Commutative property

Original article: wikipedia:Commutative property

For other uses, see Commute (disambiguation).

임의의 $x,y$에 대하여 $x\circ y=y\circ x$인 것은 연산$\circ$가 교환 특성(commutative)을 가짐과 서로간에 필요충분 조건입니다. 이 이미지는 "계산 기계"로써 연산의 개념과 함께 특성을 설명합니다. 독립변수 $x,y$의 순서는 출력 $x\circ y$ 또는 $y\circ x$에 문제가 되지 않습니다 – 최종 출력은 서로 같습니다.

수학(mathematics)에서, 이항 연산(binary operation)이 만약 피연산자(operands)의 순서를 변경해도 그 결과가 변경되지 않으면, 교환적(commutative)입니다. 그것은 많은 이항 연산(binary operation)의 기본 속성이고, 많은 수학적 증명(mathematical proof)이 그것에 의존합니다. 그 속성의 이름은 "3 + 4 = 4 + 3" 또는 "2 × 5 = 5 × 2"을 말하는 것처럼 가징 친숙하며, 그 속성은 보다 고급 설정에서 역시 사용될 수 있습니다. 그 이름이 필요한데 왜냐하면 나눗셈(division)과 뺄셈(subtractio)과 같은 그것을 가지지 않은 연산이 있기 때문입니다 (예를 들어 "3 − 5 ≠ 5 − 3"); 그러한 연산은 교환적이지 않고, 따라서 비-교환적 연산(noncommutative operations)으로 언급됩니다. 숫자의 곱셈(multiplication)과 덧셈(addition)과 같은 단순한 연산이 교환적이라는 아이디어는 수년 동안 암묵적으로 가정되었습니다. 따라서, 이 속성은 수학이 공식화되기 시작한 19세기까지 이름-지어지지 않았습니다. 대응하는 속성이 이항 관계(binary relation)에 대해 존재합니다; 이항 관계는 만약 관계가 피연산자의 순서에 관계없이 적용되면 대칭(symmetric)이라고 말합니다; 예를 들어, 상등(equality)은 대칭인데 왜냐하면 두 개의 같은 수학적 대상이 그들의 순서에 관계없이 같기 때문입니다.

Common uses

교환 속성 (또는 교환 법칙)은 일반적으로 이항 연산 및 함수(functions)와 관련된 속성입니다. 만약 교환 속성이 특정 이항 연산 아래에서 한 쌍의 원소에 대해 유지되면, 두 원소는 해당 연산 아래에서 교환한다(cummute)고 말합니다.

Mathematical definitions

Further information: Symmetric function

용어 "교환적"은 여러 관련된 의미로 사용됩니다.

1. 집합(set) S 위에 이항 연산 $*$가 만약 다음이면, 교환적이라고 불립니다.

   $x*y=y*x\qquad {\mbox{for all }}x,y\in S$

   위의 속성을 만족시키지 못하는 연산은 비-교환적이라고 불립니다.
2. 우리는 만약 다음이면, x가 $*$ 아래에서 y와 교환한다고 말합니다:

   $x*y=y*x$

3. 이진 함수(binary function) $f\colon A\times A\to B$가 만약 다음이면, 교환적이라고 불립니다.
   $f(x,y)=f(y,x)\qquad {\mbox{for all }}x,y\in A$

Examples

Commutative operations in everyday life

자연수를 더한 것으로 볼 수 있는, 사과의 누적 합계는 교환 특성을 가집니다.

• 양말은 신는 것은 처음에 어느 쪽을 신는 것이 중요하지 않기 때문에, 교환적 연산과 닮았습니다. 어느 쪽을 먼저 신어도 그 결과(양쪽 양말 모두 신는 것)는 동일합니다. 반면에, 속옷과 바지를 입는 것은 교환적이지 않습니다.
• 덧셈의 교환성은 가격을 가진 품목을 지불할 때 관찰됩니다. 청구서가 전달된 순서와 상관없이, 그들은 항상 같은 총액을 제공합니다.

Commutative operations in mathematics

벡터의 합은 교환 특성을 가집니다, 왜냐하면 다음이 성립합니다: ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$.

교환적 이항 연산의 두 가지 잘-알려진 예제:

• 실수(real number)의 덧셈(addition)은 교환적인데, 왜냐하면 다음이기 때문입니다:

$y+z=z+y\qquad {\text{for all }}y,z\in \mathbb {R}$

예를 들어, 4 + 5 = 5 + 4인데, 왜냐하면 표현(expression) 둘 다는 9와 같기 때문입니다.

• 실수(real number)의 곱셈(multiplication)은 교환적인데, 왜냐하면 다음이기 때문입니다:

$yz=zy\qquad {\text{for all }}y,z\in \mathbb {R}$

예를 들어, 3 × 5 = 5 × 3인데, 왜냐하면 표현 둘 다는 15로 같기 때문입니다.

• 일부의 이진 진리 함수(truth function)는 역시 교환적인데, 왜냐하면 함수에 대한 진리 테이블(truth table)은 피연산자의 순서를 변경할 때 같기 때문입니다.

예를 들어, 논리적 쌍-조건부(logical biconditional) 함수 p ↔ q는 q ↔ p와 동등합니다. 이 함수는 역시 p IFF q 또는 p ≡ q 또는 Epq로 쓰입니다.

마지막 형식은 진리 함수에 대한 기사에서 가장 간결한 표기법의 예제이며, 이것은 16개의 이진 진리 함수 중 8개 교환적인 함수의 목록입니다: Vpq = Vqp; Apq (OR) = Aqp; Dpq (NAND) = Dqp; Epq (IFF) = Eqp; Jpq = Jqp; Kpq (AND) = Kqp; Xpq (NOR) = Xqp; Opq = Oqp.

• 교환적 이항 연산의 또 다른 예제는 복소수(complex number)의 덧셈과 곱셈, 벡터(vectors)의 덧셈과 스칼라 곱셈(scalar multiplication), 및 집합(sets)의 교집합(intersection)과 합집합(union)을 포함합니다.

Noncommutative operations in daily life

• 연쇄(Concatenation), 문자열을 함께 결합하는 행위는 비-교환적 연산입니다. 예를 들어,

EA + T = EAT ≠ TEA = T + EA

• 옷을 세척하고, 건조하는 것은 비-교환적 연산과 유사합니다; 세척 후 건조는 건조 후 세척과 비교해서 현저하게 상이한 결과를 가집니다.
• 책을 수직 축을 중심으로 90° 회전한 후에 수평 축을 중심으로 90° 회전한 것과 반대 순서로 회전을 수행할 때는 전혀 다른 방향이 생성됩니다.
• 루빅스 큐브(Rubik's Cube)의 뒤틀림은 비-교환적입니다. 이것은 그룹 이론(group theory)을 사용하여 연구될 수 있습니다.
• 사고 과정은 비-교환적입니다: 어떤 사람에게 질문 (A)를 한 후에 질문 (B)를 하는 것과 반대로 먼저 (B)를 묻고 질문 (A)를 하는 것은 아마도 다른 대답을 듣게 될 것입니다, 왜냐하면 질문하는 것은 사람의 마음 상태를 바꿀 수 있기 때문입니다.
• 드레싱의 행위는 품목에 따라 교환적 또는 비-교환적입니다. 속옷과 평상복을 입는 것은 비교환적입니다. 왼쪽과 오른쪽 양말을 신는 것은 교환적입니다.
• 한 벌의 카드를 섞는 것은 비-교환적입니다. A 및 B의 카드 덱을 섞는 두 가지 방법이 주어지면, A를 먼저 수행한 다음 B를 수행하는 것은 일반적으로 B를 먼저 수행한 다음 A를 수행하는 것과 같지 않습니다.

Noncommutative operations in mathematics

일부 비-교환적 이항 연산:

Division and subtraction

나눗셈(Division)은 비-교환적인데, 왜냐하면 $1\div 2\neq 2\div 1$이기 때문입니다.

뺄셈(Subtraction)은 비-교환적인데, 왜냐하면 $0-1\neq 1-0$이기 때문입니다. 어쨌든, 보다 정확하게 반-교환적(anti-commutative)으로 분류되는데, 왜냐하면 $0-1=-(1-0)$이기 때문입니다.

Truth functions

일부 진리 함수(truth function)는 비-교환적인데, 왜냐하면 함수의 진리 테이블(truth table)은 피연산자의 순서를 변경할 때 달라지기 때문입니다. 예를 들어, (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) 및 (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B)에 대한 진리 테이블은 다음입니다:

A	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

Function composition of linear functions

실수(real numbers)에서 실수로의 선형 함수(linear function)의 함수 합성(Function composition)은 거의 항상 비-교환적입니다. 예를 들어, $f(x)=2x+1$과 $g(x)=3x+7$를 놓습니다. 그런-다음

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15$

및

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10$

이것은 벡터 공간(vector space)에서 자체로의 선형(linear) 및 아핀 변환(affine transformation)에 대해 보다 일반적으로 역시 적용됩니다 (행렬 표현에 대해 아래를 참조하십시오).

Matrix multiplication

행렬(Matrix) 곱셈은 거의 항상 비-교환적입니다. 예를 들어:

${\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}$

Vector product

삼차원 공간에서 두 벡터의 벡터 곱셈 (또는 교차 곱(cross product))은 반-교환적(anti-commutative)입니다; 즉, b × a = −(a × b).

History and etymology

The first known use of the term was in a French Journal published in 1814

교환 속성의 암묵적 사용의 기록은 고대 시대로 거슬러 올라갑니다. 이집트(Egypt) 사람들은 곱(products)을 계산을 단순화하기 위해 곱셈(multiplication)의 교환 속성을 사용했습니다. 유클리드(Euclid)는 그의 책 원론(Elements)에서 곱셈의 교환 속성을 가정한 것으로 알려져 있습니다. 교환 속성의 공식적인 사용은, 수학자들이 함수 이론을 연구하기 시작한, 18세기 말과 19세기 초에 생겨났습니다. 오늘날 교환 속성은 수학의 대부분의 분야에서 사용되는 잘-알려진 및 기본 속성입니다.

용어 commutative의 처음 기록된 사용은 1814년에 프랑수아 세르부아(François Servois)에 의한 회고록이며, 그는 지금의 교환 속성이라고 불리는 것을 가지는 함수를 기술할 때 단어 commutatives을 사용했습니다. 그 단어는 "대체 또는 전환하기 위한"을 의미하고 프랑스 단어 commuter와 "경향이 있는"을 의미하는 접미사 -ative의 조합이므로 그 단어는 문자 그대로 "대체 또는 전환하려는 경향이 있음"을 의미합니다. 그 용어는 그런-다음 1838년에 영어로 던컨 파르쿠르손 그레고리(Duncan Farquharson Gregory)의 기사에 나타났으며, 1840년에 에딘버러 왕립 학회의 트랜잭션(Transactions of the Royal Society of Edinburgh)에서 "기호 대수학의 진정한 본질에 관한 것"이라는 제목으로 출판되었습니다.

Propositional logic

Rule of replacement

진리-함수형 명제 논리에서, 교환, 또는 교환성은 두 가지 유효한(valid) 대체의 규칙(rules of replacement)을 참조합니다. 그 규칙은 논리적 증명(logical proofs)에서 논리적 표현(logical expressions) 이내의 명제 변수(propositional variable)를 전환하는 것을 허용합니다. 규칙은 다음입니다:

$(P\vee Q)\Leftrightarrow (Q\vee P)$

및

$(P\wedge Q)\Leftrightarrow (Q\wedge P)$

여기서 "$\Leftrightarrow$"는 "증명(proof) 내에서 대체될 수 있음"을 표현하는 메타-논리(metalogic)적 기호(symbol)입니다.

Truth functional connectives

교환성은 진리 함수형 명제 논리(propositional logic)의 일부 논리 연결(logical connective)의 속성입니다. 다음 논리적 동등성(logical equivalence)은 교환성이 특정 논리 연산의 속성임을 시연합니다. 다음은 진리-함수형 동의어-반복(tautologies)입니다.

논리곱의 교환성

$(P\wedge Q)\leftrightarrow (Q\wedge P)$

논리합의 교환성

$(P\vee Q)\leftrightarrow (Q\vee P)$

함축의 교환성 (역시 순열의 법칙으로 불림)

$(P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))$

동치의 교환성 (역시 동치의 완전 교환 법칙으로 불림)

$(P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)$

Set theory

그룹(group)과 집합 이론(set theory)에서, 많은 대수적 구조는 특정 피연산자가 교환 속성을 만족시킬 때 교환적이라고 불립니다. 해석학(analysis) 및 선형 대수(linear algebra)과 같은, 수학의 고등 분야에서, (실수 및 복소수 위의 덧셈(addition) 및 곱셈(multiplication)과 같은) 잘-알려진 연산의 교환성은 종종 증명에서 사용 (또는 암묵적으로 가정)됩니다.

Mathematical structures and commutativity

• 교환적 반-그룹(commutative semigroup)은 전체, 결합(associative) 및 교환 연산이 부여된 집합입니다.
• 만약 연산이 추가적으로 항등 원소(identity element)를 가지면, 우리는 교환적 모노이드(commutative monoid)를 가집니다.
• 아벨 그룹(abelian group), 또는 교환 그룹(commutative group)은 그의 그룹 연산이 교환적인 그룹(group)입니다.
• 교환 링(commutative ring)은 그의 곱셈이 교환적인 링(ring)입니다. (링에서 덧셈은 항상 교환적입니다.)
• 필드(field)에서, 덧셈과 곱셈 둘 다는 교환적입니다.

Related properties

Associativity

Main article: Associative property

결합 속성은 교환 속성과 밀접하게 관련됩니다. 같은 연산자의 둘 이상의 발생을 포함하는 표현의 결합 속성은, 순서 연산이 수행되는 것에서 항의 순서가 바뀌지 않은 한, 최종 결과에 영향을 미치지 않는다는 것을 말합니다. 대조적으로, 교환 속성은 항의 순서가 최종 결과에 영향을 미치지 않는다는 것을 말합니다.

실제로 부닥치는 대부분의 교환 연산은 역시 결합적입니다. 어쨌든, 교환성이 결합성을 의미하지는 않습니다. 반대 예제는 다음 함수입니다:

$f(x,y)={\frac {x+y}{2}},$

이것은 분명히 교환적이지만 (x와 y를 교환하는 것은 결과에 영향을 미치지 않습니다), 그것은 결합적은 아닙니다 (왜냐하면, 예를 들어, $f(-4,f(0,+4))=-1$이지만 $f(f(-4,0),+4)=+1$이기 때문입니다). 더 많은 그러한 예제는 교환적 비-결합적 마그마(commutative non-associative magmas)에서 찾아질 수 있습니다.

Distributive

Main article: Distributive property

Symmetry

Graph showing the symmetry of the addition function

Main article: Symmetry in mathematics

대칭의 어떤 형식은 교환성에 직접 연결될 수 있습니다. 교환적 연산자가 이진 함수로 쓰일 때 결과 함수는 직선 y = x를 가로질러 대칭입니다. 예제처럼, 만약 우리가 함수 f가 f(x,y) = x + y가 되도록 덧셈 (교환적 연산)을 나타내면, f는 대칭 함수이며, 인접한 이미지에서 보일 수 있습니다.

관계에 대해, 대칭 관계(symmetric relation)는 교환적 연산과 유사합니다, 그것에서 만약 관계 R이 대칭이면, $aRb\Leftrightarrow bRa$입니다.

Non-commuting operators in quantum mechanics

Main article: Canonical commutation relation

슈뢰딩거(Schrödinger)에 의해 공식화된 양자 역학(quantum mechanics)에서, 물리적 변수는 x (x에 의해 곱해짐을 의미), 및 ${\frac {d}{dx}}$와 같은 선형 연산자(linear operators)에 의해 표현됩니다. 이들 두 연산자는 일-차원 파동 함수(wave function) $\psi (x)$ 위의 (역시 연산자의 곱이라고 불리는) 그들의 합성(compositions) $x{\frac {d}{dx}}$ 및 ${\frac {d}{dx}}x$의 효과를 고려함으로써 보일 수 있는 것처럼 교환하지 않습니다:

$x\cdot {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\psi =x\cdot \psi '\ \neq \ \psi +x\cdot \psi '={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(x\cdot \psi \right)$

하이젠베르크(Heisenberg)의 불확실성 원리(uncertainty principle)에 따르면, 만약 한 쌍의 변수를 나타내는 두 연산자가 교환하지 않으면, 변수의 해당 쌍은 상호 상보성(complementary)이며, 이것은 그들이 절대로 동시에 측정되거나 정확하게 알려질 수 없음을 의미합니다. 예를 들어, 입자의 x 방향에서 위치와 선형 운동량(momentum)은 각각 연산자 $x$ 및 $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$에 의해 표현됩니다 (여기서 $\hbar$는 줄어든 플랑크 상수(reduced Planck constant)입니다). 이것은 상수 $-i\hbar$를 제외하고 같은 예제이므로, 다시 연산자는 교환하지 않고 물리적인 의미는 주어진 방향에서 위치와 선형 운동량이 상보성이라는 것입니다.

See also

• Anticommutativity
• Centralizer and normalizer (also called a commutant)
• Commutative diagram
• Commutative (neurophysiology)
• Commutator
• Parallelogram law
• Particle statistics (for commutativity in physics)
• Quasi-commutative property
• Trace monoid
• Commuting probability

References

Books

• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2.

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

• Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th edition. Wadsworth Publishing. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)

Articles

• https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

• Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4

Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

Online resources

• "Commutativity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007.

Definition of commutativity and examples of commutative operations

• Weisstein, Eric W. "Commute". MathWorld., Accessed 8 August 2007.

Explanation of the term commute

• Yark. Examples of non-commutative operations at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007

Examples proving some noncommutative operations

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007

Article giving the history of the real numbers

• Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 22 November 2008

Page covering the earliest uses of mathematical terms

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois, Accessed 8 August 2007

Biography of Francois Servois, who first used the term