Graph of a function

Original article: wikipedia:Graph of a function

For graphical representation, see Plot (graphics). For the combinatorial structure, see Graph (discrete mathematics). For the graph-theoretic representation of a function from a set to itself, see Functional graph.

Graph of the function $f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}.$

수학(mathematics)에서, 함수(function) f의 그래프(graph)는 f(x) = y인 순서쌍(ordered pair) (x, y)의 집합입니다. x와 f(x)가 실수(real numbers)인 공통적인 경우에서, 이들 쌍은 이-차원 공간(two-dimensional space)에서 점의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)이고 따라서 이 평면의 부분-집합을 형성합니다.

두 변수의 함수, 즉 그의 도메인이 쌍 (x, y)를 구성하는 함수의 경우에서, 그래프는, 위에서 정의된 것처럼, 쌍 ((x, y), z) 대신에, f(x, y) = z인 순서화된 세-쌍(ordered triple) (x, y, z)의 집합을 참조합니다. 이것은 삼-차원 공간(three-dimensional space)의 부분-집합입니다; 두 변수의 연속 실수-값 함수(real-valued function)에 대해, 그것은 표면(surface)입니다.

함수의 그래프는 관계(relation)의 특별한 경우입니다.

과학(science), 공학(engineering), 기술(technology), 금융(finance) 및 기타 분야에서, 그래프는 다양한 목적으로 사용되는 도구입니다. 가장 단순한 경우에서, 하나의 변수는, 전형적으로 직사각형 축(rectangular axes)을 사용하여, 또 다른 변수의 함수로써 그려집니다; 자세한 내용에 대해 그림 그리기(plot)를 참조하십시오.

현대 수학의 기초(foundations of mathematics)에서, 그리고, 전형적으로, 집합 이론(set theory)에서, 함수는 그것의 그래프와 실제로 같습니다. 어쨌든, 함수를 매핑(mappings)으로 보는 것이 종종 유용하며, 이것은 입력과 출력 사이의 관계로 구성될 뿐만 아니라, 어떤 집합이 도메인이고, 어떤 집합이 코도메인(codomain)인 것으로 구성됩니다. 예를 들어, 함수가 위로의 (전사(surjective))인지 아닌지를 말하기 위해, 코도메인은 반드시 고려되어야 합니다. 함수 자체의 그래프는 코도메인을 결정하지 않습니다. 용어 함수와 함수의 그래프 둘 다를 사용하는 것이 공통적인데, 왜냐하면 심지어 같은 대상으로 여길지라도, 그들은 다른 관점에서 보는 것을 가리키기 때문입니다.

Graph of the function $f(x)=x^{4}-4^{x}$ over the interval [−2,+3]. Also shown are the two real roots and the local minimum that are in the interval.

Definition

매핑 $f:X\to Y$가 주어지면, 다른 말로 도메인 $X$와 코도메인 $Y$를 갖는 함수 $f$가 주어지면, 매핑의 그래프는 다음 집합입니다:

$G(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}$,

이것은 $X\times Y$의 부분-집합입니다. 함수의 추상적 정의에서, $G(f)$는 실제로 $f$와 같습니다.

우리는 만약 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$이면, 그래프 $G(f)$는 $\mathbb {R} ^{n+m}$의 부분-집합임을 관찰할 수 있습니다 (엄격하게 말하면 그것은 $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}$이지만, 우리는 그것을 자연스러운 동형-사상에 삽입할 수 있습니다).

Examples

Functions of one variable

Graph of the function $f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right).$

다음에 의해 정의된 함수 $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$의 그래프는

$f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}$

집합 $\{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}$의 부분-집합입니다:

$G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.\,$

그래프로부터, 도메인 $\{1,2,3\}$은 그래프 $\{1,2,3\}=\{x:\ {\text{there exists }}y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}$에서 각 쌍의 첫 번째 성분의 집합으로 다시-덮습니다. 비슷하게, 치역(range)은 $\{a,c,d\}=\{y:{\text{there exists }}x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}$으로 다시-덮을 수 있습니다. 코도메인 $\{a,b,c,d\}$은, 어쨌든, 단독으로 그래프로부터 결정될 수 없습니다.

실수 직선(real line) 위의 다음 삼차 다항식의 그래프는

$f(x)=x^{3}-9x\,$

다음입니다:

$\{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.\,$

만약 이 집합은 데카르트 평면 위에 그려지면, 그 결과는 곡선입니다 (그림을 참조하십시오).

Functions of two variables

Plot of the graph of $f(x,y)=-\left(\cos \left(x^{2}\right)+\cos \left(y^{2}\right)\right)^{2},$ also showing its gradient projected on the bottom plane.

다음 삼각 함수(trigonometric function)의 그래프는

$f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})\,$

다음입니다:

$\{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.$

만약 이 집합이 삼-차원 데카르트 좌표 시스템(three dimensional Cartesian coordinate system) 위에 그려지면, 그 결과는 표면입니다 (그림을 참조하십시오).

자주 그래프, 함수의 그래디언트 및 여러 수준 곡선으로 표시하는 것이 도움이 됩니다. 수준 곡선은 함수 표면에 매핑될 수 있거나 아래 평면에 투영될 수 있습니다. 두 번째 그림은 함수 그래프의 그러한 그림을 보여줍니다:

$f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}\,$

Generalizations

함수의 그래프는 데카르트 곱(Cartesian product)의 집합에 포함됩니다. X–Y 평면은 X와 Y로 불리는 두 직선의 데카르트 곱이지만, 원기둥은 직선과 원의 데카르트 곱이며, 그의 높이, 반지름, 및 각도가 점의 정확한 위치를 할당합니다. 파이버 다발(Fibre bundle)은 데카르트 곱은 아니지만, 가까이 있는 것으로 보입니다. 단면(section)이라고 불리는 파이버 다발에 대한 그래프의 해당하는 개념이 있습니다.

See also

• Asymptote
• Chart
• Concave function
• Convex function
• Contour plot
• Critical point
• Derivative
• Epigraph
• Normal to a graph
• Slope
• Stationary point
• Tetraview
• Vertical translation
• y-intercept

External links

• Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.