polynomial)이 있습니다. 이 다항식은 그것의 최소 다항식(minimal polynomial)이라고 불립니다. 만약 그것의 최소 다항식이 차수 $n$ 을 가지면, 대숫적 숫자는 차수 $n$ 인 것으로 말합니다. 예를 들어, 모든 유리수(rational number)는 차수 1을 가지고, 차수 2의 대수적 숫자는 이차 무리수(quadratic irrational)입니다.
실수 대수적 숫자는 실수에서(in the reals) 조밀(dense)하고, 선형적으로 순서화된(linearly ordered) 것이고, 처음과 마지막 원소가 없습니다 (따라서 유리수의 집합과 순서-동형적(order-isomorphic)입니다).
대수적 숫자의 집합은 셀-수-있는 (열거-가능한) 것이고,^[3]^[4] 따라서 복소수의 부분집합으로 그것의 르베그 측정(Lebesgue measure)은 0입니다 (본질적으로, 대수적 숫자는 복소수에서 공간을 차지하지 않습니다.) 즉 말하자면, "거의 모든(almost all)" 실수와 복소수는 초월적입니다.
모든 대수적 숫자는 계산-가능(computable)이고 따라서 정의-가능(definable)이고 산술적(arithmetical)입니다.
실수 $a$ 와 $b$ 에 대해, 복소수 $a + bi$ 가 대수적인 것과 $a$ 와 $b$ 둘 다가 대수적인 것은 필요충분 조건입니다.^[5]

Field

두 대수적 숫자의 합, 차이, 곱과 (만약 분모가 비-영이면) 몫은 결과식(resultant)을 사용함으로써 시연할 수 있는 것처럼 다시 대수적이고, 대수적 숫자는 따라서 필드(field) $ℚ$ 를 형성합니다 (때때로 $\mathbb {A}$ 로 표시되지만, 보통 아델 링(adele ring)을 표시하는 것입니다). 계수가 대수적 숫자인 다항 방정식의 모든 각 근은 다시 대수적입니다. 그것은 대수적 숫자의 분야가 대수적으로 닫힌(algebraically closed) 것이라고 말함으로써 다시 표현될 수 있습니다. 사실, 그것은 유리수를 포함하는 가장 작은 대수적으로-닫힌 필드이고 따라서 유리수의 대수적 클로저(algebraic closure)라고 불립니다.

실수 대수적 숫자 자체의 집합은 필드를 형성합니다.^[6]

Related fields

Numbers defined by radicals

유한(finite) 숫자의 복소 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈(division)을 사용하고 $n$ 이 양의 정수인 $n$ 번째 근 (제곱근 표현(radical expression))을 사용하여 정수에서 얻어질 수 있는 모든 숫자는 대수적입니다. 그 전환은, 어쨌든, 참이 아닙니다: 이 방식으로 얻어질 수 없는 대수적 숫자가 있습니다. 이들 숫자는 갈루아 이론(Galois theory)의 결과, 5차 이상의 다항식의 근입니다 (오차 방정식(Quintic equation)과 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)를 참조하십시오). 예를 들어, 다음 방정식은,

x^{5}-x-1=0

다음에 의해 제공되는 고유한 실수 근을 가집니다:^{[citation needed]}

{\begin{aligned}x&={}_{4}F_{3}\left(\left.{\begin{matrix}-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}}\\{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}}\end{matrix}}\right|{\frac {3125}{256}}\right)+{\frac {1}{4}}\cdot {}_{4}F_{3}\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}}\\{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}}\end{matrix}}\right|{\frac {3125}{256}}\right)-{\frac {5}{32}}\cdot {}_{4}F_{3}\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}}\\{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\right|{\frac {3125}{256}}\right)+{\frac {5}{32}}\cdot {}_{4}F_{3}\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}}\\{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}}\end{matrix}}\right|{\frac {3125}{256}}\right)\\[8pt]&=1.167303978261418684\ldots \end{aligned}}

여기서 다음은 일반화된 초기하 함수(generalized hypergeometric function)입니다:

{}_{p}F_{q}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\ldots ,b_{q}\end{matrix}}\right|z\right)

.

Closed-form number

대수적 숫자는 유리수에서 시작하여 다항식의 관점에서 명시적으로 또는 암시적으로 정의될 수 있는 모든 숫자입니다. 우리는 이것을 "닫힌-형식 숫자(closed-form number)"로 일반화할 수 있으며, 이것은 다양한 방법으로 정의될 수 있습니다. 가장 광범위하게, 다항식, 지수, 및 로그의 관점에서 명시적 또는 암시적으로 정의될 수 있는 모든 숫자는 "초등 숫자(elementary number)"라고 불리고, 이것들은 대수적 숫자와 일부 초월 숫자를 포함합니다. 가장 좁게, 우리는 다항식, 지수, 및 로그의 관점에서 명시적으로 정의된 숫자를 고려할 수 있습니다 – 이것은 모든 대수적 숫자를 포함하지 않지만, $e$ 또는 ln 2와 같은 일부 간단한 초월적 숫자를 포함합니다.

Algebraic integers

Algebraic numbers colored by leading coefficient (red signifies 1 for an algebraic integer)

대수적 정수는 선행하는 계수 1 (일계수 다항식(monic polynomial))와 함께 정수 계수를 갖는 다항식의 근이 대수적 숫자입니다. 대수적 숫자의 예제는 $5+13{\sqrt {2}}$ , $2-6i$ , 및 ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}})}$ 입니다. 그러므로, 대수적 정수는 정수(integer)의 적절한 초월집합(superset)을 구성하는데, 왜냐하면 후자는 모든 $k \in ℤ$ 에 대해 일계수 다항식 $x - k$ 의 근이기 때문입니다. 이 의미에서, 대수적 정수는 정수(integer)가 유리수(rational number)에 대한 것처럼 대수적 숫자에 대한 것입니다.

대수적 정수의 합, 차이 및 곱은 다시 대수적 정수이며, 이것은 대수적 정수가 링(ring)을 형성함을 의미합니다. 이름 대수적 정수는 오직 대수적 정수인 유리수가 정수라는 사실에서 오고, 임의의 숫자 필드(number field)에서 대수적 정수가 많은 방법에서 정수와 유사하기 때문입니다. 만약 $K$ 가 숫자 필드이면, 그것의 정수의 링(ring of integers)은 $K$ 에서 대수적 정수의 부분링이고, 자주 $O K$ 로 표시됩니다. 이것들은 데데킨트 도메인(Dedekind domain)의 원형적 예제입니다.

Special classes

Notes

^ Some of the following examples come from Hardy and Wright 1972: 159–160 and pp. 178–179
^ Also, Liouville's theorem can be used to "produce as many examples of transcendental numbers as we please," cf. Hardy and Wright p. 161ff
^ Hardy and Wright 1972:160 / 2008:205
^ Niven 1956, Theorem 7.5.
^ Niven 1956, Corollary 7.3.
^ Niven (1956) p. 92.

References

Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-004763-5, MR 1129886
Hardy, G. H. and Wright, E. M. 1978, 2000 (with general index) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, MR 1070716
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Niven, Ivan 1956. Irrational Numbers, Carus Mathematical Monograph no. 11, Mathematical Association of America.
Ore, Øystein 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)

[1] Some of the following examples come from Hardy and Wright 1972: 159–160 and pp. 178–179

[2] Also, Liouville's theorem can be used to "produce as many examples of transcendental numbers as we please," cf. Hardy and Wright p. 161ff

[3] Hardy and Wright 1972:160 / 2008:205

[4] Niven 1956, Theorem 7.5.

[5] Niven 1956, Corollary 7.3.

[6] Niven (1956) p. 92.

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