Empty set

수학(mathematics)에서, 빈 집합은 원소(elements)를 가지지 않는 유일한 집합(set)입니다; 그것의 크기 또는 카디널리티(cardinality) (집합에서 원소의 개수)는 영(zero)입니다.^[1] 일부 공리적 집합 이론(axiomatic set theories)은 빈 집합의 공리(axiom of empty set)를 포함함으로써 빈 집합이 존재함을 보증하고, 반면에 다른 이론에서, 그것의 존재는 추론될 수 있습니다. 집합의 많은 가능한 속성은 빈 집합에 대해 공허하게 참(vacuously true)입니다.

빈 집합 이외의 임의의 집합은 비-빈(non-empty)이라고 불립니다.

일부 텍스트와 대중화에서, 빈 집합은 "널 집합(null set)"으로 참조됩니다.^[1] 어쨌든, 널 집합(null set)은 측정 이론(measure theory)의 문맥 내에서 별개의 개념이며, 이것에서 그것은 측정 영의 집합을 설명합니다 (반드시 비어 있지는 않습니다). 빈 집합은 역시 텅빈 집합(void set)이라고 불릴 수 있습니다.

Notation

빈 집합에 대한 공통적인 표기법은 "{}", " $\emptyset$ ", 및 "∅"를 포함합니다. 후자의 두 기호는 1939년 부르바키 그룹(Bourbaki group) (특히 앙드레 베유(André Weil))에 의해 덴마크(Danish)와 노르웨이(Norwegian) 알파벳에서 문자 Ø에서 영감을 받아 도입되었습니다.^[2] 과거에는, "0"이 가끔 빈집합에 대한 기호로 사용되었지만, 이것은 이제 표기법의 부적절한 사용으로 여겨집니다.^[3]

기호 ∅는 유니코드 점 U+2205에서 사용할 수 있습니다.^[4] 그것은 HTML에서 ∅와 as ∅로 코딩될 수 있습니다. 그것은 레이텍(LaTeX)에서 \varnothing로 코딩될 수 있습니다. 기호 $\emptyset$ 는 레이텍에서 \emptyset으로 코딩됩니다.

빈 집합 문자가 알파벳 문자 Ø와 혼동될 수 있는 (언어학에서 기호를 사용할 때와 같이) 덴마크어와 노르웨이어와 같은 언어로 작성할 때, 유니코드 문자 U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰가 대신 사용될 수 있습니다.^[5]

Properties

표준 공리적 함수 이론(axiomatic set theory)에서, principle of extensionality|확장성의 공리(axiom of extensionality)에 의해, 두 집합은 만약 그것들이 같은 원소를 가지면 같은 것입니다. 결과로, 원소가 없는 오직 하나의 집합이 있을 수 있고, 따라서 "하나의 빈 집합"이 아닌 "그 빈 집합"을 사용합니다.

다음은 빈 집합과 관련된 가장 주목할만한 속성의 일부의 문서 목록입니다. 여기에 사용된 수학 기호에 대한 자세한 내용에 대해, 수학 기호 목록을 참조하십시오.

임의의 set A에 대해:

빈 집합은 A의 부분집합(subset)입니다:
$\forall A:\varnothing \subseteq A$
A와 빈 집합과의 합집합(union)은 A입니다:
$\forall A:A\cup \varnothing =A$
A와 빈 집합과의 교집합(intersection)은 빈 집합입니다:
$\forall A:A\cap \varnothing =\varnothing$
A와 빈 집합의 데카르트 곱(Cartesian product)은 빈 집합입니다:
$\forall A:A\times \varnothing =\varnothing$

빈 집합은 다음 속성을 가집니다:

그것의 유일한 부분집합은 빈 집합 자체입니다:
$\forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing$
빈 집합의 거듭제곱 집합(power set)은 오직 빈 집합을 포함하는 집합입니다:
$2^{\varnothing }=\{\varnothing \}$
빈 집합의 원소의 개수 (즉, 그것의 카디널리티(cardinality))는 영입니다:
$\mathrm {|} \varnothing \mathrm {|} =0$

어쨌든, 빈 집합과 영 사이의 연결은 더 나아갑니다: 자연수의 표준 집합-이론적 정의에서, 집합은 자연수를 모델링(model)하기 위해 사용됩니다. 이 문맥에서, 영은 빈 집합으로 모델링됩니다.

임의의 속성(property) P에 대해:

$\varnothing$ 의 모든 각 원소에 대해, 속성 P는 유지합니다 (공허한 진리(vacuous truth)).
속성 P가 유지하는 $\varnothing$ 의 원소는 없습니다.

반대로, 만약 일부 속성 P와 일부 집합 V에 대해, 다음 두 명제가 유지하면:

V의 모든 각 원소에 대해 속성 P가 유지합니다
속성 P가 유지하는 V의 원소가 없습니다

그때에 $V=\varnothing$ 입니다.

부분집합(subset)의 정의에 의해, 빈 집합은 임의의 집합 A의 부분집합입니다. 즉, $\varnothing$ 의 모든 각 원소 x는 A에 속합니다. 실제로, 만약 $\varnothing$ 의 모든 각 원소가 A 안에 있다는 것이 참이 아니면, A 안에 없는 $\varnothing$ 의 적어도 하나의 원소가 있을 것입니다. $\varnothing$ 의 원소가 전혀 없기 때문에, A 안에 없는 $\varnothing$ 의 원소는 없습니다. " $\varnothing$ 의 모든 각 원소에 대해"로 시작하는 명제는 임의의 실질적인 주장을 하지 않습니다: 그것은 공허한 진리(vacuous truth)입니다. 이것은 종종 "빈 집합의 원소의 모든 것이 참입니다"로 바꾸어 표현됩니다.

Operations on the empty set

유한 집합의 원소들의 합(sum)에 대해 말할 때, 우리는 필연적으로 빈 집합의 원소들의 합이 영이라는 관습에 빠지게 됩니다. 그 이유는 영이 덧셈에 대해 항등 원소(identity element)이기 때문입니다. 유사하게, 빈 집합의 원소들의 곱(product)은 일(one)로 고려되어야 하는데 (빈 곱(empty product)을 참조), 왜냐하면 일은 곱셈에 대해 항등 원소이기 때문입니다.

교란(derangement)은 고정된 점(fixed point)없이 집합의 순열(permutation)입니다. 빈 집합은 자체의 교란으로 고려될 수 있는데, 왜냐하면 그것은 유일한 하나의 순열 ( $0!=1$ )을 가지기 때문이고, (빈 집합의) 원소는 원래 위치를 유지하는 것을 찾아질 수 있는 공허하게 참입니다.

In other areas of mathematics

Extended real numbers

빈 집합은 순서화된 집합의 부분집합으로 고려될 때 구성원을 가지지 않기 때문에, 해당 집합의 모든 각 구성원은 빈 집합에 대해 위쪽 경계와 아래쪽 경계일 것입니다. 예를 들어, 실수 직선(real number line)에 의해 표시되는 보통의 순서화와 함께 실수의 부분집합으로 고려될 때, 모든 각 실수는 빈 집합에 대해 위쪽과 아래쪽 경계 둘 다입니다.^[6] 실수에 두 개의 "숫자" 또는 "점"을 더함으로써 형성된 확장된 실수(extended reals)의 부분집합으로 고려될 때 (즉, 모든 각 다른 확장된 실수보다 작은 것으로 정의된 음의 무한대(negative infinity), $-\infty \!\,$ 로 표시되고, 모든 각 다른 모든 확장된 실수보다 더 큰 것으로 정의된 양의 무한대(positive infinity), $+\infty \!\,$ 로 표시됨), 우리는 다음을 가집니다: $\sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,$ 및 $\inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .$

즉, 빈 집합의 최소 위쪽 경계 (sup 또는 상한(supremum))은 음의 무한대이고, 반면에 최대 아래쪽 경계 (inf 또는 하한(infimum))은 양의 무한대입니다. 위와 유사하게, 확장된 실수의 도메인에서, 음의 무한대는 최대와 상한 연산자에 대해 항등 원소이고, 반면에 양의 무한대는 최소와 하한 연산자에 대해 항등 원소입니다.

Topology

임의의 토폴로지적 공간(topological space) X에서, 빈 집합은 X와 마찬가지로 정의에 의해 열린(open) 것입니다. 열린 집합의 여집합(complement)은 닫힌(closed) 것이고 빈 집합과 X는 서로의 여집합이기 때문에, 빈 집합은 역시 닫혀 있으며, 그것을 열린-닫힌 집합(clopen set)으로 만듭니다. 게다가, 빈 집합은 모든 각 유한 집합(finite set)이 컴팩트라는 사실에 의해 컴팩트(compact)입니다.

빈 집합의 클로저(closure)는 빈 것입니다. 이것은 "영항(nullary) 합집합(unions)의 보존"으로 알려져 있습니다.

Category theory

만약 $A$ 가 집합이면, $\varnothing$ 에서 $A$ 로의 정확하게 하나의 함수(function) $f$ , 빈 함수(empty function)가 존재합니다. 결과로, 빈 집합은 집합과 함수의 카테고리(category)의 고유한 초기 대상(initial object)입니다.

빈 집합은 단 한가지 방법: 빈 집합을 열린(open) 것으로 정의함으로써, 빈 공간이라고 불리는 토폴로지적 공간(topological space)으로 전환될 수 있습니다. 이 빈 토폴로지적 공간은 연속 맵(continuous maps)을 갖는 토폴로지적 공간의 카테고리(category of topological spaces)에서 고유한 초기 대상입니다. 사실, 그것은 엄격한 초기 대상(strict initial object)입니다: 오직 빈 집합이 빈 집합으로의 함수를 가집니다.

Set theory

순서-숫자의 폰 노이만 구성(von Neumann construction of the ordinals)에서, 0은 빈 집합으로 정의되고, 순서-숫자의 다음수는 $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ 로 정의됩니다. 따라서, 우리는 $0=\varnothing$ , $1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}$ , $2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ 을 가지고, 이런 식으로 계속됩니다. 적어도 하나의 무한 집합의 존재성을 보장하는 무한대의 공리(axiom of infinity)와 함께, 폰 노이만 구성은 산술의 페아노 공리(Peano axioms)가 만족시킴을 만족하는 자연수의 집합, $\mathbb {N} _{0}$ 를 구성하기 위해 사용될 수 있습니다.

Questioned existence

Axiomatic set theory

체르멜로 집합 이론(Zermelo set theory)에서, 빈 집합의 존재는 빈 집합의 공리(axiom of empty set)에 의해 보장되고, 그것의 유일성은 확장성의 공리(axiom of extensionality)에서 따릅니다. 어쨌든, 빈 집합의 공리는 적어도 두 가지 방법에서 중복으로 표시될 수 있습니다:

표준 일-차 논리(first-order logic)는, 단지 논리적 공리(logical axiom)로부터, 어떤 것이 존재하고, 집합 이론의 언어에서, 그것이 집합이어야 함을 의미합니다. 이제 빈 집합의 존재는 분리의 공리(axiom of separation)로부터 쉽게 따릅니다.
(어떤 것이 존재한다는 것을 논리적으로 암시하지 않는) 자유 논리(free logic)를 사용하더라도, 적어도 한 집합의 존재를 암시하는 공리, 즉 무한대의 공리(axiom of infinity)가 이미 있습니다.

Philosophical issues

빈 집합은 표준이고 널리 받아들여지는 수학적 개념이지만, 그것의 의미와 유용성은 철학자와 논리학자에 의해 논쟁되고 있고, 존재론적(ontological) 호기심으로 남아 있습니다.

빈 집합은 그것이 아무것도 아님과 같지 않습니다; 오히려, 그것은 그것 내부에 아무것도 아님을 가진 집합이고 집합은 항상 어떤 것입니다. 이 문제는 집합을 가방으로 봄으로써 극복될 수 있습니다–빈 가방은 의심할 여지없이 여전히 존재합니다. Darling (2004)은 빈 집합은 아무것도 아님이 아니라, 오히려 "네 변을 가진 모든 삼각형의 집합, 구보다 크고 팔보다 작은 모든 숫자의 집합, 및 킹(king)을 포함하는 체스에서 모든 시작하는 이동(opening moves)의 집합"이라고 표현합니다.^[7]

유명한 다음 삼단논법(syllogism)은

아무것도 없음은 영원한 행복보다 낫습니다; 햄 샌드위치는 아무것도 없는 것보다 낫습니다; 그러므로, 햄 샌드위치는 영원한 행복보다 낫습니다.

아무것도 없음의 개념과 빈 집합 사이의 철학적 관계를 시연하기 위해 자주 사용됩니다. Darling은 "아무것도 없음은 영원한 행복보다 낫습니다"와 "햄 샌드위치가 아무것도 없는 것보다 낫습니다"라는 명제를 수학적인 어조로 다시 작성함으로써 대조를 볼 수 있다고 씁니다. Darling에 따르면, 전자는 "영원한 행복보다 더 나은 모든 것의 집합은 $\varnothing$ "와 동등하고, 후자는 "집합 {햄 샌드위치} 집합이 집합 $\varnothing$ 보다 낫습니다"와 동등합니다. 첫 번째는 집합의 원소를 비교하고, 반면에 두 번째는 집합 자체를 비교합니다.^[7]

Jonathan Lowe는 빈 집합은 다음임을 주장합니다:

"의심할 여지없이 수학의 역사에서 중요한 이정표였습니다. … 우리는 계산에서의 유용성이 실제로 어떤 대상을 나타내는 것에 달려 있다고 가정해서는 안 됩니다."

그것은 역시 다음과 같은 경우입니다:

"우리가 빈 집합에 대해 이제까지 알게 된 것의 모두는 그것이 (1) 하나의 집합이고, (2) 구성원을 가지지 않고, (3) 구성원을 가지지 않는 점에서 집합 사이에 고유하다는 것입니다. 어쨌든, 집합-이론적 의미에서 '구성원을 가지지 않음'–즉, 모든 비-집합인 매우 많은 것이 있습니다. 그것들이 집합이 아닌 것에 대해, 이들 것이 구성원을 가지지 않는 이유는 완벽하게 분명합니다. 불분명한 것은 집합 사이에 고유하게 구성원을 가지지 않는 집합이 있을 수 있는 방법입니다. 우리는 그러한 엔터디를 단순한 조건에 의해 존재를 상상할 수 없습니다."^[8]

George Boolos는 집합 이론에 의해 지금까지 얻은 것의 대부분이 다른 엔터디를 구성원으로 갖는 단일 엔터디로 집합을 구체화(reifying)없이 개체에 걸쳐 복수 수량화(plural quantification)에 의해 쉽게 얻어질 수 있다고 주장했습니다.^[9]

References

^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Empty Set". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-11.
^ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic.
^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 300. ISBN 007054235X.
^ Unicode Standard 5.2
^ e.g. Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen.
^ Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). Elementary Real Analysis, 2nd edition, p. 9.
^ ^a ^b D. J. Darling (2004). The Universal Book of Mathematics. John Wiley and Sons. p. 106. ISBN 0-471-27047-4.
^ E. J. Lowe (2005). Locke. Routledge. p. 87.
^ George Boolos (1984), "To be is to be the value of a variable", The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in 1998, Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard University Press, 54–72.

External links

Weisstein, Eric W. "Empty Set". MathWorld.

[:1-1] Weisstein, Eric W. "Empty Set". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-11.

[2] Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic.

[3] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 300. ISBN 007054235X.

[4] Unicode Standard 5.2

[5] .g. Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen.

[6] Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). Elementary Real Analysis, 2nd edition, p. 9.

[Darling-7] D. J. Darling (2004). The Universal Book of Mathematics. John Wiley and Sons. p. 106. ISBN 0-471-27047-4.

[Lowe-8] E. J. Lowe (2005). Locke. Routledge. p. 87.

[9] George Boolos (1984), "To be is to be the value of a variable", The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in 1998, Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard University Press, 54–72.

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