Image (mathematics)

Original article: wikipedia:Image (mathematics)

f is a function from domain X to codomain Y. The yellow oval inside Y is the image of f.

수학(mathematics)에서, 함수(function)의 이미지(image)는 그것이 생성할 수 있는 모든 출력 값의 집합입니다.

보다 일반적으로, 그것의 도메인(domain)의 주어진 부분집합 A의 각 원소에서 함수 f를 평가하면 집합을 생성하며, "f 아래의 (또는 통한) A의 이미지"라고 불립니다. 유사하게, f의 코도메인(codomain)의 주어진 부분집합 B의 역 이미지(inverse image) 또는 이전-이미지(preimage)는 B의 구성원에 매핑하는 도메인의 모든 원소의 집합입니다.

이미지와 역 이미지는 역시, 함수뿐만 아니라, 일반적인 이항 관계(binary relations)에 대해 정의될 수 있습니다.

Definition

단어 "image"는 셋의 관련된 방법에서 사용됩니다. 이들 정의에서, f : X → Y는 집합(set) X에서 집합 Y로의 함수(function)입니다.

Image of an element

만약 x가 X의 구성원이면, f에서 x의 이미지는, f(x)로 표시되며, x에 적용될 때 f의 값(value)입니다. f(x)는 대안적으로 인수 x에 대해 f의 출력으로 알려져 있습니다.

Image of a subset

f 아래에서 부분집합 A ⊆ X의 이미지는, $f[A]$로 표시되면, 다음처럼 집합-구성 표기법(set-builder notation)을 사용하여 정의될 수 있는 Y의 부분집합입니다:

$f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}$

혼동의 여지가 없을 때, $f[A]$는 간단히 $f(A)$로 쓰입니다. 이 관례는 공통적인 것입니다; 의도된 의미는 문맥으로부터 추론되어야 합니다. 이것은 f[.]를 그것의 도메인(domain)이 X의 거듭제곱 집합(power set) (X의 모든 부분집합(subset)의 집합)이고, 그것의 코도메인(codomain)이 Y의 거듭제곱 집합인 함수를 만듭니다. 자세한 것에 대해 아래 § Notation을 참조하십시오.

Image of a function

함수의 이미지는 그것의 전체 도메인(domain)의 이미지이며, 역시 함수의 치역(range)으로 알려져 있습니다.

Generalization to binary relations

만약 R이 X×Y 위에 임의의 이항 관계(binary relation)이면, 집합 { y∈Y | xRy for some x∈X }은 R의 이미지, 또는 치역이라고 불립니다. 이중으로, 집합 { x∈X | xRy for some y∈Y }은 R의 도메인이라고 불립니다.

Inverse image

"Preimage" redirects here. For the cryptographic attack on hash functions, see preimage attack.

f를 X에서 Y로의 함수로 놓습니다. f 아래에서 집합 B ⊆ Y의 이전-이미지 또는 역 이미지는, $f^{-1}[B]$로 표시되면, 다음에 의해 정의된 x의 부분집합입니다:

$f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.$

다른 표기법은 f ⁻¹ (B) 및 f ⁻ (B)을 포함합니다. 한원소(singleton)의 역 이미지는, f ⁻¹[{y}] 또는 f ⁻¹[y]로 표시되며, 역시 y에 걸쳐 올(fiber) 또는 y의 수준 집합으로 불립니다. Y의 원소에 걸쳐 모든 올의 집합은 Y에 의해 인덱스된 집합의 가족입니다.

예를 들어, 함수 f(x) = x²에 대해, {4}의 역 이미지는 {−2, 2}일 것입니다. 다시 한번, 만약 혼동의 여지가 없으면, f ⁻¹[B]는 f ⁻¹(B)에 의해 표시될 수 있고, f ⁻¹는 역시 Y의 거듭제곱 집합에서 X의 거듭제곱 집합으로의 함수로 생각될 수 있습니다. 표기법 f ⁻¹는, 비록 그것이 f 아래에서 B의 역 이미지가 f ⁻¹ 아래에서 B의 이미지라는 것에서 전단사에 대해 보통 표기법과 혼동될지라도, 역 함수(inverse function)에 대해 표기법과 혼동해서는 안됩니다.

Notation for image and inverse image

이전 섹션에서 사용된 전통적인 표기법은 혼동스러울 수 있습니다. 대안은 이미지와 이전-이미지에 대해 명시적 이름을 거듭제곱 집합 사이의 함수로 제공하는 것입니다.

Arrow notation

• $f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}$와 함께 $f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$
• $f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}$와 함께 $f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$

Star notation

• $f^{\rightarrow }$ 대신에 $f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$
• $f^{\leftarrow }$ 대신에 $f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$

Other terminology

• 수학적 논리(mathematical logic)와 집합 이론(set theory)에 사용되는 f[A]에 대해 대안적인 표기법은 f "A입니다.
• 일부 텍스트는 f의 이미지를 f의 치역으로 참조하지만, 이 사용법은 피해야 하는데 왜냐하면 단어 "range"는 역시 f의 코도메인(codomain)을 의미하기 위해 공통적으로 사용되기 때문입니다.

Examples

1. f: {1, 2, 3} → {a, b, c, d}는 $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{if }}x=1\\a,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3.\end{matrix}}\right.$에 의해 정의됩니다
   f 아래에서 집합 {2, 3}의 이미지는 f({2, 3}) = {a, c}입니다. 함수 f의 이미지는 {a, c}입니다. a의 이전-이미지는 f ⁻¹({a}) = {1, 2}입니다. {a, b}의 이전-이미지는 역시 {1, 2}입니다. {b, d}의 이전-이미지는 빈 집합(empty set) {}입니다.
2. f: R → R는 f(x) = x²에 의해 정의됩니다.
   f 아래에서 {−2, 3}의 이미지는 f({−2, 3}) = {4, 9}이고, f의 이미지는 R⁺입니다. f 아래에서 {4, 9}의 이전-이미지는 f ⁻¹({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}입니다. f 아래에서 집합 N = {n ∈ R | n < 0}의 이전이미지는 빈 집합인데, 왜냐하면 음수는 실수의 집합에서 제곱 근을 가지지 않기 때문입니다.
3. f: R² → R는 f(x, y) = x² + y²에 의해 정의됩니다.
   올(fibres) f ⁻¹({a})은 원점(origin), 원점 자체, 및 빈 집합(empty set)에 대한 동심 원(concentric circles)이며, 각각, a > 0, a = 0, 또는 a < 0 여부에 따라 다릅니다.
4. 만약 M이 매니폴드(manifold)이고 π: TM → M가 접 다발(tangent bundle) TM에서 M으로의 정식의 투영(projection)이면, π의 올은 x∈M에 대해 접 공간(tangent spaces) T_x(M)입니다. 이것은 역시 올 다발(fiber bundle)의 예제입니다.
5. 몫 그룹은 준동형 이미지입니다.

Properties

See also: Algebra of sets and List of set identities and relations

Counter-examples based on f:ℝ→ℝ, x↦x2, showing that equality generally need not hold for some laws:
f(A1∩A2) ⊊ f(A1) ∩ f(A2)
f(f−1(B3)) ⊊ B3
f−1(f(A4)) ⊋ A4

General

모든 각 함수 $f:X\rightarrow Y$ 및 모든 부분집합 $A\subseteq X$와 $B\subseteq Y$에 대해, 다음 속성은 유지됩니다:

이미지	이전-이미지
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (equal if $B\subseteq f(X)$, e.g. $f$ is surjective)	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (equal if $f$ is injective)
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$

역시:

• $f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

Multiple functions

부분집합 $A\subseteq X$와 $C\subseteq Z$을 갖는 함수 $f:X\rightarrow Y$와 $g:Y\rightarrow Z$에 대해, 다음 속성이 유지됩니다:

• $(g\circ f)(A)=g(f(A))$
• $(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Multiple subsets of domain or codomain

함수 $f:X\rightarrow Y$ 및 부분집합 $A_{1},A_{2}\subseteq X$와 $B_{1},B_{2}\subseteq Y$에 대해, 다음 속성이 유지됩니다:

이미지	이전-이미지
$A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$	$B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$	$f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ (equal if $f$ is injective)	$f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ (equal if $f$ is injective)	$f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})$ (equal if $f$ is injective)	$f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})$

이미지와 이전-이미지를 교집합(intersection)과 합집합(union)의 (부울(Boolean)) 대수와 관련시키는 결과는 부분집합의 쌍뿐만 아니라 부분집합의 임의의 모음에 대해 작동합니다:

• $f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})$
• $f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})$
• $f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$
• $f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$

(여기서, S는 무한, 심지어 셀-수-없는 무한(uncountably infinite)일 수 있습니다.)

위에서 설명된 부분집합의 대수와 관련하여, 역 이미지 함수는 격자 준동형(lattice homomorphism)이지만, 이미지 함수는 오직 반-격자(semilattice) 준동형입니다 (즉, 항상 교집합을 보존하지는 않습니다).

See also

• Bijection, injection and surjection
• Image (category theory)
• Kernel of a function
• Set inversion

References

• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
• Blyth, T.S. (2005). Lattices and Ordered Algebraic Structures. Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
• Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.

This article incorporates material from Fibre on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.