Coefficient

수학(mathematics)에서, 계수(coefficient)는 다항식(polynomial), 급수(series) 또는 표현(expression)의 어떤 항(term)에 있는 곱셈의 인수입니다; 그것은 보통 숫자이지만, ( $a$ , $b$ , 및 $c$ 와 같은 변수를 포함하여) 임의의 표현일 수 있습니다.^[1] 계수 자체가 변수(variables)일 때, 그것들은 역시 매개변수라고 불립니다.

예를 들어, 다항식 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 2x^2-x+3} 은 계수 2, −1, 및 3를 가지고, 다항식 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle ax^2+bx+c} 에서 변수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x} 의 거듭제곱은 계수 매개변수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle a} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle b} , 및 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle c} 를 가집니다.

상수 계수(constant coefficient, 또는 상수 항)는 표현에서 변수에 첨부되지 않은 계수입니다. 예를 들어, 위 표현의 상수 계수는 각각 숫자 3과 매개변수 c입니다. 다항식에서 변수의 가장 높은 차수에 첨부된 계수는 선행 계수(leading coefficient)라고 참조됩니다. 예를 들어, 위 표현에서, 선행 계수는 각각 2와 a입니다.

미분 방정식(differential equations)의 맥락에서, 방정식은 종종 미지수 함수와 그것들의 도함수에서 다항식을 영으로 만드는 것으로 작성될 수 있습니다. 이 경우에서, 미분 방정식의 계수는 이 다항식의 계수이고, 일반적으로 비-상수 함수입니다. 계수는 상수 함수(constant function)일 때 상수 계수(constant coefficient)입니다. 혼동을 피하기 위해, 미지수 함수에 부착되지 않은 계수와 그것들의 도함수는 일반적으로 상수 계수가 아닌 상수 항이라고 부릅니다. 특히, 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식에서, 상수 항은 일반적으로 상수 함수라고 생각하지 않습니다.

Terminology and definition

수학에서, 계수는 다항식(polynomial), 급수(series), 또는 임의의 표현(expression)의 어떤 항에서 곱셈 인수입니다. 예를 들어, 변수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x} 와 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle y} 를 갖는 다음 다항식에서

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 7x^2-3xy+1.5+y,} 처음 두 항은 계수 7과 −3을 가집니다. 세 번째 항 1.5는 상수 계수입니다. 마지막 항에서, 계수는 1이고 명시적으로 작성되지 않습니다.

많은 시나리오에서, 계수는 문제의 매개변수 또는 이들 매개변수의 임의의 표현일 수 있지만 (이전 예제의 각 항에 대한 경우에서 처럼) 숫자입니다. 그러한 경우에서, 변수를 나타내는 기호와 매개변수를 나타내는 기호를 명확히 구분해야 합니다. 르네 데카르트(René Descartes)에 따르면, 변수는 종종 $x$ , $y$ , ...에 의해 표시되고 매개변수는 $a$ , $b$ , $c$ , ...에 의해 표시되지만, 항상 그런 것은 아닙니다. 예를 들어, 만약 위 표현에서 $y$ 가 매개변수로 고려되면, $x$ 의 계수는 $-3 y$ 가 되고 ( $x$ 에 관한) 상수 계수는 $1.5 + y$ 가 됩니다.

다음을 쓸 때,Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle ax^2+bx+c,} 일반적으로 $x$ 가 유일한 변수이고 $a$ , $b$ , 및 $c$ 가 매개변수라고 가정합니다; 따라서 상수 계수는 이 경우에서 $c$ 입니다.

단일 변수 $x$ 에서 임의의 다항식(polynomial)은 일부 비-음의 정수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle k} 에 대해 다음으로 쓸 수 있습니다:Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle a_k x^k + \dotsb + a_1 x^1 + a_0} 여기서 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle a_k, \dotsc, a_1, a_0} 는 계수입니다. 여기에는 일부 항이 계수 0을 가질 가능성을 포함합니다; 예를 들어, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x^3 - 2x + 1} 에서, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x^2} 의 계수는 0이고, 항 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 0x^2} 는 명시적으로 나타나지 않습니다. Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle a_i \ne 0} (어떤 것이라도 있으면)임을 만족하는 가장 큰 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle i} 에 대해, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle a_i} 는 다항식의 선행 계수라고 불립니다. 예를 들어, 다항식의 선행 계수는 4입니다: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 4x^5 + x^3 + 2x^2} 이것은 단항식 차수(monomial order)에 관해 다변수 다항식으로 일반화될 수 있으며, Gröbner basis § Leading term, coefficient and monomial을 참조하십시오.

Linear algebra

선형 대수(linear algebra)에서, 선형 방정식의 시스템(system of linear equations)은 종종 그것의 계수 행렬(coefficient matrix)에 의해 표현됩니다. 예를 들어, 다음 방정식의 시스템에서 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ 5x - 4y = 0 \end{cases},} 결합된 계수 행렬은 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} } 입니다. 계수 행렬은 시스템에 대한 해를 찾기 위해 가우스 소거법(Gaussian elimination)과 크라메르의 규칙(Cramer's rule)과 같은 알고리듬에서 사용됩니다.

행렬에서 행의 선행 엔트리(leading entry, 때때로 선행 계수)은 해당 행에서 첫 번째 비-영 엔트리입니다. 따라서, 예를 들어, 다음 행렬에서Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 6\\ 0 & 2 & 9 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, } 첫 번째 행의 선행 계수는 1입니다; 두 번째 행의 선행 계수는 2입니다; 세 번째 행의 선행 계수는 4이고, 마지막 행은 선행 계수를 가지지 않습니다.

비록 계수가 자주 기본 대수학에서 상수로 보지만, 그것들은 문맥이 확장됨에 따라 변수로 볼 수도 있습니다. 예를 들어, 기저(basis) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \lbrace e_1, e_2, \dotsc, e_n \rbrace } 를 갖는 벡터 공간(vector space)에서 벡터(vector) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle v} 의 좌표 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle (x_1, x_2, \dotsc, x_n)} 는 다음 표현에서 기저 벡터의 계수입니다:Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle v = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \dotsb + x_n e_n .}

References

^ Weisstein, Eric W. "Coefficient". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-15.

Coefficient

Terminology and definition

Linear algebra

See also

References

Further reading