Linear form

수학(mathematics)에서, 선형 형식(linear form) (역시 선형 함수형(linear functional),^[1] 일-형식(one-form), 또는 코벡터(covector)로 알려져 있음)은 벡터 공간(vector space)에서 그것의 스칼라(scalars) 필드(field) (종종, 실수(real numbers) 또는 복소수(complex numbers))로의 선형 맵(linear map)입니다.

만약 $V$ 가 필드 $k$ 에 걸쳐 벡터 공간이면, $V$ 에서 $k$ 로의 모든 선형 함수형의 집합은 점-별(pointwise)로 정의된 덧셈과 스칼라 곱셈을 갖는 $k$ 에 걸쳐 자체 벡터 공간입니다. 이 공간은 토폴로지적 이중 공간(topological dual space)도 고려될 때 $V$ 의 이중 공간(dual space), 또는 때때로 대수적 이중 공간(algebraic dual space)이라고 불립니다. 그것은 종종 $Hom(V, k)$ ,^[2] 필드 $k$ 가 이해될 때, $V^{*}$ 로 표시됩니다;^[3] 다른 표기법은 $V'$ ,^[4]^[5] $V^{\#}$ 또는 $V^{\vee }$ 와 같은 것이 사용됩니다.^[2] 벡터가 열 벡터(column vectors)로 표시될 때 (기저(basis)가 고정될 때 공통적임), 선형 함수형은 행 벡터(row vectors)로 표시되고, 특정 벡터 위에 그것들의 값은 (왼쪽에 행 벡터를 갖는) 행렬 곱(matrix products)으로 표시됩니다.

Examples

모든 각 벡터를 영으로 매핑하는 상수 영 함수(zero function)는 자명한 선형 함수형입니다.
벡터로 인덱싱하면: 3-벡터의 두 번째 원소는 일-형식 $[0,1,0]$ 에 의해 제공됩니다. 즉, $[x,y,z]$ 의 두 번째 원소는 $[0,1,0]\cdot [x,y,z]=y.$
평균(Mean): $n$ -벡터의 평균 원소는 일-형식 $\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right]$ 에 의해 제공됩니다. 즉, $\operatorname {mean} (v)=\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right]\cdot v.$
표본화(Sampling): 커널을 갖는 표본화는 일-형식으로 고려될 수 있으며, 여기서 일-형식은 커널을 적절한 위치로 이동하는 것입니다.
순 현금 흐름(cash flow)의 순 현재 가치(Net present value), $R(t),$ 는 일-형식 $w(t)=(1+i)^{-t}$ 에 의해 제공되며 여기서 $i$ 는 할인율(discount rate)입니다. 즉, $\mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.$

모든 각 다른 선형 함수형 (예를 들어 아래의 하나)은 전사(surjective)입니다 (즉, 해당 치역은 모두 $k$ 입니다).

Linear functionals in Rⁿ

실수 좌표 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 벡터가 열 벡터로 표시된다고 가정합니다: $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.$

각 행 벡터 $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}$ 에 대해, 다음에 의해 정의된 선형 함수형 $f_{\mathbf {a} }$ 가 있습니다: $f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},$ 그리고 각 선형 함수형은 이 형식에서 표현될 수 있습니다.

이것은 행 벡터 $\mathbf {a}$ 와 열 벡터 $\mathbf {x}$ 의 행렬 곱 또는 점 곱으로 해석될 수 있습니다: $f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.$

Trace of a square matrix

정사각 행렬 $A$ 의 대각합(trace) $\operatorname {tr} (A)$ 은 그것의 주요 대각선(main diagonal)에 있는 모든 원소의 합입니다. 행렬이 스칼라에 의해 곱해질 수 있고 같은 차원의 두 행렬은 함께 더해질 수 있습니다; 이들 연산은 모든 $n\times n$ 행렬의 집합에서 벡터 공간(vector space)을 만듭니다. 대각합은 모든 스칼라 $s$ 와 모든 $n\times n$ 행렬 $A$ 와 $B$ 에 대해 $\operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)$ 와 $\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$ 이기 때문에 이 공간에서 선형 함수형입니다.

(Definite) Integration

선형 함수형은 함수의 벡터 공간(vector spaces of functions)에 대한 연구, 함수형 해석학(functional analysis)에서 처음 등장했습니다. 선형 함수형의 전형적인 예제는 적분(integration)입니다: 다음 리만 적분(Riemann integral)에 의해 정의된 선형 변환은 $I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ 구간 $[a,b]$ 위에 연속 함수의 벡터 공간 $C[a,b]$ 에서 실수로의 선형 함수형입니다. $I$ 의 선형성은 적분에 대한 표준 사실을 따릅니다: ${\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}$

Evaluation

$P_{n}$ 을 구간 $[a,b]$ 위에 정의된 차수 $\leq n$ 의 실수-값 다항 함수의 벡터 공간을 나타낸다고 놓습니다. 만약 $c\in [a,b]$ 이면, $\operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R}$ 를 평가 함수형(evaluation functional)이라고 놓습니다: $\operatorname {ev} _{c}f=f(c).$ 매핑 $f\mapsto f(c)$ 은 선형인데 왜냐하면 ${\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}$

만약 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 가 $[a,b]$ 에서 $n+1$ 구별되는 점이면, 평가 함수형 $\operatorname {ev} _{x_{i}},$ $i=0,\ldots ,n$ 는 $P_{n}$ 의 이중 공간의 기저(basis)를 형성합니다 (Lax (1996)는 라그랑주 보간(Lagrange interpolation)을 사용하여 이 마지막 사실을 입증합니다).

Non-example

$a\neq 0$ 을 갖는 직선의 방정식(equation of a line) $f(x)=a+rx$ 를 가지는 함수 $f$ 는 (예를 들어, $f(x)=1+2x$ ) $\mathbb {R}$ 위에 선형 함수형이 아닌데, 왜냐하면 그것은 선형(linear)이 아니기 때문입니다. 그것은, 어쨌든, 아핀-선형(affine-linear)입니다.

Visualization

유한 차원에서, 선형 함수형은 수준 집합(level sets), 주어진 값에 매핑하는 벡터의 집합의 관점에서 시각화될 수 있습니다. 삼-차원에서, 선형 함수형의 수준 집합은 서로 평행한 평면의 가족입니다; 더 높은 차원에서, 그것들은 평행 초-평면(hyperplanes)입니다. 선형 함수형을 시각화하는 이 방법은 Misner, Thorne & Wheeler (1973)에 의한 Gravitation와 같은 일반 상대성(general relativity) 텍스트에서 가끔 소개됩니다.

Applications

Application to quadrature

만약 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 가 $[a, b]$ 에서 $n+1$ 구별되는 점이면, 위에 정의된 선형 함수형 $\operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)$ 는 차수 $\leq n$ 의 다항식의 공간, $P n$ 의 이중 공간의 기저(basis)를 형성합니다. 적분 함수형 $I$ 도 $P n$ 위에 선형 함수형이고, 따라서 이들 기저 원소의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다. 기호에서, 모든 $f\in P_{n}$ 에 대해, 다음에 대해 계수 $a_{0},\ldots ,a_{n}$ 가 있습니다: $I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})$ 이것은 수치 구적법(numerical quadrature) 이론의 토대를 형성합니다.^[6]

In quantum mechanics

선형 함수형은 양자 역학(quantum mechanics)에서 특히 중요합니다. 양자 역학적 시스템은 힐베르트 공간(Hilbert spaces)에 의해 표현되며, 이 공간은 자체 이중 공간에 대해 역(anti)-동형(isomorphic)입니다. 양자 역학적 시스템의 상태는 선형 함수형으로 식별될 수 있습니다. 자세한 내용에 대해, 괄-호 표기법(bra–ket notation)을 참조하십시오.

Distributions

일반화된 함수(generalized functions)의 이론에서, 분포(distributions)라고 불리는 특정 종류의 일반화된 함수는 테스트 함수(test functions)의 공간 위에 선형 함수형으로 실현될 수 있습니다.

Dual vectors and bilinear forms

유한-차원 벡터 공간 $V$ 위에 모든 각 비-퇴화 쌍-선형 형식(bilinear form)은 다음을 만족하는 동형(isomorphism) $V \to V * : v \mapsto v *$ 을 유도합니다: $v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,$

여기서 $V$ 위에 쌍-선형 형식은 $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ 으로 표시됩니다 (예를 들어, 유클리드 공간(Euclidean space)에서, $\langle v,w\rangle =v\cdot w$ 는 $v$ 와 $w$ 의 점 곱(dot product)입니다).

역 동형은 V^∗ → V : v^∗ ↦ v이며, 여기서 $v$ 는 모든 $w\in V$ 에 대해 다음을 만족하는 $V$ 의 고유한 원소입니다: $\langle v,w\rangle =v^{*}(w)\;.$ 위에 정의된 벡터 v^∗ ∈ V^∗는 $v\in V$ 의 이중 벡터(dual vector)라고 말합니다.

무한 차원 힐베르트 공간(Hilbert space)에서, 유사한 결과는 리스 표시 정리(Riesz representation theorem)에 의해 유지됩니다. $V$ 에서 그것의 연속 이중 공간(continuous dual space) V^∗로의 매핑 V ↦ V^∗가 있습니다.

Relationship to bases

Basis of the dual space

벡터 공간 $V$ 가 기저 $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}$ 를 가진다고 놓는데, 반드시 직교(orthogonal)일 필요는 없습니다. 그런-다음 이중 공간(dual space) $V^{*}$ 는 다음이라는 특별한 속성에 의해 정의된 이중 기저(dual basis)라고 불리는 기저 ${\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}$ 를 가집니다: ${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}$

또는, 보다 간결하게, ${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}$

여기서 δ는 크로네커 델타(Kronecker delta)입니다. 여기에서 기저 함수형의 위첨자는 지수가 아니라 반변(contravariant) 인덱스입니다.

이중 공간 ${\tilde {V}}$ 에 속하는 선형 함수형 ${\tilde {u}}$ 는 계수 (구성 요소) $u i$ 를 갖는 기저 함수형의 선형 조합(linear combination)으로 표현될 수 있습니다: ${\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.$

그런-다음, 함수형 ${\tilde {u}}$ 를 기저 벡터 $\mathbf {e} _{j}$ 에 적용하면 다음을 산출합니다: ${\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]$

왜냐하면 함수형의 스칼라 배수의 선형성과 함수형의 합에 대한 점-별 선형성 때문입니다. 그런-다음 ${\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}$

따라서 선형 함수형의 각 구성 요소는 해당하는 기저 벡터에 함수형을 적용함으로써 추출될 수 있습니다.

The dual basis and inner product

공간 $V$ 가 안의 곱(inner product)을 전달할 때, 주어진 기저의 이중 기저에 대한 형식을 명시적으로 작성할 수 있습니다. $V$ 가 (반드시 직교할 필요는 없는) 기저 $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}$ 을 가진다고 놓습니다. 삼-차원 ( $n = 3$ )에서, 이중 기저는 $i=1,2,3$ 에 대해 명시적으로 쓸 수 있습니다: ${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,$ 여기서 ε는 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol)이고 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 는 $V$ 위에 안의 곱 (또는 점 곱(dot product))입니다.

더 높은 차원에서, 이 것은 다음처럼 일반화합니다: ${\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,$ 여기서 $\star$ 는 호지 별 연산자(Hodge star operator)입니다.

Over a ring

링(ring)에 걸쳐 모듈(modules)은 벡터 공간의 일반화이며, 계수가 필드(field)에 속한다는 제한을 제거합니다. 링 $R$ 에 걸쳐 모듈 $M$ 이 주어지면, $M$ 위에 선형 형식은 $M$ 에서 $R$ 로의 선형 맵이며, 여기서 후자는 자체에 걸쳐 모듈로 여겨집니다. 선형 형식의 공간은 $k$ 가 필드인지 여부에 관계없이 항상 $Hom k (V, k)$ 로 표시됩니다. 그것은 만약 $V$ 가 왼쪽 모듈이면 오른쪽 모듈(right module)입니다.

모듈 위에 "충분한" 선형 형식의 존재는 투영성(projectivity)과 동등합니다.^[8]

Dual Basis Lemma — $R$ -모듈(module) $M$ 이 투영(projective)인 것과 모든 각 $x\in M$ 에 대해, 오직 유한하게 많은 $f_{a}(x)$ 가 비-영이고 다음임을 만족하는 부분-집합 $A\subset M$ 와 선형 형식 $\{f_{a}\mid a\in A\}$ 가 있는 것은 필요충분 조건입니다: $x=\sum _{a\in A}{f_{a}(x)a}$

Change of field

$X$ 가 $\mathbb {C}$ 에 걸쳐 벡터 공간이라고 가정합니다. 스칼라 곱셈을 $\mathbb {R}$ 로 제한하면 $X$ 의 실현(realification)이라고 불리는 실수 벡터 공간 $X_{\mathbb {R} }$ 을 일으킵니다. $\mathbb {C}$ 에 걸쳐 임의의 벡터 공간 $X$ 는 복소 구조(complex structure)를 부여한 $\mathbb {R}$ 에 걸쳐 벡터 공간이기도 합니다; 즉, 우리가 (형식적으로) $X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i$ 을 $\mathbb {R}$ -벡터 공간으로 쓸 수 있는 실수 벡터 부분공간(vector subspace) $X_{\mathbb {R} }$ 이 존재합니다.

Real versus complex linear functionals

$X$ 위의 모든 각 선형 함수형은 복소수-값이고 $X_{\mathbb {R} }$ 위의 모든 각 선형 함수형은 실수-값입니다. 만약 $\dim X\neq 0$ 이면 $X$ 또는 $X_{\mathbb {R} }$ 중 하나 위에 선형 함수형은 비-자명한 것 (동일하게 0이 아님을 의미)인 것과 그것이 전사인 것 (왜냐하면 $\varphi (x)\neq 0$ 이면 임의의 스칼라 $s$ 에 대해, $\varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s$ 이기 때문)은 필요충분 조건이며, 여기서 $X$ 위에 선형 함수형의 이미지(image)는 $\mathbb {C}$ 이고 $X_{\mathbb {R} }$ 위에 선형 함수형의 이미지는 $\mathbb {R}$ 입니다. 따라서, $X$ 위에 선형 함수형이고 $X_{\mathbb {R} }$ 위에 선형 함수형 둘 다인 $X$ 위에 유일한 함수는 자명한 함수형입니다; 다시 말해서, $X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\}$ 이며, 여기서 $\,{\cdot }^{\#}$ 는 공간의 대수적 이중 공간(algebraic dual space)을 나타냅니다. 어쨌든, $X$ 위에 모든 각 $\mathbb {C}$ -선형 함수는 $\mathbb {R}$ -선형 연산자(linear operator) ( $\mathbb {R}$ 에 걸쳐 덧셈적이고 동차임을 의미함)이지만, 그것이 0과 동일하지 않은 한, 그것은 $X$ 위에 $\mathbb {R}$ -선형 함수형이 아닌데, 왜냐하면 그것의 치역 (이는 $\mathbb {C}$ )은 $\mathbb {R}$ 에 걸쳐 2-차원이기 때문입니다. 반대로, 비-영 $\mathbb {R}$ -선형 함수형은 치역이 너무 작아 $\mathbb {C}$ -선형 함수형도 됩니다.

Real and imaginary parts

만약 $\varphi \in X^{\#}$ 이면 $\varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi$ 에 의해 그것의 실부 부분(real part)을 나타내고 $\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi$ 에 의해 그것의 허수 부분(imaginary part)을 나타냅니다. 그런-다음 $\varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R}$ 과 $\varphi _{i}:X\to \mathbb {R}$ 는 $X_{\mathbb {R} }$ 위에 선형 함수형이고 $\varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}$ 입니다. 모든 $z\in \mathbb {C}$ 에 대해 $z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z$ 라는 사실은 $x\in X$ 에 대해, 다음임을 의미합니다:^[9] ${\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}$ 그리고 따라서, $\varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)$ 와 $\varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix)$ 임을 의미합니다.^[10]

할당 $\varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }$ 는 전단사(bijective)^[10] $\mathbb {R}$ -선형 연산자 $X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}$ 를 정의하며 그것의 역은 $g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R}$ 를 다음에 의해 정의된 선형 함수형 $L_{g}:X\to \mathbb {C}$ 로 보내는 할당 $g\mapsto L_{g}$ 에 의해 정의된 맵 $L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}$ 입니다: $L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.$ $L_{g}$ 의 실수 부분은 $g$ 이고 전단사 $L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}$ 는 $\mathbb {R}$ -선형 연산자이며, 모든 $r\in \mathbb {R}$ 와 $g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}$ 에 대해 $L_{g+h}=L_{g}+L_{h}$ 와 $L_{rg}=rL_{g}$ 임을 의미합니다.^[10] 유사하게 허수 부분에 대해, 할당 $\varphi \mapsto \varphi _{i}$ 는 $\mathbb {R}$ -선형 전단사 $X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}$ 를 유도하며 그것의 역은 $I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}$ 를 $x\mapsto I(ix)+iI(x)$ 에 의해 정의된 $X$ 위에 선형 함수형으로 보냄으로써 정의된 맵 $X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}$ 입니다.

이 관계는 1934년 Henry Löwig에 의해 발견되었고 (보통 F. Murray로 인정됨),^[11] 자연적인 방법에서 필드의 임의적인 유한 확장으로 일반화될 수 있습니다. 그것은 많은 중요한 결과를 가져오며, 그 중 일부는 이제 설명될 것입니다.

Properties and relationships

$\varphi :X\to \mathbb {C}$ 가 실수 부분 $\varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi$ 과 허수 부분 $\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi$ 을 갖는 $X$ 위에 선형 함수형이라고 가정합니다.

그런-다음 $\varphi =0$ 인 것과 $\varphi _{\mathbb {R} }=0$ 인 것과 $\varphi _{i}=0$ 은 필요충분 조건입니다.

$X$ 가 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)이라고 가정합니다. 그런-다음 $\varphi$ 가 연속인 것과 그것의 실수 부분 $\varphi _{\mathbb {R} }$ 이 연속인 것과 $\varphi$ 의 허수 부분 $\varphi _{i}$ 가 연속인 것은 필요충분 조건입니다. 즉, $\varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },$ 및 $\varphi _{i}$ 의 모든 세 가지가 연속이거나 어떤 것도 연속이 아닙니다. 이것은 "연속"이라는 단어가 "경계진(bounded)"이라는 단어로 대체되어도 참으로 남습니다. 특히, $\varphi \in X^{\prime }$ 인 것과 $\varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }$ 인 것은 필요충분 조건이며 여기서 프라임은 공간의 연속 이중 공간(continuous dual space)을 나타냅니다.^[9]

$B\subseteq X$ 라고 놓습니다. 만약 단위 길이(unit length) ( $|u|=1$ 를 의미)의 모든 스칼라 $u\in \mathbb {C}$ 에 대해 $uB\subseteq B$ 이면,^{[proof 1]}^[12] $\sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.$ 유사하게, 만약 $\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R}$ 가 $\varphi$ 의 복소 부분을 나타내면, $iB\subseteq B$ 는 다음을 의미합니다: $\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.$ 만약 $X$ 가 노름 $\|\cdot \|$ 을 갖는 노름 공간(normed space)이고 $B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ 가 닫힌 단위 공이면 위의 상한(supremums)은 다음이 되도록 $\varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },$ 및 $\varphi _{i}$ 의 (보통 방법에서 정의된) 연산자 노름(operator norms)입니다:^[12] $\|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.$ 이 결론은 일반적인 토폴로지적 벡터 공간(topological vector spaces)에서 균형 집합(balanced sets)의 극들(polars)에 대한 유사한 명제로 확장됩니다.

만약 $X$ 가 그것의 첫 번째 좌표에서 반-선형(antilinear) (및 두 번째에서 선형)인 (복소) 안의 곱(inner product) $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle$ 을 갖는 복소 힐베르트 공간(Hilbert space)이면 $X_{\mathbb {R} }$ 은 $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle$ 의 실수 부분을 구비할 때 실수 힐베르트 공간이 됩니다. 명시적으로, $X_{\mathbb {R} }$ 위에 이 실수 안의 곱은 모든 $x,y\in X$ 에 대해 $\langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle$ 에 의해 정의되고 그것은 $X$ 위에 같은 노름을 모든 $x$ 에 대해 ${\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}$ 이기 때문에 $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle$ 로 유도합니다. 리스 표시 정리(Riesz representation theorem)를 $\varphi \in X^{\prime }$ (각각, $\varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }$ )에 적용하면 모든 벡터 $x$ 에 대해 $\varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle$ (각각, $\varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }$ )임을 만족하는 고유한 벡터 $f_{\varphi }\in X$ (각각 $f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }$ )의 존재를 보장합니다. 그 정리는 역시 $\left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}$ 와 $\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$ 임을 보장합니다. $f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}$ 임을 쉽게 확인할 수 있습니다. 이제 $\left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|$ 이고 이전 상등은 $\|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$ 임을 의미하며, 이는 위에서 도달한 것과 같은 결론입니다.

In infinite dimensions

아래에서, 모든 벡터 공간(vector spaces)은 실수(real numbers) $\mathbb {R}$ 또는 복소수(complex numbers) $\mathbb {C}$ 에 걸쳐 있습니다.

만약 $V$ 가 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)이면, 연속(continuous) 선형 함수형 — 연속 이중(continuous dual) — 의 공간은 종종 간단히 이중 공간이라고 불립니다. 만약 $V$ 가 바나흐 공간(Banach space)이면, 그것의 (연속) 이중도 마찬가지입니다. 보통의 이중 공간과 연속 이중 공간을 구별하기 위해, 전자는 때때로 대수적 이중 공간(algebraic dual space)이라고 불립니다. 유한 차원에서, 모든 각 선형 함수형은 연속이므로, 연속 이중은 대수적 이중과 같지만, 무한 차원에서 연속 이중은 대수적 이중의 적절한 부분공간입니다.

(반드시 지역적으로 볼록일 필요는 없는) 토폴로지적 벡터 공간 $X$ 위에 선형 함수형 $f$ 가 연속인 것과 $|f|\leq p$ 와 같은 $X$ 위에 연속 반노름 $p$ 가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.

Characterizing closed subspaces

연속 선형 함수형은 해석학(analysis)에 좋은 속성을 가지고 있습니다: 선형 함수형이 연속인 것과 그것의 커널(kernel)이 닫힌 것은 필요충분 조건이고,^[13] 비-자명한 연속 선형 함수형은 심지어 (토폴로지적) 벡터 공간이 완비가 아니더라도 열린 맵(open map)입니다.^[14]

Hyperplanes and maximal subspaces

$X$ 위에 벡터 부분공간 $M$ 은 만약 $M\subsetneq X$ ( $M\subseteq X$ 이고 $M\subseteq X$ 임을 의미)이고 $M\subsetneq N\subsetneq X$ 를 만족하는 $X$ 의 벡터 부분공간 $N$ 이 존재하지 않으면 최대(maximal)라고 불립니다. $X$ 의 벡터 부분공간 $M$ 이 최대인 것과 그것이 $X$ 위에 일부 비-자명한 선형 함수형의 커널 (즉, 똑같이 $0$ 이 아닌 $X$ 위에 일부 선형 함수형 $f$ 에 대해 $M=\ker f$ )인 것은 필요충분 조건입니다. $X$ 에서 아핀 초평면(affine hyperplane)은 최대 벡터 부분공간의 평행이동입니다. 선형성에 의해, $X$ 의 부분집합 $H$ 가 아핀 초평면인 것과 $H=f^{-1}(1)=\{x\in X:f(x)=1\}$ 임을 만족하는 $X$ 위의 일부 비-자명한 선형 함수형 $f$ 가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.^[11] 만약 $f$ 가 선형 함수형이고 $s\neq 0$ 가 스칼라이면 $f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1)$ 입니다. 이 상등은 $f$ 의 다른 수준 집합을 관련시키기 위해 사용될 수 있습니다. 게다가, 만약 $f\neq 0$ 이면, $f$ 의 커널은 $\ker f=H-H$ 에 의해 아핀 초평면 $H:=f^{-1}(1)$ 에서 구성될 수 있습니다.

Relationships between multiple linear functionals

같은 커널을 갖는 두 선형 함수형은 비례합니다 (즉, 서로의 스칼라 배수입니다). 이 사실은 다음 정리로 일반화될 수 있습니다.

Theorem^[15]^[16] — 만약 $f,g_{1},\ldots ,g_{n}$ 가 $X$ 위에 선형 함수형이면, 다음은 동등합니다:

$f$ 는 $g_{1},\ldots ,g_{n}$ 의 선형 조합으로 작성될 수 있습니다; 즉, $sf=s_{1}g_{1}+\cdots +s_{n}g_{n}$ 임을 만족하는 스칼랄 $s_{1},\ldots ,s_{n}$ 가 존재합니다;
$\bigcap _{i=1}^{n}\ker g_{i}\subseteq \ker f$ ;
모든 $x\in X$ 와 모든 $i=1,\ldots ,n$ 에 대해 $|f(x)|\leq rg_{i}(x)$ 임을 만족하는 실수 $r$ 이 존재합니다.

만약 $f$ 가 커널 $N$ 을 갖는 $X$ 위에 비-자명한 선형 함수형이고, $x\in X$ 는 $f(x)=1$ 을 만족시키고, $U$ 는 $X$ 위의 균형(balanced) 부분-집합이면, $N\cap (x+U)=\varnothing$ 인 것과 모든 $u\in U$ 에 대해 $|f(u)|<1$ 인 것은 필요충분 조건입니다.^[14]

Hahn–Banach theorem

벡터 부분공간(vector subspace) 위에 임의의 (대수적) 선형 함수형은 전체 공간으로 확장될 수 있습니다; 예를 들어, 위에서 설명한 평가 함수형은 모든 $\mathbb {R}$ 위에 다항식의 벡터 공간으로 확장될 수 있습니다. 어쨌든, 이 확장은 선형 함수형을 연속으로 유지하면서 항상 수행될 수는 없습니다. 한-바나흐(Hahn-Banach) 정리의 가족은 이러한 확장이 수행될 수 있는 조건을 제공합니다. 예를 들어,

Hahn–Banach dominated extension theorem^[17](Rudin 1991, Th. 3.2) — 만약 $p:X\to \mathbb {R}$ 가 부분선형 함수이고, $f:M\to \mathbb {R}$ 가 $M$ 위에 $p$ 에 의해 지배되는 선형 부분공간 $M\subseteq X$ 위에 선형 함수형이면, $p$ 에 의해 지배되는 전체 공간 $X$ 로의 $f$ 의 선형 확장 $F:X\to \mathbb {R}$ 이 존재합니다, 즉, 모든 $m\in M$ 에 대해, 다음을 만족하고 $F(m)=f(m)$ 모든 $x\in X$ 에 대해, 다음임을 만족하는 선형 함수형 $F$ 가 존재합니다: $|F(x)|\leq p(x).$

Equicontinuity of families of linear functionals

$X$ 를 연속 이중 공간(continuous dual space) $X'$ 를 갖는 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space, TVS)으로 놓습니다.

$X'$ 의 임의의 부분집합 $H$ 에 대해, 다음은 동등합니다:^[18]

$H$ 는 동등-연속(equicontinuous)입니다;
$H$ 는 $X$ 에서 $0$ 의 일부 이웃의 극(polar)을 포함합니다;
$H$ 의 (이전)극은 $X$ 에서 $0$ 의 이웃입니다;

만약 $H$ 가 $X'$ 의 동등-연속 부분집합이면 다음 집합은 역시 동등-연속입니다: 약한-* 클로저, 균형 껍질(balanced hull), 볼록 껍질(convex hull), 및 볼록 균형 껍질(convex balanced hull).^[18] 게다가, 앨러오글루의 정리(Alaoglu's theorem)는 $X'$ 의 동등-연속 부분집합의 약한-* 클로저가 약한-* 컴팩트를 의미합니다 (그리고 따라서 모든 각 동등-연속 부분-집합 약한-*은 상대적으로 조밀함을 의미합니다).^[19]^[18]

Notes

Footnotes

Proofs

^ It is true if $B=\varnothing$ so assume otherwise. Since $\left|\operatorname {Re} z\right|\leq |z|$ for all scalars $z\in \mathbb {C} ,$ it follows that ${\textstyle \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|\leq \sup _{x\in B}|\varphi (x)|.}$ If $b\in B$ then let $r_{b}\geq 0$ and $u_{b}\in \mathbb {C}$ be such that $\left|u_{b}\right|=1$ and $\varphi (b)=r_{b}u_{b},$ where if $r_{b}=0$ then take $u_{b}:=1.$ Then $|\varphi (b)|=r_{b}$ and because ${\textstyle \varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}}$ is a real number, ${\textstyle \varphi _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=\varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}.}$ By assumption ${\textstyle {\frac {1}{u_{b}}}b\in B}$ so ${\textstyle |\varphi (b)|=r_{b}\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ Since $b\in B$ was arbitrary, it follows that ${\textstyle \sup _{x\in B}|\varphi (x)|\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ $\blacksquare$