Divisor

수학(mathematics)에서, 정수(integer) $n$ 의 약수(divisor)는, 역시 $n$ 의 인수(factor)라고 불리며, $n$ 을 생성하기 위해 어떤 정수에 의해 곱해질 수 있는 정수 $m$ 입니다. 이 경우에서, 우리는 $n$ 이 $m$ 의 배수(multiple)라고 역시 말합니다. 정수 $n$ 은 만약 $m$ 이 $n$ 의 약수이면, 또 다른 정수 $m$ 에 의해 나누어질(divisible) 수 있습니다; 이것은 $n$ 을 $m$ 으로 나누면 나머지를 남기지 않음을 의미합니다.

Definition

만약 $m$ 과 $n$ 이 비-영 정수이고, 보다 일반적으로, 정수 도메인(integral domain)의 비-영 원소이면, $m$ 이 $n$ 을 나눈다고 말하면, $m$ 은 $n$ 의 약수, 또는 $n$ 은 $m$ 의 배수이고, 만약 $mk=n$ 를 만족하는 정수 $k$ , 또는 정수 도메인의 원소 $k$ 가 존재하면, 이것은 다음으로 쓰입니다:^[1]

m\mid n,

.

이 정의는 때때로 영을 포함하도록 확장됩니다.^[2] 이것은 이론에 많이 더해지지 않는데, 왜냐하면 0은 임의의 다른 숫자를 나누지 않고, 모든 각 숫자는 0을 나누기 때문입니다. 다른 한편으로, 정의에서 영을 제외하면 많은 명제가 단순화됩니다. 역시, 링 이론(ring theory)에서, 원소 $a$ 는 만약 그것이 비-영이고 비-영 원소 $b$ 에 대해 $ab = 0$ 이면 오직 "영 인수(zero divisor)"라고 불립니다. 따라서, 정수들 사이에는 영 인수가 없습니다 (그리고 정수 도메인에서 영 인수가 정의에 의해 없습니다).

General

약수는 비록 때때로 그 용어가 양의 약수로 제한될지라도, 양수뿐만 아니라 음수(negative)일 수 있습니다. 예를 들어, 4의 여섯 약수가 있습니다; 그것들은 1, 2, 4, −1, −2, 및 −4이지만, 오직 양의 약수 (1, 2, 및 4)가 보통 언급될 것입니다.

1 및 −1은 모든 각 정수를 나눕니다 (그리고 모든 정수의 약수입니다). 모든 각 정수 (및 그것의 음수)는 자체의 약수입니다. 2로 나누어질 수 있는 정수는 짝수(even)로 불리고, 2로 나누어지지 않는 정수는 홀수(odd)라고 불립니다.

1, −1, n 및 −n은 n의 자명한 약수로 알려져 있습니다. 자명한 약수가 아닌 n의 약수는 비-자명한 약수 (또는 엄격한 약수^[3])로 알려져 있습니다. 적어도 하나의 비-자명한 약수를 갖는 비-영 정수는 합성 숫자(composite number)로 알려져 있지만, 단위(units) −1 및 1 및 소수(prime number)는 비-자명한 약수를 가지지 않습니다.

숫자의 자릿수에서 숫자의 특정 약수를 인식하는 것을 허용하는 나눔가능성 규칙(divisibility rule)이 있습니다.

Examples

7은 42는 약수인데 왜냐하면 $7\times 6=42$ 이기 때문이므로, 우리는 $7\mid 42$ 임을 말할 수 있습니다. 역시 42는 7로 나누어질 수 있음, 42는 7의 배수(multiple), 7은 42를 나눔, 또는 7은 42의 인수라고 말합니다.
6의 비-자명한 약수는 2, −2, 3, −3입니다.
42의 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42입니다.
60의 모든 양의 약수의 집합(set)은 $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$ 이며, 나눔가능성에 의한 부분적으로 순서화(partially ordered)는 하세 다이어그램(Hasse diagram)을 가집니다:

Further notions and facts

몇 가지 기본 규칙이 있습니다:

만약 $a\mid b$ 및 $b\mid c$ 이면, $a\mid c$ 입니다. 즉. 나눔가능성은 전이 관계(transitive relation)입니다.
만약 $a\mid b$ 및 $b\mid a$ 이면, $a=b$ 또는 $a=-b$ 입니다.
만약 $a\mid b$ 및 $a\mid c$ 이면, $a\mid (b-c)$ 와 같이 $a\mid (b+c)$ 가 유지됩니다.^[4] 어쨌든, 만약 $a\mid b$ 및 $c\mid b$ 이면, $(a+c)\mid b$ 는 항상 유지되지 않습니다 (예를 들어, $2\mid 6$ 및 $3\mid 6$ 이지만 5는 6을 나누지 않습니다).

만약 $a\mid bc$ , 및 gcd $(a,b)=1$ 이면, $a\mid c$ 입니다. 이것은 유클리드의 보조 정리(Euclid's lemma)라고 불립니다.

만약 $p$ 가 소수이고 $p\mid ab$ 이면, $p\mid a$ 또는 $p\mid b$ 입니다.

$n$ 과 다른 $n$ 의 양의 약수는 $n$ 의 적절한 약수(proper divisor) 또는 나누어지는 부분(aliquot part)이라고 불립니다.

고르게 $n$ 을 나누는 것이 아니라 나머지를 남기는 숫자는 $n$ 의 나눌 수 없는 부분(aliquant part)이라고 불립니다.

그의 오직 적절한 약수가 1인 정수 $n>1$ 는 소수(prime number)라고 불립니다. 동등하게, 소수는 정확히 두 양의 인수: 1과 자신을 가지는 양의 정수입니다.

$n$ 의 임의의 양의 약수는 $n$ 의 소수 약수(prime divisor)에 어떤 거듭제곱이 올려진 것의 곱입니다. 이것은 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)의 결과입니다.

숫자 $n$ 은 만약 그것이 그것의 적절한 약수의 합과 같으면 완전(perfect), 만약 그것의 적절한 약수의 합이 $n$ 보다 작으면 부족(deficient), 및 만약 이 합이 deficient을 초과하면 abundant라고 말합니다.

$n$ 의 양의 약수의 전체 숫자는 곱셈 함수(multiplicative function) $d(n)$ 이며, 두 숫자 $m$ 과 $n$ 이 상대적으로 소수(relatively prime)일 때, $d(mn)=d(m)\times d(n)$ 임을 의미합니다. 예를 들어, $d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)$ 입니다; 42의 여덟 약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 및 42입니다. 어쨌든, 양의 약수는 전적으로 곱셈 함수가 아닙니다: 만약 두 숫자 $m$ 과 $n$ 이 공통 약수를 공유하면, $d(mn)=d(m)\times d(n)$ 이 참이 아닐 수 있습니다. $n$ 의 양의 약수의 합은 또 다른 곱셈 함수 $\sigma (n)$ 입니다 (예를 들어, $\sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42$ ). 이들 함수의 모두는 약수 함수(divisor function)의 예제입니다.

만약 $n$ 의 소수 인수분해(prime factorization)가 다음에 의해 제공되면,

n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}

$n$ 의 양의 약수의 숫자는 다음입니다:

d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),

그리고 약수의 각각은 다음 형식을 가집니다:

p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}

여기서 $1\leq i\leq k$ 에 대해 $0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}$ 입니다.

모든 각 자연수 $n$ 에 대해, $d(n)<2{\sqrt {n}}$ 입니다.

역시,^[5]

d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).

여기서 $\gamma$ 는 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)입니다. 이 결과의 하나의 해석은 무작위로 선택된 양의 정수 n은 약 $\ln n$ 의 약수의 평균 숫자를 가집니다. 어쨌든, 이것은 "비정상적으로 많은" 제수를 갖는 숫자의 기여로 인한 결과입니다.

In abstract algebra

영을 포함하는 정의에서, 나눔가능성의 관계는 비-음의(non-negative) 정수의 집합 $\mathbb {N}$ 를 부분적으로 순서화 집합(partially ordered set): 완전한 분배 격자(complete distributive lattice)로 바꿉니다. 이 격자의 가장 큰 원소는 0이고 가장 작은 원소는 1입니다. 만남 연산 ∧은 최대 공통 약수(greatest common divisor)에 의해 제공되고 결합 연산 ∨는 최소 공통 배수(least common multiple)에 의해 제공됩니다. 이 격자는 무한 순환 그룹(cyclic group) $\mathbb {Z}$ 의 부분-그룹의 격자(lattice of subgroups)의 이중(dual)에 대한 동형입니다.

Notes

^ for instance, Sims 1984, p. 42 or Durbin 1992, p. 61
^ Herstein 1986, p. 26
^ FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois
^ $a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b+c=(j+k)a\Rightarrow a\mid (b+c)$ . Similarly, $a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b-c=(j-k)a\Rightarrow a\mid (b-c)$
^ Hardy, G. H.; Wright, E. M. (April 17, 1980). An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press. p. 264. ISBN 0-19-853171-0.

References

Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-51001-7. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9

[1] r instance, Sims 1984, p. 42 or Durbin 1992, p. 61

[2] Herstein 1986, p. 26

[3] FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois

[4] $a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b+c=(j+k)a\Rightarrow a\mid (b+c)$ . Similarly, $a\mid b,\,a\mid c\Rightarrow b=ja,\,c=ka\Rightarrow b-c=(j-k)a\Rightarrow a\mid (b-c)$

[5] Hardy, G. H.; Wright, E. M. (April 17, 1980). An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press. p. 264. ISBN 0-19-853171-0.

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