Identity element

수학(mathematics)에서, 항등 원소(identity element) 또는 중립 원소(neutral element)는 해당 집합(set) 위에 이항 연산(binary operation)에 관한 집합의 원소의 특수한 유형이며, 이것은 그것과 결합될 때 집합의 임의의 원소를 변경하지 않고 남겨둡니다.^[1] ^[2]^[3] 이 개념은 그룹(group) 및 링(ring)과 같은 대수적 구조(algebraic structure)에서 사용됩니다. 용어 항등 원소는, 혼동의 가능성이 없을 때, (덧셈의 항등 및 곱셈의 항등에서 처럼) 항등으로 종종 단축되지만,^[4] 항등은 암시적으로 그것과 연관된 이항 연산에 의존합니다.

Definitions

$(S, *)$ 를 이항 연산 ∗을 갖추어진 집합 $S$ 라고 놓습니다. 그런-다음 $S$ 의 원소 $e$ 는 만약 $S$ 에서 모든 $a$ 에 대해 $e * a = a$ 이면 왼쪽(left) 항등원(identity), $S$ 에서 모든 $a$ 에 대해 $a * e = a$ 이면 오른쪽(right) 항등원(identity)이라고 불립니다.^[5] 만약 $e$ 가 왼쪽 항등원과 오른쪽 항등원 둘 다이면, 그것은 양-측 항등원(two-sided identity), 또는 단순히 항등원(identity)이라고 불립니다.^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]

덧셈에 관한 항등원은 덧셈의 항등원(additive identity) (종종 0로써 표시됨)이라고 불리고 곱셈에 관한 항등원은 곱셈의 항등원(multiplicative identity) (종종 1로써 표시됨)이라고 불립니다.^[4] 이것들은 보통의 덧셈 및 곱셈일 필요는 없습니다−놓여있는 연산은 다소 임의적일 수 있습니다. 구별은, 링(ring), 정수 도메인(integral domain), 및 필드(field)와 같은, 두 이항 연산을 지원하는 집합에 대해 가장 자주 사용됩니다. 곱셈의 항등원은 종종 후자의 맥락에서 단위(unity) (단위를 갖는 링)라고 불립니다.^[11]^[12]^[13] 이것은, 곱셈의 역(multiplicative inverse)을 가지는 임의의 원소인, 링 이론에서 단위(unit)와 혼동해서는 안됩니다. 그 자체의 정의에 의해, 단위 자체는 반드시 하나의 단위입니다.^[14]^[15]

Examples

집합	연산	항등원
실수	+ (덧셈)	0
실수	· (곱셈)	1
양의 정수	최소 공통 배수	1
비-음의 정수	최대 공통 약수	0 (GCD의 대부분의 정의 아래에서)
$m$ -×- $n$ 곱셈	행렬 덧셈	영 행렬
$n$ -×- $n$ 정사각 행렬	행렬 곱셈	I_n (항등 행렬)
$m$ -×- $n$ 행렬	○ (아다마르 곱)	$J m, n$ (일의 행렬)
집합 $M$ 에서 자체로의 모든 함수	∘ (함수 합성)	항등 함수
그룹, $G$ 위에 모든 분포	∗ (합성곱)	$δ$ (디랙 델타)
확장된 실수	최소/하한	+∞
확장된 실수	최대/상한	−∞
집합 $M$ 의 초월-집합	∩ (교집합)	$M$
집합	∪ (합집합)	∅ (빈 집합)
문자열, 목록	연쇄	빈 문자열, 빈 목록
부울 대수	∧ (논리적 곱)	⊤ (진실)
부울 대수	∨ (논리적 합)	⊥ (허위)
부울 대수	⊕ (배타적-또는)	⊥ (허위)
매듭	매듭 합	비-매듭
컴팩트 표면	# (연결된 합)	S²
그룹	직접 곱	자명한 그룹
두 원소, ${e, f}$	$e * e = f * e = e$ 및 $f * f = e * f = f$ 에 의해 정의된 ∗	$e$ 와 $f$ 둘 다는 왼쪽 항등원이지만, 오른쪽 항등원이 없고 양-측 항등원이 없습니다
집합 X 위에 동종 관계	상대 곱	항등 관계

Properties

마지막 예제가 (반-그룹(semigroup))가 보여주듯이, $(S, *)$ 에 대해 여러 왼쪽 항등원을 가질 수 있습니다. 실제로, 모든 각 원소는 왼쪽 항등원이 될 수 있습니다. 비슷한 방식으로, 여러 오른쪽 항등원이 있을 수 있습니다. 그러나 만약 오른쪽 항등원과 왼쪽 항등원 둘 다가 있으면, 그것들은 반드시 같아야 하며, 단일 양-측 항등원을 초래합니다. 이것을 보이기 위해, 만약 $l$ 이 왼쪽 항등원이고 $r$ 이 오른쪽 항등원이면, $l = l * r = r$ 입니다. 특히, 하나보다 많은 양-측 항등원이 존재할 수 없습니다: 만약 둘, 말하자면 $e$ 와 $f$ 가 있으면, $e * f$ 는 $e$ 와 $f$ 둘 다와 같아야 합니다.

$(S, *)$ 에 대해, 곱셈 연산 아래에서 짝수 정수의 경우에서 처럼,^[4] 역시 항등 원소를 갖지 않을 수 있습니다.^[16] 또 다른 공통적인 예제는 벡터(vectors)의 교차 곱(cross product)이며, 여기서 항등 원소의 부재가 임의의 비-영 교차 곱의 방향(direction)이 항상 곱해진 임의의 원소와 직교(orthogonal)한다는 사실과 관련됩니다. 즉, 원래와 같은 방향에서 비-영 벡터를 얻는 것이 가능하지 않습니다. 항등 원소없는 그룹의 또 다른 예제는 양의(positive) 자연수(natural number)의 덧셈의 반-그룹(semigroup)을 포함합니다.

Notes and references

^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-01.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ Weisstein, Eric W. "Identity Element". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-01.
^ "Definition of IDENTITY ELEMENT". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-12-01.
^ ^a ^b ^c "Identity Element | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com. Retrieved 2019-12-01.
^ Fraleigh (1976, p. 21)
^ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 96)
^ Fraleigh (1976, p. 18)
^ Herstein (1964, p. 26)
^ McCoy (1973, p. 17)
^ "Identity Element | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2019-12-01.
^ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 135)
^ Fraleigh (1976, p. 198)
^ McCoy (1973, p. 22)
^ Fraleigh (1976, pp. 198, 266)
^ Herstein (1964, p. 106)
^ McCoy (1973, p. 22)

Bibliography

Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225