Absolute convergence

Original article: w:Absolute convergence

수학(mathematics)에서, 숫자의 무한 급수(infinite series)는 만약 피합수의 절댓값(absolute value)의 합이 유한이면, 절대적으로 수렴 (또는 절대적으로 수렴한다)고 말합니다. 보다 정확하게, 실수(real) 또는 복소수(complex) 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$는 만약 어떤 실수 $\textstyle L$에 대해 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L$이면, 절대적으로 수렴한다고 말합니다. 유사하게, 함수(function)의 부적절한 적분(improper integral), $\textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx$은 만약 피적분의 절댓값의 적분이 유한이면—즉, $\textstyle \int _{0}^{\infty }\left|f(x)\right|dx=L$이면 절대적으로 수렴한다고 말합니다.

절대 수렴은 무한 수열의 연구에 대해 중요한데 왜냐하면 그것의 정의는 모든 수렴 수열이 소유하지는 못하지만, 여전히 공통적으로 발생하기에 충분히 넓은 유한 합의 속성을 가질 정도로 충분히 강하기 때문입니다. (절대적으로 수렴하지 않는 수렴하는 급수는 조건적으로 수렴(conditionally convergent)이라고 불립니다.) 절대적으로 수렴하는 급수는 "멋지게" 행동합니다. 예를 들어, 재배치는 합의 값을 변경하지 않습니다. 이것은 조건적으로 수렴하는 급수에 대해 참이 아닙니다: 교대하는 조화 급수(alternating harmonic series) ${\textstyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }$는 $\log 2$에 수렴하고, 반면에 (부호의 반복되는 패턴은 두 개의 양의 항 다음에 하나의 음의 항이 오는) 그것의 재배치 ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }$는 ${\textstyle {\frac {3}{2}}\log 2}$에 수렴합니다.

Background

유한 합에서, 항이 더해지는 순서는 중요하지 않습니다. 1 + 2 + 3은 3 + 2 + 1과 같습니다. 어쨌든, 이것은 무한하게 많은 숫자를 더할 때는 참이 아니고, 그것이 참이라고 잘못 가정하면 명백한 역설로 이어질 수 있습니다. 한 가지 고전적인 예제는 교대하는 합입니다:

$S=1-1+1-1+1-1...$

그것의 합은 +1과 –1 사이를 교대합니다. S의 값은 무엇입니까? S를 평가하는 한 가지 방법은 첫 번째와 두 번째 항, 세 번째와 네 번째 항, 등을 그룹화하는 것입니다:

$S_{1}=(1-1)+(1-1)+(1-1)....=0+0+0...=0$

그러나 S를 평가하는 또 다른 방법은 첫 번째 항을 그대로 두고 두 번째와 세 번째 항을 그룹화하고, 그런-다음 네 번째와 다섯 번째 항을 그룹화하고, 이런 식으로 계속하는 것입니다:

$S_{2}=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)....=1+0+0+0...=1$

이것은 명백한 역설로 이어집니다: $S=0$ 또는 $S=1$입니까?

그 대답은 S가 절대적으로 수렴(converge)하지 않기 때문에, 그것의 항을 재정렬하면 합의 값이 변경된다는 것입니다. 이것은 $S_{1}$와 $S_{2}$가 같지 않음을 의미합니다. 사실, 급수 $1-1+1-1+...$는 수렴하지 않으므로, S는 애초에 찾을 값을 가지지 않습니다. 절대적으로 수렴하는 급수는 이런 문제를 가지지 않습니다: 그것의 항을 재배열해도 합의 값은 변경되지 않습니다.

Definition for real and complex numbers

실수 또는 복소수의 합 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$은 만약 항의 절댓값의 합 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$이 수렴(converges)하면 절대적으로 수렴합니다.

Sums of more general elements

같은 정의는 그것의 항 $a_{n}$이 숫자가 아니라 임의적인 아벨 토폴로지적 그룹(abelian topological group)의 원소인 급수 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$에 대해 사용될 수 있습니다. 해당 경우에서, 절댓값(absolute value)을 사용하는 대신, 그 정의는 다음을 만족하는 (항등 원소 0을 갖는, 덧셈적으로(additively) 쓰인) 아벨 그룹 $G$ 위에 양의 실수-값 함수 ${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$인 노름(norm)을 가지기 위한 그룹을 요구합니다:

1. $G$의 항등 원소의 노름은 영: $\|0\|=0$입니다.
2. 모든 각 $x\in G$에 대해, $\|x\|=0$는 $x=0$을 의미합니다.
3. 모든 각 $x\in G$에 대해, $\|-x\|=\|x\|$입니다.
4. 모든 각 $x,y\in G$에 대해, $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$입니다.

이 경우에서, 함수 $d(x,y)=\|x-y\|$는 $G$ 위에 메트릭 공간(metric space) (토폴로지(topology)의 한 유형)의 구조를 유도합니다.

그런-다음, $G$-값 급수는 만약 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty }$이면 절대적으로 수렴입니다.

특히, 이들 명제는 실수 또는 복소수의 공간에서 노름 $|x|$ (절댓값(absolute value))을 사용하여 적용됩니다.

In topological vector spaces

만약 $X$가 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space) (TVS)이고 ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$가 $X$에서 (가능한 셀-수-없는(uncountable)) 가족이면 이 가족은 만약 다음이면 절대적으로 합-가능입니다:

1. ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$는 $X$에서 합-가능입니다 (즉, 만약 네트(net) $\left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}$의 극한 ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$이 $X$에서 수렴하면, 여기서 ${\mathcal {F}}(A)$는 포함 $\subseteq$에 의해 방향화된 $A$의 모든 유한 부분집합의 방향화된 집합(directed set)이고 ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$입니다), 그리고
2. $X$ 위에 모든 각 연속 반노름 $p$에 대해, 가족 ${\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$는 $\mathbb {R}$에서 합-가능입니다.

만약 $X$가 노름-가능 공간이고 ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$가 $X$에서 절대적으로 합-가능 가족이면, 셀-수-있는 $x_{\alpha }$의 모음을 제외하고 반드시 모두 0입니다.

절대적으로 합-가능 가족은 핵 공간(nuclear space)의 이론에서 중요한 역할을 합니다.

Relation to convergence

만약 $G$가 메트릭 $d$에 관해 완비(complete)이면, 모든 각 절대적으로 수렴 급수는 수렴합니다. 그 증명은 복소-값 수렴에 대한 것과 같습니다: 수렴에 대해 코시 기준을 유도하기 위해 완비성을 사용하고 – 급수가 수렴인 것과 그것의 꼬리는 노름에서 임의적으로 작게 만들어질 수 있는 것은 필요충분 조건입니다 – 삼각형 부등식을 적용합니다.

특히, 임의의 바나흐 공간(Banach space)에서 값을 갖는 급수에 대해, 절대 수렴은 수렴을 의미합니다. 그 전환은 역시 참입니다: 만약 절대 급수가 노름 공간에서 수렴을 의미하면, 그 공간은 바나흐 공간입니다.

만약 급수가 수렴이지만 절대적으로 수렴이 아니면, 그것은 조건적으로 수렴(conditionally convergent)이라고 불립니다. 조건적으로 수렴의 예제는 교대하는 조화 급수(alternating harmonic series)입니다. 발산과 수렴에 대해 많은 표준 테스트는, 특히 비율 테스트(ratio test)와 근 테스트(root test)를 포함하여, 절대 수렴을 시연합니다. 이것은 거듭제곱 급수(power series)가 그것의 수렴의 디스크의 내부에 절대적으로 수렴하기 때문입니다.

Proof that any absolutely convergent series of complex numbers is convergent

${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }$가 수렴한다고 가정합니다. 그런-다음 동등하게, ${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$는 수렴하며, 이것은 ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}$와 ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}$가 비-음의 항의 항별 비교에 의해 수렴한다는 것을 의미합니다. 그것은 이들 급수의 수렴이 ${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$와 ${\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}$의 수렴을 의미하고, 그 때를 위해, ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}$의 수렴이 복소-값 급수의 수렴의 정의에 의해 뒤따른다는 것을 보이는 것으로 충분합니다.

이전 논의는 우리가 오직 ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$의 수렴이 ${\textstyle \sum a_{k}}$의 수렴을 의미하는 것을 입증하기만 하면 된다는 것을 보여줍니다.

${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$를 수렴한다고 놓습니다. $0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|$이기 때문에, 우리는 다음을 가집니다: $$0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.$$

${\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}$가 수렴하기 때문에, ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$는 부분 합의 경계진(bounded) 단조적(monotonic) 수얼(sequence)이고, ${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$가 역시 수렴해야 합니다. ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}$가 수렴하는 급수의 차이임을 주목하여, 우리는 그것이 원하는 대로 수렴 급수라는 결론을 내립니다.

Alternative proof using the Cauchy criterion and triangle inequality

복소 급수의 수렴에 대해 코시 기준을 적용함으로써, 우리는 역시 이 사실을 삼각형 부등식(triangle inequality)의 단순 함축으로 입증할 수 있습니다. 코시 기준(Cauchy criterion)에 의해, ${\textstyle \sum |a_{i}|}$가 수렴하는 것과 임의의 $\varepsilon >0$에 대해, $n>m\geq N$에 대해 ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }$를 만족하는 $N$이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다. 그러나 삼각형 부등식은 ${\textstyle \sum a_{i}}$에 대해 정확하게 코시 기준인 임의의 $n>m\geq N$에 대해 ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }$가 되도록 ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|}$임을 의미합니다.

Proof that any absolutely convergent series in a Banach space is convergent

위의 결과는 모든 각 바나흐 공간(Banach space) $(X,\|\,\cdot \,\|)$으로 쉽게 일반화될 수 있습니다. ${\textstyle \sum x_{n}}$를 $X$에서 절대적으로 수렴 급수로 놓습니다. ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$가 실수의 코시 수열(Cauchy sequence)이기 때문에, 임의의 $\varepsilon >0$와 충분하게 큰 자연수(natural number) $m>n$에 대해 그것이 유지됩니다: $$\left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .$$

노름 ǁ⋅ǁ에 대해 삼각형 부등식에 의해, 우리는 즉시 다음을 얻습니다: $$\left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,$$

이것은 ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$가 $X$에서 코시 수열이고, 따라서 그 급수는 $X$에서 수렴한다는 것을 의미합니다.

Rearrangements and unconditional convergence

Real and complex numbers

실수 또는 복소수의 급수가 절대적으로 수렴할 때, 해당 급수의 항의 재배열 또는 재순서화는 여전히 같은 값으로 수렴할 것입니다. 이 사실은 절대 수렴 급수가 유용한 한 가지 이유입니다: 급수가 절대적으로 수렴임을 표시하면 합의 값을 변경없이 편리한 방법에서 항을 쌍을 이루거나 재정렬하는 것을 허용합니다.

리만 재배열 정리(Riemann rearrangement theorem)는 그 전환이 역시 참임을 보여줍니다: 그것의 항이 다른 값을 제공하기 위해 재정렬될 수 없는 모든 각 실수 또는 복소-값 급수는 절대적으로 수렴합니다.

Series with coefficients in more general space

용어 무조건적으로 수렴(unconditional convergence)은 그것의 항의 임의의 재배열이 여전히 같은 값으로 수렴하는 급수를 참조하기 위해 사용됩니다. 정규화된 아벨 그룹 $G$에서 값을 갖는 임의의 급수에 대해, $G$가 완비인 한, 절대적으로 수렴하는 모든 각 급수는 역시 무조건적으로 수렴합니다.

더 공식적으로 다음과 같이 말합니다:

Theorem —  $G$를 노름된 아벨 그룹으로 놓습니다. 다음임을 가정합니다: $$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A\in G,\quad \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty .$$ 만약 $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$이 임의의 순열이면, 다음입니다: $$\sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.$$

보다 일반적인 계수를 갖는 급수에 대해, 그 전환은 더 복잡합니다. 이전 섹션에서 설명된 것처럼, 실수-값과 복소-값 급수에 대해, 무조건적으로 수렴은 항상 절대 수렴을 의미합니다. 어쨌든, 노름된 아벨 그룹 $G$에서 값을 갖는 급수의 보다 일반적인 경우에서, 그 전환이 항상 유지되는 것은 아닙니다: 절대적으로 수렴하지는 않지만, 무조건적으로 수렴하는 급수가 존재할 수 있습니다.

예를 들어, 바나흐 공간(Banach space) ℓ^∞에서, 무조건적으로 수렴하지만 절대적으로 수렴하지 않는 하나의 급수는 다음입니다: $$\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},$$

여기서 $\{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }$는 직교정규 기저입니다. 아리에 드보레츠키(A. Dvoretzky)와 클로드 앰브로스 로저스(C. A. Rogers)의 정리는 모든 각 무한-차원 바나흐 공간이 절대적으로 수렴은 아닌 무조건적으로 수렴 급수를 가짐을 주장합니다.

Proof of the theorem

임의의 $\varepsilon >0$에 대해, 우리는 다음을 만족하는 어떤 $\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N}$를 선택할 수 있습니다: $${\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}$$

다음이라고 놓습니다: $${\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}$$

마지막으로 임의의 정수(integer) $N>M_{\sigma ,\varepsilon }$에 대해, 다음임을 놓습니다: $${\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\end{aligned}}$$

그런-다음 $${\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<\varepsilon \end{aligned}}$$

이것은 다음임을 보여줍니다: $${\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,$$ 즉: $$\sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.$$

Q.E.D.

Products of series

두 급수의 코시 곱(Cauchy product)은 만약 급수 중 적어도 하나가 절대적으로 수렴하면 그 합으로 수렴합니다. 즉, 다음임을 가정합니다: $$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.$$

코시 곱은 항 $c_{n}$의 합으로 정의되며 여기서: $$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$$

만약 $a_{n}$ 또는 $b_{n}$ 합의 어느 하나가 절대적으로 수렴이면: $$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.$$

Absolute convergence over sets

급수의 절대 수렴의 일반화는 집합에 걸쳐 함수의 합의 절대 수렴입니다. 우리는 먼저 셀-수-있는 집합 $X$와 함수 $f:X\to \mathbb {R}$를 고려할 수 있습니다. 우리는 ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$로 쓰인 $X$에 걸쳐 $f$의 합의 아래 정의를 제공할 것입니다.

먼저 $X$의 특정 열거 (또는 "인덱싱")이 여전히 지정되지 않았고, 급수 ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$는 급수의 보다 기본 정의에 의해 이해될 수 없음을 주목하십시오. 사실, $X$와 $f$의 특정 예제에 대해, $X$에 걸쳐 $f$의 합은 전혀 정의되지 않을 수 있는데, 왜냐하면 일부 인덱싱이 조건적으로 수렴 수열을 생성할 수 있기 때문입니다.

그러므로 우리는 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$가 절대적으로 수렴함을 만족하는 일부 전단사 $g:\mathbb {Z} ^{+}\to X$가 존재하는 경우에서 오직 ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$를 정의합니다. 여기서, "절대적으로 수럼"은 인덱스된 급수에 적용된 보다 기본 정의를 사용함에 주목하십시오. 이 경우에서, $X$에 걸쳐 $f$의 합의 값은 다음에 의해 정의됩니다: $$\sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))$$

급수가 절대적으로 수렴하기 때문에, 모든 각 재배열은 전단사 $g$의 다른 선택과 동일함을 주목하십시오. 모든 이들 합은 같은 값을 가지기 때문에, $X$에 걸쳐 $f$의 합은 잘-정의됩니다.

훨씬 더 일반적으로 우리는 $X$가 셀-수-없는 것일 때 $X$에 걸쳐 $f$의 합을 정의할 수 있습니다. 그러나 먼저 우리는 합이 수렴한다는 것이 무엇을 의미하는지 정의합니다.

$X$를 임의의 집합, 셀-수-있는 또는 셀-수-없는 것으로 놓고, $f:X\to \mathbb {R}$를 함수로 놓습니다. 우리는 $X$에 걸쳐 $f$의 합이 만약 다음이면 절대적으로 수렴이라고 말합니다: $$\sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .$$

만약 $X$에 걸쳐 $f$의 합이 절대적으로 수렴이면, $f$는 많아야 셀-수-있는 것인 집합 위에 비-영 값을 취한다고 말하는 정리가 있습니다. 그러므로, 다음은 그 합이 절대적으로 수렴일 때 $X$에 걸쳐 $f$의 합의 일관된 정의입니다: $$\sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).$$

마지막 급수는 셀-수-있는 집합에 걸쳐 급수의 정의를 사용함을 주목하십시오.

일부 저자는 만약 반복된 급수가 ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty }$이면 반복된 합 ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$을 절대적으로 수렴이라고 정의합니다. 이것은 ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}}$의 절대 수렴과 사실 동등합니다. 다시 말하자면, 만약 $X$에 걸쳐 $f$의 합, ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}}$이 위에서 정의된 것처럼 절대적으로 수렴이면, 반복된 합 ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$은 절대적으로 수렴이고, 그 반대도 마찬가지입니다.

Absolute convergence of integrals

실수-값 또는 복소-값 함수의 적분(integral) ${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$는 만약 ${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty }$이면 절대적으로 수렴이라고 말합니다. 우리는 역시 $f$는 절대적으로 적분-가능이라고 말합니다. 절대 적분가능성의 문제는 리만(Riemann), 르베그(Lebesgue), 또는 헨스탁–쿠르즈베일(Henstock–Kurzweil) (게이지) 적분이 고려되는지 여부에 뒤얽혀있고 의존합니다; 리만 적분에 대해, 그것은 역시 우리가 그것의 적절한 의미에서 적분가능성을 오직 고려하거나 ($f$ and $A$ 둘 다가 경계짐(bounded)), 부적절한 적분의 보다 일반적인 경우를 허용하는지 여부에 의존합니다.

리만 적분의 표준 속성으로, $A=[a,b]$가 경계진 구간(interval)일 때, 모든 각 연속 함수(continuous function)는 경계지고 (리만) 적분가능이고, $f$ 연속이 $|f|$ 연속을 의미하기 때문에, 모든 각 연속 함수는 절대적으로 적분가능입니다. 사실, $g\circ f$가 만약 $f$가 (적절하게) 적분가능이고 $g$가 연속이면 $[a,b]$ 위에 리만 적분가능이기 때문에, $|f|=|\cdot |\circ f$는 만약 $f$가 적분가능이면 적절하게 리만 적분가능임을 따릅니다. 어쨌든, 이 의미는 부적절한 적분의 경우에서 유지되지 않습니다. 예를 들어, 함수 ${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$는 그것의 경계진 도메인 위에 부적절하게 리만 적분가능이지만, 그것은 절대적으로 적분가능이 아닙니다: $$\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .$$

실제로, 보다 일반적으로, 임의의 급수 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$가 주어지면 우리는 $f_{a}([n,n+1))=a_{n}$에 의해 정의된 결합된 단계 함수(step function) $f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R}$를 고려할 수 있습니다. 그런-다음 ${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$는 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$의 해당하는 행위에 따라 절대적으로 수렴, 조건적으로 수렴, 또는 발산합니다.

상황은 르베그 적분에 대해 다르며, 르베그 적분은 적분의 경계진 것과 경계지지 않은 도메인을 별도로 처리하지 않습니다 (아래 참조). $|f|$가 위의 예제에서 경계지지 않은 것이라는 사실은 $f$가 역시 르베그 의미에서 적분가능이 아님을 의미합니다. 사실, 적분의 르베그 이론에서, $f$가 측정-가능(measurable)으로 주어지면, $f$가 (르베그) 적분가능인 것과 $|f|$가 (르베그) 적분가능인 것은 필요충분 조건입니다. 어쨌든, $f$가 측정가능이라는 가설은 중대합니다; 그것은 $[a,b]$ 위에 절대적으로 적분가능 함수가 적분가능임을 일반적으로 참이 아닙니다 (간단히 그것들이 측정-가능에 실패할 수 있기 때문입니다): $S\subset [a,b]$를 비-측정가능 부분집합(subset)으로 놓고 $f=\chi _{S}-1/2$를 생각해 보십시오, 여기서 $\chi _{S}$는 $S$의 특성 함수(characteristic function)입니다. 그런-다음 $f$가 르베그 측정가능이 아니고 따라서 적분가능이 아니지만, $|f|\equiv 1/2$는 상수 함수이고 분명히 적분가능입니다.

다른 한편으로, 함수 $f$는 헨스탁–쿠르즈베일 적분가능 (게이지 적분가능)일 수 있지만 $|f|$는 그렇지 않습니다. 이것은 부적절하게 리만 적분가능 함수의 경우를 포함합니다.

일반적인 의미에서, 임의의 측정 공간(measure space) $A$ 위에, 실수-값 함수의 르베그 적분은 그것의 양수와 음수 부분의 관점에서 정의되므로, 다음 사실은

1. $f$ 적분가능은 $|f|$ 적분가능을 의미합니다
2. $f$ 측정가능, $|f|$ 적분가능은 $f$ 적분가능을 의미합니다

본질적으로 르베그 적분의 정의에 내장되어 있습니다. 특히, 집합(set) $S$ 위에 세는 측정(counting measure)에 이론을 적용하면, 우리는 네트 (지금 부르는 그것)를 사용하여 무어–스미스(Moore–Smith)에 의해 개발된 급수의 비-순서화된 합계의 개념을 복구합니다. $S=\mathbb {N}$이 자연수의 집합일 때, 르베그 적분성, 비-순서화된 합계가능성과 절대 수렴은 모두 일치합니다.

마지막으로, 위의 모두는 바나흐 공간에서 값을 갖는 적분에 대해 유지됩니다. 바나흐-값 리만 적분의 정의는 보통의 것의 명백한 수정입니다. 르베그 적분가능에 대해, 우리는 보흐너 적분(Bochner integral)을 획득하는 다니엘의 보다 함수 해석적(functional analytic) 접근 방식을 갖는 양수 부분과 음수 부분으로의 분해를 우회하기 위해 필요합니다.

See also

• Cauchy principal value
• Conditional convergence
• Convergence of Fourier series
• Fubini's theorem
• Modes of convergence (annotated index)
• Riemann series theorem
• Unconditional convergence
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·

References

Works cited

• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

General references

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