Axiom of choice

Original article: wikipedia:Axiom of choice

This article is about the mathematical concept. For the band, see Axiom of Choice (band).

Illustration of the axiom of choice, with each S_i and x_i represented as a jar and a colored marble, respectively

(S_i) is an infinite indexed family of sets indexed over the real numbers R; that is, there is a set S_i for each real number i, with a small sample shown above. Each set contains at least one, and possibly infinitely many, elements. The axiom of choice allows us to arbitrarily select a single element from each set, forming a corresponding family of elements (x_i) also indexed over the real numbers, with x_i drawn from S_i. In general, the collections may be indexed over any set I, (called index set which elements are used as indices for elements in a set) not just R.

수학(mathematics)에서, 선택의 공리(axiom of choice), 또는 AC는 비-빈 집합의 모음의 데카르트 곱(Cartesian product)은 비-빈이다라는 명제와 동등한 집합 이론(set theory)의 공리(axiom)입니다. 비공식적으로 말하자면, 선택의 공리는 각각이 적어도 하나의 대상을 포함하는, 임의의 상자의 모음이 주어지면, 심지어 모음이 무한대(infinite)일지라도, 각 상자에서 정확하게 하나의 대상의 선택할 수 있다고 말합니다. 공식적으로, 비-빈(nonempty) 집합의 모든 각 인덱스된 가족(indexed family) $(S_{i})_{i\in I}$에 대해, 모든 각 $i\in I$에 대해 $x_{i}\in S_{i}$를 만족하는 원소의 인덱스된 가족 $(x_{i})_{i\in I}$가 있다고 말합니다. 선택의 공리는, 바른-순서화 정리(well-ordering theorem)의 그의 증명을 공식화하기 위해 1904년 에른스트 체르멜로(Ernst Zermelo)에 의해 공식화되었습니다.

많은 경우에, 그러한 선택은 선택의 공리의 호출없이 만들어질 수 있습니다; 이것은 만약 집합의 숫자가 유한이거나, 선택 규칙이 이용될 수 있으면, 특히 그런 경우입니다 – 각 집합에서 정확히 하나의 원소에 대해 유지하기 위해 발생하는 일부 두드러지는 속성입니다. 예시적인 예제는 자연수로부터 선택되는 집합입니다. 그러한 집합에서, 우리는 항상 가장 작은 숫자를 선택할 수 있습니다. 예를 들어, 집합 {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}}이 주어지면, 각각 가장 작은 원소를 포함하는 집합은 {4, 10, 1}입니다. 이런 경우에서, "가장 작은 숫자를 선택하기"는 하나의 선택 함수(choice function)입니다. 심지어 무한하게 많은 집합이 자연수로부터 모아지더라도, 집합을 생성하기 위해 각 집합에서 가장 작은 원소를 선택하는 것이 항상 가능합니다. 즉, 선택 함수는 선택된 원소의 집합을 제공합니다. 어쨌든, 선택 함수는 (만약 비-구성가능 실수(non-constructible reals)가 있으면) 실수의 모든 비-빈 부분집합의 모음에 대해 알려져 있지 않습니다. 해당 경우에서, 선택의 공리가 반드시 호출되어야 합니다.

버트런드 러셀(Bertrand Russell)은 하나의 비유를 만들었습니다: 신발 쌍의 임의의 (심지어 무한) 모음에 대해, 우리는 적절한 선택을 얻기 위해 각 쌍에서 왼쪽 신발을 골라낼 수 있습니다; 이것은 직접적으로 선택 함수를 정의할 수 있게 만듭니다. (구별하는 특징을 가지지 않는 것으로 가정된) 양말의 쌍의 무한 모음에 대해, 선택의 공리를 호출없이, 각 쌍에서 하나의 양말을 선택하는 함수를 만드는 분명한 방법은 없습니다.

비록 원래 논란의 여지가 있었지만, 선택의 공리는 이제 대부분의 수학자들에 의해 제한없이 사용되고, 그것은 공리적 집합 이론(axiomatic set theory), 선택의 공리를 갖는 체르멜로–프렝켈 집합 이론 (ZFC)의 표준 형식에 포함됩니다. 이 사용에 대해 하나의 동기는 티호노프의 정리(Tychonoff's theorem)와 같은 일반적으로 인정되는 여러 수학적 결과가 그것들의 증명에 대해 선택의 공리를 요구한다는 것입니다. 현대의 집합 이론가는 역시 결정력의 공리(axiom of determinacy)와 같은 선택의 공리와 호환되지 않는 공리를 연구합니다. 비록 선택의 공리가 받아들여지는 구성적 수학(constructive mathematics)의 종류가 있을지라도, 선택의 공리는 구성적 수학의 일부 종류에서는 피해집니다.

Statement

선택 함수(choice function) (역시 선택자 또는 선택이라고 불림)는, 비-빈 집합의 모음 X 위에 정의된, X에서 모든 각 집합 A에 대해, f(A)는 A의 원소임을 만족하는 함수 f입니다. 이 개념과 함께, 그 공리는 다음임을 명시할 수 있습니다:

공리 — 비-빈 집합의 임의의 집합 X에 대해, X 위에 정의되고 X의 각 집합을 그 집합의 원소에 매핑하는 선택 함수 f가 존재합니다.

형식적으로, 이것은 다음처럼 표현될 수 있습니다:

$\forall X\left[\varnothing \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\,.$

따라서, 선택의 공리의 부정(negation)은 선택 함수를 가지지 않는 비-빈 집합의 모음이 존재한다고 말합니다. ($p\rightarrow q\Longleftrightarrow \lnot [p\land (\lnot q)]$이므로, $\lnot (p\rightarrow q)\Longleftrightarrow p\land (\lnot q)$ 여기서 $\lnot$는 부정입니다.)

비-빈 집합의 모음 X 위에 각 선택 함수는 X에 있는 집합의 데카르트 곱(Cartesian product)의 원소입니다. 이것은 주어진 집합이 인수로 한 번보다 많이 발생할 수 있는 집합 가족(family)의 데카르트 곱의 가장 일반적인 상황은 아닙니다; 어쨌든, 우리는 주어진 집합이 인수로 나타날 때마다 같은 원소를 선택하는 그러한 곱의 원소에 집중할 수 있고, 그러한 원소는 가족에서 모든 구별되는 집합의 데카르트 곱의 원소에 해당합니다. 선택의 공리는 그러한 원소의 존재를 주장합니다; 그것은 따라서 다음과 동등합니다:

비-빈 집합의 임의의 가족이 주어지면, 그것들의 데카르트 곱은 비-빈 집합입니다.

Nomenclature ZF, AC, and ZFC

이 기사와 선택 공리의 다른 논의에서, 다음과 같은 약어가 공통적입니다:

• AC – 선택의 공리(the Axiom of Choice).
• ZF – 선택의 공리를 생략하는 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory).
• ZFC – 선택 공리를 포함하도록 확장된 체르멜로–프렝켈 집합 이론.

Variants

선택의 공리의 많은 다른 동등한 명제가 있습니다. 이것들은 집합 이론의 다른 기본 공리의 존재에서, 그것들이 선택의 공리를 함축하고 그것에 의해 함축된다는 의미에서 동등합니다.

한 변형은 사실상 각 선택 함수를 그것의 범위로 대체함으로써 선택 함수의 사용을 피합니다.

쌍-별 서로소(pairwise disjoint) 비-빈 집합의 임의의 집합 X가 주어지면, X에서 각 집합과 공통으로 정확하게 하나의 원소를 포함하는 적어도 하나의 집합 C가 존재합니다.

이것은 집합 X의 임의의 분할에 대해 분할의 각 부분에서 정확하게 하나의 원소를 포함하는 X의 부분집합 C의 존재를 보장합니다.

또 다른 동등한 공리는 오직 본질적으로 다른 집합의 거듭제곱 집합인 집합 X를 고려합니다:

임의의 집합 A에 대해, A의 거듭제곱 집합(power set) (빈 집합이 제거됨)은 선택 함수를 가집니다.

이 공식화를 사용하는 저자는 종종 A 위에 선택 함수에 대해 이야기하지만, 이것은 선택 함수의 약간 다른 개념입니다. 그것의 도메인은 A의 거듭제곱 집합 (빈 집합이 제거됨)이고, 따라서 임의의 집합 A에 대해 의미가 있고, 반면에 이 기사에서 다른 곳에서 사용된 정의와 함께, 집합의 모음 위에 선택 함수의 도메인은 해당 모음이고, 따라서 오직 집합의 집합에 대해 의미가 있습니다. 선택 함수의 이 대안적인 개념과 함께, 선택의 공리는 다음과 같이 간결하게 설명될 수 있습니다:

모든 각 집합은 선택 함수를 가집니다.

이것은 다음과 동등합니다:

임의의 집합 A에 대해, A의 임의의 비-빈 부분집합 B에 대해, f(B)가 B 안에 놓임을 만족하는 함수 f가 있습니다.

그 공리의 부정은 따라서 다음처럼 표현될 수 있습니다:

(A의 비-빈 부분집합의 집합 위에) 모든 함수 f에 대해, f(B)가 B에 놓이지 않음을 만족하는 B가 있음을 만족하는 집합 A가 있습니다.

Restriction to finite sets

선택의 공리의 보통의 명제는 비-빈 집합의 모음이 유한인지 무한인지 여부를 지정하지 않았고, 따라서 비-빈 집합의 모든 각 유한 모음(finite collection)은 선택 함수를 가짐을 의미합니다. 어쨌든, 그 특정한 경우는 선택의 공리 (ZF)없이 체르멜로–프렝켈 집합 이론의 정리입니다; 그것은 유한 귀납법의 원칙(principle of finite induction)에 의해 쉽게 입증됩니다. 하나의 집합의 모음의 훨씬 더 간단한 경우에서, 선택 함수는 단지 원소에 해당하므로, 선택의 공리의 이 인스턴스는 모든 각 비-빈 집합이 원소를 가진다고 말합니다; 이것은 자명하게 유지됩니다. 선택의 공리는 유한 모음에 대해 이미 명백한 이 속성을 임의적인 모음에 일반화하는 것으로 보일 수 있습니다.

Usage

19세기 후반까지, 선택의 공리는, 비록 그것이 여전히 형식적으로 언급되지는 않았을지라도, 암묵적으로 종종 사용되었습니다. 예를 들어, 집합 X가 오직 비-빈 집합을 포함한다는 것을 수립한 후, 수학자는 함수 F를 정의하기 위해 "F(s)를 X에서 모든 s에 대해 s의 구성원 중 하나라고 놓습니다"라고 말할 수 있습니다. 일반적으로, F가 선택의 공리없이 존재한다는 것을 입증하는 것은 불가능하지만, 이것은 체르멜로(Zermelo)까지 주목받지 못한 것 같습니다.

모든 각 상황이 완전한 선택의 공리를 요구하지는 않습니다. 집합 X의 유한 모음에 대해, 선택의 공리는 집합 이론의 다른 공리에서 비롯됩니다. 이 경우에서, 만약 우리가 각각에 적어도 하나의 항목을 포함하는 여러 개 (유한한 개수)의 상자를 가지면, 우리는 각 상자에서 정확하게 하나의 항목을 선택할 수 있다고 말하는 것과 동등합니다. 분명하게, 우리는 유한 귀납법의 원리로 이것을 할 수 있습니다: 우리는 첫 번째 상자에서 시작하여 하나의 항목을 선택합니다; 두 번째 상자로 이동하여 하나의 항목을 선택합니다; 이런 식으로 계속됩니다. 상자의 개수는 유한하므로, 귀납법은 우리의 선택 절차가 잘-정의되고 결국 종료됨을 보장합니다. 그 결과는 명시적 선택 함수입니다: 첫 번째 상자를 우리가 선택했던 첫 번째 원소로, 두 번째 상자를 우리가 선택했던 두 번째 원소로 가져오는 식으로 계속되는 함수입니다. 이것은 유한 집합으로 제한된 선택의 공리 (즉, "모든 자연수 k에 대해, k 비-빈 집합의 모든 각 가족은 선택 함수를 갖는다"는 명제)가 유한 귀납법의 공리의 직접적인 결과이고 ZF 넘어서 어떤 것도 필요하지 않는다는 것을 보여줍니다. 어쨌든, 이 논증은 만약 집합 X의 모음이 무한대이면 작동하지 않을 것입니다. 예를 들어, 비-빈 집합의 모든 각 무한 수열이 셀-수-있는 선택의 공리(axiom of countable choice)에 의해 주장되는 것처럼 선택 함수를 가지고 있음을 보여주기 위해, 우리는 유한 귀납법을 넘어 셀-수-있는 초월유한 귀납법으로 넘어갈 필요가 있습니다. 만약 위의 방법이 비-빈 집합의 무한 수열 (X_i : i∈ω)에 적용되면, 함수는 각 유한 단계에서 얻어지지만, 전체 가족에 대해 선택 함수가 구성되는 단계가 없고, "극한하는" 선택 함수는 일반적으로 (ZF 내에서) 구성될 수 있습니다. 셀-수-있는 초월유한 귀납법 (일명 의존 선택의 공리(axiom of dependent choice))은 본질적으로 그러한 "극한하는" 선택 함수의 존재를 보장하고, 따라서 셀-수-있는 선택의 공리를 암시합니다. 그것은 어쨌든 완전한 선택의 공리보다 더 약합니다.

Examples

모음에서 개별 비-빈 집합의 본성은 심지어 특정 무한 모음에 대해 선택의 공리를 피하는 것을 가능하게 만들 수 있습니다. 예를 들어, 모음 X의 각 구성원이 자연수의 비-빈 부분집합이라고 가정합니다. 모든 각 그러한 부분집합은 가장 작은 원소를 가지므로, 선택 함수를 지정하기 위해 우리는 그것이 각 집합을 해당 집합의 최소 원소로 매핑한다고 간단히 말할 수 있습니다. 이것은 우리에게 각 집합에서 원소의 명확한 선택을 제공하고, 선택의 공리를 적용할 필요가 없도록 만듭니다.

그 어려움은 각 집합에서 원소의 자연스러운 선택이 없을 때 나타납니다. 만약 우리가 명시적인 선택을 만들 수 없으면, 우리는 우리의 집합이 존재한다는 것을 어떻게 압니까? 예를 들어, X가 실수의 모든 비-빈 부분집합의 집합이라고 가정합니다. 먼저 우리가 X가 유한한 것처럼 진행하려고 시도할 수 있습니다. 만약 우리가 각 집합에서 원소를 선택하려고 시도하면, X가 무한이기 때문에, 우리의 선택 절차가 결코 끝나지 않고, 결과적으로, 우리는 모든 X에 대해 선택 함수를 생성할 수 없습니다. 다음으로 우리는 각 집합에서 최소 원소를 지정하도록 시도할 수 있습니다. 그러나 실수의 일부 부분집합은 최소 원소를 가지지 않습니다. 예를 들어, 열린 구간(interval) (0,1)은 최소 원소를 가지지 않습니다: 만약 x가 (0,1) 안에 있으면, x/2도 마찬가지이고, x/2는 항상 x보다 엄격하게 작습니다. 따라서 이 시도는 역시 실패합니다.

추가적으로, 예를 들어 단위 원 S와 모든 유리수 회전으로 구성되는 그룹 G에 의한 S 위에 동작을 생각해 보십시오. 즉, 이것들은 π의 유리수 배수인 각도에 의한 회전입니다. 여기서 G는 셀-수-있지만 S는 셀-수-없는 것입니다. 따라서 S는 G 아래에서 셀-수-없게 많은 궤도로 나뉩니다. 선택의 공리를 사용하여, 우리는 각 궤도에서 단일 점을 선택할 수 있으며, G에 의한 모든 평행이동이 X와 서로소라는 속성을 갖는 S의 셀-수-없는 부분집합 X를 얻습니다. 그들 평행이동의 집합은 원을 모두 쌍별로 합동인 서로소 집합의 셀-수-있는 모음으로 분할합니다. X가 S 위에 임의의 회전-불변 셀-수-있는 덧셈 유한 측정에 대해 측정-가능이 아니기 때문에, 각 궤도에서 한 점을 선택하기 위한 알고리듬을 찾으려면 공리의 선택를 요구합니다. 자세한 내용에 대해 비-측정가능 집합(non-measurable set)을 참조하십시오.

우리가 자연수의 부분집합에서 최소 원소를 선택할 수 있는 이유는 자연수가 바른-순서(well-order)화된 것이라는 사실입니다: 자연수의 모든 각 비-빈 부분집합은 자연스러운 순서화 아래에서 고유한 최소 원소를 가집니다. 우리는 "심지어 실수의 보통 순서화가 작동하지 않더라도, 바른-순서화인 실수의 다른 순서화를 찾는 것이 가능할 수 있습니다. 그런-다음 우리는 선택 함수가 우리의 비범한 순서화 아래에서 모든 각 집합의 최소 원소를 선택할 수 있습니다"라고 말할 수 있습니다. 그 문제는 그런-다음 바른-순서화를 구성하는 문제가 되며, 이것은 그것의 존재에 대해 선택의 공리를 요구하는 것으로 판명됩니다; 모든 각 집합은 바른-순서화될 수 있는 것과 선택의 공리가 유지되는 것은 필요충분 조건입니다.

Criticism and acceptance

선택의 공리를 요구하는 증명은 집합 이론의 언어에서 대상을 명시적으로 정의함(defining)없이 대상의 존재를 수립할 수 있습니다. 예를 들어, 선택의 공리가 실수의 순서가 바른-순서화(well-ordering)가 있음을 의미하지만, 실수의 바른-순서화는 정의될 수 없다는 선택의 공리를 갖는 집합 이론의 모델이 있습니다. 유사하게, 비록 르베그 측정-가능(Lebesgue measurable)이 아닌 실수의 부분집합이 선택의 공리를 사용하여 존재하는 것을 입증할 수 있지만, 그러한 집합이 정의할 수 없다는 것이 일관(consistent)됩니다.

선택의 공리는 일부 철학적 원칙과 충돌할 수 있는 이들 무형자산 (존재하는 것으로 입증되었지만, 명시적으로 구성될 수 없는 대상)의 존재를 입증합니다. 모든 집합의 정식의(canonical) 바른-순서화가 없기 때문에, 바른-순서화에 의존하는 구성은 심지어 정식의 결과가 (카테고리 이론(category theory)에서 흔히 있는 것처럼) 희망되지 않더라도 정식의 결과를 생성하지 않을 수 있습니다. 이것은 선택의 공리의 사용에 반대하는 논증으로 사용되어 왔습니다.

선택의 공리에 반대하는 또 다른 논증은 그것이 반직관적으로 보일 수 있는 대상의 존재를 의미한다는 것입니다. 한 가지 예제는 3-차원 고체 단위 공을 유한하게 많은 조각으로 분해하고, 오직 회전과 평행이동을 사용하여, 조각을 원래와 같은 부피를 갖는 둘의 고체 공으로 재조립할 수 있다는 바나흐-타르스키 역설(Banach–Tarski paradox)입니다. 선택의 공리를 사용하여 구성된 이 분해에서 조각은 비-측정가능 집합(non-measurable set)입니다.

이들 겉보기에 역설(paradox)적인 사실에도 불구하고, 대부분의 수학자들은 선택의 공리를 수학에서 새로운 결과를 입증하는 데 유효한 원칙으로 받아들입니다. 어쨌든, 그 논쟁은 ZFC (ZF + AC)에서 정리가 선택 공리와 (단지 ZF 공리를 갖는) 논리적으로 동등(logically equivalent)하고, 수학자들은 선택의 공리가 거짓이어야 하는 결과를 찾을 때 참고로 고려되지만, 이 유형의 추론은 선택의 공리를 참으로 요구하는 유형보다 덜 공통적임이 충분히 흥미롭습니다.

선택의 공리도 그것의 부정도 사용하지 않고 많은 정리를 입증하는 것이 가능합니다; 그러한 명제는 해당 특정 모델에서 선택의 공리의 진실 또는 거짓에 관계없이 ZF의 임의의 모델(model)에서 참일 것입니다. ZF에 대한 제한은 선택의 공리 또는 그 부정에 의존하는 임의의 주장을 증명할 수 없도록 만듭니다. 예를 들어, 바나흐-타르스키 역설은 ZF 단독으로 입증할 수도 반증할 수도 없습니다: ZF에서 단위 공의 요구된 분해를 구성하는 것은 불가능하지만, 그러한 분해가 없음을 입증하는 것도 불가능합니다. 유사하게, 그것들의 증명을 위해 선택 또는 일부 그보다 약한 버전을 요구하는 아래 나열된 모든 명제는 ZF에서 입증할 수 없지만, 각각은 ZF와 선택의 공리에서 입증-가능하기 때문에, 각 명제가 참인 ZF 모델이 있습니다. 바나흐-타르스키 역설과 같은 명제는 조건부 명제로 바꾸어 말할 수 있으며, 예를 들어, "만약 AC가 유지되면, 바나흐-타르스키 역설에서 분해가 존재합니다." 그러한 조건부 명제는 원래 명제가 ZF와 선택의 공리에서 입증될 수 있을 때 ZF에서 입증될 수 있습니다.

In constructive mathematics

위에서 논의한 바와 같이, ZFC에서, 선택의 공리는 비록 명시적인 예제가 구성되지 않더라도 대상의 존재가 입증되는 "비구성적 증명(nonconstructive proof)"을 제공할 수 있습니다. ZFC는, 어쨌든, 여전히 고전적 논리에서 형식화됩니다. 선택의 공리는 역시 비고전적 논리가 사용되는 구성적 수학의 문맥에서 철저하게 연구되어 왔습니다. 선택의 공리의 상태는 구성적 수학의 다양한 종류 사이에서 변합니다.

마틴-뢰프 유형 이론(Martin-Löf type theory)과 고차 헤이팅 산술(Heyting arithmetic)에서, 선택의 공리의 적절한 명제는 (접근 방식에 따라) 공리로 포함되거나 정리로 증명-가능으로 포함됩니다. 에렛 비숍(Errett Bishop)은 선택의 공리가 구성적으로 수용-가능, 말하자면 다음이라고 주장했습니다:

선택 함수는 구성적 수학에 존재하는데, 왜냐하면 선택은 존재의 참다운 의미에 함축되어 있기 때문입니다.

구성적 집합 이론(constructive set theory)에서, 어쨌든, 디아코네스쿠의 정리(Diaconescu's theorem)는 선택의 공리가 제외된 중간의 법칙(law of excluded middle)을 암시한다는 것을 보여줍니다 (마틴-뢰프 유형 이론과 달리, 여기서 그것은 그렇지 않습니다). 따라서 선택의 공리는 구성적 집합 이론에서 일반적으로 사용할 수 없습니다. 이러한 차이에 대해 원인은 유형 이론에서 선택의 공리가 구성적 집합 이론에서 가지는 선택의 공리가 가지는 확장성(extensionality) 속성을 가지지 않기 때문입니다.

구성적 집합 이론에서 일부 결과는 구성적 집합 이론에서 제외된 중간의 법칙을 의미하지 않는 셀-수-있는 선택의 공리(axiom of countable choice) 또는 종속 선택의 공리(axiom of dependent choice)를 사용합니다. 비록 셀-수-있는 선택의 공리는 특히 구성적 수학에서 공통적으로 사용되지만, 그것의 사용은 역시 의문이 제기되어 왔습니다.

Independence

See also: List of statements independent of ZFC

1938년에, 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)은 선택의 공리의 부정은 ZFC를 만족시키는 내부 모델(inner model) (구성-가능 우주(constructible universe))을 구성하고 따라서 ZFC가 만약 ZF 자체가 일관되면 일관됨을 보임으로써 ZF의 정리가 아님을 보여주었습니다. 1963년에, 폴 코언(Paul Cohen)은 ZF가 일관적이라고 가정하면, 선택의 공리 자체가 ZF의 정리가 아님을 보여주기 위해, 이러한 목적으로 개발된 강제법(forcing)의 기법을 사용했습니다. 그는 ZF¬C (공리로 더해진 AC의 부정을 갖는 ZF)를 만족시키는 훨씬 더 복잡한 모델을 구성하고 따라서 ZF¬C가 일관됨을 보여줌으로써 이것을 수행했습니다.

이들 결과는 함께 선택의 공리가 ZF와 논리적으로 독립적(logically independent)임을 수립합니다. ZF가 일관된다는 가정은 무해한데 왜냐하면 이미 일관되지 않은 시스템에 또 다른 공리를 더하는 것은 상황을 악화시킬 수 없기 때문입니다. 독립때문에, 증명에서 선택의 공리 (또는 그 부정)를 사용할지 여부의 결정은 집합 이론의 다른 공리에 호소하여 만들어질 수 없습니다. 그 결정은 다른 이유로 내려져야 합니다.

선택의 공리를 사용하는 것에 찬성하는 한 가지 주장은 그렇지 않으면 입증될 수 없는 일부 단순화 제안을 입증할 수 있기 때문에 그것을 사용하는 것이 편리하다는 것입니다. 선택을 사용하여 입증할 수 있는 많은 정리는 우아한 일반 성질을 가집니다: 다른 것들 중에서, 임의의 두 집합의 카디널리티는 비교될 수 있고, 단일성을 갖는 모든 각 비-자명한 링(ring)은 최대 아이디얼(maximal ideal)을 가지고, 모든 각 벡터 공간(vector space)은 기저(basis)를 가지고, 모든 각 연결된 그래프(connected graph)는 스패닝 트리(spanning tree)를 가지고, 컴팩트 공간(compact space)의 모든 각 곱(product)은 컴팩트입니다. 선택의 공리없이, 이들 정리는 큰 카디널리티의 수학적 대상에 유지되지 않을 수 있습니다.

독립성 결과의 증명은 역시 페아노 산술(Peano arithmetic) 언어로 표현될 수 있는 모든 명제를 포함하여 광범위한 수학적 명제가 ZF에서 입증-가능인 것과 그것들이 ZFC에서 입증-가능인 것은 필요충분 조건임을 보여줍니다. 이 클래스에서 명제는 P = NP라는 명제, 리만 가설(Riemann hypothesis), 및 많은 다른 미해결된 수학적 문제를 포함합니다. 우리가 이 클래스에서 문제를 풀려고 시도할 때, 만약 유일한 질문이 증명의 존재라면 ZF를 사용하든 ZFC를 사용하든 차이가 없습니다. 어쨌든, ZF보다 ZFC에서 정리의 더 짧은 증명이 있을 가능성이 있습니다.

선택의 공리는 ZF와 독립적인 유일한 중요한 명제가 아닙니다. 예를 들어, 일반화된 연속체 가설(generalized continuum hypothesis) (GCH)은 ZF와 독립적일 뿐만 아니라 ZFC와도 독립적입니다. 어쨌든, ZF + GCH는 AC를 의미하며, 심지어 그것들이 둘 다 ZF와 독립적이지만 GCH는 AC보다 엄격하게 더 강한 주장을 만듭니다.

Stronger axioms

구성가능성의 공리(axiom of constructibility)와 일반화된 연속체 가설(generalized continuum hypothesis) 각각은 선택의 공리를 내포하고 따라서 그것보다 엄격하게 더 강합니다. 폰 노이만–베르나이스–괴델 집합 이론(Von Neumann–Bernays–Gödel set theory)과 모스–켈리 집합 이론(Morse–Kelley set theory)과 같은 클래스 이론에서, 집합에 대해 선택의 공리보다 더 강한 전역 선택의 공리(axiom of global choice)라고 불리는 공리가 있는데 왜냐하면 그것은 역시 적절한 클래스에 적용되기 때문입니다. 전역 선택의 공리는 크기의 제한의 공리(axiom of limitation of size)에서 비롯됩니다. 타르스키–그로텐디크 집합 이론(Tarski–Grothendieck set theory)에서 사용되고 모든 각 집합이 일부 그로텐디크 우주(Grothendieck universe)에 속한다고 (전문 용어로) 기술하는 타르스키의 공리는 선택의 공리보다 더 강합니다.

Equivalents

ZF이지만 AC도 아니고 ¬AC도 아닌 공리를 가정하면 선택의 공리와 동등한 중요한 명제가 있습니다. 그 중 가장 중요한 것은 조온의 보조정리(Zorn's lemma)와 바른-순서화 정리(well-ordering theorem)입니다. 사실, 체르멜로는 처음에 바른-순서화 정리의 그의 증명을 공식화하기 위해 선택의 공리를 도입했습니다.

• 집합 이론(Set theory)
  • 선택에 대한 타르스키의 정리(Tarski's theorem about choice): 모든 각 무한 집합 A에 대해, 집합 A와 A×A 사이의 전단사 맵(bijective map)이 있습니다.
  • 삼분법(Trichotomy): 만약 두 집합이 주어지면, 그것들이 같은 카디널리티를 가지거나, 하나가 다른 하나보다 더 작은 카디널리티를 가집니다.
  • 둘의 비-빈 집합이 주어지면, 하나는 다른 하나에 전사를 가집니다.
  • 모든 각 전사 함수(surjective function)는 오른쪽 역(right inverse)을 가집니다.
  • 비-빈 집합의 임의의 가족의 데카르트 곱(Cartesian product)은 비-빈입니다. 다시 말해서, 비-빈 집합의 모든 각 가족은 선택 함수 (즉, 각 비-빈 집합을 그것의 원소 중 하나로 매핑하는 함수)를 가집니다.
  • 쾨니그의 정리(König's theorem): 구어체로, 세는-숫자의 수열의 합은 더 큰 세는-숫자의 수열의 곱보다 엄격하게 작습니다. ("구어체로"라는 용어의 이유는 세는 숫자의 "수열"의 합 또는 곱은 자체로 선택의 공리의 일부 관점없이 정의될 수 없기 때문입니다.)
  • 바른-순서화 정리(Well-ordering theorem): 모든 각 집합은 바른-순서화될 수 있습니다. 결과적으로, 모든 각 세는-숫자(cardinal)는 초기 순서-숫자(initial ordinal)를 가집니다.
  • 부분적으로 순서화된 집합 S의 모든 각 원소는 S에서 엄격하게 위쪽 경계를 가지지 않는 바른-순서화된 부분집합의 최소 원소입니다.
  • 조온의 보조정리(Zorn's lemma): 모든 각 체인 (즉, 전체적으로 순서화된 부분집합)이 위쪽 경계를 가지는 모든 각 비-빈 부분적으로 순서화된 집합은 적어도 하나의 최대 원소를 포함합니다.
  • 하우스도르프 최대 원리(Hausdorff maximal principle): 모든 각 부분적으로 순서화된 집합은 최대 체인을 가집니다. 동등하게, 임의의 부분적으로 순서화된 집합에서, 모든 각 체인은 최대 체인으로 확장될 수 있습니다.
  • 투키의 보조정리(Tukey's lemma): 유한 문자(finite character)의 모든 각 비-빈 모음은 포함에 관한 최대 원소를 가집니다.
  • 역체인(Antichain) 원리: 모든 각 부분적으로 순서화된 집합은 최대 역체인(antichain)을 가집니다. 동등하게, 임의의 부분적으로 순서화된 집합에서, 모든 각 역체인은 최대 역체인으로 확장될 수 있습니다.
• 추상 대수학(Abstract algebra)
  • 모든 각 벡터 공간(vector space)은 기저(basis) (즉, 선형적으로 독립 스패닝 부분집합)을 가집니다. 다시 말해서, 벡터 공간은 자유 모듈과 동등합니다.
  • 크룰의 정리(Krull's theorem): (자명한 링 이외의) 모든 각 단위 링(ring)은 최대 아이디얼(maximal ideal)을 포함합니다. 동등하게, 임의의 비-자명한 단위 링에서, 모든 각 아이디얼은 최대 아이디얼로 확장될 수 있습니다.
  • 모든 각 비-빈 집합 S에 대해, 그것을 그룹 구조(group structure)로 제공하는 S 위에 정의된 이항 연산(binary operation)이 있습니다. (취소(cancellative) 이항 연산은 충분하며, 그룹 구조와 선택의 공리를 참조하십시오.)
  • 모든 각 자유 아벨 그룹(free abelian group)은 투영적(projective)입니다.
  • 베어의 기준(Baer's criterion): 모든 각 나눔-가능 아벨 그룹(divisible abelian group)은 단사(injective)입니다.
  • 모든 각 집합은 집합의 카테고리(category) 집합(Set)에서 투영적 대상(projective object)입니다.
• 함수형 해석학(Functional analysis)
  • 실수에 걸쳐 노름 벡터 공간(normed vector space)의 이중의 닫힌 단위 공은 극단 점(extreme point)을 가집니다.
• 점-집합 토폴로지(Point-set topology)
  • 연결된(connected) 토폴로지적 공간(topological space)의 임의의 가족의 데카르트 곱(Cartesian product)은 연결된 것입니다.
  • 티호노프의 정리(Tychonoff's theorem): 컴팩트(compact) 토폴로지적 공간의 임의의 가족의 데카르트 곱은 컴팩트입니다.
  • 곱 토폴로지에서, 부분집합의 곱의 클로저(closure)는 클로저의 곱과 같습니다.
• 수학적 논리(Mathematical logic)
  • 만약 S가 일-차 논리(first-order logic)의 문장의 집합이고 B가 S의 일관된 부부집합이면, B는 S의 일관된 부분집합 중에서 최대인 집합에서 포함됩니다. S가 주어진 시그니처(signature)에서 모든 일-차 문장의 집합인 특수한 경우는 부울 소수 아이디얼 정리(Boolean prime ideal theorem)와 동등한 더 약한 것입니다; 아래의 "Weaker forms" 섹션을 참조하십시오.
• 대수적 토폴로지(Algebraic Topology)
  • 모든 각 연결된 그래프(connected graph)는 스패닝 트리(spanning tree)를 가집니다. 동등하게, 모든 각 비-빈 그래프는 스패닝 포레스트(spanning forest)를 가집니다. 다시 말해서, 그래프는 자유 CW 복합체 (즉, 자유 기본 그룹을 갖는 복합체)와 동등합니다.

Category theory

카테고리 이론(category theory)에서 그것들의 증명에 대해 선택의 공리를 호출하는 몇 가지 결과가 있습니다. 이들 결과는 기술 토대의 강도에 의존하는 선택의 공리보다 약하거나, 동등하거나, 더 강할 수 있습니다. 예를 들어, 만약 우리가 집합의 관점에서 카테고리, 즉 대상과 모피즘의 집합 (보통 작은 카테고리(small category)라고 불림) 또는 심지어 지역적으로 작은 카테고리로 정의하며, 그것의 홈-대상이 집합이면, 모든 집합의 카테고리는 없고, 따라서 카테고리-이론적 공식에 대해 모든 집합에 적용하는 것은 어렵습니다. 다른 한편으로, 카테고리 이론의 다른 기초적인 설명은 상당히 더 강력하고, 동일한 카테고리-이론적 선택의 명제는 위에서 언급된 표준 공식화, 클래스 이론 류의 것보다 더 강력할 수 있습니다.

선택을 요구하는 카테고리-이론적 명제의 예제는 다음을 포함합니다:

• 모든 각 작은 카테고리(category)는 뼈대(skeleton)를 가집니다.
• 만약 둘의 작은 카테고리가 약하게 동등하면, 그것들은 동등한(equivalent) 것입니다.
• 적절한 대 집합 조건을 만족시키는 작은-완전한 카테고리 위에 모든 각 연속 함수자는 왼쪽-인접(left-adjoint)을 가집니다 (프레이드(Freyd) 인접 함수자 정리).

Weaker forms

선택의 공리와 동등하지 않지만, 밀접하게 관련된 몇 가지 약한 명제가 있습니다. 한 가지 예제는 종속 선택의 공리(axiom of dependent choice) (DC)입니다. 여전히 더 약한 예제는 셀-수-있는 선택의 공리(axiom of countable choice) (AC_ω or CC)로, 선택 함수는 비-빈 집합의 임의의 셀-수-있는 집합에 대해 존재함을 말합니다. 이들 공리는 기본 수학적 해석학(mathematical analysis)에서 많은 증명에 대해 충분하고, 전체 선택의 공리에서 반증할 수 있는 모든 실수의 집합의 르베그 측정가능성과 같은 일부 원칙과 일관됩니다.

선택의 공리보다 약한 다른 선택 공리는 부울 소수 아이디얼 정리(Boolean prime ideal theorem)와 균등화의 공리(axiom of uniformization)를 포함합니다. 전자는 ZF에서 타르스키(Tarski)의 1930 극단필터 보조정리(ultrafilter lemma)와 동등합니다: 모든 각 필터(filter)는 일부 극단필터(ultrafilter)의 부분집합입니다.

Results requiring AC (or weaker forms) but weaker than it

선택 공리의 가장 흥미로운 측면 중 하나는 그것이 나타나는 수학에서 많은 위치입니다. 다음은 ZF에서 입증할 수 없지만 ZFC (ZF + AC)에서 입증할 수 있다는 의미에서 선택의 공리를 요구하는 몇 가지 명제입니다. 동등하게, 이들 명제는 ZFC의 모든 모델에서 참이지만 ZF의 일부 모델에서는 거짓입니다.

• 집합 이론(Set theory)
  • (ZF를 갖는) 극단필터 보조정리(ultrafilter lemma)는 유한 집합에 대해 선택의 공리를 입증하기 위해 사용될 수 있습니다: 비-빈 유한 집합의 $I\neq \varnothing$와 모음 $\left(X_{i}\right)_{i\in I}$이 주어지면, 그것들의 곱 $\prod _{i\in I}X_{i}$은 빈 것이 아닙니다.
  • 셀-수-있는 집합(countable sets)의 임의의 셀-수-있는 가족의 합집합은 셀-수-있는 것입니다 (이것은 셀-수-있는 선택(countable choice)을 요구하지만 완전한 선택의 공리를 요구하지는 않습니다).
  • 만약 집합 A가 무한(infinite)이면, 자연수(natural number) N에서 A로의 단사(injection)가 존재합니다 (데데킨트 무한(Dedekind infinite)을 참조하십시오.
  • 유한 집합(finite set)의 여덟 가지 정의는 동등한 것입니다.
  • $S$가 베르 공간(Baire space)의 보렐(Borel) 부분집합인 모든 각 무한 게임(game) $G_{S}$는 결정적(determined)입니다.
• 측정 이론(Measure theory)
  • 비-측정가능 집합(non-measurable set)의 존재 위에 비탈리 정리(Vitali theorem)는 르베그 측정-가능(Lebesgue measurable)이 아닌 실수(real numbers)의 부분집합이 있음을 말합니다.
  • 하우스도르프 역설(Hausdorff paradox).
  • 바나흐-타르스키 역설(Banach–Tarski paradox).
• 대수학(Algebra)
  • 모든 각 필드(field)는 대수적 클로저(algebraic closure)를 가집니다.
  • 모든 각 필드 확장(field extension)은 초월 기저(transcendence basis)를 가집니다.
  • 모든 각 무한-차원 벡터 필드(vector field)는 무한하게 선형적으로 독립 부분집합을 가집니다 (이것은 종속 선택(dependent choice)을 요구하지만 완전한 선택의 공리를 요구하지는 않습니다).
  • 부울 대수에 대해 스톤의 표시 정리는 부울 소수 아이디얼 정리(Boolean prime ideal theorem)를 필요로 합니다.
  • 닐센–슈라이어 정리(Nielsen–Schreier theorem)는, 자유 그룹의 모든 각 부분그룹은 자유라고 말합니다.
  • R과 C의 덧셈 그룹은 동형적입니다.
• 함수형 해석학(Functional analysis)
  • 함수형 해석학(functional analysis)에서 한–바나흐 정리(Hahn–Banach theorem)는 선형 함수형(linear functionals)의 확장을 허용합니다.
  • 모든 각 힐베르트 공간(Hilbert space)은 직교정규 기저를 가진다는 정리
  • 함수형의 집합의 컴팩트성에 대한 바나흐–앨러오글루 정리(Banach–Alaoglu theorem)
  • 완비(complete) 메트릭 공간(metric space)에 대한 베르 카테고리 정리(Baire category theorem)와 그것의 결과, 예를 들어, 열린 매핑 정리(open mapping theorem)와 닫힌 그래프 정리(closed graph theorem).
  • 모든 무한-차원 토폴로지적 벡터 공간 위에, 불연속 선형 맵(discontinuous linear map)이 있습니다.
• 일반 토폴로지(General topology)
  • 균등 공간이 컴팩트인 것과 그것이 완비이고 전체적으로 경계진 것은 필요충분 조건입니다.
  • 모든 각 티호노프 공간(Tychonoff space)은 스톤–체흐 컴팩트화(Stone–Čech compactification)를 가집니다.
• 수학적 논리(Mathematical logic)
  • 일-차 논리에 대해 괴델의 완전성 정리(Gödel's completeness theorem): 일-차 문장의 모든 각 일관된 집합은 최대 일관된 집합으로 확장될 수 있습니다.
  • 컴팩트화 정리(compactness theorem): 만약 $\Sigma$가 $\Sigma$의 모든 각 유한(finite) 부분집합이 모델(model)을 가짐을 만족하는 일-차(first-order) (또는 대안적으로, 영-차(zero-order)) 문장(sentences)의 집합이면, $\Sigma$는 모델을 가집니다.

Possibly equivalent implications of AC

AC에 대한 그것의 동등성이 열려 있는 AC에 의해 암시된 역사적으로 중요한 몇 가지 집합-이론적인 명제가 있습니다. AC 자체 이전에 공식화되었던 분할 원칙은 AC를 믿는 데 정당화로 체르멜로에 의해 인용되었습니다. 1906년에, 러셀은 PP를 동등한 것으로 선언했지만, 분할 원칙이 AC를 의미하는지 여부는 집합 이론에서 여전히 가장 오래된 열린 문제이고, 다른 명제의 동등성은 유사하게 어려운 오래된 열린 문제입니다. 선택이 실패하는 알려진 모든 각 ZF의 모델에서, 이들 명제는 역시 실패하지만, 만약 그것들이 선택없이 유지될 수 있는지는 알려져 있지 않습니다.

• 집합 이론(Set theory)
  • 분할 원칙: 만약 A에서 B로의 전사(surjection)가 있으면, B에서 A로의 단사(injection)가 있습니다. 동등하게, 집합 S의 모든 각 분할(partition) P는 크기에서 S보다 작거나 같습니다.
  • 전환 슈뢰더–베른슈타인 정리(Schröder–Bernstein theorem): 만약 둘의 집합이 서로 전사를 가지면, 그것들은 같게-많은(equinumerous) 것입니다.
  • 약한 분할 원칙: 집합 S의 분할은 S보다 엄격하게 클 수 없습니다. 만약 WPP가 유지되면, 이것은 이미 비-측정가능 집합의 존재를 의미합니다. 앞의 세 가지 명제 각각은 이전 명제에 의해 암시되지만, 만약 이들 암시 중 임의의 것이 역전될 수 있는지는 알려져 있지 않습니다.
  • 세는-숫자의 무한 감소하는 수열은 없습니다. 동등성은 1905년 쇤플리스에 의해 추측되었습니다.
• 추상 대수학(Abstract algebra)
  • 한 삽입 정리(Hahn embedding theorem): 모든 각 순서화된 아벨 그룹 G는 사전식 순서(lexicographical order)가 부여된 덧셈 그룹 $\mathbb {R} ^{\Omega }$의 부분그룹으로 순서-삽입되며, 여기서 Ω는 G의 아르키메데스 동치 클래스의 집합입니다. 이 동등성은 1907년 한에 의해 추측되었습니다.

Stronger forms of the negation of AC

만약 우리가 모든 각 실수 집합이 베르의 속성(property of Baire)을 가진다는 주장을 BP로 축약하면, BP는 비-빈 집합의 아마도 오직 단일 집합 위에 임의의 선택 함수의 비-존재를 주장하는 ¬AC보다 더 강력합니다. 강화된 부정은 약화된 AC의 형식과 호환될 수 있습니다. 예를 들어, ZF + DC + BP는 만약 ZF가 일관되면 일관된 것입니다.

그것은 역시 모든 각 실수의 집합이 르베그 측정-가능(Lebesgue measurable)이라는 것은 ZF + DC와 일관됩니다; 어쨌든, 로버트 마틴 솔로베이(Robert M. Solovay)로 인해, 이 일관성 결과는 ZFC 자체에서 입증될 수 없지만, 약간의 큰 세는-숫자(large cardinal) 가정 (접근할-수-없는 세는-숫자(inaccessible cardinal)의 존재)을 요구합니다. 훨씬 더 강한 결정성의 공리(axiom of determinacy), 또는 AD는 모든 각 실수의 집합이 르베그 측정-가능이고, 베르의 속성을 가지고, 완전 집합 속성(perfect set property)을 가짐을 의미합니다 (이들 세 가지 결과 모두는 AC 자체에 의해 반박됩니다). ZF + DC + AD는 충분하게 강력한 큰 세는-숫자 공리가 일관적 (무한하게 많은 우딘 세는-숫자(Woodin cardinal)의 존재)이다는 조건 아래에서 일관적입니다.

과인(Quine)의 공리적 집합 이론의 시스템, "New Foundations" (NF)는 그것을 소개했던 1937년 기사의 제목 ("New Foundations for Mathematical Logic")에서 그것의 이름을 따왔습니다. NF 공리적 시스템에서, 선택의 공리는 반증될 수 있습니다.

Statements consistent with the negation of AC

선택의 공리가 거짓인 체르멜로–프렝켈 집합 이론의 모델이 있습니다. 우리는 ZF¬C에 의해 "체르멜로–프렝켈 집합 이론 + 선택의 공리의 부정"을 축약합니다. ZF¬C의 특정 모델에 대해, 일부 표준 사실의 부정을 입증하는 것이 가능합니다. ZF¬C의 임의의 모델은 역시 ZF의 모델이므로, 다음 각 명제에 대해, 해당 명제가 참인 ZF의 모델이 존재합니다:

• 일부 모델에서, 원래 집합이 원소를 가지는 것보다 엄격하게 더 동치 클래스로 분할될 수 있는 집합과 그것의 도메인이 그것의 치역보다 엄격하게 더 함수가 있습니다. 사실, 이것은 모든 알려진 모델에서 그 경우입니다.
• f가 a에서 연속적이지 않지만, f는 a에서 순차적으로 연속(sequentially continuous)을 만족하는, 즉, a에 수렴하는 임의의 수열 {x_n}에 대해, lim_n f(x_n)=f(a)을 만족하는 실수에서 실수로의 함수 f가 있습니다.
• 일부 모델에서, 셀-수-있는 무한 부분집합없이 무한한 실수의 집합이 있습니다.
• 일부 모델에서, 실수는 셀-수-있는 집합의 셀-수-있는 합집합입니다. 이것은 실수가 셀-수-있음을 의미하지는 않습니다: 위에서 지적했듯이, 셀-수-있는 집합의 셀-수-있는 합집합이 자체로 셀-수-있음을 보이기 위해 셀-수-있는 선택의 공리(Axiom of countable choice)를 요구합니다.
• 일부 모델에서, 대수적 클로저를 가지지 않는 필드가 있습니다.
• ZF¬C의 모든 모델에서, 기저를 가지지 않는 벡터 공간이 있습니다.
• 일부 모델에서, 다른 카디널리티의 두 기저를 갖는 벡터 공간이 있습니다.
• 일부 모델에서, 셀-수-있게 많은 생성기 위에 자유 완비 부울 대수(complete boolean algebra)가 있습니다.
• 일부 모델에서, 선형적으로 순서화될 수 없는 집합이 있습니다.
• Rⁿ에서 모든 각 집합이 측정-가능(measurable)인 ZF¬C의 모델이 존재합니다. 따라서 ZFC에서 입증할 수 있는 바나흐-타르스키 역설(Banach–Tarski paradox)과 같은 반대직관적 결과를 제외하는 것이 가능합니다. 더욱이, 이것은 AC보다 약하지만 실수 해석학(real analysis)의 대부분을 나타내기에 충분한 종속 선택의 공리(Axiom of dependent choice)를 가정하는 동안 가능합니다.
• ZF¬C의 모든 모델에서, 일반화된 연속체 가설(generalized continuum hypothesis)은 유지되지 않습니다.

증명에 대해, Jech (2008)를 참조하십시오.

추가적으로, 집합 위에 정의-가능성 조건을 부과함으로써 (설명적 집합 이론(descriptive set theory)의 의미에서), 우리는 일반 선택과 호환되지 않는 공리로부터 선택의 공리의 제한된 버전을 종종 입증할 수 있습니다. 이것은, 예를 들어, 모스코바키스 코딩 보조정리(Moschovakis coding lemma)에서 나타납니다.

Axiom of choice in type theory

유형 이론(type theory)에서, 다른 종류의 명제가 선택의 공리로 알려져 있습니다. 이 형식은 σ와 τ의 두 가지 유형과 σ 유형의 대상과 τ 유형의 대상 사이의 관계 R로 시작합니다. 선택의 공리는 만약 유형 σ의 각 x에 대해 R(x,y)를 만족하는 유형 τ의 y가 존재하면 R(x,f(x))는 σ 유형의 모든 x에 대해 유지됨을 만족하는 유형 σ의 대상에서 유형 τ의 대상으로의 함수 f가 있음을 말합니다:

$(\forall x^{\sigma })(\exists y^{\tau })R(x,y)\to (\exists f^{\sigma \to \tau })(\forall x^{\sigma })R(x,f(x)).$

집합 이론과 달리, 유형 이론에서 선택의 공리는 전형적으로 공리 스킴(axiom scheme)으로 설명되며, 이것에서 R은 특정 논리적 형식의 모든 공식에 걸쳐 변합니다.

Quotes

선택의 공리는 분명하게 참이고, 바른-순서화 원칙(well-ordering principle)은 분명하게 거짓이고, 조온의 보조정리(Zorn's lemma)에 대해 누가 말할 수 있습니까?

— Jerry Bona

이것은 농담입니다: 비록 세 가지가 모두 수학적으로 동등하지만, 많은 수학자들은 선택의 공리를 직관적으로, 바른-순서화된 원칙을 반-직관적으로, 조온의 보조정리를 어떤 직관에도 너무 복잡하다고 발견합니다.

선택의 공리는 무한한 수의 양말 쌍 중에서 한 집합을 선택하는 데 필요하지만, 무한한 수의 신발에서는 아닙니다.

— Bertrand Russell

여기서 관찰할 수 있는 것은 예를 들어 왼쪽 신발을 선택하는 것과 같이 무한한 수의 신발의 쌍에서 선택하는 함수를 정의할 수 있다는 것입니다. 선택의 공리없이, 우리는 왼쪽 양말과 오른쪽 양말이 (아마도) 구별할 수 없기 때문에 그러한 함수는 양말의 쌍에 대해 존재한다고 주장할 수 없습니다.

타르스키는 Comptes Rendus에서 그의 정리 [AC와 "모든 각 무한 집합 A는 A × A와 같은 카디널리티를 갖는다"는 것 사이의 동등성, 위를 참조)을 발표하려고 시도했지만, 프레셰(Fréchet)와 르베그(Lebesgue)는 그것을 제시하는 것을 거부했습니다. 프레셰는 둘의 잘 알려진 [참] 제안 사이의 암시가 새로운 결과가 아니라고 썼었고, 르베그는 둘의 거짓 제안 사이의 암시가 흥미로운 것이 아니라고 썼었습니다.

폴란드계-미국인 수학자 얀 미치엘스키(Jan Mycielski)는 AMS 공지의 2006년 기사에서 이 일화를 언급했습니다.

그 공리가 그것의 이름을 얻은 것은 수학자들이 다른 공리보다 그것을 선호하기 때문이 아닙니다.

— A. K. Dewdney

이 인용문은 1989년 4월 Scientific American의 computer recreations 칼럼에 실린 유명한 만우절(April Fools' Day) 기사에서 따온 것입니다.

References

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• Ernst Zermelo, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I," Mathematische Annalen 65: (1908) pp. 261–81. PDF download via digizeitschriften.de

Translated in: Jean van Heijenoort, 2002. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. New edition. Harvard University Press. ISBN 0-674-32449-8

• 1904. "Proof that every set can be well-ordered," 139-41.
• 1908. "Investigations in the foundations of set theory I," 199–215.

External links

• Axiom of Choice entry in the Springer Encyclopedia of Mathematics.
• Axiom of Choice and Its Equivalents entry at ProvenMath. Includes formal statement of the Axiom of Choice, Hausdorff's Maximal Principle, Zorn's Lemma and formal proofs of their equivalence down to the finest detail.
• Consequences of the Axiom of Choice, based on the book by Paul Howard and Jean Rubin.
• The Axiom of Choice entry by John Lane Bell in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.