Algebraic operation

Original article: w:Algebraic operation

Algebraic operations in the solution to the quadratic equation. The radical sign, √ denoting a square root, is equivalent to exponentiation to the power of ½. The ± sign means the equation can be written with either a + or with a – sign.

수학(mathematic)에서, 기본 대수적 연산(algebraic operation)은 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈(division), 정수 거듭제곱(power)을 올리는 것, 및 제곱근(root) (분수적 거듭제곱)을 취하는 것인, 산술(arithmetic)의 공통적인 연산(operation) 중 임의의 하나입니다. 이들 연산은 숫자(number)에 대해 수행될 수 있으며, 이 경우에서 그것들은 종종 산술 연산(arithmetic operations)이라고 불립니다. 그것들은 역시, 유사한 방법으로, 변수(variables), 대수적 표현(algebraic expression), 및 보다 일반적으로, 그룹(groups)과 필드(fields)와 같은, 대수적 구조(algebraic structure)의 원소에서 수행될 수 있습니다. 대수적 연산은 역시 집합(set)의 데카르트 거듭제곱(Cartesian power)에서 같은 집합으로의 함수로 간단히 정의될 수 있습니다.

용어 대수적 연산(algebraic operation)은 역시 점 곱(dot product)과 같은, 기본 대수적 연산을 합성함으로써 정의될 수 있는 연산에 사용될 수 있습니다. 미적분학(calculus)과 수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 대수적 연산은 역시 순수하게 대수적 방법(algebraic methods)에 의해 정의될 수 있는 연산에 사용됩니다. 예를 들어, 정수(integer) 또는 유리수(rational) 지수를 갖는 지수화(exponentiation)는 대수적 연산이지만, 실수(real) 또는 복소수(complex) 지수를 갖는 일반적인 지수화는 그렇지 않습니다. 역시, 도함수(derivative)는 대수적이 아닌 연산입니다.

Notation

두 변수 또는 항 사이에 연산자가 없을 때, 또는 계수(coefficient)가 사용될 때, 곱셈 기호는 보통 생략되고, 암시됩니다. 예를 들어, 3 × x²는 3x²로 쓰이고, 2 × x × y는 2xy로 쓰입니다. 때때로, 곱셈 기호는 x × y가 x . y 또는 x · y 중 하나로 쓰여지도록, 점, 또는 가운데-점으로 대체됩니다. 일반 텍스트(plain text), 프로그래밍 언어(programming languages), 및 계산기(calculators)는 역시 곱셈 기호를 나타내기 위해 단일 별표를 사용하고, 그것은 명시적으로 사용되어야 합니다; 예를 들어, 3x는 3 * x로 쓰입니다.

모호한 나눗셈 기호(division sign) (÷)를 사용하는 대신, 나눗셈은 보통, 3/x + 1에서 처럼, 괄선(vinculum), 수평 줄로 표시됩니다. 일반 텍스트 및 프로그래밍 언어에서, 슬래시 (역시 사선(solidus)이라고 불림)가, 예를 들어 3 / (x + 1)에서 처럼, 사용됩니다.

지수는 보통, x²에서 처럼, 위첨자를 사용하여 형식-지정됩니다. 일반 텍스트(plain text) 및 텍(TeX) 마크-업 언어에서, 캐럿(caret) 기호 ^는 지수를 나타내므로, x²은 x ^ 2으로 쓰입니다. 에이다(Ada), 포트란(Fortran), 펄(Perl), 파이선(Python) 및 루비(Ruby)와 같은 프로그래밍 언어에서, 이중 별표가 사용되므로, x²은 x ** 2로 쓰입니다.

더하기-빼기 기호(plus-minus sign), ±는, 더하기 기호를 갖는 하나의 표현, 빼기 기호를 갖는 다른 하나의 표현을 나타내는, 하나로 쓰인 두 표현에 대해 속기 표기법으로 사용됩니다. 예를 들어, y = x ± 1는 두 방정식 y = x + 1 및 y = x − 1를 나타냅니다. 때때로, 그것은 ±x와 같은 양수-또는-음수 항을 표시하는 것에 사용됩니다.

Arithmetic vs algebraic operations

대수적 연산은, 아래 테이블에서 볼 수 있듯이, 산술 연산(arithmetic operations)과 같은 방법으로 작동합니다.

연산	대수 예제	산술 예제	의견 ≡는 "동등함"을 의미 ≢는 "동등하지 않음"을 의미
덧셈	$(5\times 5)+5+5+3$ 아래와 동등함: $5^{2}+(2\times 5)+3$	$(b\times b)+b+b+a$ 아래와 동등함: $b^{2}+2b+a$	${\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}$
뺄셈	$(7\times 7)-7-5$ 아래와 동등함: $7^{2}-7-5$	$(b\times b)-b-a$ 아래와 동등함: $b^{2}-b-a$	${\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}$
곱셈	$3\times 5$ 또는 $3\ .\ 5$   또는   $3\cdot 5$ 또는   $(3)(5)$	$a\times b$ 또는 $a.b$   또는   $a\cdot b$ 또는   $ab$	$a\times a\times a$는 $a^{3}$와 같습니다
나눗셈	$12\div 4$ 또는   $12/4$ 또는   ${\frac {12}{4}}$	$b\div a$ 또는   $b/a$ 또는   ${\frac {b}{a}}$	${\frac {(a+b)}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)$
지수화	$3^{\frac {1}{2}}$   $2^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$   $a^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$는 ${\sqrt {a}}$와 같습니다   $a^{3}$는 $a\times a\times a$와 같습니다

주목: 문자 $a$와 $b$의 사용은 임의적이고, 예제는 만약 $x$와 $y$가 사용되면 같이 유효할 것입니다.

Properties of arithmetic and algebraic operations

속성	산술 예제	대수 예제	의견 ≡는 "동등함"을 의미 ≢는 "동등하지 않음"을 의미
교환성	$3+5=5+3$ $3\times 5=5\times 3$	$a+b=b+a$ $a\times b=b\times a$	덧셈과 곱셈은 교환적이고 결합적입니다 뺄셈과 나눗셈은 그렇지 않습니다: 예를 들어 $(a-b)\not \equiv (b-a)$
결합성	$(3+5)+7=3+(5+7)$ $(3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)$	$(a+b)+c=a+(b+c)$ $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

See also

• Algebraic expression
• Algebraic function
• Elementary algebra
• Factoring a quadratic expression
• Order of operations