Foundations of mathematics

Original article: w:Foundations of mathematics

For the book by Hilbert and Bernays, see Grundlagen der Mathematik.

수학의 토대는 수학(mathematics)의 철학적(philosophical) 및 논리적 및/또는 알고리듬(algorithmic) 기반에 대한 연구이며, 또는, 더 넓은 의미에서, 수학의 본성에 관련하는 철학적 이론의 기초가 되는 것의 수학적 조사입니다. 이러한 후자의 의미에서, 수학의 토대와 수학의 철학(philosophy of mathematics) 사이의 구분은 상당히 모호한 것으로 판명됩니다. 수학의 토대는 기본 수학적 개념 (집합, 함수, 기하학적 도형, 숫자, 등)과 그것들이 더 복잡한 구조와 개념의 계층 구조를 형성하는 방법, 특히 철학적 측면과 수학의 통일성에 주목하는 역시 메타수학적 개념(metamathematical concepts)이라고 불리는 수학의 언어(language of mathematics) (공식, 공식에 대한 의미를 제공하는 이론과 그것들의 모델(models), 정의, 증명, 알고리듬, 등)를 형성하는 근본적으로 중요한 계층 구조를 형성하는 방법의 연구로 생각될 수 있습니다. 수학의 토대에 대해 탐색은 수학의 철학의 중심 질문입니다; 수학적 대상의 추상적 본성은 특별한 철학적 도전을 제시합니다.

전체로서 수학의 토대는 모든 각 수학 주제의 토대를 포함하는 것을 목표로 하지는 않습니다. 일반적으로, 연구 분야의 토대는 그것의 가장 기본적 또는 근본적 개념, 그것의 개념적 통일성과 그것의 자연적 순서화 또는 개념의 계층의 다소 시스템적 해석을 참조하며, 이것은 인간 지식의 나머지 부분과 그것을 연결하는 데 도움이 될 수 있습니다. 토대의 개발, 출현, 및 설명은 한 분야의 역사에서 늦게 이루어질 수 있고, 모든 사람에 의해 가장 흥미로운 부분으로 보이지 않을 수도 있습니다.

수학은 항상 고대 이래로 합리적 탐구를 위한 진리와 엄격함의 모델로 이바지하고, 다른 과학 (특히 물리학)을 위한 도구 또는 심지어 토대를 제공하는 과학적 사고에서 항상 특별한 역할을 했습니다. 19세기에 더 높은 추상화를 향한 수학의 많은 발전은 새로운 도전과 역설을 가져왔으며, 수학의 다양한 가지를 일관된 전체로 통합뿐만 아니라 수학적 진리(mathematical truth)의 본성과 기준의 더 깊고 시스템적인 조사를 촉구했습니다.

수학의 토대에 대해 시스템적 탐색은 19세기의 말에 시작되었고 수학적 논리(mathematical logic)라고 불리는 새로운 수학적 분야를 형성했으며, 이는 나중에 이론적 컴퓨터 과학(theoretical computer science)과 긴밀하게 연결되었습니다. 그것은 여러 측면 또는 구성 요소 (집합 이론, 모델 이론, 증명 이론, 등)을 갖는 크고 일관된 수학적 지식의 몸체로 20세기 동안 발견이 안정화될 때까지, 역설적 결과를 갖는 일련의 위기를 겪었으며, 그것의 자세한 속성과 가능한 변형은 여전히 활발한 연구 분야입니다. 그것의 높은 수준의 기술적 정교함은 많은 철학자들에게 그것이 다른 과학의 토대를 위한 모델이나 패턴으로 봉사할 수 있다고 추측하도록 영감을 주었습니다.

Historical context

See also: History of logic and History of mathematics

Ancient Greek mathematics

Further information: Ancient Greek mathematics

수학의 실행은 이전에 다른 문명에서 발전해 왔었지만, 그것의 이론적이고 토대적인 측면에서 특별한 관심은 고대 그리스의 연구에서 명백하게 분명했습니다.

초기 그리스 철학자들은 산술과 기하학 중 어느 것이 더 기본적인 것인지에 대해 논쟁을 벌였습니다. 엘레아의 제논(Zeno of Elea) (기원전 490 – 약 430년)은 변화의 불가능성을 보여주는 것 같은 네 가지 역설을 만들어 냈습니다. 수학의 피타고라스 학파(Pythagorean school of mathematics)는 원래 오직 자연수와 유리수가 존재한다고 주장했습니다. 정사각형의 한 변에 대한 그것의 대각선의 비율, ${\sqrt {2}}$의 무리성(irrationality)의 발견 (기원전 약 5세기)은 그들이 마지못해 받아들일 수밖에 없는 충격을 겪게 했습니다. 유리수와 실수 사이의 불일치는 플라톤(Plato)의 제자, 크니도스의 에우독소스(Eudoxus of Cnidus) (기원전 408–355)에 의해 마침내 해결되었으며, 그는 두 개의 무리수 비율의 비교를 관련된 크기의 배수 비교로 축소했습니다. 그의 방법은 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind) (1831–1916)에 의해 실수의 현대적 정의에서 데데킨트 자름(Dedekind cut)의 정의를 예견했습니다.

분석론 후서(Posterior Analytics)에서, 아리스토텔레스(Aristotle) (기원전 384–322)는 원시 개념, 공리, 공준, 정의, 및 정리를 수단으로 지식 분야를 논리적으로 구성하는 데 공리적 방법(axiomatic method)을 제시했습니다. 아리스토텔레스는 이에 대해 대부분의 그의 예제를 산술과 기하학에서 가져왔습니다. 이 방법은 매우 높은 수준의 엄격함으로 구성된 수학 논문, 유클리드(Euclid)의 원론(Elements) (기원전 300)에서 정점에 이르렀습니다: 유클리드는 삼단논법(syllogisms)의 체인의 형식에서 시연함으로써 각 제안을 정당화합니다 (그러나 그것들이 아리스토텔레스 양식을 항상 엄격하게 따르지는 않았습니다). 아리스토텔레스의 삼단논법은, 유클리드의 원론에 의해 대표되는 공리적 방법과 함께, 고대 그리스의 과학적 업적으로 인식되고 있습니다.

Platonism as a philosophy of mathematics

Further information: Platonism (mathematics)

19세기 말부터 시작하는, 수학의 플라톤주의 견해는 실제 수학자들 사이에서 보편화되었습니다.

개념(concepts), 또는 플라톤주의자들이 그것을 가지는 것처럼, 수학의 대상(objects)은 추상적이고 일상적인 지각 경험과 거리가 멀었습니다: 기하학적 도형은 대상의 효과적인 그림과 모양과 구별되는 이상성으로 파악되고, 숫자는 구체적 대상의 세는 것과 혼동되어서는 않습니다. 그것들의 존재와 본성은 특별한 철학적 도전을 제시합니다: 수학적 대상은 그것들의 구체적인 표현과 어떻게 다릅니까? 그것들은 그것들의 표현 속에 위치됩니까, 우리 마음 속에 있습니까, 아니면 다른 곳에 있습니까? 우리가 그것들을 어떻게 알 수 있습니까?

고대 그리스 철학자들은 그러한 질문을 매우 진지하게 받아들였습니다. 실제로, 그들의 일반적인 철학적 토론의 대부분은 기하학과 산술에 대한 광범위한 참조와 함께 계속되었습니다. 플라톤(Plato) (기원전 424/423 – 기원전 348/347)은 다른 플라톤 이데아(Ideas, 형식 또는 본질)와 마찬가지로 수학적 대상도 완벽하게 추상적이어야 하고 인간과 독립적인 수학적 대상의 세계에서 별도의, 비물질적 종류의 존재를 가져야 한다고 주장했습니다. 그는 이들 대상에 대한 진실도 인간의 마음과 독립적으로 존재하지만, 인간에 의해 발견된다고 믿었습니다. 메노(Meno)에서 플라톤의 스승 소크라테스는 기억 검색과 유사한 과정을 통해 이 진리를 알게 되는 것이 가능하다고 주장합니다.

플라톤의 아카데미로 통하는 문 위에는 "기하학을 모르는 사람은 이곳에 들어오지 마십시오"라는 유명한 비문이 새겨져 있습니다. 이런 식으로 플라톤은 기하학의 그의 높은 견해를 나타냈습니다. 그는 기하학을 그것의 추상적 특성 때문에 "철학자의 훈련에서 가장 중요한 것"으로 여겼습니다.

플라톤주의 수학적 실재론(Platonist mathematical realism)의 이러한 철학은 많은 수학자들에 의해 공유되고 있습니다. 일부 저자들은 플라톤주의가 임의의 수학적 연구의 놓여있는 필수 가정으로 어떻게든 등장한다고 주장합니다.

이러한 관점에서, 자연의 법칙과 수학의 법칙은 유사한 상태를 가지고, 그 유효성(effectiveness)은 더 이상 불합리하지 않게 됩니다. 우리의 공리가 아니라, 수학적 대상의 실제 세계가 토대를 형성합니다.

아리스토텔레스는 그의 형이상학(Metaphysics)에서 이러한 견해를 상세히 비평하고 거부했습니다. 이들 질문은 철학적 분석과 토론에 많은 연료를 제공합니다.

Aristotelian realism

Further information: Aristotelian realist philosophy of mathematics

Middle Ages and Renaissance

2,000년이 넘는 기간 동안, 유클리드의 원론은 그것의 합리적인 탐구 방법론이 수학자, 철학자, 및 과학자를 19세기까지 인도했기 때문에 수학에 대해 완벽하게 견고한 토대로 자리 잡았습니다.

중세 시대는 보편자 (플라토닉 이데아)의 존재론적 상태에 걸쳐 논쟁을 보였습니다: 실재론(Realism)은 지각과 무관하게 그것들의 존재를 주장했습니다; 개념주의(conceptualism)는 마음 속에만 존재한다고 주장했습니다; 명목주의(nominalism)는 둘 다 거부했으며, 보편자를 개별 대상의 모음들의 이름으로만 보았습니다 (그것들이 단어, "logoi"라는 이전의 추측에 따릅니다).

르네 데카르트(René Descartes)는 La Géométrie (1637)를 출판했으며, 좌표 시스템을 수단으로 기하학을 대수학으로 줄이며, 대수학에 보다 토대적인 역할을 제공하는 것을 목표로 했습니다 (그리스인들은 현재 실수(real number)라고 불리는 숫자를 정의하기 위해 길이를 사용했습니다). 데카르트의 책은 1649년 이후 유명하게 되었고 무한소 미적분학의 길을 열었습니다.

영국에서 아이작 뉴턴(Isaac Newton) (1642–1727)과 독일에서 라이프니츠(Leibniz) (1646–1716)는 새로운 토대를 요구하는 기초 위에서 독립적으로 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)을 개발했습니다. 특히, 라이프니츠는 무한소를 영에 무한하게 가까운 숫자로 설명했으며, 이는 수학의 기존 토대적인 틀에 맞지 않았고, 20세기 이전에는 공식화되지 않은 개념입니다. 수학의 토대에 대한 무한소 미적분의 강력한 의미는 개신교 철학자 조지 버클리(George Berkeley) (1685–1753)의 소책자에 의해 묘사되었으며, 그는 "[무한소]는 유한 양도 아니고, 무한하게 작은 양도 아니고, 게다가 아무것도 아닌 것도 아닙니다. 우리는 그것들을 죽은 양의 유령이라고 불러도 될까요?"라고 썼습니다. 라이프니츠는 역시 논리학에 대해 연구했지만 논리학에 관한 그의 저작 대부분은 1903년까지 출판되지 않은 채 남아 있었습니다.

그런 다음 수학은 물리적 응용 분야에서 매우 빠르고 성공적으로 발전했습니다.

19th century

19세기에서, 수학은 점점 추상적이 되었습니다. 서로 다른 분야에서 논리적 틈과 불일치에 대한 우려는 공리 시스템의 개발로 이어졌습니다.

Real analysis

See also: Mathematical analysis § History

코시(Cauchy) (1789–1857)는 이전 저자들에 의해 이용되었던 대수학의 일반성(generality of algebra)의 휴리스틱 원리를 거부하는 엄격한 방식에서 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)의 정리를 공식화하고 입증하는 프로젝트를 시작했습니다. 그의 1821년 연구 Cours d'Analyse에서, 그는 당시에 연속성을 정의하기 위해 사용했었던 0으로 수렴하는 감소하는 수열의 관점에서 무한하게 작은 양을 정의합니다. 그러나 그는 자신의 수렴의 개념을 공식화하지는 않았습니다.

현대적인 극한의 (ε, δ)-정의((ε, δ)-definition of limit)와 연속 함수(continuous functions)는 1817년 볼차노(Bolzano)에 의해 처음 개발되었지만, 상대적으로 알려지지 않은 채 남아 있었습니다. 그것은 틀림없이 제논 역설과 버클리의 주장을 해결하는 실수의 집합을 기반으로 하는 무한소 미적분학의 엄격한 기초를 제공합니다.

카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass) (1815–1897)와 같은 수학자들은 연속, 아무 데도-미분가능이-아닌 함수와 같은 병리학적 함수를 발견했습니다. 계산에 대해 규칙으로서의 함수, 또는 매끄러운 그래프의 이전 개념은 더 이상 적합하지 않았습니다. 바이어슈트라스는 자연수의 속성을 사용하여 해석학을 공리화하기 위해 해석학의 산술화(arithmetization of analysis)를 옹호하기 시작했습니다.

1858년에서, 데데킨트(Dedekind)는 유리수의 자름(cuts)으로 실수의 정의를 제안했습니다. 유리수, 따라서 자연수의 관점에서 실수와 연속 함수의 이러한 축소는 나중에 칸토어(Cantor)에 의해 그의 집합 이론에서 통합되었고, 힐베르트와 베르나이스에 의해 이차 산술(second order arithmetic)의 관점에서 공리화되었습니다.

Group theory

See also: History of group theory

처음으로, 수학의 극한이 탐구되었습니다. 노르웨이인, 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel) (1802–1829)과 프랑스인인, 에바리스트 갈루아(Évariste Galois) (1811–1832)는 다양한 다항 방정식의 해를 조사하였고, 사차보다 큰 방정식에 대한 일반 대수 해가 없음 (아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem))을 입증했습니다. 이들 개념과 함께, 피에르 완젤(Pierre Wantzel) (1837)은 직선자와 나침반만으로 임의의 각도를 삼등분(trisect an arbitrary angle)할 수 없고 정육면체를 두 배(double a cube)할 수 없음을 입증했습니다. 1882년에, 에르미트(Hermite)의 연구를 기반으로 한 린데만(Lindemann)은 π가 초월적 숫자(transcendental number)임을 입증함으로써 직선자와 나침반 원의 구적법(quadrature of the circle) (주어진 원과 넓이가 같은 정사각형의 구성)도 불가능함을 보여주었습니다. 고대 그리스 시대부터 수학자들은 이 모든 문제를 해결하려고 시도했지만 헛수고였습니다.

아벨과 갈루아의 연구는 그룹 이론(group theory) (나중에 물리학과 기타 분야에서 대칭(symmetry)을 연구하기 위해 사용됨)과 추상 대수학(abstract algebra)의 발전을 위한 길을 열었습니다. 벡터 공간(vector spaces)의 개념은 1827년 뫼비우스(Möbius)에 의한 질량중심 좌표(barycentric coordinates)의 개념에서 1888년 페아노(Peano)에 의한 벡터 공간과 선형 맵의 현대적인 정의에 이르기까지 나타났습니다. 기하학은 더 이상 삼-차원에 국한되지 않았습니다. 이들 개념은 숫자를 일반화한 것이 아니라 친숙한 수학적 대상에서 벗어나 아직 공식화되지 않은 함수와 집합의 결합된 개념입니다.

Non-Euclidean geometries

See also: Non-Euclidean geometry § History

다른 공리로부터 평행 공준(parallel postulate)을 유도하려는 많은 시도가 실패한 후, 요한 하인리히 램버트(Johann Heinrich Lambert) 1728-1777)에 의한 여전히 가상의 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)에 대한 연구는 쌍곡선 함수(hyperbolic functions)를 도입하고 쌍곡형 삼각형(hyperbolic triangle)의 넓이 (여기서 각도의 합은 180° 미만)를 계산하는 것으로 그를 이끌었습니다. 그런-다음 러시아 수학자 니콜라이 로바쳅스키(Nikolai Lobachevsky) (1792–1856)는 1832년 헝가리 수학자 보여이 야노시(János Bolyai) (1802–1860), 및 가우스(Gauss)와 병행하여 이 기하학의 일관성 (따라서 평행 공준의 독립)을 1826년에 확립했습니다 (그리고 1829년에 출판했습니다). 나중에 19세기에서, 독일 수학자 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)은 평행이 찾아질 수 없고 삼각형에서 각의 합이 180°보다 많은 또 다른 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometry), 타원 기하학(Elliptic geometry)을 개발했습니다. 그것은 점을 고정된 구 위의 한 쌍의 대척 점을 의미하고 선을 구 위의 큰 원(great circle)을 의미하는 것으로 정의함으로써 일관성을 입증되었습니다. 당시에, 공리의 집합의 일관성을 증명하는 데 주요한 방법은 그것에 대해 모델(model)을 제공하는 것이었습니다.

Projective geometry

연역 시스템(deductive system)에서 함정 중 하나는 순환 추론(circular reasoning)이며, 이 문제는 칼 폰 슈타우트(Karl von Staudt)에 의해 해결될 때까지 투영 기하학(projective geometry)에 발생하는 것처럼 보였습니다. 러시아 역사가들에 의해 설명된 것처럼:

19세기 중반에, 투영 기하학에서 종합과 해석 방법의 지지자들 사이에 격렬한 논쟁이 있었고, 양측은 투영 개념과 메트릭 개념을 혼합한 것으로 서로를 비난했습니다. 실제로 투영 기하학의 종합적 표현에 적용되는 기본 개념, 직선의 네 점의 교차-비율(cross-ratio)은 구간의 길이의 고려를 통해 도입되었습니다.

폰 슈타우트의 순수하게 기하학적 접근은 투영 조화 켤레(projective harmonic conjugates)의 관계를 표현하기 위해 완전 사변형(complete quadrilateral)을 기반으로 했습니다. 그런-다음 그는 던지기의 대수학(Algebra of Throws)으로 친숙한 수치적 속성을 표현하는 수단을 만들었습니다. 필드(field)의 속성을 추론하는 이 과정의 영어 버전은 오스왈드 베블렌(Oswald Veblen)과 존 영(John Young)의 Projective Geometry (1938) 책이나 최근에는 존 스틸웰(John Stillwell)의 Four Pillars of Geometry (2005)에서 찾을 수 있습니다. 스틸웰은 120페이지에 다음과 같이 씁니다:

... 투영 기하학은 9개의 필드 공리를 유도하기 위해 5개의 기하학적 공리만 사용하기 때문에 어떤 의미에서는 대수학보다 간단합니다.

던지기의 대수학은 공통적으로 학생들이 그들의 기초에 대해 걱정하지 않고 숫자(numbers)에 의존하기 때문에 교차-비율의 기능으로 보입니다. 어쨌든, 교차-비율 계산은 기하학의 메트릭(metric) 특성을 사용하며, 순수주의자는 인정하지 않습니다. 예를 들어, 1961년에 콕서터(Coxeter)는 교차-비율에 대한 언급 없이 Introduction to Geometry를 썼습니다.

Boolean algebra and logic

수학을 공식적으로 다루려는 시도는 라이프니츠와 램버트(Lambert) (1728~1777)와 함께 시작해 왔고, 조지 피콕(George Peacock) (1791–1858)과 같은 대수학자들에 의한 연구로 계속되었습니다. 논리의 시스템적인 수학적 처리는 영국 수학자 조지 부울(George Boole) (1847)과 함께 대수학을 고안하여 곧 현재 부울 대수(Boolean algebra)라고 불리는 것으로 발전했으며, 그것에서 유일한 숫자는 0과 1이었고 논리적 조합 (논리곱, 논리합, 함축, 및 부정)은 정수의 덧셈과 곱셈과 유사한 연산입니다. 추가적으로, 드 모르간(De Morgan)은 1847년에 자신의 법칙(laws)을 발표했습니다. 논리는 따라서 수학의 한 가지가 되었습니다. 부울 대수는 수학적 논리의 시작 점이고 컴퓨터 과학(computer science)에서 중요한 응용을 가집니다.

찰스 샌더스 퍼스(Charles Sanders Peirce)는 부울의 연구를 기반으로 관계(relations)와 한정어(quantifiers)에 대해 논리적 시스템을 개발했으며, 이를 그는 1870년부터 1885년까지 여러 논문에서 발표했습니다.

독일 수학자 고틀롭 프레게(Gottlob Frege) (1848–1925)는 1879년에 출판된 그의 Begriffsschrift (공식 언어)에서 한정어와 함께 논리의 독립적인 발전을 제시했으며, 일반적으로 논리의 역사에서 전환 점을 표시한 것으로 여겨지는 연구입니다. 그는 아리스토텔레스 Logic의 결함을 밝혀내고, 수학적 이론의 세 가지 예상 속성을 지적했습니다:

1. 일관성(Consistency): 모순된 명제의 증명 불가능성.
2. 완비성(Completeness): 임의의 명제는 입증 가능하거나 반반 가능합니다 (즉, 그것의 부정은 입증 가능입니다).
3. 결정가능성(Decidability): 이론에서 임의의 명제를 테스트하기 위한 결정 절차가 있습니다.

그는 그런-다음 Grundgesetze der Arithmetik (산술의 기본 법칙)에서 산술이 그의 새로운 논리에서 어떻게 공식화될 수 있는지 보여주었습니다.

프레게의 연구는 세기의 전환기에 버트런드 러셀(Bertrand Russell)에 의해 대중화되었습니다. 그러나 프레게의 이-차원 표기법은 성공하지 못했습니다. 대중적인 표기법은 1935년 게르하르트 겐첸(Gerhard Gentzen)에 의해 ∀ 기호가 도입되고 1960년대에 정식이 될 때까지 주세페 페아노(Giuseppe Peano)와 윌리엄 어니스트 존슨(William Ernest Johnson)에서 온 보편적 한정어에 대해 (x)와 존재적 한정어에 대해 (∃x)였습니다.

1890년부터 1905년까지, 에른스트 슈뢰더(Ernst Schröder)는 Vorlesungen über die Algebra der Logik을 세 권으로 출판했습니다. 이 연구는 부울, 드 모르란, 및 퍼스의 연구를 요약하고 확장한 것이고, 19세기 말에 이해되었던 기호 논리학(symbolic logic)에 대한 포괄적인 참조였습니다.

Peano arithmetic

Main article: Peano axioms

공리 이론으로서 산술(arithmetic) (자연수의 이론)의 형식화는 1881년 퍼스에 의해 시작되고 1888년 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)와 주세페 페아노(Giuseppe Peano)에 의해 계속되었습니다. 이것은 일-차 논리(first-order logic)로 이론을 표현하는 것에 대한 우려가 아직 이해되지 않았기 때문에 여전히 이-차(second-order) 공리화였습니다 (임의적인 부분집합의 관점에서 귀납법을 표현하고, 따라서 집합 이론의 암시적 사용을 가집니다). 데데킨트의 연구에서, 이 접근 방식은 자연수를 완전하게 특성화하고 다음수 함수(successor function)와 수학적 귀납법(mathematical induction)에서 덧셈과 곱셈의 재귀적 정의를 제공하는 것으로 나타납니다.

Foundational crisis

수학의 토대적 위기(foundational crisis of mathematics) (독일어 Grundlagenkrise der Mathematik)는 수학에 대해 적절한 토대를 찾는 20세기 초의 용어였습니다.

20세기에 수학의 철학(philosophy of mathematics)의 여러 학파는 여러 가지 역설(paradoxes) (예를 들어, 러셀의 역설(Russell's paradox))의 발견에 의해 수학 자체 내에서 일관되게(consistently) 진술될 수 있는 어떤 토대가 수학에 있다는 가정이 크게 도전을 받았기 때문에 차례로 어려움을 겪었습니다.

이름 "역설"은 모순(contradiction)과 혼동되어서는 안됩니다. 형식 이론의 모순(contradiction)은 이론 내부의 부조리에 대한 형식적 증명 (예를 들어, 2 + 2 = 5)으로, 이 이론이 불일치(inconsistent)되고 거부되어야 함을 보여줍니다. 그러나 역설은 주어진 형식 이론에서 놀랍지만 참된 결과이거나, 만약 형식화될 수 있으면 후보 이론이 그것의 단계 중 적어도 하나를 허용하지 않도록 모순을 초래하는 비공식 논증일 수 있습니다; 이 경우에서 문제는 모순 없이 만족스러운 이론을 찾는 것입니다. 두 가지 의미 모두는 형식화된 버전의 논증이 놀라운 진리의 증명을 형성하면 적용될 수 있습니다. 예를 들어, 러셀의 역설은 "모든 집합의 집합은 없습니다" (일부 주변 공리적 집합 이론 제외)로 표현될 수 있습니다.

사고의 다양한 학파가 서로 반대했습니다. 선도적인 학파는 형식주의자들(formalists)의 학파였으며, 다비트 힐베르트(David Hilbert)는 그것의 최고의 지지자였으며, 메타수학적(metamathematical) 유한론적(finitistic) 수단에 의해 건전한 것으로 판명된 논리 시스템의 작은 기초에 수학을 기초로 하려는 힐베르트의 프로그램(Hilbert's program)으로 알려진 것으로 절정에 이르렀습니다. 형식주의 학파의 주요 반대자는 브라우어르(L. E. J. Brouwer)에 의해 주도되는 직관주의(intuitionist) 학파로, 형식주의를 기호를 가진 무의미한 게임으로 과감히 버렸습니다. 그 싸움은 가혹했습니다. 1920년에 힐베르트는 수학에 위협이 된다고 생각했던 브라우어르를 당대 최고의 수학 저널, Mathematische Annalen의 편집 위원회에서 제거하는 데 성공했습니다.

Philosophical views

Main article: Philosophy of mathematics

20세기 초에, 형식주의, 직관주의 및 논리주의의 세 가지 수학의 철학 학파가 서로 대립했습니다. 1930년 쾨니히스베르크(Königsberg)에서 열린 제2차 정밀과학 인식론 학회(Second Conference on the Epistemology of the Exact Sciences)에서 이들 세 학파에 자리를 내어주었습니다.

Formalism

Main article: Formalism (mathematics)

다비트 힐베르트(David Hilbert) (1862-1943)와 같은 형식주의자들은 수학은 단지 언어이자 일련의 게임이라고 주장해 왔습니다. 실제로 그는 브라우어르(L. E. J. Brouwer)의 비판에 대한 1927년 회신에서 "형식 게임"이라는 단어를 사용했습니다:

그리고 이렇게 해서 공식 게임이 어느 정도 성공을 거둘 수 있었습니까? 이 형식 게임은 수학의 과학의 전체 사고-내용을 균등한 방식으로 표현하고 동시에 개별 전제와 사실 사이의 상호 연결이 명확해지는 방식으로 발전시키는 것을 활성화합니다 ... 브라우어가 그렇게 비추천하는 형식 게임은 수학적 가치 외에도 중요한 일반 철학적 의미를 가지고 있습니다. 이것에 대해 형식 게임은 특정 규칙에 따라 수행되며, 우리의 생각의 기술이 표현됩니다. 이들 규칙은 발견되고 명확하게 기술될 수 있는 닫힌 시스템을 형성합니다.

따라서 힐베르트는 수학이 임의적인 규칙을 갖는 임의적인 게임이 아니라고 주장하고 있습니다; 오히려 그것은 우리의 생각, 및 그런-다음 우리의 말하기와 쓰기가 어떻게 진행되는지와 일치해야 합니다.

우리는 여기서 어떤 의미에서도 임의성을 말하는 것이 아닙니다. 수학은 임의적인 규정된 규칙에 따라 그것의 임무를 결정되는 게임이 아닙니다. 오히려, 그것은 그럴 수 밖에 없고 결코 그렇지 않은 내적 필연성을 지닌 개념적 시스템입니다.

다비트 힐베르트(David Hilbert)에 의해 예시된 형식주의의 토대적 철학은 집합 이론(set theory)의 역설에 대한 응답이고, 형식 논리(formal logic)에 기반을 두고 있습니다. 오늘날 거의 모든 수학적 정리(theorems)는 집합 이론의 정리로 공식화될 수 있습니다. 이 관점에서, 수학적 명제의 진리는 그 명제가 형식 논리의 규칙을 사용하는 집합 이론의 공리(axioms of set theory)로부터 유도될 수 있다는 사실로 표현됩니다.

단순히 형식주의의 사용만으로는 여러 문제를 설명할 수 없습니다: 왜 우리는 다른 공리를 사용하지 않고 우리가 사용하는 공리를 사용해야 하는지, 왜 다른 공리를 사용하지 않고 논리적 규칙을 사용해야 하는지, 왜 "참" 수학적 명제를 사용해야 하는지 (예를 들어, 산술의 법칙(laws of arithmetic))이 참인 것처럼 보이고, 이런 식으로 계속됩니다. 허르만 바일(Hermann Weyl)은 힐베르트에게 다음과 같은 질문을 던질 것입니다:

주어진 것을 훨씬 뛰어넘는 이 이론적인 세계의 구성에 어떤 "진리" 또는 객관성을 부여할 수 있는 것은 심오한 철학적 문제입니다. 그것은 추가 질문과 밀접하게 연결되어 있습니다: 정확히 무엇이 우리로 하여금 힐베르트가 개발한 특정한 공리 시스템을 기초로 삼게 만드는가? 일관성은 실제로 필요조건이지 충분조건은 아닙니다. 당분간은 이 질문에 답할 수 없을 것입니다...

일부 경우에서 이들 질문은 역 수학(reverse mathematics)과 계산 복잡성 이론(computational complexity theory)과 같은 분야에서 형식 이론의 연구를 통해 충분하게 답변될 수 있습니다. 바일이 언급했듯이, 형식적 논리 시스템(formal logical systems)도 불일치(inconsistency)의 위험이 있습니다; 페아노 산술(Peano arithmetic)에서, 이것은 틀림없이 이미 여러 일관성(consistency) 증명으로 해결되어 왔지만, 의미가 있을 만큼 충분히 유한(finitary)한지 여부에 대한 논쟁이 있습니다. 괴델의 두 번째 불완전성 정리(Gödel's second incompleteness theorem)는 산술의 논리적 시스템이 그것들 자체 일관성(consistency)의 유효한 증명을 결코 포함할 수 없다는 것을 확립합니다. 힐베르트가 하려고 원했던 것은 논리적 시스템 S가 단지 S의 작은 부분으로 구성하는 원칙 P에 기초하여 일관적이었음을 증명하는 것이었습니다. 그러나 괴델은 원칙 P가 S는 고사하고 P도 일관성이 있음을 증명할 수 없다는 것을 입증했습니다.

Intuitionism

Main articles: Intuitionism and Constructivism (mathematics)

브라우어르(L. E. J. Brouwer) (1882-1966)와 같은 직관주의자들은 수학이 인간 마음의 창조물이라고 주장합니다. 동화 속 인물들처럼 숫자는 단지 정신적인 실재일 뿐이며, 그것에 대해 생각할 어떤 인간의 마음이 없었다면 존재하지 않았을 것입니다.

브라우어르(Brouwer)와 스티븐 클레이니(Stephen Kleene)에 의한 극단에서 예시한 바와 같은 직관주의(intuitionism) 또는 구성중의(constructivism)의 기본 철학은 증명을 본질적으로 "구성적"이어야 한다고 요구합니다  – 대상의 존재는 그것의 비-존재의 불가능성의 시연으로부터 추론되기보다는 시연되어야만 합니다. 예를 들어, 이것의 결과로 귀류법(reductio ad absurdum)으로 알려진 증명의 형식이 의심됩니다.

수학 철학에서 일부 현대 이론(theories)은 원래 의미에서 토대의 존재를 부정합니다. 일부 이론은 수학적 실습(mathematical practice)에 초점을 맞추는 경향이 있고, 수학자의 실제 작업을 사회 그룹(social group)으로 설명하고 분석하는 것을 목표로 합니다. 다른 사람들은 실제 세계에 적용되었을 때 수학의 신뢰성의 근원으로 인간의 인지에 초점을 맞춘 수학의 인지 과학(cognitive science of mathematics)을 만들려고 시도합니다. 이들 이론은 임의의 객관적인 외부 구성이 아닌 인간의 사고에서만 토대를 찾을 것을 제안합니다. 이 문제는 여전히 논란의 여지가 있습니다.

Logicism

Main article: Logicism

논리주의(Logicism)는 사고의 학파이고, 수학의 철학에서, 연구 프로그램은 수학이 논리의 확장이거나 일부 또는 모든 수학이 그들 공리와 추론 규칙이 본질적으로 '논리적'인 적절한 형식 시스템에서 유도될 수 있다는 테제를 기반으로 합니다. 버트런드 러셀(Bertrand Russell)과 알프레드 노스 화이트헤드(Alfred North Whitehead)는 고틀롭 프레게(Gottlob Frege)에 의해 시작되고 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)에 의해 영향을 받은 이 이론을 옹호했습니다.

Set-theoretic Platonism

Main article: Set-theoretic Platonism

공리적 집합 이론(axiomatic set theory)의 많은 연구자들은 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)에 의해 예시된 집합-이론적 플라톤주의(Platonism)로 알려진 것에 동의했습니다.

여러 집합 이론가들은 이 접근 방식을 따르고 발견적 이유 때문에 참으로 여길 수 있고 연속체 가설(continuum hypothesis)을 결정할 수 있는 공리를 적극적으로 검색했습니다. 많은 큰 세는-숫자(large cardinal) 공리가 연구되었지만, 가설은 항상 그것들과 독립적(independent)으로 남아 있었고 이제 CH가 새로운 큰 세는-숫자 공리에 의해 해결될 가능성은 없는 것으로 고려됩니다. 다른 유형의 공리가 고려되었지만, 아직까지 연속체 가설에 대한 합의에 도달하는 것은 없습니다. 험킨스(Hamkins)에 의한 최근 연구는 보다 유연한 대안을 제안합니다: 연속체 가설을 만족하는 집합-이론적 우주와 그렇지 않은 다른 우주 사이를 자유롭게 통과할 수 있는 집합-이론적 다중우주(multiverse)입니다.

Indispensability argument for realism

Main article: Quine–Putnam indispensability argument

윌러드 콰인(Willard Quine)과 힐러리 퍼트넘(Hilary Putnam)에 의한 이 논증(argument)은 다음과 같이 말합니다 (퍼트넘의 짧은 말로):

... 수학적 실체에 걸쳐 정량화는 과학에 필수 불가결합니다 ... 따라서 우리는 그러한 정량화를 받아들여야 합니다; 그러나 이것은 우리에게 문제에서 수학적 실체의 존재를 받아들일 것을 구속합니다.

어쨌든, 퍼트넘은 플라톤주의자가 아니었습니다.

Rough-and-ready realism

논리주의, 형식주의, 또는 임의의 다른 철학적 입장에 걸쳐 기초를 연구하는 전형적으로 관련되는 수학자는 거의 없습니다. 대신, 그들의 주요 관심사는 전체로 수학적 엔터프라이스가 항상 생산적으로 남아야 한다는 것입니다. 전형적으로, 그들은 열린 마음, 실용적이고 바쁜 상태를 유지함으로써 이것이 보장되는 것으로 봅니다; 왜냐하면 지나치게 이데올로기적이거나, 광적으로 환원주의적이거나, 게으름으로써 잠재적으로 위협을 받게 되기 때문입니다.

그러한 하나의 견해는 몇몇 잘 알려진 물리학자들에 의해서도 표현되어 왔습니다.

예를 들어, 노벨 물리학상 수상자인 리처드 파인만(Richard Feynman)은 다음과 같이 말했습니다:

사람들은 나에게 말합니다, "궁극의 물리학 법칙을 찾고 있습니까?" 아니오, 그렇지 않습니다 ... 모든 것을 설명하는 단순한 궁극적인 법칙이 있는 것으로 판명되면, 그러면 그렇게 하십시오 – 그것은 발견하는 것이 매우 좋을 것입니다. 그것이 수백만 겹의 양파와 같다는 것이 밝혀지면 ... 그것이 있으면 그렇게 해야지요. 그러나 어느 쪽이든 자연이 있고 그녀는 있는 그대로 나올 것입니다. 따라서 우리가 조사하기 위해 갈 때 우리는 그것에 대해 더 알아보기 위해 찾고 있는 것이 무엇인지 미리 결정해서는 안 됩니다.

그리고 스티븐 와인버그(Steven Weinberg)는 다음과 같이 말했습니다:

철학자의 통찰력은 때때로 물리학자에게 도움이 되었지만, 일반적으로 다른 철학자의 선입견으로부터 보호함으로써 부정적인 방식으로 나타났습니다. ... 우리의 선입견에서 나온 어떤 지침 없이는 아무것도 할 수 없습니다. 철학적 원칙이 일반적으로 우리에게 올바른 선입견을 제공하지 않았을 뿐입니다.

와인버그는 연속체 가설과 같은 수학에서 임의의 비-결정가능성은 불완전성 정리에도 불구하고 집합 이론에 추가할 적절한 추가 공리를 찾음으로써 잠재적으로 해결될 수 있다고 믿었습니다.

Philosophical consequences of Gödel's completeness theorem

Main article: Gödel's completeness theorem

괴델의 완전성 정리는 공식의 형식적 증명 가능성과 모든 가능한 모델에서의 그것의 진리 사이의 일-차 논리에서 동등성을 확립합니다. 정확하게는, 임의의 일관된 일-차 이론에 대해, 그것이 이론에 의해 설명된 모델의 "명시적 구성"을 제공합니다; 이론의 언어가 셀 수 있으면, 이 모델은 셀 수 있을 것입니다. 어쨌든 이 "명시적 구성"은 알고리듬이 아닙니다. 그것은 이론의 반복적인 완성의 과정을 기반으로 하며, 여기서 반복의 각 단계는 그것이 이론을 일관성 있게 유지하면 공리에 공식을 추가하는 것으로 구성됩니다; 그러나 이 일관성 질문은 오직 반-결정가능입니다 (알고리듬이 임의의 모순을 찾기 위해 사용될 수 있지만 아무것도 없으면 이 일관성 사실은 증명할 수 없는 상태로 남을 수 있습니다).

이것은 우리의 수학 이론의 대상이 실재한다는 플라톤주의자의 견해에 일종의 정당성을 부여하는 것으로 보일 수 있습니다. 보다 정확하게는, 그것은 전체 (실제 무한대)로서의 자연수 집합의 존재에 대한 단순한 가정이 어떤 일관된 이론의 모델 (대상의 세계)의 존재를 암시하기에 충분하다는 것을 보여줍니다. 어쨌든 몇 가지 어려움이 남아 있습니다:

• 임의의 일관된 이론에 대해, 이것은 보통 하나의 대상의 세계를 제공하는 것이 아니라, 그 이론이 동등하게 설명할 수 있는 무한한 가능한 세계와 그들 사이에 진리의 가능한 다양성을 가집니다.
• 집합 이론의 경우에서, 이 구성으로 얻어진 모델 중 어떤 것도 의도된 모델과 닮지 않는데, 왜냐하면 집합 이론은 셀 수 없는 무한대를 설명하려고 의도하는 반면 그것들은 셀 수 있기 때문입니다. 많은 다른 경우에도 비슷한 언급을 할 수 있습니다. 예를 들어, 산술을 포함하는 이론과 함께, 그러한 구성은 일반적으로 구성 방법이 그것을 피하기 위해 특별히 설계되지 않으면 비-표준 숫자를 포함하는 모델을 제공합니다.
• 그것은 모든 일관된 이론에 구별 없이 모델을 제공하기 때문에, 그것은 그 이론이 일관성을 유지하는 한 어떤 공리도 수용하거나 거부할 이유가 없지만, 모든 일관된 공리 이론을 동일하게 존재하는 세계를 참조하는 것으로 여깁니다. 그것은 어떤 공리적 시스템이 수학의 토대로 선호되어야 하는지에 대한 표시를 제공하지 않습니다.
• 일관성의 주장은 보통 입증될 수 없기 때문에, 그것들은 신념이나 비-엄격한 종류의 정당화 문제로 남아 있습니다. 그러므로 완전성 정리에 의해 주어진 모델의 존재는 실제로 두 가지 철학적 가정: 자연수의 실제 무한대와 그 이론의 일관성을 필요로 합니다.

완전성 정리의 또 다른 결과는 그것은 표준 모델과 동등하게 합법적인 비-표준 모델의 존재를 기반으로 한 실제 무한하게 작은 비-영 양으로 무한소의 개념을 정당화한다는 것입니다. 이 아이디어는 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)에 의해 비-표준 해석학(nonstandard analysis)의 이론으로 공식화되었습니다.

More paradoxes

See also: List of statements independent of ZFC and List of paradoxes

다음은 메타-수학에서 몇 가지 주목할만한 결과를 나열합니다. 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)은 집합 이론의 가장 널리 연구된 공리화입니다. 그것은 선택 공리를 포함할 때 ZFC로, 선택의 공리가 제외될 때 ZF로 약칭합니다.

• 1920: 토랄프 스콜렘(Thoralf Skolem)은 현재 하향 뢰벤하임-스콜렘 정리(downward Löwenheim–Skolem theorem)라고 불리는 것의 레오폴드 뢰벤하임(Leopold Löwenheim)의 증명을 수정하여, 1922년에 논의된 스콜렘의 역설(Skolem's paradox), 즉 무한 카디널리티를 상대적 속성으로 만드는 ZF의 셀-수-있는 모델의 존재로 이어졌습니다.
• 1922: 선택 공리는 원시-원소(urelements)를 갖는 체르멜로 집합 이론(Zermelo set theory)의 공리로부터 입증될 수 없다는 아브라함 프렝켈(Abraham Fraenkel)에 의한 증명.
• 1931: 괴델의 불완전성 정리(Gödel's incompleteness theorems)의 출판, 힐베르트 프로그램의 본질적인 측면이 달성될 수 없음을 보여줍니다. 그것은 자연수의 (무한) 집합에 대한 산술(arithmetic)의 기본 이론을 공리화하는 데 필요한 것과 같이 임의의 충분하게 강력하고 일관된 재귀적으로 공리화-가능한 시스템에 대해 공식적으로 그것 자체의 증명-불가능성을 표현하는 명제를 구성하는 방법을 보여주었으며, 그런 다음 (일관성을 참으로 가정하여), 더 간단한 시스템이 작업을 수행할 수 있다는 것은 고사하고 시스템이 그것 자체 일관성을 입증하기에 충분히 강력하지 않도록 그 이론의 일관성 주장과 동등함을 그는 입증했습니다. 따라서 수학적 진리의 개념은 완전하게 결정될 수 없고 힐베르트의 프로그램에서 예상되는 순수하게 형식적 시스템(formal system)으로 축소될 수 없다는 것이 분명해졌습니다. 이것은 힐베르트의 프로그램의 핵심, 즉 유한한 수단에 의해 일관성이 확립될 수 있다는 희망에 결정적인 타격을 입혔습니다 (정확하게 어떤 공리가 "유한한" 공리인지는 분명히 밝혀지지 않았지만, 어떤 공리 시스템이 참조되던지, 그것의 일관성이 입증되어야 하는 시스템보다 '약한' 시스템이었습니다).
• 1936: 알프레트 타르스키(Alfred Tarski)는 비-정의가능성 정리가 참임을 입증했습니다.
• 1936: 앨런 튜링(Alan Turing)은 모든 가능한 프로그램 입력 쌍에 대해 정지 문제(halting problem)를 해결하기 위한 일반적인 알고리듬이 존재할 수 없음을 입증했습니다.
• 1938: 괴델은 선택 공리와 일반화된 연속체 가설의 일관성을 입증했습니다.
• 1936–1937: 알론조 처치(Alonzo Church)와 앨런 튜링(Alan Turing)은 각각 Entscheidungsproblem에 대한 일반적인 해결책이 불가능하다는 것을 보여주는 독립적인 논문을 발표했습니다: 일-차 논리에서 명제의 보편적 타당성은 결정-가능이 아닙니다 (그것은 완전성 정리(completeness theorem)에 의해 주어진 대로 오직 반-결정가능(semi-decidable)입니다).
• 1955: 표트르 노비코프(Pyotr Novikov)는 G에 대해 단어 문제가 비-결정가능하도록 유한하게 제시된 그룹 G가 존재함을 보였습니다.
• 1963: 폴 코언(Paul Cohen)은 연속체 가설이 ZFC에서 증명할 수 없음을 보여주었습니다. 코언의 증명은 강제력(forcing)의 방법을 개발했으며, 이는 이제 집합 이론에서 독립(independence) 결과를 확립하는 데 중요한 도구입니다.
• 1964: 물리학에서 근본적인 무작위성에 영감을 받은, 그레고리 카이틴(Gregory Chaitin)은 알고리듬 정보 이론(algorithmic information theory) (수학에서 불완전성과 무작위성 측정)에 대한 결과를 발표하기 시작했습니다.
• 1966: 폴 코언은 선택 공리가 ZF에서 심지어 원시-원소(urelements) 없이도 증명될 수 없음을 보여주었습니다.
• 1970: 힐베르트의 10번째 문제(Hilbert's tenth problem)는 풀 수 없음이 입증되었습니다: 디오판토스 방정식(Diophantine equation) (다변수 다항 방정식)이 정수로 된 해를 가지는지 여부를 결정하는 재귀적인 해는 없습니다.
• 1971: Suslin의 문제(Suslin's problem)가 ZFC와 무관한 것으로 입증되었습니다.

Toward resolution of the crisis

1935년에서 시작하는, 프랑스 수학자 부르바키(Bourbaki) 그룹은 집합 이론의 새로운 토대에 수학의 많은 영역을 공식화하기 위해 일련의 책을 출판하기 시작했습니다.

직관주의적 학파는 많은 지지자들을 끌어들이지 못했고, 1967년 비숍(Bishop)의 연구가 되어서야 구성 수학(constructive mathematics)이 더 건전한 기반을 갖추게 되었습니다.

우리는 위기가 본질적으로 해결되도록 힐베르트의 프로그램이 부분적으로 완료되어 왔으며, 힐베르트의 원래 뜻보다 낮은 요구 사항으로 우리 자신을 만족시킨다고 생각할 수 있습니다. 그의 뜻은 아무것도 명확하지 않은 시대에 표현되었습니다; 수학이 엄격한 토대를 가질 수 있는지 여부가 명확하지 않았습니다.

더 강한 버전 (더 높은 유형의 무한대를 가정)이 약한 버전의 일관성의 형식적 증명을 포함하지만, 어느 것도 그것 자체의 일관성의 형식적 증명을 포함하지 않는 일관성 강도가 다른 집합 이론의 가능한 변형이 많이 있습니다. 따라서 우리가 가지고 있지 않은 유일한 것은 ZF와 같이 우리가 선호할 수 있는 집합 이론 어떤 버전이든 일관성의 형식적 증명입니다.

실제로, 대부분의 수학자들은 공리적 시스템에서 연구하지 않거나, 만약 그들이 그렇다면, ZFC, 일반적으로 그들의 선호하는 공리적 시스템의 일관성을 의심하지 않습니다. 수행되는 대부분의 수학에서, 놓여있는 형식 이론의 불완전성과 역설은 어쨌든 결코 역할을 한 적이 없고, 그들 가지에서 그것에서 형식 이론이 수행되거나 그것의 형식화 시도가 일관성 없는 이론 (예를 들어 논리 및 카테고리 이론)을 실행하는지는, 그것들은 신중하게 취급될 수 있습니다.

20세기 중반에 카테고리 이론(category theory)의 발달은 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합 이론(Von Neumann–Bernays–Gödel set theory)이나 타르스키–그로텐디크 집합 이론(Tarski–Grothendieck set theory)과 같이 ZFC보다 더 큰 클래스의 존재를 보장하는 집합 이론의 유용성을 보여주었지만, 큰 세는-숫자 공리 또는 그로텐디크 우주의 사용은 공식적으로 제거할 수 있습니다.

역 수학(reverse mathematics) 프로그램의 한 가지 목표는 토대적인 문제가 다시 위기를 유발할 수 있는 "핵심 수학" 영역이 있는지 확인하는 것입니다.

See also

• Aristotelian realist philosophy of mathematics
• Mathematical logic
• Brouwer–Hilbert controversy
• Church–Turing thesis
• Controversy over Cantor's theory
• Epistemology
• Euclid's Elements
• Hilbert's problems
• Implementation of mathematics in set theory
• Liar paradox
• New Foundations
• Philosophy of mathematics
• Principia Mathematica
• Quasi-empiricism in mathematics
• Mathematical thought of Charles Peirce

References

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In Chapter III A Critique of Mathematic Reasoning, §11. The paradoxes, Kleene discusses Intuitionism and Formalism in depth. Throughout the rest of the book he treats, and compares, both Formalist (classical) and Intuitionist logics with an emphasis on the former. Extraordinary writing by an extraordinary mathematician.

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• Troelstra, A. S. (no date but later than 1990), "A History of Constructivism in the 20th Century", A detailed survey for specialists: §1 Introduction, §2 Finitism & §2.2 Actualism, §3 Predicativism and Semi-Intuitionism, §4 Brouwerian Intuitionism, §5 Intuitionistic Logic and Arithmetic, §6 Intuitionistic Analysis and Stronger Theories, §7 Constructive Recursive Mathematics, §8 Bishop's Constructivism, §9 Concluding Remarks. Approximately 80 references.
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• Wilder, Raymond L. (1952), Introduction to the Foundations of Mathematics, John Wiley and Sons, New York, NY.

External links

• Media related to Foundations of mathematics at Wikimedia Commons
• "Philosophy of mathematics". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• Logic and Mathematics
• Foundations of Mathematics: past, present, and future, May 31, 2000, 8 pages.
• A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics by Gregory Chaitin. arXiv:chao-dyn/9909001