Arc (geometry)

Original article: w:Arc (geometry)

This article is about arcs in Euclidean geometry and topology. For the use in finite projective geometry, see Arc (projective geometry). For other uses, see Arc (disambiguation).

A circular sector is shaded in green. Its curved boundary of length L is a circular arc.

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 호(arc, 기호: ⌒)는 미분-가능한(differentiable) 곡선(curve)의 연결된(connected) 부분-집합입니다. 직선(lines)의 호는, 그들이 경계져 있는지 여부에 따라, 선분(segments) 또는 반직선(rays)으로 불립니다. 공통 구부러진 예제는 원(circle)의 호이며, 원형 호(circular arc)로 불립니다. 구(sphere) (또는 회전타원체(spheroid))에서, 큰 원(great circle) (또는 큰 타원(great ellipse))의 호, 그것은 큰 호(great arc)로 불립니다.

원 위의 구별되는 점의 모든 각 쌍은 두 호를 결정합니다. 만약 두 점이 서로 직접 반대가 아니면, 이들 호 중 하나, 보조 호(minor arc)는 원의 중심에 π 라디안(radian) (180도)보다 작은 각도로 끼워질(subtend) 것이고, 나머지 다른 호, 주요 호(major arc)는 π 라디안보다 큰 각도로 끼워질 것입니다.

Circular arcs

Length of an arc of a circle

See also: Arc length § Arcs of circles

반지름이 r을 가진 원과 원 중심에 (라디안에서 측정된) 각도 θ를 끼워진 – 즉, 중심 각도(central angle) – 호의 길이 (보다 정확하게, 호 길이(arc length))는 다음입니다:

$L=\theta r.$

이것은 다음이기 때문입니다:

${\frac {L}{\mathrm {circumference} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.$

원주에서 치환하고:

${\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},$

α가 각도에서 측정된 같은 각도인데, 왜냐하면, θ = α/180π이므로, 호 길이는 다음과 같습니다:

$L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.$

원에서 호의 길이를 결정하는 실질적인 방법은 호의 끝점에서 원의 중심까지 두 직선을 그리고, 두 직선이 중심을 만나는 각도를 측정하고, 그런-다음 교차-곱셈하는 명제를 곱하여 L에 대해 푸는 것입니다:

measure of angle in degrees/360° = L/circumference.

예를 들어, 만약 각도의 측정이 60도이고 둘레가 24인치이면,

${\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\360L&=1440\\L&=4.\end{aligned}}$

이것은 원의 둘레와, 항상 360이 있는, 원의 각도는 직접 비례하기 때문입니다.

원의 위쪽 절반은 다음으로 매개변수화될 수 있습니다:

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.$

그런-다음 $x=a$에서 $x=b$까지 호 길이는 다음입니다:

$L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.$

Arc sector area

호와 원의 중심으로 형성된 부채꼴의 넓이 (호와 그의 끝점에 그려진 두 반지름으로 경계짐)는 다음입니다:

$A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.$

넓이 A는 완전한 원에 대한 각도 θ로 원 넓이(circle area)에 대한 같은 비율을 가집니다:

${\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.$

우리는 양쪽 변에서 π를 취소할 수 있습니다:

${\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.$

양쪽 변에 r²를 곱하면, 우리는 최종 결과를 얻습니다:

$A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .$

위에서 설명된 변환을 사용하여, 우리는 각도에서 측정된 중심 각도에 대해 부채꼴의 넓이는 다음임을 찾습니다:

$A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.$

Arc segment area

호와 그의 두 끝점 사이의 직선에 의해 경계진 모양의 넓이는 다음입니다:

${\frac {1}{2}}r^{2}\left(\theta -\sin {\theta }\right).$

호 활꼴(arc segment)의 넓이를 얻기 위해, 우리는 넓이 $A$로부터, 원의 중심과 호의 두 끝점에 의해 결정된, 삼각형의 넓이를 빼야 합니다. 자세한 내용은 원형 활꼴(Circular segment)을 참조하십시오.

Arc radius

The product of the line segments AP and PB equals the product of the line segments CP and PD. If the arc has a width AB and height CP, then the circle's diameter $CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP$

(점의 힘(power of a point) 또는 시컨트 탄젠트 정리로 역시 알려진) 교차하는 현 정리(intersecting chords theorem)를 사용하여, 호의 높이 H와 너비 W가 주어지면 원의 반지름 r을 계산할 수 있습니다:

호와 같은 끝점을 가진 현(chord)을 생각해 보십시오. 그의 수직 이등분선은 또 다른 현이며, 이것은 원의 지름입니다. 첫 번째 현의 길이는 W이고, 그것이 이등분선에 의해 각각 길이 W/2를 가진 두 같은 절반으로 나뉩니다. 지름의 총 길이는 2r이고, 그것은 첫 번째 현에 의해 두 부분으로 나뉩니다. 한 부분의 길이는 호, H의 화살(sagitta)이고, 나머지 하나는 길이 2r − H를 가진 지름의 나머지 부분입니다. 이들 두 현에 교차하는 현 정리를 적용하면 다음을 생산합니다:

$H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},$

정리하면,

$2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},$

따라서

$r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.$

Parabolic arcs

For properties of arcs of parabolas (length, enclosed area), see Parabola.

See also

• Biarc
• Circular-arc graph
• Meridian arc
• Circumference
• Perimeter

External links

• Table of contents for Math Open Reference Circle pages
• Math Open Reference page on circular arcs With interactive animation
• Math Open Reference page on Radius of a circular arc or segment With interactive animation
• Weisstein, Eric W. "Arc". MathWorld.