Epimorphism

카테고리 이론(category theory)에서, 전사사상(epimorphism, 역시 epic morphism 또는, 구어체로 epi라고 불림)은 모든 대상 Z와 모든 사상 g₁, g₂: Y → Z에 대해, 다음이라는 의미에서 오른쪽-취소(right-cancellative)인 사상(morphism) $f:X\to Y$ 입니다:

g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.

전사사상은 위로의(onto) 또는 전사(surjective) 함수의 카테고리적 유사체 (및 집합의 카테고리에서 그 개념은 전사 함수와 정확히 일치함)이지만, 그것들은 모든 문맥에서 정확하게 일치하지 않을 수 있습니다; 예를 들어, 포함 $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ 는 링 전사사상입니다. 전사사상의 이중(dual)은 단사사상(monomorphism)입니다 (즉, 카테고리 C에서 전사사상은 이중 카테고리 C^op의 단사사상입니다).

추상 대수(abstract algebra)와 보편 대수(universal algebra)에서 많은 저자들은 전사사상을 단순히 위로의(onto) 또는 전사(surjective) 준동형(homomorphism)으로 정의합니다. 이 대수적 의미에서 모든 각 전사사상은 카테고리 이론의 의미에서 전사사상이지만, 그 전환은 모든 카테고리에서 참이 아닙니다. 이 기사에서, "epimorphism"이라는 용어는 위에서 주어진 카테고리 이론의 의미에서 사용될 것입니다. 이에 대한 자세한 내용에 대해, 아래의 § Terminology를 참조하십시오.

Examples

놓여있는 함수(function)가 전사적(surjective)인 구체적 카테고리(concrete category)에서 모든 각 사상은 전사사상입니다. 관심있는 많은 구체적 카테고리에서, 그 전환도 참입니다. 예를 들어, 다음 카테고리에서, 전사사상은 정확히 놓여있는 집합 위에 전사적인 그것들의 사상입니다.

집합(Set): 집합(sets)과 함수. 집합에서 모든 각 전사사상 $f:X\to Y$ 가 전사적임을 입증하기 위해, 이미지 f(X)의 특성 함수(characteristic function) g₁: Y → {0,1}와 상수 1인 맵 g₂: Y → {0,1} 둘 다로 그것을 합성합니다.
Rel: 이항 관계(binary relations)를 갖는 집합과 관계-보존하는 함수. 여기서 {0,1}에 전체 관계 {0,1}×{0,1}를 장착하여 Set에 대한 것과 같은 증명을 사용할 수 있습니다.
Pos: 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered sets)과 단조 함수(monotone functions). 만약 f : (X, ≤) → (Y, ≤)가 전사적이 아니면, Y \ f(X)에서 y₀를 선택하고 g₁ : Y → {0,1}를 {y | y₀ ≤ y}의 특성 함수라고 놓고 g₂ : Y → {0,1}를 {y | y₀ < y}의 특성 함수라고 놓습니다. 이들 맵은 만약 {0,1}가 표준 순서화 0 < 1로 주어지면 단조적입니다.
Grp: 그룹(groups)과 그룹 준동형(group homomorphisms). Grp에서 모든 각 전사사상이 전사적이라는 결과는 오토 슈라이어(Otto Schreier)에 기인합니다 (그는 실제로 모든 각 부분그룹(subgroup)이 하나의 융합된 부분그룹을 갖는 자유 곱(free product)을 사용하는 이퀄라이저(equalizer)임을 보여주면서 더 많은 것을 입증했습니다); 기본 증명은 (Linderholm 1970)에서 찾을 수 있습니다.
FinGrp: 유한 그룹(finite groups)과 그룹 준동형. 역시 슈라이어에 기인합니다; (Linderholm 1970)에 주어진 증명은 마찬기지로 이 경우를 설립합니다.
Ab: 아벨 그룹(abelian groups)과 그룹 준동형.
K-Vect: 필드(field) K에 걸쳐 벡터 공간(vector spaces)과 K-선형 변환(linear transformations).
Mod-R: 링(ring) R에 걸쳐 오른쪽 모듈(right modules)과 모듈 준동형(module homomorphisms). 이것은 앞의 두 가지 예제를 일반화합니다; Mod-R에서 모든 각 전사사상 $f:X\to Y$ 가 전사적임을 입증하기 위해, 정식의 몫 맵(quotient map) g₁: Y → Y/f(X)과 영 맵(zero map) g₂: Y → Y/f(X) 둘 다로 그것을 합성합니다.
Top: 토폴로지적 공간(topological spaces)과 연속 함수(continuous functions). Top에서 모든 각 전사사상이 전사적임을 입증하기 위해, 정확하게 Set에서 처럼 진행하여, {0,1} 비-이산 토폴로지(indiscrete topology)를 제공하며, 이는 모든 고려된 맵이 연속임을 보증합니다.
HComp: 컴팩트(compact) 하우스도르프 공간(Hausdorff spaces)과 연속 함수. 만약 $f:X\to Y$ 가 전사적이 아니면, y ∈ Y − fX라고 놓습니다. fX가 닫혀 있기 때문에, 우리손의 보조정리(Urysohn's Lemma)에 의해, g₁이 fX에서 0이고 y에서 1임을 만족하는 연속 함수 g₁:Y → [0,1]이 있습니다. g₁과 영 함수 g₂: Y → [0,1] 둘 다로 합성합니다.

어쨌든, 전사사상이 전사적이지 못한 흥미로운 구체적 카테고리도 많이 있습니다. 몇 가지 예는 다음과 같습니다:

모노이드의 카테고리(category of monoids), Mon에서, 포함 맵(inclusion map) N → Z은 비-전사적 전사사상입니다. 이것을 보이기 위해, g₁와 g₂가 Z에서 어떤 모노이드 M으로의 두 개의 구별되는 맵이라고 가정합니다. 그런-다음 Z에서 일부 n에 대해, g₁(n) ≠ g₂(n)이므로, g₁(−n) ≠ g₂(−n)입니다. n 또는 −n 중 어떤 것은 N 안에 있으므로, g₁과 g₂의 N으로의 제한은 같지 않습니다.
교환 링 R에 걸쳐 대수의 카테고리에서, R[N] → R[Z]를 취하며, 여기서 R[G]는 링 G의 그룹 링(group ring)이고 사상은 이전 예제에서 처럼 포함 N → Z에 의해 유도됩니다. 이것은 1이 대수 R[Z]를 생성하고 (R[Z]에서 단위는 Z의 0에 의해 주어진다는 점에 유의), Z에서 n에 의해 표현되는 원소의 역은 단지 −n에 의해 표현되는 원소라는 관찰에서 따릅니다. 따라서 R[Z]로부터 임의의 준동형은 Z의 1에 의해 표시되는 원소의 값에 의해 고유하게 결정됩니다.
링의 카테고리(category of rings), Ring에서, 포함 맵 Z → Q은 비-전사적 전사사상입니다; 이것을 보이기 위해, Q 위에 임의의 링 준동형(ring homomorphism)은 이전 예제와 유사하게 Z 위에 그것의 동작에 의해 전적으로 결정됨에 주목하십시오. 유사한 논증은 임의의 교환 링(commutative ring) R에서 그것의 지역화(localizations) 중 임의의 하나로의 자연스러운 링 준동형이 전사사상임을 보여줍니다.
교환 링의 카테고리(category of commutative rings)에서, 링 f : R → S의 유한하게 생성된(finitely generated) 준동형이 전사사상인 것과 R의 모든 소수 아이디얼(prime ideals) P에 대해, f(P)에 의해 생성된 아이디얼 Q는 S 또는 소수라는 것은 필요충분 조건이고, 만약 Q가 S가 아니면, 유도된 맵 Frac(R/P) → Frac(S/Q)은 동형(isomorphism)입니다 (EGA IV 17.2.6).
하우스도르프 공간의 카테고리, Haus에서, 전사사상은 조밀한(dense) 이미지를 갖는 정확하게 연속 함수입니다. 예를 들어, 포함 맵 Q → R는, 비-전사적 전사사상입니다.

위의 내용은 단사사상이 정확히 놓여있는 함수가 단사적(injective)이라는 것이 더 자주 사실인 단사사상의 경우와 다릅니다.

비-구체적 카테고리에서 전사사상의 예제에 대해:

만약 모노이드(monoid) 또는 링(ring)이 단일 대상 (곱셈에 의해 주어진 사상의 합성)을 갖는 카테고리로 고려되면, 전사사상은 정확하게 오른쪽-취소 원소입니다.
만약 방향화된 그래프(directed graph)가 카테고리로 고려되면 (대상은 꼭짓점, 사상은 경로, 사상의 합성은 경로의 연쇄), 모든 각 사상은 전사사상입니다.

Properties

모든 각 동형(isomorphism)은 전사사상입니다; 실제로 오른쪽-편 역만 필요합니다: 만약 fj = id_Y임을 만족하는 사상 j : Y → X가 존재하면, f: X → Y는 전사사상으로 쉽게 볼 수 있습니다. 그러한 오른쪽-편 역을 갖는 맵은 분할 전사사상(split epi)이라고 불립니다. 토포스(topos)에서, 단사사상(monic morphism)이자 전사사상(epimorphism)인 맵은 동형입니다.

두 전사사상의 합성은 다시 전사사상입니다. 만약 두 사상의 합성 fg가 전사사상이면, f는 전사사상이어야 합니다.

위의 예제 중 일부에서 볼 수 있듯이, 전사사상인 것의 속성은 사상 단독에 의해 결정되는 것이 아니라, 문맥의 카테고리에 의해서도 결정됩니다. 만약 D가 C의 부분-카테고리(subcategory)이면, C에서 사상으로 고려될 때 전사사상인 D에서 모든 각 사상은 D에서도 전사사상입니다. 어쨌든 그 전환은 성립할 필요는 없습니다; 더 작은 카테고리는 더 많은 전사사상을 가질 수 있습니다 (그리고 종종 그럴 것입니다).

카테고리 이론의 대부분의 개념에 대해, 전사사상은 카테고리의 동등성(equivalences of categories) 아래에서 보존됩니다: 동등성 F : C → D가 주어졌을 때, 사상 f는 카테고리 C에서 전사사상인 것과 F(f)가 D에서 전사사상인 것은 필요충분 조건입니다. 두 카테고리 사이의 이중성(duality)은 전사사상을 단사사상으로 바꾸고, 그 반대도 마찬가지입니다.

전사사상의 정의는 f : X → Y가 전사사상인 것과 다음 유도된 맵이 Z의 모든 각 선택에 대해 단사적(injective)인 것은 필요충분 조건이라고 말하기 위해 재구성될 수 있습니다:

{\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}

이는 차례로 다음과 같이 유도된 자연스러운 변환(natural transformation)이 함수자 카테고리(functor category) Set^C에서 단사사상인 것과 동등합니다:

{\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}

모든 각 공동-이퀄라이저는 공동-이퀄라이저의 정의에서 고유성 요구 사항의 결과인 전사사상입니다. 특히, 모든 여-커널(cokernel)은 전사사상(epimorphism)이라는 것이 따라옵니다. 그 전환, 즉 모든 각 전사사상은 공동-이퀄라이저라는 것은 모든 카테고리에서 참은 아닙니다.

많은 카테고리에서, 모든 각 사상을 단사사상이 뒤따르는 전사사상의 합성으로 쓰는 것이 가능합니다. 예를 들어, 그룹 준동형 f : G → H가 주어졌을 때, 그룹 K = im(f)를 정의하고 그런-다음 f를 f와 같이 정의된 전사적 준동형 G → K의 합성으로 쓸 수 있으며, 각 원소를 자체로 보내는 단사적 준동형 K → H가 따라옵니다. 임의적인 사상을 전사사상에 뒤이은 단사사상으로의 그러한 인수분해는 모든 아벨 카테고리와 역시 § Examples에서 위에서 언급한 모든 구체적 카테고리에서 수행될 수 있습니다 (모든 구체적 카테고리에서 그렇지는 않습니다).

Related concepts

다른 유용한 개념 중에는 정규 전사사상(regular epimorphism), 극단 전사사상(extremal epimorphism), 즉각적 전사사상(immediate epimorphism), 강한 전사사상(strong epimorphism), 및 분할 전사사상(split epimorphism)이 있습니다.

전사사상은 만약 그것이 평행 사상의 일부 쌍의 공동-이퀄라이저(coequalizer)이면 정규(regular)라고 말합니다.
전사사상 $\varepsilon$ 는 만약 각 표현 $\varepsilon =\mu \circ \varphi$ 에서, 여기서 $\mu$ 는 단사사상(monomorphism)이며, 사상 $\mu$ 가 자동적으로 동형(isomorphism)이면 극단(extremal)이라고 말합니다.^[1]
전사사상 $\varepsilon$ 는 만약 각 표현 $\varepsilon =\mu \circ \varepsilon '$ 에서, 여기서 $\mu$ 는 단사사상(monomorphism)이고 $\varepsilon '$ 은 전사사상이며, 사상 $\mu$ 는 자동적으로 동형(isomorphism)이면 즉각적(immediate)이라고 말합니다.
전사사상 $\varepsilon :A\to B$ 는 만약 임의의 단사사상(monomorphism) $\mu :C\to D$ 와 $\beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha$ 임을 만족하는 임의의 사상 $\alpha :A\to C$ 와 $\beta :B\to D$ 에 대해, $\delta \circ \varepsilon =\alpha$ 와 $\mu \circ \delta =\beta$ 를 만족하는 사상 $\delta :B\to C$ 가 존재하면 강한(strong) 것이라고 말합니다.^[1]^[2]
전사사상 $\varepsilon$ 는 만약 $\varepsilon \circ \mu =1$ 를 만족하는 사상 $\mu$ 가 존재하면 분할(split)이라고 말합니다 (이 경우에서 $\mu$ 는 $\varepsilon$ 에 대해 오른쪽-편 역이라고 불립니다).

링 이론에서 호몰로지 전사사상(homological epimorphism)이라는 개념도 있습니다. 링의 사상 f: A → B는 만약 그것이 전사사상이고 그것이 유도된 카테고리(derived categories)에서 완전하고 충실한 함수자를 유도하면 호몰로지 전사사상입니다: D(f) : D(B) → D(A).

단사사상(monomorphism)이면서 전사사상(epimorphism)인 사상은 쌍사상(bimorphism)이라고 불립니다. 모든 각 동형사상은 쌍사상이지만 그 전환은 일반적으로 참이 아닙니다. 예를 들어, x를 exp(2πix)로 보내는 (오일러의 공식 참조) 반-열린 구간 [0,1)에서 단위 원 S¹ (복소 평면의 부분-공간으로 생각됨)으로의 맵은 연속적이고 전단사이지만 준동형은 아닌데 왜냐하면 역 맵이 1에서 연속적이지 않기 때문이고, 따라서 것은 카테고리 Top에서 동형이 아닌 쌍사상의 예시입니다. 또 다른 예제는 카테고리 Haus에서 삽압 Q → R입니다; 위에서 언급한 바와 같이, 그것은 쌍사상이지만, 그것은 전단사가 아니고 따라서 동형사상이 아닙니다. 유사하게, 링의 카테고리에서, 맵 Z → Q는 쌍사상이지만 동형은 아닙니다.

전사사상은 일반적인 카테고리에서 추상적 몫 대상(quotient objects)을 정의하기 위해 사용됩니다: 두 개의 전사사상 f₁ : X → Y₁와 f₂ : X → Y₂는 만약 j f₁ = f₂를 갖는 동형사상 j : Y₁ → Y₂가 존재하면 동등하다(equivalent)고 말합니다. 이것은 동치 관계(equivalence relation)이고, 동치 클래스는 X의 몫 대상으로 정의됩니다.

Terminology

동반 용어 epimorphism과 monomorphism은 부르바키(Bourbaki)에 의해 처음 소개되었습니다. 부르바키는 전사 함수(surjective function)에 대해 줄임말로 epimorphism을 사용합니다. 초기 카테고리 이론가들은 단사사상이 단사의 정확한 아날로그에 매우 가까운 방법과 유사하게 임의적인 카테고리에서 전사사상이 전사의 올바른 아날로그라고 믿었습니다. 불행히도 이것은 잘못된 것입니다; 강하거나 정규 전사사상은 보통의 전사사상보다 전사에 훨씬 더 가깝게 행동합니다. 손더스 맥 레인(Saunders Mac Lane)은 놓여있는 집합 맵이 전사적(surjective)인 구체적 카테고리에서 맵인 epimorphisms과 현대적 의미에서 전사사상인 epic morphisms 사이의 구별을 생성하기 위해 시도했습니다. 어쨌든, 이러한 구별은 결코 유행하지 않았습니다.

전사사상(epimorphism)이 전사(surjection)과 동일하거나 더 나은 개념이라고 믿는 것은 공통적인 실수입니다. 불행히도, 이것은 드문 경우입니다; 전사사상은 매우 불가사의하고 예상치 못한 행동을 할 수 있습니다. 예를 들어, 링의 모든 전사사상을 분류하는 것은 매우 어렵습니다. 일반적으로, 전사사상은 전사와 관련이 있지만 근본적으로 다른 고유한 개념입니다.

References

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
Bergman, George (2015). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. Springer. ISBN 978-3-319-11478-1.
Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193.
Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Dover Publications, Inc Mineola, New York. ISBN 9780486809038.
Tsalenko, M.S.; Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4.
"Epimorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2015). Sets for Mathematics. Cambridge university press. ISBN 978-0-521-80444-8.
Linderholm, Carl (1970). "A Group Epimorphism is Surjective". American Mathematical Monthly. 77 (2): 176–177. doi:10.1080/00029890.1970.11992448.

External links

epimorphism in nLab
Strong epimorphism in nLab

[FOOTNOTEBorceux1994-1] Borceux 1994.

[FOOTNOTETsalenkoShulgeifer1974-2] Tsalenko & Shulgeifer 1974.

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[2]