Geometric transformation

Original article: w:Geometric transformation

Not to be confused with Transformation geometry.

For broader coverage of this topic, see Transformation (mathematics).

수학(mathematics)에서, 기하학적 변환(geometric transformation)은 어떤 두드러진 기하학적 토대와 함께 하나의 집합(set)을 자신 (또는 또 다른 그런 집합)으로의 임의의 전단사(bijection)입니다. 더 구체적으로 말하면, 그것은 함수가 그것의 역함수(inverse)가 존재하도록 단사(injective)임을 만족하는 정의역과 치역이 점의 집합 — 가장 자주 둘 다 $\mathbb {R} ^{2}$ 또는 둘 다 $\mathbb {R} ^{3}$ — 인 함수입니다. 기하학(geometry) 연구는 이들 변형의 연구를 통해 접근할 수 있습니다.

Classifications

기하학적 변환은 그것들의 피연산자 집합의 차원에 의해 분류될 수 있습니다 (따라서, 말하자면, 평면 변환과 공간 변환을 구별합니다). 그것들은 역시 그들이 보존하는 속성에 따라 분류될 수 있습니다:

• 변위(Displacements)는 거리(distances)와 방향화된 각도(oriented angles)를 보존합니다 (예를 들어, 평행이동(translations));
• 등거리변환(Isometries)은 각도와 거리를 보존합니다 (예를 들어, 유클리드 변환(Euclidean transformations));
• 닯음(Similarities)은 각도와 거리 사이의 비율을 보존합니다 (예를 들어, 크기-조정);
• 아핀 변환(Affine transformations)은 평행성(parallelism)을 보존합니다 (예를 들어, 스케일링(scaling), 전단(shear));
• 투영 변환(Projective transformations)은 공선형성(collinearity)을 보존합니다;

이러한 각 클래스는 이전 클래스를 포함합니다.

• 평면 (마찬가지로 원형 반전(circle inversion)) 위의 복소 좌표를 사용하는 뫼비우스 변환(Möbius transformations)은 모든 직선과 원의 집합을 보존하지만, 직선과 원을 교환-가능일 수 있습니다.

• 
  Original image (based on the map of France)
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  Isometry
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  Similarity
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  Affine transformation
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  Projective transformation
• 
  Inversion

• 등각 변환(Conformal transformations)은 각도를 보존하고, 첫 번째 차수에서, 닮음입니다.
• 등가 변한(Equiareal transformations)은 평면 경우에서 넓이 또는 삼-차원 경우에서 부피를 보존하고, 첫 번째 차수에서, 행렬식(determinant) 1의 아핀 변환입니다.
• 위상-동형(Homeomorphisms) (쌍-연속 변환(bicontinuous transformations))은 점의 이웃을 보존합니다.
• 미분-동형(Diffeomorphisms) (쌍-미분가능 변환(bidifferentiable transformations))은 첫 번째 차수에서 아핀인 변환입니다; 그것들은 특별한 경우로 앞의 것을 포함하고, 더 세분화될 수 있습니다.

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  Conformal transformation
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  Equiareal transformation
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  Homeomorphism
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  Diffeomorphism

같은 유형의 변환은 다른 변환 그룹의 부분-그룹일 수 있는 그룹(groups)을 형성합니다.

Opposite group actions

Main articles: Group action and Opposite group

많은 기하학적 변환이 선형 대수로 표현됩니다. 전단사 선형 변환은 일반 선형 그룹(general linear group)의 원소입니다. 선형 변환(linear transformation) A는 비-특이입니다. 행 벡터(row vector) v에 대해, 행렬 곱(matrix product) vA는 또 다른 행 벡터 w = vA를 제공합니다.

행 벡터 v의 전치(transpose)는 열 벡터 v^T이고, 위 상등의 전치는 $w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}$입니다. 여기서 A^T는 열 벡터에 대한 왼쪽 동작을 제공합니다.

변형 기하학에서, 합성(compositions) AB가 있습니다. 행 벡터 v로 시작하여, 구성된 변환의 올바른 동작은 w = vAB입니다. 전치 후,

$w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.$

따라서 AB에 대해 결합된 왼쪽 그룹 동작(group action)은 $B^{T}A^{T}$입니다. 반대 그룹(opposite groups)의 연구에서, 이들 반대가 같은 그룹은 교환 그룹인 경우에만 반대 그룹 동작 사이에 구별이 이루어집니다.

See also

• Coordinate transformation
• Erlangen program
• Symmetry (geometry)
• Reflection
• Rigid transformation
• Rotation
• Topology
• Transformation matrix

Further reading

• Adler, Irving (2012) [1966], A New Look at Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, Z. P.; Golding, E. W. (1967) . Geometry Through Transformations (3 vols.): Geometry of Distortion, Geometry of Congruence, and Groups and Coordinates. New York: Herder and Herder.
• David Gans – Transformations and geometries.
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.
• John McCleary – Geometry from a Differentiable Viewpoint.
• Modenov, P. S.; Parkhomenko, A. S. (1965) . Geometric Transformations (2 vols.): Euclidean and Affine Transformations, and Projective Transformations. New York: Academic Press.
• A. N. Pressley – Elementary Differential Geometry.
• Yaglom, I. M. (1962, 1968, 1973, 2009) . Geometric Transformations (4 vols.). Random House (I, II & III), MAA (I, II, III & IV).