Probability axioms

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콜모고로프 공리(Kolmogorov Axioms)는 1933년에 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)에 의해 도입된 확률 이론(Probability Theory)의 토대입니다. 이들 공리는 중심으로 남아 있고 수학, 물리적 과학 및 실-생활 확률 경우에 직접적인 공헌을 가집니다. 일부 베이즈(Bayesians)에 의해 선호되는, 확률을 공식화하기 위한 대안적인 접근은 콕스의 정리(Cox's theorem)에 의해 제공됩니다.

Axioms

공리 설정에 대한 가정은 다음으로 요약될 수 있습니다: (Ω, F, P)를 P가 일부 사건(event) E의 확률(probability)을 갖는, $P(E)$로 표시되는 측정 공간(measure space)으로 놓고 $P(\Omega )$ = 1입니다. 그런-다음 (Ω, F, P)는 표본 공간 Ω, 사건 공간 F 및 확률 측정 P를 갖는 확률 공간(probability space)입니다.

First axiom

사건의 확률은 비-음의 실수입니다:

$P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F$

여기서 $F$는 사건 공간입니다. 그것은 $P(E)$가, 보다 일반적인 측정 이론(measure theory)과는 달리, 항상 유한임을 따릅니다. 음의 확률(negative probability)을 할당하는 이론은 첫 번째 공리를 완화시킵니다.

Second axiom

See also: Unitarity (physics)

이것은 단위 측정(unit measure)의 가정입니다: 전체 표본 공간에서 기본 사건(elementary event)의 적어도 하나가 발생할 해당 확률은 1입니다.

$P(\Omega )=1.$

Third axiom

이것은 σ-덧셈성(σ-additivity)의 가정입니다:

(서로 배타적(mutually exclusive) 사건과 동의어) 서로소 집합 $E_{1},E_{2},\ldots$의 임의의 셀-수-있는(countable) 수열은 다음을 만족시킵니다:

$P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).$

일부 저자는 단지 유한하게 덧셈적(finitely additive) 확률 공간을 고려하며, 이것에서 우리는 σ-대수(σ-algebra)가 아니라 단지 집합의 대수(algebra of sets)가 필요합니다. 준확률 분포(Quasiprobability distribution)는 일반적으로 세 번째 공리를 완화시킵니다.

Consequences

콜모고로프(Kolmogorov) 공리로부터, 우리는 확률을 연구하는 것에 대해 다른 유용한 규칙을 추론할 수 있습니다. 이들 규칙의 증명은 세 번째 공리의 힘과 나머지 두 공리와의 상호 작용을 묘사하는 매우 통찰력있는 절차입니다. 즉각적인 따름정리의 네 개와 그들의 증명은 아래에 보입니다:

Monotonicity

만약 $A\subseteq B$이면 $P(A)\leq P(B)$입니다.

만약 A가 B의 부분-집합, 또는 B와 같으면, A의 확률은 B의 확률보다 작음, 또는 같습니다.

Proof of monotonicity

단조성 속성을 확인하기 위해, 우리는 $E_{1}=A$ 및 $E_{2}=B\setminus A$를 놓으며, 여기서 $i\geq 3$에 대해 $A\subseteq B$ 및 $E_{i}=\varnothing$입니다. 집합 $E_{i}$가 쌍별 서로소이고 $E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B$임을 보이는 것은 쉽습니다. 따라서, 우리는 다음임을 세 번째 공리로부터 얻습니다:

$P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).$

첫 번째 공리에 의해, 이 방정식의 왼쪽 변은 비-음의 숫자의 급수이므로, 및 그것이 유한인 $P(B)$에 수렴하므로, 우리는 $P(A)\leq P(B)$ 및 $P(\varnothing )=0$ 둘 다를 얻습니다.

The probability of the empty set

$P(\varnothing )=0.$

일부 경우에서, $\varnothing$가 확률 0을 갖는 유일한 사건은 아닙니다.

Proof of probability of the empty set

이전 증명에서 보인 것처럼, $P(\varnothing )=0$입니다. 어쨌든, 이 명제는 모순에 의해 보일 수 있습니다: 만약 $P(\varnothing )=a$이면 왼쪽 변 $[P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})]$은 무한대보다 작습니다;

$\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=\sum _{i=3}^{\infty }P(\varnothing )=\sum _{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&{\text{if }}a=0,\\\infty &{\text{if }}a>0.\end{cases}}$

만약 $a>0$이면 우리는 모순을 얻는데, 왜냐하면 그 합은 유한인 $P(B)$보다 클 수 없기 때문입니다. 따라서, $a=0$입니다. 우리는 $P(\varnothing )=0$임을 단조성의 증명의 부산물로 보였습니다.

The complement rule

$P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)$

Proof of the complement rule

$A$와 $A^{c}$은 서로 배타적이고 $A\cup A^{c}=\Omega$인 것으로 주어지면:

$P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})$ ... (공리 3에 의해)

및,

$P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1$ ... (공리 2에 의해)

$\Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1$

$\therefore P(A^{c})=1-P(A)$

The numeric bound

다음임은 단조성 속성으로부터 즉시 따릅니다:

$0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.$

Proof of the numeric bound

여규칙 $P(E^{c})=1-P(E)$ 및 공리 1 $P(E^{c})\geq 0$이 주어지면:

$1-P(E)\geq 0$

$\Rightarrow 1\geq P(E)$

$\therefore 0\leq P(E)\leq 1$

Further consequences

또 다른 중요한 속성은 다음입니다:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

이것은 확률의 덧셈 법칙, 또는 합 규칙으로 불립니다. 즉, A 또는 B가 발생할 확률은 A가 발생할 확률과 B가 발생할 확률의 합, 빼기 A 그리고 B 둘 다가 발생할 확률입니다. 이것의 증명은 다음과 같습니다:

먼저,

$P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(B)$ ... (공리 3에 의해)

그래서,

$P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))$ ($P(B\setminus A)=P(B\setminus (A\cap B))$에 의해).

역시,

$P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)$

그리고 두 방정식으로부터 $P(B\setminus (A\cap B))$을 제거하면 원하는 결과를 제공합니다.

집합의 임의의 숫자에 대한 덧셈 법칙의 확장은 포함–제외 원리(inclusion–exclusion principle)입니다.

덧셈 법칙에서 A의 여사건 A^c로 B를 설정하면 다음을 제공합니다:

$P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)$

즉, 임의의 사건이 발생하지 않을 (또는 사건의 여사건(complement)) 확률은 1 빼기 그것이 발생할 확률입니다.

Simple example: coin toss

단일 동전-던지기를 생각해 보십시오. 여기서 동전은 앞면 (H) 또는 뒷면 (T) 중 하나로 떨어진다고 가정합니다 (그러나 둘 다는 아닙니다). 가정은 동전이 공정한지 여부에 대해 만들어지지 않습니다.

우리는 다음을 정의할 것입니다:

$\Omega =\{H,T\}$

$F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}$

콜모고로프의 공리는 다음임을 의미합니다:

$P(\varnothing )=0$

앞면도 아니고 뒷면도 아닌 것의 확률은 0입니다.

$P(\{H,T\})=1$

앞면 또는 뒷면의 확률은 1입니다.

$P(\{H\})+P(\{T\})=1$

앞면의 확률과 뒷면의 확률의 합은 1입니다.

See also

• Borel algebra
• σ-algebra
• Set theory
• Conditional probability
• Quasiprobability
• Fully probabilistic design

Further reading

• DeGroot, Morris H. (1975). Probability and Statistics. Reading: Addison-Wesley. pp. 12–16. ISBN 0-201-01503-X.
• McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). "Axiomatic Probability". Introduction to Probability Theory. New York: Macmillan. pp. 13–28.
• Formal definition of probability in the Mizar system, and the list of theorems formally proved about it.