Frustum
Set of pyramidal right n-gonal frustums | |
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![]() ![]() Examples: right pentagonal and square frustums (n = 5 and n = 4) | |
Faces | n isosceles trapezoids, 2 regular n-gons |
Edges | 3n |
Vertices | 2n |
Symmetry group | Cnv, [1,n], (*nn) |
Dual polyhedron | convex asymmetric right n-gonal bipyramid |
Properties | convex |
Net | |
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Example: net of right trigonal frustum (n = 3) |
기하학(geometry)에서, 절두체(frustum) ("morsel"에 대한 라틴어에서 유래, 복수형: frusta 또는 frustums)는 그것을 절단하는 하나 또는 두 개의 평행 평면 사이에 놓이는 고체(solid) (통상적으로 각뿔(pyramid) 또는 원뿔(cone))의 일부입니다. 그것의 밑면은 다각형(polygonal)이고 측면은 사다리꼴(trapezoidal)입니다. 오른쪽 절두체는 그것의 축에 수직으로 잘린(truncated) 직각 각뿔(right pyramid) 또는 직각 원뿔입니다.[1]
만약 절두체가 같은 길이의 모든 가장자리 (등변 그림) 가지면, 그것은 균등 각기둥(prism)입니다.
컴퓨터 그래픽(computer graphics)에서, 보는 절두체(viewing frustum)는 화면에서 볼 수 있는 삼-차원 영역입니다. 그것은 잘린(clipped) 각뿔에 의해 형성됩니다; 특히, 절두체 컬링(frustum culling)은 숨겨진 표면 결정(hidden surface determination)의 방법입니다.
항공 우주 산업(aerospace industry)에서, 절두체는 잘린(truncated) 원뿔과 같은 형성화된 다단 로켓(multistage rocket) (예를 들어 Saturn V)의 두 단계 사이의 쌍화(fairing)입니다.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Square_frustum.png/200px-Square_frustum.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Triangulated_monorectified_tetrahedron.png/200px-Triangulated_monorectified_tetrahedron.png)
절두체의 축은 원래 원뿔 또는 각뿔의 축입니다. 만약 그것이 원형 밑변이면 절두체는 원형입니다; 그 축이 두 밑면에 수직이면 그것은 직각이고, 그렇지 않으면 비스듬합니다.
절두체의 높이는 두 밑면 사이의 수직 거리입니다.
원뿔과 각뿔은 절단 평면 중 하나가 (해당하는 밑면이 한 점으로 줄어들도록) 꼭대기(apex)를 통과하는 절두체의 퇴화 경우로 보일 수 있습니다. 각뿔형 절두체는 각기둥형(prismatoids)의 부분클래스입니다.
이들 합동(congruent) 밑면에서 결합된 2개의 합동 밑면을 갖는 두 개의 절두체는 이중절두체(bifrustum)를 만듭니다.
Formulas
Volume
각뿔형 정사각 절두체의 부피에 대한 공식은 13왕조(13th dynasty) (기원전 1850년경)에 쓰인 모스크바 수학 파피루스(Moscow Mathematical Papyrus)에서 불렸던 것을 고대 이집트 수학(Egyptian mathematics)에 의해 도입되었습니다:
여기서 a와 b는 밑면과 윗면 길이이고, h는 높이입니다.
이집트인들은 잘린 정사각 각뿔의 부피에 대한 정확한 공식을 알고 있었지만, 모스크바 파피루스에는 이 방정식의 증명은 제공하지 않았습니다.
원뿔형 또는 각뿔형 절두체의 부피(volume)는 "꼭대기"를 자르기 전의 고체 부피에서 이 "꼭대기"의 부피를 뺀 것입니다:
여기서 B1와 B2는 밑면과 윗면의 넓이이고, h1과 h2는 꼭대기에서 밑 평면과 윗 평면에 이르는 수직 거리입니다.
다음을 생각해 보십시오:
부피에 대한 그 공식은 이 비례성, 와 오직 높이 h1과 h2의 세제곱의 차이(difference of the cubes)의 삼분의 1로 표현될 수 있습니다:
항등식 a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)을 사용함으로써, 다음을 얻습니다:
여기서 h1 − h2 = h는 절두체의 높이입니다.
를 분배하고 그것의 정의로부터 빼면, 넓이 B1과 B2의 헤론 평균(Heronian mean)은 다음과 같이 얻습니다:
대안적인 공식은 따라서 다음입니다:
알렉산드리아의 헤론(Heron of Alexandria)은 이 공식을 유도한 것으로 유명하고, 그것과 함께, 허수 단위(imaginary unit), 음의 일의 제곱근을 만나게 됩니다.[2]
특히:
- 원형 원뿔 절두체의 부피는 다음입니다:
- 여기서 r1과 r2는 밑면과 윗면 반지름(radii)입니다.
- 밑면이 정규 n-각형인 각뿔형 절두체의 부피는 다음입니다:
Surface area
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/CroppedCone.svg/220px-CroppedCone.svg.png)
그리고
여기서 과 는 각각 밑면과 윗면 반지름이고, 는 절두체의 경사 높이입니다.
그것의 밑면이 닮은 정규 -변 다각형(polygons)인 직각 절두체의 표면 넓이는 다음입니다:
여기서 과 는 두 밑면의 변입니다.
Examples
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Rolo-Candies-US.jpg/200px-Rolo-Candies-US.jpg)
- 미국 1달러 지폐의 뒷면에, 각뿔형 절두체가 뒷면에는 섭리의 눈에 의해 둘러싸인 미국의 대인장의 뒷면에 나타나 있습니다.
- 지구라트(Ziggurats), 계단식 각뿔(step pyramids), 및 특정 고대 아메리카 원주민 고분은 역시 덧붙인 계단과 같은 추가 기능을 갖는 하나 이상의 각뿔의 절두체를 형성합니다.
- 중국 각뿔(Chinese pyramids).
- 일리노이 주, 시카고에 있는 John Hancock Center는 밑면이 직사각형인 절두체입니다.
- 워싱턴 기념비는 작은 각뿔로 덮인 좁은 정사각형-밑변 각뿔형 절두체입니다.
- 3D 컴퓨터 그래픽에서 보는 절두체(viewing frustum)는 각뿔형 절두체로 모델링된 가상 사진 또는 비디오 카메라의 사용 가능한 시야(field of view)입니다.
- Stanislaw Lem의 단편 소설 모음 The Cyberiad의 영어 번역에서, Love and tensor algebra 시에서는 "모든 각 절두체는 원뿔이 되기를 갈망합니다"라고 주장합니다.
- 양동이와 전형적인 전등갓은 원뿔형 절두체의 일상적인 예입니다.
- 음료수 잔과 일부 우주 캡슐도 일부 예입니다.
Garsų Gaudyklė 네링가, 리투아니아 사운드 캐쳐 나무 구조 또는 리투아니아의 동상.Garsų Gaudyklė, Neringa, Lithuania - Jordan Hall
See also
Notes
References
- ^ William F. Kern, James R. Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p. 67
- ^ Nahin, Paul. An Imaginary Tale: The story of √−1. Princeton University Press. 1998
- ^ "Mathwords.com: Frustum". Retrieved 17 July 2011.
- ^ Al-Sammarraie, Ahmed T.; Vafai, Kambiz (2017). "Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe". Numerical Heat Transfer, Part A: Applications. 72 (3): 197−214. doi:10.1080/10407782.2017.1372670. S2CID 125509773.
External links
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Wiktionary-logo-en-v2.svg/40px-Wiktionary-logo-en-v2.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
- Weisstein, Eric W. "Pyramidal frustum". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Conical frustum". MathWorld.
- Paper models of frustums (truncated pyramids)
- Paper model of frustum (truncated cone)
- Design paper models of conical frustum (truncated cones)