Abelian group

추상 대수학에서, 교환 특성 그룹(commutative group)이라고 역시 불리는, 아벨 그룹(abelian group)은, 두 그룹 원소에 대한 그룹 연산(operation)을 적용한 것의 결과가 그들이 쓰인 순서에 의존하지 않는 그룹(group)입니다. 즉, 이들은 교환 특성(commutativity)의 공리를 준수하는 그룹입니다. 아벨 그룹은 정수(integer)의 덧셈의 산술(arithmetic)을 일반화(generalization)합니다. 그들은 19세기 초의 수학자 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)의 이름을 따서 명명되었습니다.^[1]

아벨 그룹의 개념은, 모듈(modules) 및 벡터 공간(vector space)과 같은, 많은 다른 기본 개념이 개발된 것으로부터, 대학 추상 대수학 안에서 마주친 첫 번째 개념 중 하나입니다. 아벨 그룹의 이론은 그들 비-아벨(non-abelian) 짝의 이론보다 일반적으로 간단하고, 유한 아벨 그룹은 매우 잘 이해됩니다. 다른 한편, 무한한 아벨 그룹의 이론은 현재의 연구의 분야입니다.

Definition

Group-like structures
	Totality^α	Associativity	Identity	Inverse	Commutativity
Semigroupoid	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Small category	Unneeded	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Groupoid	Unneeded	Required	Required	Required	Unneeded
Magma	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Quasigroup	Required	Unneeded	Unneeded	Required	Unneeded
Unital magma	Required	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded
Semigroup	Required	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Loop	Required	Unneeded	Required	Required	Unneeded
Monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Group	Required	Required	Required	Required	Unneeded
Commutative monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Required
Abelian group	Required	Required	Required	Required	Required
^α The closure axiom, used by many sources and defined differently, is equivalent.

아벨 그룹은, 임의의 두 원소(elements) a와 b를 결합하여 a • b로 표시되는 다른 원소를 형성하는 연산(operation) •과 함께, 집합(set), A입니다. 기호 •는 구체적으로 주어진 연산에 대한 일반적인 자리 표시 자입니다. 아벨 그룹으로 자격을 얻기 위해서, 집합과 연산, (A, •)은 아벨 그룹 공리(abelian group axioms)로 알려진 다섯 가지 요구 사항을 반드시 충족해야 합니다:

클러저(Closure): A 안의 모든 a, b에 대해, 연산 a • b의 결과는 역시 A 안에 있습니다.
결합 특성(Associativity): A 안의 모든 a, b 및 c에 대해, 방정식 (a • b) • c = a • (b • c)이 유지합니다.
항등원(Identity element): A 안의 모든 원소 a에 대해, 방정식 e • a = a • e = a이 유지되는 것을 만족하는, A 안의 원소 e가 존재합니다.
역원(Inverse element): A 안의 각 a에 대해, e가 항등원이라 놓고, a • b = b • a = e를 만족하는 A 안의 원소 b가 존재합니다.
교환 특성(Commutativity): A 안의 모든 a, b에 대해, a • b = b • a.

그룹 연산이 교환 가능이 아닌 그룹은 "비-아벨 그룹" 또는 "비-교환 가능 그룹"이라고 불립니다.

Facts

Notation

아벨 그룹에 대해 두 가지 주요 표기적인 관례 – 덧셈 그리고 곱셈이 있습니다.

관례(Convention)	연산(Operation)	항등원(Identity)	거듭제곱(Powers)	역(Inverse)
덧셈(Addition)	x + y	0	nx	−x
곱셈(Multiplication)	x ⋅ y or xy	e or 1	xⁿ	x⁻¹

일반적으로, 곱셈 표기법은 그룹에 대한 보통 표기법이고, 반면에 덧셈 표기법은 모듈(module) 및 링(ring)에 대해 보통 표기법입니다. 덧셈 표기법은 아벨 그리고 비-아벨 그룹 둘 다가 고려될 때마다, 특정 그룹이 아벨인 것을 강조하기 위해서 사용될 수 있으며, 일부 주목할 만한 예외는 근처-링(near-ring) 그리고 부분적으로 순서화 그룹(partially ordered group)이며, 여기서 연산은 심지어 비-아벨일 때 쓰입니다.

Multiplication table

유한한 그룹(finite group)이 아벨인지 확인하기 위해, 케일리 테이블(Cayley table)이라고 알려진 – 테이블 (행렬)은 곱셈 테이블(multiplication table)과 비슷한 방식 안에서 구성될 수 있습니다. 만약 그룹이 연산 ⋅ 아래에서 G = {g₁ = e, g₂, ..., g_n}이면, 이 테이블의 (i, j)번째 엔트리는 곱 g_i ⋅ g_j를 포함합니다. 이 그룹이 아벨인 것과 이 테이블이 주요 대각선에 대한 대칭인 것과는 필요충분 조건입니다.

만약 그룹이 아벨이면, g_i ⋅ g_j = g_j ⋅ g_i이기 때문에, 이것은 참입니다. 이것은, 테이블의 (i, j)번째 엔트리가 (j, i)번째 엔트리와 같음을 의미하므로, 따라서 테이블은 주요 대각선에 대한 대칭입니다.

Examples

(Z, +)로 표시되는, 정수(integer)와 연산 덧셈(addition) "+"에 대해, 연산 +는 임의의 두 정수를 결합하여 세 번째 정수를 형성하고, 덧셈은 결합 가능이고, 영은 덧셈에 대한 항등원(additive identity)이고, 모든 정수 n은 덧셈의 역원(additive inverse), −n을 가지고, 덧셈 연산은 교환 가능이고 왜냐하면 임의의 두 정수 m 및 n에 대해 m + n = n + m이기 때문입니다.
모든 각 순환 그룹(cyclic group) G는 아벨인데, 왜냐하면 만약 x, y가 G 안에 있으면, xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx이기 때문입니다. 따라서 정수(integer) Z는, Z/nZ, 정수 모듈로 n(integers modulo n)이 그런 것처럼, 덧셈 아래에서 아벨 그룹을 형성합니다.
모든 링(ring)은 그의 덧셈 연산에 관하여 아벨 그룹입니다. 교환 가능 링(commutative ring)에서 역 가능한 원소, 또는 단위(units)는 아벨 곱셈의 그룹(multiplicative group)을 형성합니다. 특히, 실수(real number)는 덧셈 아래에서 아벨 그룹이고, 비-영 실수는 곱셈 아래에서 아벨 그룹입니다.
아벨 그룹의 모든 부분 그룹(subgroup)은 정규(normal)이고, 그래서 각 부분 그룹은 몫 그룹(quotient group)을 야기합니다. 아벨 그룹의 부분 그룹, 몫, 그리고 직접 합(direct sums:직합)은 다시 아벨입니다. 유한한 단순(simple) 아벨 그룹은 정확히 소수 차원의 순환 그룹입니다.^[2]
아벨 그룹과 Z-모듈(module)의 개념은 일치합니다. 보다 구체적으로, 모든 Z-모듈은 덧셈의 그의 연산과 함께 아벨 그룹이고, 모든 아벨 그룹은 유일한 방법으로 정수 Z의 링에 걸쳐 모듈입니다.

일반적으로, 행렬(matrices), 심지어 역 가능한 행렬은 곱셈 아래에서 아벨 그룹을 형성하지 않는데 왜냐하면 행렬 곱셈은 일반적으로 교환 가능이 아닙니다. 어쨌든, 행렬의 일부 그룹은 행렬 곱셈에 걸쳐 아벨 그룹입니다 – 하나의 예제는 2×2 회전 행렬(rotation matrices)의 그룹입니다.

Historical remarks

카미유 조르당(Camille Jordan)은 노르웨이(Norwegian)의 수학자 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)의 이름을 따서 아벨 그룹으로 명명했습니다. 왜냐하면 아벨은, 다항식(polynomial)의 그룹의 교환 특성이 다항식의 근은 근호에 의해 풀 수 있다는 것을 의미한다는 것을 발견했기 때문입니다. 역사적 배경에 대한 자세한 정보에 대해 Cox (2004)의 6.5 섹션을 참조하십시오.

Properties

만약 n이 자연수(natural number)이고 x가 덧셈적으로 쓰인 아벨 그룹 G의 원소이면, nx는 x + x + ... + x (합해지는 수 n) 그리고 (−n)x = −(nx)로 정의될 수 있습니다. 이런 방식으로, G는 정수의 링(ring) Z에 걸쳐 모듈(module)이 됩니다. 사실, Z에 걸쳐 모듈은 아벨 그룹으로 식별될 수 있습니다.

아벨 그룹 (즉, 주요 아이디얼 도메인(principal ideal domain) Z에 걸쳐 모듈(module))에 관한 정리는 임의의 주요 아이디얼 도메인에 걸쳐 모듈에 대한 정리로 종종 일반화될 수 있습니다. 전형적인 예제는 주요 아이디얼 도메인에 걸쳐 유한하게 생성된 모듈에 대해 구조 정리의 전문화인 유한하게 생성된 아벨 그룹(finitely generated abelian group)의 분류입니다. 유한하게 생성된 아벨 그룹의 경우에서, 이 정리는, 아벨 그룹이 꼬임 그룹과 자유 아벨 그룹의 직접 합으로 나뉘는 것을, 보증합니다. 전자는 p 소수에 대해 형태 Z/p^kZ의 유한하게 많은 그룹의 직접 합으로 쓸 수 있고, 후자는 Z의 유한하게 많은 사본의 직접 합입니다.

만약 f, g : G → H가 아벨 그룹 사이의 그룹 준동형 사상(group homomorphism)이면, (f + g) (x) = f(x) + g(x)에 의해 정의된, 그들 합 f + g은 다시 준동형 사상입니다. (이것은, 만약 H가 비-아벨 그룹이면, 참이 아닙니다.) G에서 H로의 모든 그룹 준동형 사상의 집합 Hom(G, H)은, 따라서, 그 자체로 아벨 그룹으로 바뀝니다.

어느 정도 벡터 공간(vector space)의 차원(dimension)과 유사하게, 모든 아벨 그룹은 랭크(rank)를 가집니다. 그것은 그룹의 선형적으로 독립적인(linearly independent) 원소의 집합의 최대 카디널리티(cardinality)로 정의됩니다. 정수와 유리수(rational number)는 랭킹 일을 가지고, 유리수의 모든 부분 그룹도 마찬가지입니다.

그룹 G의 중심(center) Z(G)는 G의 모든 원소와 교환하는 원소의 집합입니다. 그룹 G가 아벨인 것과 그것이 그의 중심 Z(G)와 같은 것은 필요충분 조건입니다. 그룹 G의 중심은 항상 G의 특성(characteristic) 아벨 부분 그룹입니다. 만약 그의 중심에 의해 그룹의 몫 그룹 G/Z(G)가 주기적이면 G는 아벨입니다.^[3]

Finite abelian groups

정수 모듈로 n(integers modulo n)의 순환 그룹, Z/nZ은 그룹의 첫 번째 예제 중 하나입니다. 그것은, 임의의 유한 아벨 그룹은 소수 거듭제곱 차수의 유한한 순환 그룹의 직접 합과 동형이고, 이러한 차수는 유일하게 결정되며, 불변의 완전한 시스템을 형성합니다. 유한 아벨 그룹의 자기 동형 그룹(automorphism group)은 이러한 불변의 관점에서 직접적으로 기술될 수 있습니다. 이 이론은 게오르크 프로베니우스(Georg Frobenius)와 루드비히 스틱벌거버거(Ludwig Stickelberger)의 1879년 논문에서 처음으로 개발되었고, 나중에, 선형 대수(linear algebra)의 중요한 장을 형성하는, 주요 아이디얼 도메인에 걸쳐 모듈을 유한하게 생성하기 위해 단순화되고 일반화되었습니다.

소수 차수의 임의의 그룹은 순환 그룹과 동형이고 그러므로 아벨입니다. 그의 차수가 소수의 제곱인 임의의 그룹은 아벨입니다.^[4] 사실, 모든 소수 p에 대해 차수 p², 즉, Z_p² 그리고 Z_p×Z_p의 (동형까지) 정확하게 두 그룹이 있습니다.

Classification

유한 아벨 그룹의 기본 정리(fundamental theorem of finite abelian groups)는, 모든 유한 아벨 그룹 G는 소수(prime)-거듭제곱 차수의 순환 부분 그룹의 직접 합으로 표현될 수 있다고 말합니다; 그것은 역시 유한 아벨 그룹에 대해 기초 정리(basis theorem for finite abelian groups)라고 알려져 있습니다. 이것은 유한하게 생성된 아벨 그룹의 기본 정리에 의해 일반화되고, 유한 그룹은, G가 영 랭크(rank)일 때의 특수한 경우입니다; 이것은 차례로 수많은 그 이상의 일반화를 인정합니다.

분류는 1870년에 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)에 의해 입증되었고, 비록 그것은 나중까지 현대 그룹-이론적인 용어로 말해지지 않았고, 1801년에 가우스에 의한 이차 형식의 비슷한 분류에 의해 선행되었습니다; 자세한 내용은 역사(history)를 참조하십시오.

차수 mn의 순환 그룹 Z_mn은 Z_m과 Z_n의 직접 합에 대해 동형인 것과 m과 n이 서로소(coprime)인 것은 필요충분 조건입니다. 그것은 임의의 유한 아벨 그룹 G가 다음 형태의 직접 합에 대해 동형이라는 것을 따릅니다:

\bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbf {Z} _{k_{i}}

다음 정식의 방법 중의 하나에서:

숫자 k₁, ..., k_u는 (반드시 구별될 필요는 없는) 소수의 거듭제곱입니다,
또는 숫자 k₁는 k₂를 나누고, 이것은 k₃을 나누고, 그리고 k_u까지 계속.

예를 들어, Z₁₅는 차수 3과 5의 두 순환 부분 그룹의 직접 합으로 표현될 수 있습니다: Z₁₅ ≅ {0, 5, 10} ⊕ {0, 3, 6, 9, 12}. 같은 것은 차수 15의 임의의 아벨 그룹에 대해 말할 수 있으며, 차수 15의 모든 아벨 그룹은 동형(isomorphic)이라는 주목할 만한 결론을 이끌어 냅니다.

다른 예제에 대해, 차수 8의 모든 아벨 그룹은 Z₈ ( 덧셈 모듈로 8 아래에서 정수 0에서 7), Z₄ ⊕ Z₂ (곱셈 모듈로 16 아래에서 홀수 정수 1에서 15), 또는 Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ 중에 하나와 동형입니다.

차수 30 이하의 유한 아벨 그룹에 대해 작은 그룹의 목록(list of small groups)을 역시 참조하십시오.

Automorphisms

주어진 유한 아벨 그룹 G의 자기 동형(automorphisms)을 세기 위해서 (그리고 때때로 결정하기 위해서) 기본 정리(fundamental theorem)를 적용할 수 있습니다. 이것을 하기 위해, 만약 G가 서로소(coprime) 차수의 부분 그룹의 직접 합 H ⊕ K으로 분리하면, Aut(H ⊕ K) ≅ Aut(H) ⊕ Aut(K)이라는 사실을 사용합니다.

이것이 주어지면, 기본 정리는 G의 자기 동형 그룹을 계산하기 위해 그것은 쉴로브(Sylow) p-부분 그룹의 자기 동형 그룹을 개별적으로 계산하는 것으로 충분하다는 것을 보여줍니다 (즉, 각각 p의 거듭제곱 차수를 갖는, 순환 부분 그룹의 모든 직접 합). 소수 p를 고정하고 그리고 어떤 n > 0에 대해 쉴로브 p-부분 그룹의 순환 인수의 지수 e_i가 증가하는 차수로 정렬된다고 가정합니다:

e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}

다음과 같은 자기 동형을 발견하는 것이 필요합니다:

\mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.

하나의 특수한 경우는 n = 1일 때이면, 그래서 쉴로브 p-부분 그룹 P 안의 오직 하나의 순환 소수-거듭제곱이 있습니다. 이 경우에서 유한한 순환 그룹(cyclic group)의 자기 동형의 이론이 사용될 수 있습니다. 다른 특수한 경우는 n이 임의의지만 1 ≤ i ≤ n에 대해 e_i = 1일 때입니다. 여기서, P가 다음 형태가 되는 것으로 고려됩니다:

\mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},

그래서 이 부분 그룹의 원소는 p 원소 F_p의 유한한 필드에 걸쳐 차원 n의 벡터 공간을 포함하는 것으로 보일 수 있습니다. 이 부분 그룹의 자기 동형은, 그러므로, 역이 가능한 선형 변환에 의해 주어지고, 그래서

\mathrm {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),

여기서 GL은 적절한 일반적인 선형 그룹(general linear group)입니다. 이것은 다음 차수를 가지는 것으로 쉽게 보입니다:

|\mathrm {Aut} (P)|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).

대부분 일반적인 경우에서, 여기서 e_i와 n이 임의인, 자기 동형 그룹은 결정하기 위해 보다 어렵습니다. 그것은, 어쨌든, 만약

d_{k}=\mathrm {max} \{r|e_{r}=e_{k}^{\,}\}

그리고

c_{k}=\mathrm {min} \{r|e_{r}=e_{k}^{\,}\}

을 정의하면 특별한 d_k ≥ k, c_k ≤ k에서 다음을 가지는 것을 알려줍니다.

|\mathrm {Aut} (P)|=\prod _{k=1}^{n}{(p^{d_{k}}-p^{k-1})}\prod _{j=1}^{n}{(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}}\prod _{i=1}^{n}{(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}}.

이것이 특별한 경우로서 이전 예제에서 차수를 산출하는 것을 확인할 수 있습니다 (Hillar, C., & Rhea, D.를 참조하십시오).

Finitely generated abelian groups

아벨 그룹 $A$ 는, 만약 그것이, 그룹의 모든 원소가 $G$ 의 원소의 정수 계수를 갖는 선형 조합(linear combination)을 만족하는 원소 (생성기(generators)라고 불리는) $G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ 의 유한한 집합을 포함하면, 유한하게 생성됩니다.

$L$ 을 기저 $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ 를 갖는 자유 아벨 그룹(free abelian group)으로 놓습니다. 다음을 만족하는 유일한 그룹 준동형(group homomorphism) $p\colon L\mapsto A$ 이 있습니다:

p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{for}}\;i=1,\ldots ,n.

이 준동형은 전사이고, 그의 커널(kernel)은 유한하게 생성됩니다 (왜냐하면 정수는 뇌터 링(Noetherian ring)을 형성하기 때문입니다). 우리는 그의 $j$ 번째 열의 엔트리가 커널의 $j$ 번째 생성기의 계수가 되도록, 정수 엔트리를 갖는 행렬 $M$ 을 고려합니다. 그런 다음, 아벨 그룹은 $M$ 에 의해 정의된 선형 맵의 여-커널(cokernel)에 동형입니다. 반대로 모든 정수 행렬(integer matrix)은 유한하게 생성된 아벨 그룹을 정의합니다.

그것은, 유한하게 생성된 아벨 그룹의 연구는 정수 행렬의 연구와 완전히 동등하다는 것을, 따릅니다. 특히, $A$ 의 생성 집합을 변경하는 것은 유니모듈러 행렬(unimodular matrix) (그것은 그의 역이 역시 정수 행렬인 역이 가능한 정수 행렬입니다)에 의해 왼쪽 위에 $M$ 을 곱하는 것과 동등합니다. $M$ 의 커널의 생성 집합을 변경하는 것은 유니모듈라 행렬에 의해 오른쪽 위의 $M$ 을 곱하는 것과 것과 동등합니다.

$M$ 의 스미스 정규 형식(Smith normal form)는 다음 행렬입니다:

S=UMV,

여기서 $U$ 와 $V$ 는 유니모듈라이고, $S$ 는 모든 비-대각 엔트리가 영, 비-영 대각 엔트리 $d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}$ 는 첫 번째 일(1)을 만족하는 행렬이고, $d_{i,i}$ 는 $i > j$ 에 대해 $d_{i,i}$ 의 제수(divisor)입니다. 스미스 노름의 존재와 모양은, 유한하게 생성된 아벨 그룹 $A$ 가 다음 직접 합(direct sum)인 것을 입증합니다:

\mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,

여기서 $r$ 은 $r$ 의 바닥에서 영 행들의 숫자입니다 (그리고 역시 그룹의 랭크(rank)). 이것이 유한하게 생성된 아벨 그룹의 기본 정리(fundamental theorem of finitely generated abelian groups)입니다.

스미스 정규 형식에 대해 알고리듬의 존재는, 유한하게 생성된 아벨 그룹의 기본 정리가 추상적인 존재의 정리뿐만 아니라, 직접 합으로 유한하게 생성된 아벨 그룹의 표현을 계산하기 위한 방법을 제공하는 것을 보입니다.

Infinite abelian groups

가장 단순한 무한 아벨 그룹은 무한 순환 그룹(infinite cyclic group) Z입니다. 임의로 유한하게 생성된 아벨 그룹(finitely generated abelian group) A는 Z의 r 사본과 유한 아벨 그룹의 직접 합과 동형이며, 차례로 소수 차수의 유한하게 많은 순환 그룹(cyclic group)의 직접 합으로 분해 가능입니다. 비록 분해가 고유하지 않을지라도, A의 랭크(rank)라고 불리는, 숫자 r과 유한 순환 피합수의 차수를 주는 소수 거듭제곱은 유일하게 결정됩니다.

대조적으로, 일반적인 무한히 생성된 아벨 그룹의 분류는 완전히 하고는 거리가 있습니다. 나눔 가능한 그룹(Divisible group), 즉 방정식 nx = a는 임의의 자연수 n과 A의 원소 a에 대해 해 x ∈ A를 허용하는 아벨 그룹은, 완전하게 특성화될 수 있는 무한 아벨 그룹의 하나의 중요한 클래스를 구성합니다. 모든 나눔 가능한 그룹은, 피합수는 Q와 다양한 소수 p에 대해 프뤼퍼 그룹(Prüfer group) Q_p/Z_p와 동형인 것과 함께, 직접 합과 동형이고, 그리고 각 유형의 피합수의 집합의 카디널리티는 유일하게 결정됩니다.^[5] 게다가, 만약 나눔 가능한 그룹 A가 아벨 그룹 G의 부분 그룹이면, A는 직접적인 보수: G = A ⊕ C를 만족하는 G의 부분 그룹 C를 허용합니다. 따라서 나눔 가능한 그룹은 아벨 그룹의 카테고리 내에서 단사 모듈이고, 거꾸로, 모든 단사 아벨 그룹은 나눔 가능입니다 (베어의 기준(Baer's criterion)). 비-영 나눔 가능한 부분 그룹이 없는 아벨 그룹은 축소(reduced)라고 불립니다.

정반대로 반대 속성을 지닌 무한 아벨 그룹의 두 개의 중요한 특수 클래스는 꼬임 그룹(torsion groups)과 꼬임-자유 그룹(torsion-free groups)이며, 그룹 Q/Z (주기적) 그리고 Q (꼬임-자유)에 의해 예시됩니다.

Torsion groups

만약 모든 원소가 유한 차수(order)를 가지면, 아벨 그룹은 주기적(periodic) 또는 꼬임(torsion)이라고 불립니다. 유한 순환 그룹의 직접 합은 주기적입니다. 비록 역 명제는 일반적으로 사실이 아닐지라도, 일부 특별한 경우가 알려져 있습니다. 첫 번째 그리고 두 번째 프뤼퍼 정리(Prüfer theorems)는, 만약 A가 주기적 그룹이고, 그것이 경계진 지수(bounded exponent), 즉, 어떤 자연수 n에 대해 nA = 0를 가지거나, 또는 셀 수 있고 A의 원소의 p-높이(p-heights)가 각 p에 대해 유한이면, A는 유한 순환 그룹의 직접 합과 동형이라고 말합니다.^[6] 그러한 분해에서 Z/p^mZ와 동형인 직접 피함수의 집합의 카디널리티는 A의 불변입니다. 이러한 정리는 후에 쿨리코프 기준(Kulikov criterion)에 포함됩니다. 다른 방향에서, 헬무트 울름(Helmut Ulm)은 두 번째 프뤼퍼 정리를 무한 높이의 원소를 가진 셀 수 있는 아벨 p-그룹에 대한 확장을 발견했습니다: 그들 그룹은 그들 울름 불변(Ulm invariant)에 의해서 완전히 분류됩니다.

Torsion-free and mixed groups

아벨 그룹은, 만약 모든 비-영 원소가 무한 차수를 가지면, 꼬임-자유(torsion-free)라고 불립니다. 꼬임-자유 아벨 그룹(torsion-free abelian group)의 여러 클래스가 광범위하게 연구되어 왔습니다:

자유 아벨 그룹, 즉, Z의 임의의 직접 합
공꼬임(Cotorsion) 및 p-진수 정수(p-adic integers)와 같은 대수적으로 컴팩트(algebraically compact) 꼬임-자유 그룹
날씬한 그룹(slender group)

주기적도 아니고 꼬임-자유도 아닌 아벨 그룹은 혼합(mixed)이라고 불립니다. 만약 A가 아벨 그룹이고 T(A)가 꼬임 부분 그룹(torsion subgroup)이면, 인수 그룹 A/T(A)는 꼬임-자유입니다. 어쨌든, 일반적으로 꼬임 부분 그룹은 A의 직접 피합수가 아니므로, A는 T(A) ⊕ A/T(A)와 동형이 아닙니다. 따라서 혼합 그룹의 이론은 단순히 주기적 그룹과 꼬임-자유 그룹에 대한 결과를 결합하는 것 이상을 포함합니다.

Invariants and classification

무한 아벨 그룹 A의 가장 기본적인 불변 중 하나는 rank(랭크): A의 최대 선형으로 독립적(linearly independent) 부분 집합의 카디널리티입니다. 랭크 0의 아벨 그룹은 정확하게 주기 그룹이며, 반면에 랭크 1의 꼬임-자유 아벨 그룹은 반드시 Q의 부분 그룹이고 완전한 기술될 수 있습니다. 보다 일반적으로, 유한 랭크 r의 꼬임-자유 아벨 그룹은 Q^r의 부분 그룹입니다. 다른 한편, p-진수 정수(p-adic integers) Z_p의 그룹은 무한 Z-랭크의 꼬임-자유 아벨 그룹이고 다른 n을 가진 Zⁿ
_p 그룹은 비-동형이고, 그래서 이 불변은 일부 익숙한 그룹의 속성을 심지어 충분히 포획하지 않습니다.

위에 설명된 유한하게 생성된, 나눔 가능한, 셀 수 있는 주기적, 그리고 랭크 1 꼬임-자유 아벨 그룹에 대해 분류 정리는 모두 1950년 이전에 얻어졌고 그리고 보다 일반적인 무한 아벨 그룹의 분류의 기초를 형성합니다. 무한 아벨 그룹의 분류에 사용된 중요한 기술 도구는 순수한(pure) 그리고 기본(basic) 부분 그룹입니다. 꼬임-자유 아벨 그룹의 다양한 불변의 도입은 한층 진보의 수단 중 하나입니다. 어빙 커플랜스키(Irving Kaplansky), 라즐로 푹스(László Fuchs), 필립 그리피스(Phillip Griffith), 데이비드 아놀드(David Arnold)의 저서, 마찬가지로 보다 최근의 결과에 대해 수학의 강좌 노트(Lecture Notes in Mathematics)에 출판된 아벨 그룹 이론에 관한 학술 회의를 참조하십시오.

Additive groups of rings

링(ring)의 덧셈 그룹은 아벨 그룹이지만, 모든 아벨 그룹이 (자명하지 않은 곱셈을 갖는) 링의 덧셈 그룹은 아닙니다. 이 분야의 연구에서 중요한 주제는 다음과 같습니다:

텐서 곱(tensor product)
셀 수 있는 꼬임-자유 그룹에 관한 코너의 결과
카디널리티 제한을 제거하기 위한 셀라(Shelah)의 연구

Relation to other mathematical topics

많은 큰 아벨 그룹은 토폴로지적 그룹(topological group)으로 그들을 전환시키는 자연 토폴로지(topology)를 보유합니다.

그들 사이의 준동형(homomorphisms)과 함께, 모든 아벨 그룹의 모임은, 아벨 카테고리(abelian category)의 프로토타입, Ab 카테고리(category)를 형성합니다.

부울 대수(Boolean algebras)를 제외한 거의 모든 잘-알려진 대수 구조(algebraic structure)는 결정 불가능(undecidable)입니다. 따라서 타르스키(Tarski)의 학생 Wanda Szmielew (1955)가, 그의 비-아벨 짝과 달리, 아벨 그룹의 일차 이론이 결정 가능이라는 것을 증명한 것은 놀라운 일입니다. 위에 기술된 유한 아벨 그룹의 기본 정리에 더하여, 이 결정 가능성은 아벨 그룹 이론의 성공을 강조하지만, 현재 연구의 여전히 많은 분야가 있습니다:

유한 랭크의 꼬임-자유 아벨 계급 중에서, 유한하게 생성된 경우와 랭크 1의 경우는 잘 이해됩니다;
무한-랭크 꼬임-자유 아벨 그룹의 이론에서 많은 미해결 문제가 있습니다;
셀 수 있는 꼬임 아벨 그룹은 단순한 프레전테이션과 울름 불변을 통해 잘 이해되지만, 셀 수 있는 혼합 그룹의 경우는 훨씬 덜 성숙했습니다.
아벨 그룹의 일차 이론의 많은 가벼운 확장은 결정 불가능한 것으로 알려져 있습니다.
유한 아벨 그룹은 여전히 계산의 그룹 이론(computational group theory)에서 연구의 주제로 남아있습니다.

게다가, 무한 차수의 아벨 그룹은, 꽤 놀랍게도, 모든 수학의 기초로 공통적으로 가정되는 집합 이론(set theory)에 대한 깊은 의문을 제기합니다. 화이트헤드 문제(Whitehead problem)를 가집니다: 무한 차수의 모든 화이트헤드 그룹은 역시 자유 아벨 그룹(free abelian group)입니까? 1970년대, 사하론 셀라(Saharon Shelah)는 화이트헤드 문제가 다음과 같다는 것을 증명했습니다:

(체르멜로-프렝켈 공리) ZFC에서 결정 불가능(Undecidable in ZFC), 현재의 거의 모든 수학이 파생될 수 있는 전통적인 공리적 집합 이론(axiomatic set theory). 화이트헤드 문제는 ZFC에서 결정 불가능이 입증된 보통의 수학에서 역시 첫 번째 질문입니다;
비록 ZFC가 일반화된 연속체 가설을 공리로 취하는 것에 의해 증명될지라도 결정 불가능;
만약 ZFC가 구성가능성(constructibility)의 공리와 함께 입증되면 긍정적으로 대답합니다 (L에서 참인 명제(statements true in L)를 참조하십시오).

A note on the typography

수학자의 적절한 이름에서 파생된 수학 형용사 사이에서, 단어 "abelian"은, 대문자 A가 아닌 소문자 a로 자주 표기되는 것으로, 희귀한 것입니다. 이는 개념이 현대 수학에서 얼마나 유비쿼터스 인지를 나타냅니다.^[7]

Notes

^ Jacobson 2009, p. 41
^ Rose 2012, p. 32
^ Rose 2012, p. 48
^ Rose 2012, p. 79
^ For example, Q/Z ≅ ∑_p Q_p/Z_p.
^ Countability assumption in the second Prüfer theorem cannot be removed: the torsion subgroup of the direct product of the cyclic groups Z/p^mZ for all natural m is not a direct sum of cyclic groups.
^ "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Archived from the original on 1 July 2013. Retrieved 3 July 2016. {{cite web}}: Unknown parameter |dead-url= ignored (|url-status= suggested) (help)

References

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Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.
Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02371-X.
Hillar, Christopher; Rhea, Darren (2007). "Automorphisms of finite abelian groups". American Mathematical Monthly. 114 (10): 917–923. arXiv:math/0605185. Bibcode:2006math......5185H. JSTOR 27642365.
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (2nd ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
Rose, John S. (2012). A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-68194-7. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help) Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
Szmielew, Wanda (1955). "Elementary properties of abelian groups" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 41: 203–271. doi:10.4064/fm-41-2-203-271. MR 0072131. Zbl 0248.02049. {{cite journal}}: Invalid |ref=harv (help)

External links

"Abelian group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Jacobson 2009, p. 41

[2] Rose 2012, p. 32

[3] Rose 2012, p. 48

[4] Rose 2012, p. 79

[5] For example, Q/Z ≅ ∑_p Q_p/Z_p.

[6] Countability assumption in the second Prüfer theorem cannot be removed: the torsion subgroup of the direct product of the cyclic groups Z/p^mZ for all natural m is not a direct sum of cyclic groups.

[7] "Abel Prize Awarded: The Mathematicians' Nobel". Archived from the original on 1 July 2013. Retrieved 3 July 2016. {{cite web}}: Unknown parameter |dead-url= ignored (|url-status= suggested) (help)

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