Dirac delta function

Original article: w:Dirac delta function

"Delta function" redirects here. For other uses, see Delta function (disambiguation).

Schematic representation of the Dirac delta by a line surmounted by an arrow. The height of the arrow is usually meant to specify the value of any multiplicative constant, which will give the area under the function. The other convention is to write the area next to the arrowhead.

The Dirac delta as the limit as $a\to 0$ (in the sense of distributions) of the sequence of zero-centered normal distributions $\delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a\right|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2}}$

수학(mathematics)에서, 디랙 델타 함수(Dirac delta function, δ 분포(δ distribution))는, 역시 단위 임펄스(unit impulse)로 알려져 있으며, 그 값이 영을 제외한 모든 곳에서 영이고, 전체 실수 직선에 걸쳐 그의 적분(integral)이 일과 같은 실수에 걸쳐 일반화된 함수(generalized function) 또는 분포(distribution)입니다.

단위 임펄스에 대한 현재의 이해는 모든 각 연속 함수 (예를 들어, $f(x)$)를 그것의 도메인의 영에서 그것의 값 ($f(0)$)으로 매핑하는 선형 함수형(linear functional), 또는 실수 직선의 대부분에서 영이고 원점에 큰 대못을 가지는 혹 함수(bump functions, 예를 들어, $\delta (x)=\lim _{b\to 0}{\frac {1}{|b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/b)^{2}}$)의 수열(sequence)의 약한 극한(weak limit)이라는 것입니다. 혹 함수는 따라서 때때로 "근사치" 또는 "초기의" 델타 분포라고 불립니다.

델타 함수는 상태 벡터의 정규화에 대해 도구로 물리학자 폴 디랙(Paul Dirac)에 의해 도입되었습니다. 그것은 역시 확률 이론(probability theory)과 신호 처리(signal processing)에서 사용되어 왔습니다. 그 타당성은 로랑 슈바르츠(Laurent Schwartz)가 함수에 작용하는 선형 형식으로 정의되는 분포의 이론을 개발할 때까지 논란이 되었습니다.

보통 이산 도메인에서 정의되고 값 0과 1을 취하는 크로네커 델타(Kronecker delta) 함수는 디랙 델타 함수의 이산 아날로그입니다.

Motivation and overview

디랙 델타의 그래프(graph)는 보통 전체 x-축과 양의 y-축을 따르는 것으로 생각됩니다. 디랙 델타는 높고 좁은 대못 함수 (임펄스), 및 점 전하(point charge), 점 질량(point mass) 또는 전자(electron) 점과 같은 다른 유사한 추상화(abstractions)를 모델링하기 위해 사용됩니다. 예를 들어, 당구공을 치는 동역학(dynamics)을 계산하기 위해, 디랙 델타에 의해 충격의 힘(force)을 근사화할 수 있습니다. 그렇게 함으로써, 방정식을 단순화할 뿐만 아니라 (예를 들어) 아원자 수준에서 모든 탄성 에너지 전달의 상세한 모델 없이 충돌의 총 임펄스만 고려함으로써 공의 운동(motion)을 계산할 수 있습니다.

구체적으로 말하자면, 당구 공이 정지해 있다고 가정합니다. 시간 $t=0$에서, 그것은 또 다른 공과 충돌하여, ${\text{kg m s}}^{-1}$에서 운동량(momentum) $P$를 부여합니다. 운동량의 교환은 실제로 즉각적이지 않고, 분자와 아원자 수준에서 탄성 과정에 의해 조정되지만, 실제적인 목적을 위해 에너지 전달이 사실상 순간적인 것으로 고려하는 것이 편리합니다. 힘(force)은 따라서 $P\,\delta (t)$입니다. ($\delta (t)$의 단위는 $\mathrm {s} ^{-1}$입니다.)

이 상황을 더 엄밀하게 모델링하기 위해, 힘이 대신 작은 시간 구간 $\Delta t=[0,T]$에 걸쳐 균등하게 분포된다고 가정합니다. 즉,

$F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

그런-다음 임의의 시간 t에서 운동량은 적분에 의해 찾을 수 있습니다:

$p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,\mathrm {d} \tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

이제, 순간적인 운동량 전달의 모델 상황은 $\Delta t\to 0$일 때 극한을 취해야 하며, 0을 제외한 모든 곳에서 결과를 제공합니다:

$p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}$

여기서 함수 $F_{\Delta t}$는 순간적인 운동량 전달 아이디어에 대한 유용한 근사로 생각됩니다.

델타 함수를 사용하면 이들 근사의 이상화된 극한을 구성할 수 있습니다. 불행하게도, (점-별 수렴(pointwise convergence)의 의미에서) 함수의 실제 극한 ${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}}$는 모든 곳에서 영이지만 단일 점에서 그것은 무한대입니다. 디랙 델타를 적절하게 이해하기 위해, 우리는 대신 다음 속성을 주장해야 합니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,\mathrm {d} t=P,$

이는 모든 $\Delta t>0$에 대해 유지되며, 극한에서 계속 유지되어야 합니다. 따라서, 방정식 ${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$에서, 극한은 항상 적분 외부에서 취해지는 것으로 이해됩니다.

응용 수학에서, 우리가 여기에서 한 것처럼, 델타 함수는 종종 함수의 수열의 일종의 극한 (약한 극한)으로 조작되며, 그것의 각 멤버는 원점에 큰 대못을 가집니다: 예를 들어, 분산(variance)이 영으로 가는 경향이 있는 원점을 중심으로 하는 가우스 분포(Gaussian distributions)의 수열.

디랙 델타는 진정한 함수가 아니며, 적어도 실수(real numbers)에서 도메인과 치역을 갖는 보통의 함수는 아닙니다. 예를 들어, 대상 f(x) = δ(x)와 g(x) = 0은 x = 0을 제외하고 모든 곳에서 같지만 다른 적분을 가집니다. 르베그 적분 이론(Lebesgue integration theory)에 따르면, f와 g가 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 f = g임을 만족하는 함수이면, f가 적분-가능인 것과 g가 적분-가능인 것은 필요충분 조건이고 f와 g의 적분이 동일합니다. 디랙 델타 함수를 그 자체로 수학적 대상(mathematical object)으로 고려하는 엄격한 접근 방식에는 측정 이론(measure theory) 또는 분포(distributions)의 이론이 필요합니다.

History

조제프 푸리에(Joseph Fourier)는 그의 논문 Théorie analytique de la chaleur에서 다음과 같은 형식으로 현재 푸리에 적분 정리(Fourier integral theorem)라고 불리는 것을 제시했습니다:

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,$

이는 다음과 같은 형식으로 δ-함수를 도입하는 것과 동등합니다:

$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .$

나중에, 오귀스탱 코시(Augustin Cauchy)는 지수를 사용하여 정리를 표현했습니다:

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.$

코시는 일부 상황에서 적분의 순서가 이 결과에서 중요하다고 지적했습니다 (푸비니의 정리(Fubini's theorem)와 대조적입니다).

분포의 이론(theory of distributions)을 사용하여 정당화된 것처럼, 코시 방정식은 푸리에의 원래 공식과 유사하도록 재배열될 수 있고 δ-함수를 다음과 같이 노출합니다:

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}$

여기서 δ-함수는 다음과 같이 표현됩니다:

$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .$

지수 형식에 대한 엄밀한 해석과 그 적용에 필요한 함수 f에 대한 다양한 제한은 수세기에 걸쳐 확장되었습니다. 고전적 해석을 갖는 문제점은 다음과 같이 설명됩니다:

고전적인 푸리에 변환의 가장 큰 단점은 효과적으로 계산될 수 있는 함수 (원본) 클래스가 다소 좁다는 것입니다. 즉, 이들 함수는 푸리에 적분의 존재를 보장하기 위해 (무한대 근방에서) 영으로 충분히 빠르게 감소하는 것이 필요합니다. 예를 들어, 다항식과 같은 간단한 함수의 푸리에 변환은 고전적인 의미에서 존재하지 않습니다. 고전적인 푸리에 변환을 분포로의 확장은 변환될 수 있는 함수의 클래스를 상당히 확대했고 이로 인해 많은 장애물이 제거되었습니다.

추가 개발은 "Plancherel의 선구적인 L²-이론 (1910)으로 시작하여 Wiener와 Bochner의 연구 (1930년경)으로 계속되고 L. Schwartz의 분포의 이론 (1945)으로의 융합으로 절정에 달하는...", 및 디랙 델타 기능의 형식 개발로 이어지는 푸리에 적분의 일반화를 포함합니다.

무한하게 큰 단위 임펄스 델타 함수 (코시 분포의 무한소 버전)에 대한 무한소(infinitesimal) 형식은 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)의 1827년 텍스트에 명시적으로 나타납니다. 시메옹 드니 푸아송(Siméon Denis Poisson)은 나중에 구스타프 키르히호프(Gustav Kirchhoff)가 했던 것처럼 파동 전파 연구와 관련하여 이 문제를 고려했습니다. 키르히호프와 헤르만 폰 헬름홀츠(Hermann von Helmholtz)는 단위 임펄스를 가우스 분포(Gaussians)의 극한으로 도입했으며, 이는 켈빈 경(Lord Kelvin)의 점 열 근원 개념과도 일치합니다. 19세기 말에, 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside)는 단위 임펄스를 조작하기 위해 형식적 푸리에 급수(Fourier series)를 사용했습니다. 이와 같은 디랙 델타 함수는 폴 디랙(Paul Dirac)에 의해 그의 1927년 논문 The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics에서 소개되었고 그의 텍스트 The Principles of Quantum Mechanics에서 사용되었습니다. 그는 그것을 불연속 크로네커 델타(Kronecker delta)의 연속 아날로그로 사용했기 때문에 "델타 함수"라고 불렀습니다.

Definitions

디랙 델타는 원점에서 무한대이고 그것을 제외한 모든 곳에서 영인 실수 직선 위의 함수로 느슨하게 생각될 수 있습니다:

$\delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$

그리고 역시 다음 항등식을 만족하도록 제한됩니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,\mathrm {d} x=1.$

이것은 휴리스틱(heuristic) 특성화에 불과합니다. 디랙 델타는 실수 위에 정의된 함수가 이들 속성을 가지지 않기 때문에 전통적인 의미에서 함수가 아닙니다. 디랙 델타 함수는 분포(distribution) 또는 측정(measure)으로 엄격하게 정의될 수 있습니다.

As a measure

디랙 델타 함수의 개념을 엄격하게 포획하는 한 가지 방법은 디랙 측정(Dirac measure)이라고 하는 측정(measure)을 정의하는 것이며, 이는 실수 직선 R의 부분집합 A를 인수로 받아들이고, 0 ∈ A이면 δ(A) = 1를 반환하고 그렇지 않으면 δ(A) = 0을 반환합니다. 만약 델타 함수가 0에서 이상화된 점 질량을 모델링하는 것으로 개념화되면, δ(A)는 집합 A에 포함된 질량을 나타냅니다. 그런-다음 δ에 대한 적분을 이 질량 분포에 대한 함수의 적분으로 정의할 수 있습니다. 형식적으로, 르베그 적분(Lebesgue integral)은 필요한 해석적 장치를 제공합니다. 측정 δ에 관한 르베그 적분은 모든 연속 컴팩트하게 지원된 함수 f에 대해 다음을 만족시킵니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (\mathrm {d} x)=f(0)$

측정 δ는 르베그 측정(Lebesgue measure)에 관해 절대적으로 연속(absolutely continuous)은 아닙니다—사실, 그것은 특이 측정(singular measure)입니다. 결과적으로, 델타 측정은 (르베그 측정에 관한) 라돈–니코딤 도함수(Radon–Nikodym derivative)을 가지지 않습니다—다음 속성을 유지하는 참 함수는 없습니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,\mathrm {d} x=f(0)$

결과로써, 후자의 표기법은 편리한 표기법의 남용(abuse of notation)이고, 표준 (리만 또는 르베그) 적분이 아닙니다.

R 위에 확률 측정(probability measure)으로서, 델타 측정은 단위 계단 함수(unit step function)인 누적 분포 함수(cumulative distribution function)에 의해 특징-짓습니다.

$H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$

이것은 H(x)가 측정 δ에 관한 누적 지시 함수(indicator function) 1_{(−∞, x]}의 적분임을 의미합니다; 즉,

$H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (\mathrm {d} t)=\delta (-\infty ,x],$

후자는 이 구간의 측정입니다; 보다 형식적으로, δ((−∞, x])입니다. 따라서 특히 연속 함수에 대한 델타 함수의 적분은 리만–스틸티어스 적분(Riemann–Stieltjes integral)으로 적절하게 이해될 수 있습니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (\mathrm {d} x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} H(x).$

δ의 모든 더 높은 모멘트(moments)는 영입니다. 특히, 특성 함수(characteristic function)와 모멘트 생성 함수(moment generating function)는 모두 일과 같습니다.

As a distribution

분포(distributions)의 이론에서, 일반화된 함수는 그 자체로 함수가 아니라 다른 함수에 대해 "적분"될 때 다른 함수에 미치는 영향에 대해서만 고려됩니다. 이 철학을 유지하면서, 델타 함수를 적절하게 정의하기 위해, 충분하게 "좋은" 테스트 함수(test function) φ에 대해 델타 함수의 "적분"이 무엇인지 말하는 것으로 충분합니다. 테스트 함수는 역시 혹 함수(bump functions)라고 알려져 있습니다. 만약 델타 함수가 이미 측정으로 이해되면, 해당 측정에 대한 테스트 함수의 르베그 적분이 필요한 적분을 제공합니다.

테스트 함수의 전형적인 공간은 필요한 만큼 많은 도함수를 가지는 컴팩트 지원(compact support)을 갖는 R 위의 모든 매끄러운 함수(smooth functions)로 구성됩니다. 분포로서, 디랙 델타는 테스트 함수 공간 위에 선형 함수형(linear functional)이고 모든 각 테스트 함수 $\varphi$에 대해 다음에 의해 정의됩니다:

$\delta [\varphi ]=\varphi (0)$

(1)

δ가 적절한 분포가 되려면, 테스트 함수 공간 위에 적절한 토폴로지에서 연속적이어야 합니다. 일반적으로, 분포를 정의하기 위한 테스트 함수의 공간 위에 선형 함수형 S에 대해, 모든 양의 정수 N에 대해, 모든 각 테스트 함수 φ에 대해, 다음 부등식을 가짐을 만족하는 정수 M_N과 상수 C_N이 있는 것은 필요와 충분입니다:

$\left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|$

여기서 sup는 상한(supremum)을 나타냅니다. δ 분포와 함께, 모든 N에 대해 M_N = 0을 갖는 그러한 부등식 (C_N = 1을 가짐)을 가집니다. 따라서 δ는 차수 영의 분포입니다. 그것은, 게다가, 컴팩트 지원을 갖는 분포입니다 (그 지원은 {0}입니다).

델타 분포는 여러 동등한 방법으로 정의될 수도 있습니다. 예를 들어, 그것은 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)의 분포적 도함수(distributional derivative)입니다. 이것은 모든 각 테스트 함수 φ에 대해, 다음을 가짐을 의미합니다:

$\delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,\mathrm {d} x.$

직관적으로, 만약 부분에 의한 적분(integration by parts)이 허용되면, 후자의 적분은 다음과 같이 단순화되어야 합니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,\mathrm {d} x,$

그리고 실제로 스틸티어스 적분에 대해 부분에 의한 적분의 형식이고, 그 경우에서, 다음을 가집니다:

$-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} H(x).$

측정 이론의 맥락에서, 디랙 측정은 적분에 의한 분포를 발생시킵니다. 반대로, 방정식 (1)은 리스 표시 정리(Riesz representation theorem)에 의해 일부 라돈 측정(Radon measure)에 관련하여 φ의 르베그 적분으로 나타낼 수 있는 모든 컴팩트하게 지원된 연속 함수 φ의 공간 위에 대니얼 적분(Daniell integral)을 정의합니다.

일반적으로, "디랙 델타 함수"라는 용어가 사용될 때, 그것은 측정이 아닌 분포의 의미에 있으며, 디랙 측정(Dirac measure)은 측정 이론에서 해당하는 개념에 대해 여러 용어 중 하나입니다. 일부 출처는 디랙 델타 분포(Dirac delta distribution)라는 용어를 사용할 수도 있습니다.

Generalizations

델타 함수는 n-차원 유클리드 공간(Euclidean space) Rⁿ 에서 모든 각 컴팩트하게 지원된 연속 함수 f에 대해 다음을 만족하는 측정으로 정의될 수 있습니다:

$\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (\mathrm {d} \mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )$

측정으로서, n-차원 델타 함수는 각 변수에서 개별적으로 1차원 델타 함수의 곱 측정(product measure)입니다. 따라서, 형식적으로, x = (x₁, x₂, ..., x_n)과 함께, 다음을 제공합니다:

$\delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\,\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).$

(2)

델타 함수는 일-차원 경우에서 위에서 정확히 분포의 의미로 정의될 수도 있습니다. 어쨌든, 공학적인 맥락에서 광범위하게 사용되고 있음에도 불구하고, (2)는 주의해서 다루어야 하는데, 왜냐하면 분포의 곱은 매우 좁은 상황 아래에서만 정의될 수 있기 때문입니다.

디랙 측정(Dirac measure)의 개념은 임의의 집합 위에 의미가 있습니다. 따라서 X가 집합이고, x₀ ∈ X가 표시된 점이고, Σ가 X의 부분집합의 시그마 대수(sigma algebra)이면, 다음에 의해 정의된 집합 A ∈ Σ에 정의된 측정은,

$\delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}$

x₀에 집중된 델타 측정 또는 단위 질량입니다.

델타 함수의 또 다른 공통적인 일반화는 미분-가능 구조(differentiable structure)로 인해 분포로서의 대부분의 속성을 이용할 수 있는 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)에 대한 것입니다. 점 x₀ ∈ M에 중심을 둔 매니폴드 M의 델타 함수는 M 위에 모든 컴팩트하게 지원된 매끄러운 실수-값 함수 φ에 대해 다음 분포로 정의됩니다:

$\delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})$

(3)

이 구성의 공통적인 특수한 경우는 M이 유클리드 공간 Rⁿ에서 열린 집합(open set)인 경우입니다.

지역적으로 컴팩트 하우스도르프 공간(locally compact Hausdorff space) X 위에, 점 x에 집중된 디랙 델타 측정은 컴팩트하게 지원된 연속 함수 φ 위에 대니얼 적분 (3)과 결합된 라돈 측정(Radon measure)입니다. 이 수준의 일반성에서, 미적분 자체가 더 이상 가능하지 않으며, 어쨌든 추상적 해석학의 다양한 기술이 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 매핑 $x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}$은 그것의 모호한 토폴로지(vague topology)를 갖춘 X 위에 유한 라돈 측정의 공간에 X의 연속적 삽입입니다. 게다가, 이 삽입 아래에서 X의 이미지의 볼록 껍질(convex hull)은 X 위에 확률 측정의 공간에서 조밀한(dense) 것입니다.

Properties

Scaling and symmetry

델타 함수는 비-영 스칼라 α에 대해 다음 스케일링 속성을 만족시킵니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {\mathrm {d} u}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}$

그리고 따라서

$\delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.$

(4)

스케일링 속성 증명:$${\begin{aligned}\delta (\alpha x)&=\lim _{b\to 0}{\frac {1}{|b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(\alpha x/b)^{2}}\qquad {\text{since }}b{\text{ is a dummy variable, we set }}b=\alpha c\\&=\lim _{c\to 0}{\frac {1}{|\alpha c|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(\alpha x/(\alpha c))^{2}}\\&=\lim _{c\to 0}{\frac {1}{|\alpha |}}{\frac {1}{|c|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/c)^{2}}={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)\end{aligned}}$$

이 증명에서, 영-중심된 정규 분포(normal distributions) $\delta (x)=\lim _{b\to 0}{\frac {1}{|b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/b)^{2}}$의 수열의 극한으로 델타 함수 표시가 사용됩니다. 이 증명은 이것들이 짝수 함수인 한 다른 델타 함수 표시를 함수 수열의 극한으로 사용함으로써 만들 수 있습니다.

특히, 델타 함수는 다음과 같은 의미에서 짝수(even) 분포 (대칭)입니다:

$\delta (-x)=\delta (x)$

이는 차수 1의 동차(homogeneous)입니다.

Algebraic properties

x를 갖는 δ의 분포적 곱(distributional product)은 영과 같습니다:

$x\,\delta (x)=0.$

반대로, 만약 xf(x) = xg(x)이면, 여기서 f와 g는 분포이며, 일부 상수 c에 대해 다음과 같습니다:

$f(x)=g(x)+c\delta (x)$

Translation

시간-지연된 디랙 델타의 적분은 다음과 같습니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,\mathrm {d} t=f(T).$

이것은 때때로 선별 속성(sifting property) 또는 표본화 속성(sampling property)이라고 참조됩니다. 델타 함수는 t = T에서 f(t)의 값을 "걸러 낸다"고 말합니다.

시간-지연된 디랙 델타 $\delta _{T}(t)=\delta (t-T)$와 함수 f(t)를 합성곱하는 효과는 같은 양만큼 시간-지연된 f(t)에 대한 것임을 따릅니다. 이것은 때때로 미는 속성(shifting property)이라고 참조됩니다 (선별 속성과 혼동해서는 안 됩니다):

${\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,\mathrm {d} \tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}$

선별 속성(sifting property)은 T에 중심을 둔 함수의 값을 찾지만 미는 속성(shifting property)은 지연된 함수를 반환함을 주목하십시오. 미는 속성은 f가 완화된 분포(tempered distribution)라는 정확한 조건 아래에서 유지됩니다 (아래 푸리에 변환의 설명을 참조하십시오). 특별한 경우로서, 예를 들어, 우리는 다음 항등식을 가지고 있습니다 (분포 의미에서 이해됩니다):

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,\mathrm {d} x=\delta (\eta -\xi ).$

Composition with a function

보다 일반적으로, 델타 분포는 익숙한 변수 변경 공식이 유지되는 방법으로 매끄러운 함수 g(x)로 합성될(composed) 수 있습니다:

$\int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|\mathrm {d} x=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,\mathrm {d} u$

g는 아무 데도 영이 아닌 g′을 갖는 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable) 함수라는 조건에서 그렇습니다. 즉, 이 항등식이 모든 컴팩트하게 지원된 테스트 함수 f에 대해 유지되도록 분포 $\delta \circ g$에 의미를 할당하기 위한 고유한 방법이 있습니다. 그러므로, 도메인은 g′ = 0 점 제외까지 분할되어야 합니다. 이 분포는 g가 어디에도 영이 아니면 δ(g(x)) = 0을 만족시키고, 그렇지 않으면 g가 x₀에서 실수 근(root)을 가지면,

$\delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.$

따라서 연속적으로 미분-가능 함수 g에 대한 합성 δ(g(x))를 다음과 같이 정의하는 것이 자연스럽습니다.

$\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$

여기서 합은 단순한(simple) 것으로 가정되는 g(x)의 모든 근 (즉, 모든 다른 근)에 걸쳐 확장됩니다. 따라서, 예를 들어

$\delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.$

적분 형식에서, 일반화된 스케일링 속성은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,\mathrm {d} x=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.$

Properties in n dimensions

n-차원 공간에서 델타 분포는 δ는 차수 −n의 동차(homogeneous) 분포가 되도록 대신 다음 스케일링 속성을 만족시킵니다:

$\delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )~,$

임의의 반사(reflection) 또는 회전(rotation) ρ 아래에서, 델타 함수는 불변입니다:

$\delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} )~.$

일-변수 경우와 마찬가지로, 모든 컴팩트하게 지원된 함수 f에 대해 다음 항등식이 되도록 쌍-립시츠 함수(bi-Lipschitz function) g: Rⁿ → Rⁿ을 갖는 δ의 합성을 고유하게 정의할 수 있습니다:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\left|\det g'(\mathbf {x} )\right|\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,\mathrm {d} \mathbf {u}$

기하 측정 이론(geometric measure theory)에서 공넓이 공식(coarea formula)을 사용하여, 하나의 유클리드 공간에서 다른 차원의 또 다른 공간으로 침몰(submersion)을 갖는 델타 함수의 합성을 정의할 수도 있습니다; 결과는 일종의 흐름(current)입니다. g의 그래디언트(gradient)가 아무 데도 영이 아님을 만족하는 연속적으로 미분-가능 함수 g : Rⁿ → R의 특수한 경우에서, 다음 항등식이 유지됩니다:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {x} )$

여기서 오른쪽 변의 적분은 g⁻¹(0)에 걸쳐, 민코프스키 컨텐츠(Minkowski content) 측정과 관련하여 g(x) = 0에 의해 정의된 (n − 1)-차원 표면입니다. 이것은 단순 층(simple layer) 적분으로 알려져 있습니다.

보다 일반적으로, 만약 S가 Rⁿ의 매끄러운 초곡면이면, 우리는 S에 걸쳐 임의의 컴팩트하게 지원된 매끄러운 함수 g를 적분하는 분포를 S에 결합시킬 수 있습니다:

$\delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} )$

여기서 σ는 S와 결합된 초표면 측정입니다. 이 일반화는 S 위에 단순 층 퍼텐셜(simple layer potentials)의 잠재적 이론(potential theory)과 결합됩니다. 만약 D가 매끄러운 경계 S를 갖는 Rⁿ에서 도메인(domain)이면, δ_S는 분포 의미에서 D의 다음 지시 함수(indicator function)의 법선 도함수(normal derivative)와 같습니다:

$-\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} ),$

여기서 n은 밖으로 법선입니다. 증명을 위해, 예를 들어, 표면 델타 함수(surface delta function)에 대한 기사를 참조하십시오.

Fourier transform

델타 함수는 완화된 분포(tempered distribution)이고, 따라서 그것은 잘-정의된 푸리에 변환(Fourier transform)을 가집니다. 형식적으로, 다음을 찾습니다:

${\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)\mathrm {d} x=1.$

적절하게 말하면, 분포의 푸리에 변환은 슈바르츠 함수(Schwartz functions)를 갖는 완화된 분포의 이중성 쌍화 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 아래에서 푸리에 변환의 자기-인접성(self-adjointness)을 부과함으로써 정의됩니다. 따라서 ${\widehat {\delta }}$는 모든 슈바르츠 함수 $\varphi$에 대해 다음을 만족시키는 고유한 완화된 분포로 정의됩니다:

$\langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle$

그리고 실제로 이것으로부터 ${\widehat {\delta }}=1$이 나옵니다.

이 항등식의 결과로써, 델타 함수와 임의의 다른 완화된 분포 S의 합성곱(convolution)은 단순히 S입니다:

$S*\delta =S.$

즉, δ는 완화된 분포 위에 합성곱에 대해 항등 원소(identity element)이고, 실제로, 합성곱 아래에서 컴팩트하게 지원된 분포의 공간은 델타 함수와 항등하는 결합 대수(associative algebra)입니다. 이 속성은 신호 처리(signal processing)에서 기본인데, 왜냐하면 완화된 분포를 갖는 합성곱은 선형 시간-불변 시스템이고, 선형 시간-불변 시스템을 적용하면 그것의 임펄스 응답(impulse response)을 측정합니다. 임펄스 응답은 δ에 대해 적절한 근사를 선택함으로써 임의의 원하는 정확도로 계산될 수 있고, 일단 그것이 알려지면, 그것은 시스템을 완전히 특성화합니다. LTI system theory § Impulse response and convolution을 참조하십시오.

완화된 분포 f(ξ) = 1의 역 푸리에 변환은 델타 함수입니다. 형식적으로, 이것은 다음과 같이 표현됩니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} \xi =\delta (x)$

그리고 더 엄밀하게, 모든 슈바르츠 함수 f에 대해 다음이기 때문에 따릅니다:

$\langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle$

이러한 용어에서, 델타 함수는 R 위에 푸리에 커널의 직교성 속성의 암시적인 명제를 제공합니다. 형식적으로, 다음을 가집니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,\mathrm {d} t=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).$

이것은, 물론, 다음 완화된 분포의 푸리에 변환이

$f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}$

다음이라고 주장하는 속기입니다:

${\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})$

이는 다시 푸리에 변환의 자기-인접성을 부과함으로써 뒤따릅니다.

푸리에 변환의 해석적 연속(analytic continuation)에 의해, 델타 함수의 라플라스 변환(Laplace transform)은 다음과 같이 발견됩니다:

$\int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,\mathrm {d} t=e^{-sa}.$

Derivatives of the Dirac delta function

디랙 델타 분포의 도함수는, $\delta ^{\prime }$에 의해 표시되고 역시 지시의 라플라스에서 설명한 대로 디랙 델타 프라임(Dirac delta prime) 또는 디랙 델타 도함수(Dirac delta derivative)이라 불리는, 다음에 의해 컴팩트하게 지원된 매끄러운 테스트 함수 $\varphi$ 위에 정의됩니다:

$\delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).$

여기서 첫 번째 상등은 부분에 의한 적분의 일종인데, 왜냐하면 $\delta$가 참 함수였으면, 다음이기 때문입니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx.$

$\delta$의 $k$-번째 도함수는 테스트 함수 위에 주어진 분포와 유사하게 다음과 같이 정의됩니다:

$\delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).$

특히, $\delta$는 무한하게 미분-가능 분포입니다.

델타 함수의 일차 도함수는 차이 몫의 분포적 극한입니다:

$\delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.$

더 적절하게, 다음을 가집니다:

$\delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )$

여기서 $\tau _{h}$는 $\tau _{h}\varphi (x)=\varphi (x+h)$에 의해 함수와 분포 $S$ 위에 정의된 다음과 같이 변환 연산자입니다:

$(\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].$

전자기(electromagnetism) 이론에서, 델타 함수의 일차 도함수는 원점에 위치한 점 자기 쌍극자(dipole)를 나타냅니다. 그것에 따라, 쌍극자 또는 더블릿 함수(doublet function)라고 참조됩니다.

델타 함수의 도함수는 다음을 포함하여 여러 가지 기본 속성을 만족시킵니다:

${\begin{aligned}&\delta '(-x)=-\delta '(x)\\&x\delta '(x)=-\delta (x)\end{aligned}}$

이는 테스트 함수를 적용하고 부분에 의해 적분함으로써 보일 수 있습니다.

이들 속성 중 후자는 분포적 도함수 정의, 라이프니츠의 정리와 안의 곱의 선형성을 적용함으로써 시연될 수도 있습니다:

$${\begin{aligned}\langle x\delta ',\varphi \rangle \,&=\,\langle \delta ',x\varphi \rangle \,=\,-\langle \delta ,(x\varphi )'\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi +x\varphi '\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi \rangle -\langle \delta ,x\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\varphi (0)-x(0)\varphi '(0)\\&=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle -x(0)\langle \delta ,\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle +x(0)\langle \delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle x(0)\delta '-x'(0)\delta ,\varphi \rangle \\\Longrightarrow x(t)\delta '(t)&=x(0)\delta '(t)-x'(0)\delta (t)=-x'(0)\delta (t)=-\delta (t)\end{aligned}}$$

게다가, 컴팩트하게-지원된, 매끄러운 함수 $f$와 $\delta '$의 합성곱은 다음과 같습니다:

$\delta '*f=\delta *f'=f',$

이는 합성곱의 분포적 도함수의 속성을 따릅니다.

Higher dimensions

보다 일반적으로, $n$-차원 유클리드 공간(Euclidean space) $\mathbb {R} ^{n}$에서 열린 집합(open set) $U$ 위에, 점 $a\in U$에 중심을 둔 디랙 델타 분포는 모든 $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$, $U$ 위에 컴팩트 지원을 갖는 모든 매끄러운 함수의 공간에 대해 다음과 같이 정의됩니다:

$\delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)$

만약 $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$가 $|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$를 갖는 임의의 다중-인덱스(multi-index)이고 $\partial ^{\alpha }$이 결합된 혼합 부분 도함수(partial derivative) 연산자를 나타내면, $\delta _{a}$의 $\alpha$-번째 도함수 $\partial ^{\alpha }\delta _{a}$은 다음에 의해 주어집니다:

$\left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).$

즉, $\delta _{a}$의 $\alpha$-번째 도함수는 임의의 테스트 함수 $\varphi$ 위에 그 값이 (적절한 양의 또는 음의 부호를 갖는) $a$에서 $\varphi$의 $\alpha$-번째 도함수인 분포입니다.

델타 함수의 일차 부분 도함수는 좌표 평면을 따라 이중 층(double layers)으로 생각됩니다. 보다 일반적으로, 표면 위에 지원된 단순 층의 법선 도함수(normal derivative)는 해당 표면 위에 지원된 이중 층(double layers)이고 층류 자기 단극자를 나타냅니다. 델타 함수의 더 높은 도함수는 물리학에서 다중극자(multipoles)로 알려져 있습니다.

더 높은 도함수는 점 지원을 갖는 분포의 완비 구조를 위한 빌딩 블록으로 자연스럽게 수학에 입력됩니다. 만약 $S$가 단일 점으로 구성된 집합 $\{a\}$에서 지원된 $U$ 위의 임의의 분포이면, 다음임을 만족하는 정수 $m$과 계수 $c_{\alpha }$가 있습니다:

$S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.$

Representations of the delta function

델타 함수는 다음 함수 수열의 극한으로 볼 수 있습니다:

$\delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),$

여기서 η_ε(x)는 때때로 초기의 델타 함수(nascent delta function)라고 불립니다. 이 극한은 약한 의미에서 컴팩트 지원(compact support)을 가지는 모든 연속(continuous) 함수 f에 대해 다음이거나,

$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f(0)$

(5)

이 극한이 컴팩트 지원을 갖는 모든 매끄러운(smooth) 함수 f에 대해 유지됨을 의미합니다. 약한 수렴의 이들 두 가지 약간 다른 모드 사이의 차이는 종종 미묘합니다: 전자는 측정의 모호한 토폴로지(vague topology)에서 수렴이고, 후자는 분포(distributions)의 의미에서 수렴입니다.

Approximations to the identity

전형적으로 초기 델타 함수 η_ε는 다음과 같은 방식으로 구성될 수 있습니다. η를 전체 적분 1의 R 위에 절대적으로 적분-가능 함수라고 놓고 다음을 정의합니다:

$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$

n 차원에서, 다음 스케일링을 대신 사용합니다:

$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$

그런-다음 변수의 간단한 변경은 η_ε도 적분 1을 가짐을 알 수 있습니다. 우리는 식 (5)가 모든 연속 컴팩트하게 지원된 함수 f에 대해 유지되고, 따라서 η_ε은 측정의 의미에서 δ로 약하게 수렴됨을 알 수 있습니다.

이러한 방법으로 구성된 η_ε는 항등원에 대한 근사(approximation to the identity)로 알려져 있습니다. 이 용어는 절대적으로 적분-가능 함수의 공간 L¹(R)이 f와 g가 L¹(R)에 있을 때마다 함수의 합성곱(convolution): f ∗ g ∈ L¹(R)의 연산 아래에서 닫혀 있기 때문입니다. 어쨌든, 합성곱 곱에 대해 L¹(R)에서 항등원이 없습니다: 모든 f에 대해 f ∗ h = f를 만족하는 원소 h가 없습니다. 그럼에도 불구하고, 수열 η_ε는 다음이라는 의미에서 그러한 항등원을 근사화합니다:

$f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.$

이 극한은 평균 수렴(mean convergence, L¹에서 수렴)이라는 의미에서 유지됩니다. η_ε에 대한 추가 조건은, 예를 들어, 컴팩트하게 지원된 함수와 결합된 완화자가 되는, 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 점별 수렴을 보장하는 데 필요합니다.

만약 초기 η = η₁ 자체가 매끄럽고 컴팩트하게 지원된 것이면, 수열은 완화자(mollifier)라고 불립니다. 예를 들어, 표준 완화자는 적절하게 정규화된 혹 함수(bump function)가 되도록 η를 선택함으로써 얻습니다:

$\eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}$

수치 해석(numerical analysi)과 같은 일부 상황에서, 항등원에 대한 조각-별 선형(piecewise linear) 근사가 바람직합니다. 이것은 η₁을 모자 함수(hat function)로 취함으로써 얻을 수 있습니다. 이 η₁의 선택과 함께, 다음을 가집니다:

$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)$

이는 매끄러운 것이 아니고 따라서 완화자가 아닐지라도 모두 연속적이고 컴팩트하게 지원된 것입니다.

Probabilistic considerations

확률 이론(probability theory)의 맥락에서, 항등원에 대한 근사에서 초기 η₁이 양수여야 한다는 추가 조건을 부과하는 것은 자연스러운데, 왜냐하면 그러한 함수는 그때에 확률 분포(probability distribution)를 나타내기 때문입니다. 확률 분포를 갖는 합성곱은 출력이 입력 값의 볼록 조합(convex combination)이고, 따라서 입력 함수의 최댓값과 최솟값 사이에 있기 때문에 오버슈트(overshoot) 또는 언더슈트가 발생하지 않기 때문에 때때로 유리합니다. η₁을 임의의 확률 분포로 취하고, 위와 같이 η_ε(x) = η₁(x/ε)/ε로 놓음으로써 항등원에 대한 근사를 얻을 수 있습니다. 일반적으로, 이것은 만약, 게다가, η이 평균 0을 가지고 작은 더 높은 모멘트를 가지면 델타 함수로 더 빠르게 수렴합니다. 예를 들어, 만약 η₁이 [−1/2, 1/2] 위에 균등 분포(uniform distribution)이면, 역시 직사각형 함수(rectangular function)로 알려져 있으면, 다음과 같습니다:

$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

또 다른 예제는 위그너 반원 분포(Wigner semicircle distribution)를 갖는 것입니다:

$\eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

이것은 연속적이고 컴팩트하게 지원되지만, 그것이 매끄럽지 않기 때문에 완화자가 아닙니다.

Semigroups

초기 델타 함수는 종종 합성곱 반그룹(semigroups)으로 발생합니다. 이것은 모든 ε, δ > 0에 대해 η_δ와 η_ε의 합성곱이 다음을 만족시켜야 하는 추가 제약 조건에 해당합니다:

$\eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }$

초기 델타 함수를 형성하는 L¹에서 합성곱 반그룹은 항상 위의 의미에서 항등원에 대한 근사이며, 어쨌든 반그룹 조건은 상당히 강력한 제한입니다.

실제로, 델타 함수를 근사화하는 반그룹은 기본 해(fundamental solutions) 또는 물리적 동기-부여된 타원(elliptic) 또는 포물선(parabolic) 부분 미분 방정식(partial differential equations)에 대한 그린의 함수(Green's functions)로 발생합니다. 응용 수학(applied mathematics)의 맥락에서, 반그룹은 선형 시간-불변 시스템(linear time-invariant system)의 출력으로 발생합니다. 추상적으로, 만약 A가 x의 함수에 작용하는 선형 연산자이면, 초기 값 문제(initial value problem)를 풂으로써 합성곱 반그룹이 발생합니다:

${\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}$

여기서 극한은 보통의 약한 의미로 이해됩니다. η_ε(x) = η(ε, x)를 설정하면 결합된 초기 델타 함수를 제공합니다.

그러한 기본 해에서 발생하는 물리적으로 중요한 합성곱 반그룹의 몇 가지 예제는 다음과 같습니다.

The heat kernel

다음에 의해 정의된 열 커널(heat kernel)은,

$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}$

시간 t = 0에서 철사의 원점에 열 에너지의 단위가 저장되어 있으면, 시간 t > 0에서 무한 철사의 온도를 나타냅니다. 이 반그룹은 일-차원 열 방정식(heat equation)에 따라 전개됩니다:

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$

확률 이론(probability theory)에서, η_ε(x)는 분산(variance) ε과 평균 0의 정규 분포(normal distribution)입니다. 그것은 표준 브라운 운동(Brownian motion)을 따르는 원점에서 시작하는 입자의 위치의 시간 t = ε에서의 확률 밀도(probability density)를 나타냅니다. 이 맥락에서, 반그룹 조건은 그런-다음 브라운 운동의 마르코프 속성(Markov property)의 표현입니다.

고-차원 유클리드 공간 Rⁿ에서, 열 커널은 다음과 같습니다:

$\eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},$

그리고 같은 물리적 해석, mutatis mutandis을 가집니다. 그것은 역시 분포 의미에서 η_ε → δ가 ε → 0이라는 의미에서 초기 델타 함수를 나타냅니다.

The Poisson kernel

다음 푸아송 커널(Poisson kernel)은

$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi$

위쪽 절반-평면에서 라플라스 방정식의 기본 해입니다. 그것은 가장자리를 따라 그것의 전위가 델타 함수에서 고정된 상태로 유지되는 반-무한 판의 정전기 전위(electrostatic potential)를 나타냅니다. 푸아송 커널은 코시 분포(Cauchy distribution)와 Epanechnikov and Gaussian kerne 함수와도 밀접한 관련이 있습니다. 이 반그룹은 다음 방정식에 따라 진화합니다:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)$

여기서 연산자는 푸리에 곱셈수(Fourier multiplier)로 엄격하게 정의됩니다:

${\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).$

Oscillatory integrals

파동 전파(wave propagation)와 파동 역학(wave mechanics)과 같은 물리학 분야에서, 관련된 방정식은 쌍곡선(hyperbolic)이고 따라서 더 많은 단일 해를 가질 수 있습니다. 결과로써, 결합된 코시 문제(Cauchy problems)의 기본 해로 발생하는 초기 델타 함수는 일반적으로 진동 적분(oscillatory integrals)입니다. 천음속(transonic) 기체 역학(gas dynamics)의 오일러-트리코미 방정식(Euler–Tricomi equation)의 해에서 나온 예는 재스케일된 에어리 함수(Airy function)입니다:

$\varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).$

비록 푸리에 변환을 사용하지만, 이것은 어떤 의미에서 반그룹을 생성한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다—이는 절대적으로 적분-가능은 아니고 위의 강한 의미에서 반그룹을 정의할 수 없습니다. 진동 적분으로 구성된 많은 초기 델타 함수는 측정의 의미가 아니라 분포의 의미에서만 수렴합니다 (예를 들어, 아래의 디리클레 커널(Dirichlet kernel)이 있습니다).

또 다른 예제는 R¹⁺¹에서 파동 방정식(wave equation)에 대해 코시 문제입니다:

${\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}$

해 u는 원점에서 초기 교란을 갖는 무한 탄성 끈의 평형 상태로부터의 변위를 나타냅니다.

이러한 종류의 항등원에 대한 다른 근사는 싱크 함수(sinc function)를 포함합니다 (전자와 전기 통신에서 널리 사용됩니다).

$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk$

그리고 베셀 함수(Bessel function)를 포함합니다:

$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).$

Plane wave decomposition

선형 부분 미분 방정식 연구에 대한 한 가지 접근 방식은

$L[u]=f,$

여기서 L은 Rⁿ 위의 미분 연산자(differential operator)이며, 먼저 기본 해를 찾는 것이며, 이는 다음 방정식의 해입니다:

$L[u]=\delta .$

L이 특히 단순할 때, 이 문제는 종종 푸리에 변환을 직접 사용하여 해결될 수 있습니다 (이미 언급한 푸아송 커널과 열 커널의 경우처럼 그렇습니다). 보다 복잡한 연산자에 대해, 다음 형식의 방정식을 먼저 고려하는 것이 더 쉬운 경우가 있습니다:

$L[u]=h$

여기서 h는 평면 파동(plane wave) 함수이며, 그것이 일부 벡터 ξ에 대해 다음 형식을 가짐을 의미합니다:

$h=h(x\cdot \xi )$

그러한 방정식은 (L의 계수가 해석적 함수이면) 코시-코발렙스카야 정리(Cauchy–Kovalevskaya theorem)에 의해 또는 (L의 계수가 상수이면) 구적법에 의해 풀 수 있습니다. 따라서, 만약 델타 함수가 평면 파동으로 분해될 수 있으면, 원칙적으로 선형 부분 미분 방정식을 풀 수 있습니다.

델타 함수를 평면 파동으로 그러한 분해는 요한 라돈(Johann Radon)에 의해 처음 도입된 일반적인 기술의 일부였고, 프리츠 존(Fritz John, 1955)에 의해 이 형식으로 개발되었습니다. n + k가 짝수 정수가 되도록 k를 선택하고, 실수 s에 대해, 다음을 넣습니다:

$g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}$

그런-다음 δ는 단위 구(unit sphere) Sⁿ⁻¹에서 ξ에 대해 g(x · ξ)의 단위 구 측정(sphere measure) dω에 관한 적분에 라플라스(Laplacian)의 거듭제곱을 적용함으로써 얻습니다:

$\delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$

여기서 라플라스는 약한 도함수로 해석되어서, 이 방정식은 임의의 테스트 함수 φ에 대해 다음을 의미하는 것으로 취합니다:

$\varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$

결과는 뉴턴 터텐셜(Newtonian potential, 푸아송 방정식의 기본 해)에 대한 공식에서 따릅니다. 이것은 본질적으로 라돈 변환(Radon transform)에 대한 반전 공식의 한 형식인데, 왜냐하면 그것은 초평면에 걸쳐 적분에서 φ(x)의 값을 복구하기 때문입니다. 예를 들어, 만약 n이 홀수이고 k = 1이면, 오른쪽 변의 적분은 다음과 같습니다:

${\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]={}&c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}$

여기서 Rφ(ξ, p)는 φ의 라돈 변환입니다:

$R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.$

평면 파동 분해의 대안적인 동등한 표현은, Gelfand & Shilov (1966–1968, I, §3.10)에서, 짝수 n에 대해 다음과 같습니다:

$\delta (x)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }$

그리고 홀수 n에 대해,

$\delta (x)={\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }$

Fourier kernels

See also: Convergence of Fourier series

푸리에 급수(Fourier series)의 연구에서, 주요 질문은 주기 함수(periodic function)와 결합된 푸리에 급수가 함수로 수렴하는지 여부와 어떤 의미에서 결정하는 것으로 구성됩니다. 주기 2π의 함수 f의 푸리에 급수의 n-번째 부분 합은 디리클레 커널(Dirichlet kernel)과 함께 (구간 [−π,π] 위에) 합성곱으로 정의됩니다:

$D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.$

따라서,

$s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}$

여기서

$a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.$

기본 푸리에 급수의 토대적인 결과는 구간 [−π,π]로 제한된 디리클레 커널이 N → ∞일 때 델타 함수의 배수가 되는 경향이 있음을 나타냅니다. 이것은 모든 각 컴팩트하게 지원된 매끄러운 함수 f에 대해 다음임을 분포의 의미로 해석됩니다:

$s_{N}(f)(0)=\int _{-\pi }^{\pi }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$

따라서, 형식적으로 구간 [−π,π] 위에 다음을 가집니다:

$\delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}$

이것에도 불구하고 결과는 모든 컴팩트하게 지원된 연속 함수에 대해 유지되지 않습니다: 즉, D_N은 측정의 의미에서 약하게 수렴하지 않습니다. 푸리에 급수의 수렴의 부족은 수렴을 생성하기 위한 다양한 합계-가능성 방법의 도입으로 이어져 왔습니다. 체사로 합계(Cesàro summation)의 방법은 페예르 커널(Fejér kernel)로 이어집니다:

$F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.$

페예르 커널(Fejér kernel)은 모든 각 컴팩트하게 지원된 연속 함수 f에 대해 다음임을 더 강한 의미에서 델타 함수로의 경향이 있습니다:

$\int _{-\pi }^{\pi }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$

그 의미는 임의의 연속 함수의 푸리에 급수는 모든 각 점에서 함수의 값으로 체사로 합계-가능이라는 것입니다.

Hilbert space theory

디랙 델타 분포는 제곱-적분가능 함수(square-integrable functions)의 힐베르트 공간 L² 위에 조밀하게 정의된 무경계진 선형 함수형(linear functional)입니다. 실제로, 매끄럽고 컴팩트하게 지원된 함수는 L²에서 조밀한(dense) 것이고, 그러한 함수 위에 델타 분포의 동작은 잘-정의되어 있습니다. 많은 응용에서, L²의 부분공간을 식별하고 델타 함수가 경계진 선형 함수형(bounded linear functional)을 정의하는 더 강력한 토폴로지(topology)를 제공하는 것이 가능합니다.

Sobolev spaces

실수 직선 R 위에 소볼레프 공간(Sobolev space)에 대해 소볼레프 삽입 정리(Sobolev embedding theorem)는 다음이 자동적으로 연속임을 만족하는 임의의 제곱-적분가능 함수 f를 의미하고,

$\|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty$

특히 다음을 만족시킵니다:

$\delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.$

따라서 δ는 소볼레프 공간 H¹ 위에 경계진 선형 함수형입니다. 동등하게, δ는 H¹의 연속 이중 공간(continuous dual space) H⁻¹의 원소입니다. 보다 일반적으로, n 차원에서, s > n / 2라는 조건 아래에서 δ ∈ H^−s(Rⁿ)를 가집니다.

Spaces of holomorphic functions

복소 해석학(complex analysis)에서, 델타 함수는 코시의 적분 공식(Cauchy's integral formula)을 통해 들어가며, 이는 D가 매끄러운 경계를 갖는 복소 평면에서 도메인이면, D의 클로저 위에 연속인 D에서 모든 정칙 함수(holomorphic functions) f에 대해 다음과 같습니다:

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D$

결과로써, 델타 함수 δ_z는 코시 적분에 의해 이 정칙 함수의 클래스에서 표현됩니다:

$\delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.$

더욱이, H²(∂D)를 D의 경계까지 연속되는 D에서 모든 정칙 함수의 L²(∂D)에서 클로저로 구성된 하디 공간(Hardy space)이라고 놓습니다. 그런-다음 H²(∂D)에서 함수는 D에서 정칙 함수로 고유하게 확장되고, 코시 적분 공식은 계속 유지됩니다. 특히 z ∈ D에 대해, 델타 함수 δ_z는 H²(∂D) 위에 연속 선형 함수형입니다. 이것은 매끄러운 도메인 D에 대해, 쎄거 커널(Szegő kernel)이 코시 적분의 역할을 하는 여러 복소 변수(several complex variables)의 특수한 경우입니다.

Resolutions of the identity

분리-가능 힐베르트 공간에서 함수의 완전한 직교-정규 기저(orthonormal basis) 집합 {φ_n}, 예를 들어, 컴팩트 자기-인접 연산자(compact self-adjoint operator)의 정규화된 고유-벡터(eigenvectors)가 주어지면, 임의의 벡터 f는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

$f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.$

계수 {α_n}는 다음과 같이 구해집니다:

$\alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,$

이는 디랙의 괄-호 표기법(bra–ket notation)의 형식, 다음 표기법에 의해 표현될 수 있습니다:

$\alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,$

이 표기법을 채택하면, f의 확장은 이원적(dyadic) 형식을 취합니다:

$f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).$

$I$가 힐베르트 공간 위에 항등 연산자(identity operator)를 나타낸다고 놓으면, 다음 표현은

$I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },$

항등원의 분해능(resolution of the identity)이라고 불립니다. 힐베르트 공간이 도메인 D 위에 제곱-적분가능 함수의 공간 L²(D)일 때 다음 양은:

$\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },$

적분 연산자이고, f에 대해 표현은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .$

오른쪽 변은 L² 의미에서 f로 수렴합니다. 그것은 f가 연속 함수일 때조차도 점-별 의미로 유지될 필요는 없습니다. 그럼에도 불구하고, 표기법을 남용하고 다음과 같이 쓰는 것이 공통적입니다:

$f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,$

다음과 같은 델타 함수의 표현에서 결과로써 생깁니다:

$\delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).$

Φ ⊂ L²(D)가 모든 컴팩트하게 지원된 매끄러운 함수를 포함하는 적절한 조작된 힐베르트 공간(rigged Hilbert space) (Φ, L²(D), Φ*)과 함께, 이 합계는 기저 φ_n의 속성에 따라 Φ*에서 수렴할 수 있습니다. 실질적으로 흥미로운 대부분의 사례에서, 직교-정규 기저는 적분 또는 미분 연산자에서 나오며, 이 경우에서 급수는 분포(distribution) 의미에서 수렴합니다.

Infinitesimal delta functions

코시는 1827년에 여러 논문에서 ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$를 만족시키는 무한하게 크고 좁은 디랙-유형 델타 함수 δ_α를 단위 임펄스를 기술하기 위해 무한소 α를 사용했습니다. 코시는 Cours d'Analyse (1827)에서 영으로 경향에 있는 수열의 측면에서 무한소를 정의했습니다. 즉, 그러한 널 수열(null sequence)은 코시의 용어와 라자르 카르노(Lazare Carnot)의 용어로는 무한소가 됩니다.

비-표준 해석학(Non-standard analysis)을 통해 무한소를 엄격하게 처리할 수 있습니다. Yamashita (2007)에 의한 기사는 초실수(hyperreals)에 의해 제공된 무한소-강화된 연속체의 맥락에서 현대 디랙 델타 함수에 대한 참고 문헌을 포함하고 있습니다. 여기서 디랙 델타는 푸리에와 코시에 의해 예상된 대로, 모든 각 실수 함수 F에 대해 ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$을 가진다는 속성을 가지는 실제 함수에 의해 제공될 수 있습니다.

Dirac comb

Main article: Dirac comb

A Dirac comb is an infinite series of Dirac delta functions spaced at intervals of T

디랙 빗(Dirac comb) 또는 샤(Sha) 분포로 알려져 있는 디랙 델타 측정의 소위 균등 "펄스 트레인"은 디지털 신호 처리(digital signal processing, DSP)와 이산 시간 신호 분석에 자주 사용되는 표본화(sampling) 함수를 생성합니다. 디랙 빗은 무한한 합(infinite sum)으로 주어지며, 그 극한은 분포 의미에서 이해됩니다:

$\operatorname {III} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),$

이는 각 정수에서 점 질량의 수열입니다.

전체 정규화 상수까지, 디랙 빗은 자체 푸리에 변환과 같습니다. 이것은 $f$가 슈바르츠 함수(Schwartz function)이면, $f$의 주기화(periodization)가 합성곱에 의해 제공되기 때문에 중요합니다:

$(f*\operatorname {III} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).$

특히,

$(f*\operatorname {III} )^{\wedge }={\widehat {f}}{\widehat {\operatorname {III} }}={\widehat {f}}\operatorname {III}$

이것은 정확히 푸아송 합계 공식(Poisson summation formula)입니다. 보다 일반적으로, 이 공식은 $f$가 빠른 하강의 완화된 분포이면, 또는 동등하게, ${\widehat {f}}$가 완화된 분포의 공간 내에서 천천히 성장하는 보통의 함수이면 참으로 남아 있습니다.

Sokhotski–Plemelj theorem

양자 역학에서 중요한 소호츠키–플레메이 정리(Sokhotski–Plemelj theorem)는 델타 함수를 분포 p.v. 1/x, 함수 1/x의 코시 주요 값(Cauchy principal value)으로 다음에 의해 정의됩니다:

$\left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.$

소호츠키의 공식은 다음임을 말합니다:

$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),$

여기서 극한은 분포 의미에서, 모든 컴팩트하게 지원된 매끄러운 함수 f에 대해, 다음임으로 이해됩니다:

$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.$

Relationship to the Kronecker delta

크로네커 델타(Kronecker delta) δ_ij는 모든 정수 i, j에 대해 다음에 의해 정의된 양입니다:

$\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}$

이 함수는 그런-다음 선별 속성의 다음 아날로그를 만족시킵니다: 만약 $(a_{i})_{i\in \mathbf {Z} }$가 임의의 이중으로 무한 수열(doubly infinite sequence)이면, 다음과 같습니다:

$\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.$

유사하게, R 위의 임의의 실수 또는 복소-값 연속 함수 f에 대해, 디랙 델타는 선별 속성을 만족시킵니다:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).$

이것은 크로네커 델타 함수를 디랙 델타 함수의 이산 아날로그로 나타냅니다.

Applications

Probability theory

확률 이론(probability theory)과 통계(statistics)에서, 디랙 델타 함수는 종종 확률 밀도 함수(probability density function, 통상적으로 절대적으로 연속 분포를 나타내기 위해 사용됨)를 사용하여 이산 분포(discrete distribution), 또는 부분적으로 이산, 부분적으로 연속 분포(continuous distribution)를 나타내기 위해 사용됩니다. 예를 들어, 대응하는 확률 p₁, ..., p_n을 갖는 점 x = {x₁, ..., x_n}으로 구성된 이산 분포의 확률 밀도 함수 f(x)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$

또 다른 예제로서, 시간의 6/10이 표준 정규 분포(normal distribution)를 반환하고. 시간의 4/10이 정확하게 값 3.5를 반환하는 분포 (즉, 부분적으로 연속, 부분적으로 이산 혼합 분포)를 생각해 보십시오. 이 분포의 밀도 함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 이 분포의 밀도 함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).$

델타 함수는 역시 연속적으로 미분-가능 함수로 변환되는 확률 변수의 결과 확률 밀도 함수를 나타내기 위해 사용됩니다. 만약 Y = g(X)가 연속 미분-가능 함수이면, Y의 밀도는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\delta (y-g(x))dx.$

델타 함수는 (브라운 운동과 같은) 확산 프로세스(diffusion process)의 지역 시간(local time)을 나타내기 위해 완전하게 다른 방법으로 사용됩니다. 확률적 프로세스 B(t)의 지역 시간은 다음과 같이 지정됩니다:

$\ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds$

그리고 프로세스의 범위에서 점 x에서 프로세스가 소비하는 시간의 총량을 나타냅니다. 보다 정확하게, 일 차원에서 이 적분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$\ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds$

여기서 1_{[x−ε, x+ε]}는 구간 [x−ε, x+ε]의 지시 함수(indicator function)입니다.

Quantum mechanics

델타 함수는 양자 역학(quantum mechanics)에서 편리합니다. 입자의 파동 함수(wave function)는 주어진 공간 영역 내에서 입자를 발견할 확률 진폭을 제공합니다. 파동 함수는 제곱-적분가능 함수(square-integrable functions)의 힐베르트 공간 L²의 원소로 가정되고, 주어진 구간 내에서 입자를 발견할 전체 확률은 구간에 걸쳐 제곱된 파동 함수의 크기의 적분입니다. 파동 함수의 집합 {$|\varphi _{n}\rangle$}은 만약 그것들이 다음에 의해 정규화되면 직교-정규입니다:

$\langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\rangle =\delta _{nm}$

여기서 $\delta$는 크로네커 델타입니다. 직교-정규 파동 함수의 집합은 만약 임의의 파동 함수 $|\psi \rangle$가 복소 계수를 갖는 {$|\varphi _{n}\rangle$}의 선형 조합으로 표현될 수 있으면 제곱-적분가능 함수의 공간에서 완비입니다:

$\psi =\sum c_{n}\varphi _{n},$

여기서 $c_{n}=\langle \varphi _{n}|\psi \rangle$입니다. 파동 함수의 완비 직교-정규 시스템은 고윳값이라고 불리는 에너지 수준을 측정하는 양자 역학에서 (경계 시스템의) 해밀턴(Hamiltonian)의 고유-함수(eigenfunctions)로 자연스럽게 나타납니다. 이 경우에서, 고윳값의 집합은 헤밀턴의 스펙트럼(spectrum)으로 알려져 있습니다. 위에서 처럼, 괄-호 표기법(bra–ket notation)에서, 이 상등은 항등식의 해결을 의미합니다:

$I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.$

여기서 고윳값은 이산적이라고 가정되지만, 관찰-가능(observable)의 고윳값의 집합은 이산이 아니라 연속적일 수 있습니다. 예제는 위치 관찰-가능(position observable), Qψ(x) = xψ(x)입니다. (일 차원에서) 위치의 스펙트럼은 실수 직선 전체이고 연속 스펙트럼(continuous spectrum)이라고 불립니다. 어쨌든, 해밀턴과 달리, 위치 연산자는 적절한 고유-함수가 없습니다. 이 단점을 극복하는 기존의 방법은 분포도 허용함으로써 사용-가능한 함수의 클래스를 확장하는 것입니다: 즉, 양자역학의 힐베르트 공간을 적절한 조작된 힐베르트 공간(rigged Hilbert space)으로 대체하는 것입니다. 이 문맥에서, 위치 연산자는 다음에 의해 주어진 실수 직선의 점 y로 이름-지정된 완비 고유-분포의 집합을 가집니다:

$\varphi _{y}(x)=\delta (x-y).$

위치의 고유-함수는 디랙 표기법에서 $\varphi _{y}=|y\rangle$에 의해 표시되고, 위치 고유-상태로 알려져 있습니다.

P의 스펙트럼이 연속적이고 퇴화 고윳값이 없다는 조건 아래에서 운동량 연산자(momentum operator)의 고유-상태 또는 힐베르트 공간 위에 다른 자기-인접 무-경계 연산자(unbounded operator) P에 유사한 고려 사항이 적용됩니다. 그 경우에서, 다음을 만족하는 실수 (스펙트럼)의 집합 Ω과 Ω의 원소로 인덱스된 분포의 모음 φ_y가 있습니다.

$P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.$

즉, φ_y는 P의 고유-벡터입니다. 만약 고유-벡터가 다음이 되도록 정규화되면

$\langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y')$

분포 의미에서, 임의의 테스트 함수 ψ에 대해, 다음과 같습니다:

$\psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy$

여기서

$c(y)=\langle \psi ,\varphi _{y}\rangle .$

즉, 이산 경우에서 처럼, 다음과 같은 항등원의 해결이 있습니다:

$I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy$

여기서 연산자-값 적분은 다시 약한 의미에서 이해됩니다. 만약 P의 스펙트럼이 연속 부분과 이산 부분 둘 다를 가지면, 항등원의 해결은 이산 스펙트럼에 걸친 합계와 연속 스펙트럼에 걸쳐 적분을 포함합니다.

델타 함수는 역시 단일과 이중 퍼텐셜 우물에 대해 델타 퍼텐셜(delta potential) 모델과 같은 양자 역학에서 더 많은 특수 응용 분야를 가지고 있습니다.

Structural mechanics

델타 함수는 구조 역학(structural mechanics)에서 과도 하중 또는 구조물에 작용하는 점 하중을 설명하기 위해 사용될 수 있습니다. 시간 t = 0에서 급격한 힘 임펄스 I에 의해 여기된 단순 질량-스프링 시스템(mass–spring system)의 지배 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi }{\mathrm {d} t^{2}}}+k\xi =I\delta (t),$

여기서 m은 질량, ξ은 처짐이고 k는 스프링 상수(spring constant)입니다.

또 다른 예제로서, 가는 빔(beam)의 정적 처짐을 지배하는 방정식은 오일러–베르누이 이론(Euler–Bernoulli theory)에 따라 다음과 같습니다:

$EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x),$

여기서 EI는 빔의 굽힘 강성(bending stiffness), w는 처짐(deflection), x는 공간 좌표이고 q(x)는 하중 분포입니다. 만약 빔이 x = x₀에서 힘 F에 의해 하중을 받으면, 하중 분포는 다음과 같이 씁니다:

$q(x)=F\delta (x-x_{0}).$

델타 함수의 적분으로 인해 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)가 생성되므로, 다중 점 하중을 받는 가느다란 빔의 정적 처짐은 조각-별 다항식(polynomials)의 집합에 의해 설명됩니다.

역시, 빔에 작용하는 점 모멘트(moment)는 델타 함수에 의해 설명될 수 있습니다. 거리 d 떨어져 있는 두 개의 반대 점 힘 F를 생각해 보십시오. 그것들은 그런-다음 빔에 작용하는 모멘트 M = Fd를 생성합니다. 이제, M이 일정하게 유지되는 동안 거리 d가 극한(limit) 영에 접근하도록 놓습니다. 하중 분포는, x = 0에서 작용하는 시계-방향 모멘트를 가정하여, 다음과 같이 씁니다:

${\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\[4pt]&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x).\end{aligned}}$

점 모멘트는 따라서 델타 함수의 도함수(derivative)에 의해 나타낼 수 있습니다. 빔 방정식의 적분은 조각-별 다항식(polynomial) 처짐을 다시 초래합니다.

See also

• Atom (measure theory)
• Laplacian of the indicator

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External links

• Media related to Dirac delta function at Wikimedia Commons
• "Delta-function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• KhanAcademy.org video lesson
• The Dirac Delta function, a tutorial on the Dirac delta function.
• We show the existence of a unique solution and analyze a finite element approximation when the source term is a Dirac delta measure
• Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure. Archived 2008-03-07 at the Wayback Machine