Mathematical model

수학적 모델(mathematical model)은 수학적(mathematical) 개념과 수학적 언어(language)를 사용하는 시스템(system)의 설명입니다. 수학적 모델을 개발하는 과정은 수학적 모델링(mathematical modeling)으로 이름-지어집니다. 수학적 모델은 물리학(physics), 생물학(biology), 지구 과학(earth science), 화학(chemistry)과 같은 자연 과학(natural science), 및 컴퓨터 과학(computer science), 전기 공학(electrical engineering)과 같은 공학(engineering)과, 마찬가지로 경제(economics), 심리학(psychology), 사회학(sociology), 정치 과학(political science)과 같은 사회 과학(social sciences)과 같은 비-물리적 시스템에서 사용됩니다. 영업 또는 군사 작전에서 문제를 해결하기 위해 수학적 모델의 사용은 운영 연구(operations research)의 분야의 큰 부분입니다. 수학적 모델은 역시 음악(music),^[1] 언어학(linguistics),^[2] 및 철학(philosophy) (예를 들어, 해석적 철학(analytic philosophy)에서 집중적으로)에서 사용됩니다.

모델은 시스템을 설명하고 다양한 구성 요소의 효과를 연구하고, 행동에 대한 예측을 만드는 데 도움이 될 수 있습니다.

Elements of a mathematical model

수학적 모델은 역학 시스템(dynamical systems), 통계 모델(statistical model), 미분 방정식(differential equations), 또는 게임 이론 모델(game theoretic models)을 포함한 다양한 형식을 취할 수 있습니다. 이들 모델과 다른 유형의 모델은 다양한 추상 구조를 포함하는 주어진 모델과 겹칠 수 있습니다. 일반적으로, 수학적 모델은 논리적 모델(logical models)을 포함할 수 있습니다. 많은 경우에서, 과학 분야의 품질은 이론적 측면에서 개발된 수학적 모델이 반복-가능한 실험의 결과와 얼마나 잘 일치하는지에 달려 있습니다. 이론적 수학적 모델과 실험적 측정 사이의 일치의 부족은 종종 더 나은 이론이 개발됨에 따라 중요한 발전으로 이어집니다.

물리 과학(physical sciences)에서, 전통적인 수학적 모델은 대부분 다음과 같은 요소를 포함합니다:

지배 방정식(Governing equation)
보조 하위-모델(Supplementary sub-models)
1. 정의하는 방정식(Defining equations)
2. 구성 방정식(Constitutive equation)
가정과 구속(Assumptions and constraints)
1. 초기 조건(Initial condition)과 경계 조건(boundary condition)
2. 고전적 제약(Classical constraints)과 운동 방정식(kinematic equations)

Classifications

수학적 모델은 보통 관계와 변수(variables)로 구성됩니다. 관계는 대수 연산자, 함수, 미분 연산자, 등과 같은 연산자(operators)에 의해 설명될 수 있습니다. 변수는 수량화(quantified)될 수 있는 관심 시스템 매개변수의 추상화입니다. 여러 분류 기준이 그것들의 구조에 따라 수학적 모델에 대해 사용될 수 있습니다:

선형 대. 비선형: 만약 수학적 모델에서 모든 연산자가 선형성을 나타내면, 결과 수학적 모델은 선형으로 정의됩니다. 그렇지 않으면 모델은 비선형으로 고려됩니다. 선형성과 비선형성의 정의는 문맥에 따라 다르고, 선형 모델은 그것들에서 비선형 표현을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 통계적 선형 모델(statistical linear model)에서, 관계는 매개변수에서 선형이라고 가정하지만, 예측 변수에서는 비선형일 수 있습니다. 유사하게, 미분 방정식은 만약 그것이 선형 미분 연산자(differential operator)로 쓸 수 있으면 선형이라고 말해지지만, 여전히 그것에서 비선형 표현을 가질 수 있습니다. 수학적 프로그래밍(mathematical programming) 모델에서, 만약 목적 함수와 제약 조건이 완전하게 선형 방정식(linear equation)에 의해 표현되면, 그 모델은 선형 모델로 여겨집니다. 만약 하나 이상의 목적 함수 또는 제약 조건이 비선형(nonlinear) 방정식으로 표현되면, 그 모델은 비선형 모델로 알려져 있습니다.

선형 구조는 문제가 독립적으로 처리 및/또는 다른 스케일에서 분석될 수 있는 더 간단한 부분으로 분해될 수 있고 얻은 결과가 재구성되고 재조정될 때 초기 문제에 대해 유효한 상태로 유지될 것임을 의미합니다.
매우 단순한 시스템에서도, 비선형성은 종종 혼돈(chaos) 및 비가역성(irreversibility)과 같은 현상과 결합됩니다. 비록 예외가 있을지라도, 비선형 시스템과 모델은 선형 시스템과 모델보다 연구하기 어려운 경향이 있습니다. 비선형 문제에 대한 공통적인 접근 방식은 선형화(linearization)이지만, 만약 우리가 비선형과 강하게 묶여 있는 비가역성과 같은 측면을 연구하려고 시도하면 이것이 문제가 될 수 있습니다.

정적 대. 동적: 동적 모델은 시스템의 상태에서 시간-종속적 변화를 설명하고, 반면에 정적 (또는 정상-상태) 모델은 시스템을 평형 상태로 계산하고, 따라서 시간-불변입니다. 동적 모델은 전형적으로 미분 방정식(differential equation) 또는 차이 방정식(difference equation)에 의해 표현됩니다.
명시적 대. 암시적: 만약 전체 모델의 입력 매개변수의 모두가 알려져 있고, 출력 매개변수가 유한한 일련의 계산에 의해 계산될 수 있으면, 그 모델은 명시적이라고 말합니다. 그러나 때때로 그것이 알려져 있는 출력 매개변수이고, 해당 입력은 뉴턴의 방법(Newton's method) 또는 브로이든의 방법(Broyden's method)과 같은 반복적인 절차에 의해 해결되어야 합니다. 그러한 경우에서 그 모델은 암시적이라고 말합니다. 예를 들어, 터빈 및 노즐 목 넓이와 같은 제트 엔진(jet engine)의 물리적 속성은 특정 비행 조건과 전력 설정에서 주어진 설계 열역학적 주기(thermodynamic cycle) (공기와 연료 유량, 압력, 및 온도)에서 명시적으로 계산될 수 있지만, 다른 비행 조건과 전력 설정에서 엔진의 작동 주기는 일정한 물리적 속성에서 명시적으로 계산될 수 없습니다.
이산 대. 연속: 이산 모델(discrete model)은 분자 모델(molecular model)에서 입자 또는 통계 모델(statistical model)에서 상태와 같이 대상을 이산으로 취급합니다; 반면에 연속 모델(continuous model)은 파이프 흐름에서 유체의 속도 필드, 고체에서 온도와 응력, 및 점 전하로 인해 전체 모델에 걸쳐 연속적으로 적용되는 전기장과 같이 연속 방식에서 대상을 나타냅니다.
결정적 vs. 확률적 (통계적): 결정적(deterministic)모델은 모든 각 변수 상태의 집합이 모델에서 매개변수와 이들 변수의 이전 상태의 집합에 의해 고유하게 결정되는 모델입니다; 그러므로, 결정적 모델은 항상 주어진 초기 조건 집합에 대해 같은 방법으로 수행됩니다. 반대로, 확률적 모델에서, 보통 "통계적 모델(statistical model)"이라고 하며, 무작위성이 존재하고, 변수 상태는 고유한 값이 아니라 확률(probability) 분포로 설명됩니다.
연역적, 귀납적, 또는 유동적: 연역적 모델은 이론에 기반을 둔 논리적 구조입니다. 귀납적 모델은 그것들로부터 경험적 발견과 일반화에서 발생합니다. 유동적 모델은 이론에도 의존하지 않고 관찰에도 의존하지 않지만, 단지 예상되는 구조의 호출입니다. 경제학 이외의 사회 과학에서 수학의 적용은 근거가 없는 모델로 비판을 받아왔습니다.^[3] 과학에서 급변 이론(catastrophe theory)의 적용은 유동적 모델로 특징지어집니다.^[4]
전략적 대. 비-전략적 게임 이론(game theory)에서 사용되는 모델은 경쟁 종이나 경매 입찰자와 같이 양립할 수 없는 인센티브를 가진 에이전트를 모델링한다는 의미에서 다릅니다. 전략적 모델은 플레이어가 목적 기능을 극대화하는 행동을 합리적으로 선택하는 자율적인 의사 결정자라고 가정합니다. 전략적 모델 사용의 주요 과제는 내쉬 균형(Nash equilibrium)과 같은 해결책 개념(solution concepts)을 정의하고 계산하는 것입니다. 전략 모델의 흥미로운 속성은 게임 규칙에 대한 추론과 플레이어의 행동에 대한 추론을 분리한다는 것입니다.^[5]

Construction

영업(business)과 공학(engineering)에서, 수학적 모델은 특정 출력을 최대화하기 위해 사용될 수 있습니다. 고려 중인 시스템은 특정 입력을 요구할 것입니다. 입력과 출력을 연결하는 시스템은 결정 변수(decision variables), 상태 변수(state variable), 외인성(exogenous) 변수, 및 확률 변수(random variable)와 같은 다른 변수에도 의존합니다.

결정 변수는 때때로 독립 변수로 알려져 있습니다. 외인성 변수는 때때로 매개변수(parameter) 또는 상수(constant)로 알려져 있습니다. 그 변수는 상태 변수가 결정, 입력, 확률, 및 외인성 변수에 종속될 때 서로 독립적이지 않습니다. 게다가, 출력 변수는 (상태 변수에 의해 표시된) 시스템의 상태에 따라 달라집니다.

시스템과 사용자의 목적(objective)과 제약 조건(constraint)은 출력 변수 또는 상태 변수의 함수(function)로 나타낼 수 있습니다. 목적 함수(objective function)는 모델 사용자의 관점에 따라 달라질 것입니다. 문맥에 따라, 목적 함수는 역시 사용자가 관심을 가질 만한 측정이기 때문에 성능의 인덱스라고 합니다. 비록 모델이 가질 수 있는 목적 함수와 제약 조건의 수에는 제한이 없지만, 수가 증가함에 따라 모델을 사용하거나 최적화하는 것이 (계산적으로) 더 복잡해집니다.

예를 들어, 경제학자(economist)들은 입력-출력 모델(input-output model)을 사용할 때 종종 선형 대수(linear algebra)를 적용합니다. 많은 변수를 가지는 복잡한 수학적 모델은 하나의 기호가 여러 변수를 나타내는 벡터(vectors)의 사용에 의해 통합될 수 있습니다.

A priori information

To analyse something with a typical "black box approach", only the behavior of the stimulus/response will be accounted for, to infer the (unknown) *box*. The usual representation of this *black box system* is a data flow diagram centered in the box.

수학적 모델링 문제는 종종 시스템에 대한 이전(priori) 정보가 얼마나 많이 이용 가능한지에 따라 블랙 박스(black box) 모델 또는 화이트 박스(white box) 모델로 분류됩니다. 블랙-박스 모델은 이용-가능한 이전 정보가 없는 시스템입니다. 화이트-박스 모델 (역시 유리 상자 또는 투명 상자라고도 함)은 필요한 모든 정보가 이용-가능한 시스템입니다. 실질적으로 모든 시스템은 블랙-박스 모델과 화이트-박스 모델 사이에 있으므로, 이 개념은 어떤 접근 방식을 택할지 결정하기 위한 직관적인 가이드로만 유용합니다.

보통 모델을 보다 정확하게 만들기 위해 가능한 한 많은 이전 정보를 사용하는 것이 좋습니다. 그러므로, 만약 정보를 올바르게 사용했다면, 그 모델이 올바르게 작동할 것이기 때문에 화이트-박스 모델이 보통 더 쉽게 고려됩니다. 종종 이전 정보는 다른 변수와 관련하여 함수의 유형을 아는 형식으로 제공됩니다. 예를 들어, 만약 우리가 약이 인간 시스템에서 어떻게 작용하는지에 대한 모델을 만들면, 우리는 보통 혈액에 있는 약의 총양이 기하급수적으로 붕괴하는(exponentially decaying) 함수임을 알고 있습니다. 그러나 우리는 여전히 여러 미지수 매개변수를 남깁니다; 약의 총양이 얼마나 빨리 붕괴하고, 혈액 내 약의 초기 총양은 얼마입니까? 이 예제는 따라서 완전하게 화이트-박스 모델이 아닙니다. 이들 매개변수는 모델을 사용할 수 있기 전에 몇 가지 수단을 통해 추정되어야 합니다.

블랙-박스 모델에서 우리는 변수 사이의 관계의 함수형 형식과 해당 함수에서 수치적 매개변수 둘 다를 추정하려고 시도합니다. 이전 정보를 사용하여, 우리는, 예를 들어, 아마도 시스템을 적절하게 설명할 수 있는 함수의 집합과 함께 끝낼 수 있습니다. 만약 이전 정보가 없다면 우리는 모든 다른 모델을 다루기 위해 가능한 한 일반적인 함수를 사용하려고 시도할 것입니다. 블랙-박스 모델에 자주 사용되는 접근 방식은 보통 들어오는 데이터에 대한 가정을 만들지 않는 신경망(neural networks)입니다. 대안적으로, 비선형 시스템 식별(nonlinear system identification)의 일부로 개발된 NARMAX (외인성 입력을 갖는 비선형 자동-회귀 이동 평균 모델) 알고리듬은 모델 항을 선택, 모델 구조를 결정하고, 상관된 및 비선형 잡음의 존재에서 미지수 매개변수를 추정하기 위해 사용될 수 있습니다.^[6] 신경망에 비해 NARMAX 모델의 이점은 NARMAX가 기록할 수 있고 놓여있는 프로세스와 관련된 모델을 생성하고, 반면에 신경망은 불투명한 근사치를 생성한다는 것입니다.

Subjective information

때때로 주관적인 정보를 수학적 모델에 통합하는 것이 유용합니다. 이것은 직관, 경험, 또는, 전문가의 의견을 기반으로 수행될 수 있거나, 수학적 형식의 편리함을 바탕으로 수행될 수 있습니다. 베이즈 통계(Bayesian statistics)는 그러한 주관성을 엄격한 해석에 통합하기 위한 이론적 프레임워크를 제공합니다: 우리는 이전 확률 분포(prior probability distribution) (주관적일 수 있음)를 지정하고, 그런-다음 경험적 데이터를 기반으로 이 분포를 업데이트합니다.

그러한 접근 방법이 필요될 때의 예제는 실험자가 동전을 살짝 구부려 한 번 던지고 앞면이 나오는지 여부를 기록하고, 그런-다음 다음 동전이 앞면이 나올 확률을 예측하는 작업이 주어진 상황입니다. 동전을 구부린 후, 앞면이 나올 실제 확률은 미지수입니다; 따라서 실험자는 사용할 이전 분포에 대해 (아마도 동전의 모양을 봄으로써) 결정을 내려야 할 것입니다. 그러한 주관적인 정보의 통합은 확률의 정확한 추정치를 얻기 위해 중요할 수 있습니다.

Complexity

일반적으로, 모델 복잡성은 모델의 단순성과 정확성 사이의 거래를 포함합니다. Occam's razor는 특히 모델링과 관련된 원리로, 예측력이 거의 같은 모델 중에서 가장 단순한 것이 가장 바람직하다는 것이 핵심 아이디어입니다. 추가된 복잡성은 보통 모델의 현실성을 향상시키지만, 모델을 이해하고 분석하기 어렵게 만들 수 있고, 수치적 불안정성(numerical instability)을 비롯한 계산 문제를 일으킬 수도 있습니다. Thomas Kuhn은 과학이 진보함에 따라, 패러다임 전환(paradigm shift)이 근본적인 단순화를 제공하기 전에 설명이 더 복잡해지는 경향이 있다고 주장합니다.^[7]

예를 들어, 항공기 비행을 모델링할 때, 우리는 항공기의 각 기계 부품을 모델에 포함할 수 있고 따라서 시스템의 거의 화이트-박스 모델을 얻을 수 있습니다. 어쨌든, 그러한 엄청난 양의 세부 사항을 추가하는 계산 비용은 그러한 모델의 사용을 효과적으로 억제할 것입니다. 추가적으로, 각 개별 부품이 모델에 어느 정도의 분산을 유도하기 때문에, 지나치게 복잡한 시스템으로 인해 불확실성이 증가합니다. 따라서 보통 모델을 적절한 크기로 줄이기 위해 몇 가지 근사치를 만드는 것이 적절합니다. 공학자는 종종 더 강건하고 단순한 모델을 얻기 위해 몇 가지 근사치를 받아들일 수 있습니다. 예를 들어, 뉴턴의 고전 역학(classical mechanics)은 실제 세계의 근사 모델입니다. 그럼에도 불구하고, 뉴턴의 모델은 입자 속도가 빛의 속도(speed of light)보다 훨씬 낮고 우리가 거시-입자만 연구하는 한 대부분의 평범한 삶의 상황에 충분합니다.

더 나은 정확도가 반드시 더 나은 모델을 의미하는 것은 아님을 주목하십시오. 통계 모델(Statistical models)은 과적합(overfitting)되기 쉬우며 이것은 모델이 데이터에 너무 많이 적합되고 이전에 관찰되지 않은 새로운 사건으로 일반화하기 위한 능력을 상실했음을 의미합니다.

Training and tuning

순수한 화이트-박스가 아닌 임의의 모델은 설명하기 위해 의도된 시스템에 모델을 맞추기 위해 사용될 수 있는 몇 가지 매개변수(parameter)를 포함합니다. 만약 모델링이 인공 신경망 또는 다른 기계 학습에 의해 수행되면, 매개변수의 최적화는 훈련(training)이라고 불리고, 반면에 모델 초-매개변수의 최적화는 조율(tuning)이라고 불리고 종종 교차-검증(cross-validation)을 사용합니다.^[8] 명시적으로 주어진 수학적 함수를 통한 보다 전통적인 모델링에서, 매개변수는 종종 곡선 피팅(curve fitting)에 의해 결정됩니다.

Model evaluation

모델링 과정의 중요한 부분은 주어진 수학적 모델이 시스템을 정확하게 설명하는지 여부를 평가하는 것입니다. 이 질문은 여러 다른 유형의 평가를 포함하기 때문에 대답하기 어려울 수 있습니다.

Fit to empirical data

보통, 모델 평가의 가장 쉬운 부분은 모델이 실험 측정 또는 다른 경험적 데이터에 맞는지 확인하는 것입니다. 매개변수를 갖는 모델에서, 이 적합성을 테스트하는 공통적인 접근 방식은 데이터를 둘의 서로소 부분집합: 훈련 데이터와 검증 데이터로 분할하는 것입니다. 훈련 데이터는 모델 매개변수를 추정하기 위해 사용됩니다. 비록 이들 데이터가 모델의 매개변수를 설정하기 위해 사용되지 않더라도 정확한 모델은 검증 데이터와 거의 일치할 것입니다. 이 관행은 통계에서 교차-검증(cross-validation)으로 참조됩니다.

관측된 데이터와 예측된 데이터 사이의 거리를 측정하기 위한 메트릭(metric)을 정의하는 것은 모델 적합성을 평가하는 데 유용한 도구입니다. 통계, 의사결정 이론, 및 일부 경제 모델(economic model)에서, 손실 함수(loss function)는 유사한 역할을 합니다.

매개변수의 적합성을 테스트하는 것은 다소 간단하지만, 모델의 일반적인 수학적 형식의 유효성을 테스트하는 것이 더 어려울 수 있습니다. 일반적으로, 미분 방정식(differential equation)을 포함하는 모델보다 통계 모델(statistical model)의 적합성을 테스트하기 위해 더 많은 수학적 도구가 개발되어 왔습니다. 비-매개변수 통계(nonparametric statistics)에서 도구는 데이터가 알려진 분포에 얼마나 잘 맞는지 평가하거나 모델의 수학적 형식에 대한 최소한의 가정만 만드는 일반적인 모델을 만들기 위해 사용될 수 있습니다.

Scope of the model

모델의 범위를 평가하는 것, 즉, 모델을 적용할 수 있는 상황을 결정하는 것은 덜 간단할 수 있습니다. 만약 모델이 데이터 집합을 기반으로 구성되었다면, 우리는 알려진 데이터가 "전형적인" 데이터의 집합인 시스템이나 상황을 결정해야 합니다.

모델이 데이터 점들 사이의 시스템 속성을 잘 설명하는지 여부에 대한 질문은 보간법(interpolation)이라고 불리고, 관찰된 데이터 외부의 사건 또는 데이터 점에 대해 같은 질문은 외삽법(extrapolation)이라고 불립니다.

모델 범위의 전형적인 한계의 예제로, 뉴턴의 고전 역학(classical mechanics)에서, 우리는 뉴턴이 첨단 장비 없이 측정을 수행했기 때문에, 그는 빛의 속도에 가까운 속도로 이동하는 입자의 속성을 측정할 수 없었음을 알 수 있습니다. 마찬가지로, 그는 분자와 다른 작은 입자의 움직임을 측정하지 않고, 거대 입자만 측정했습니다. 그렇다면 그의 모델이 일상적인 생명 물리학에 충분함에도 불구하고 그의 모델이 이들 영역으로 잘 외삽되지 않는다는 것은 놀라운 일이 아닙니다.

Philosophical considerations

많은 유형의 모델링은 인과성(causality)에 대한 주장을 암시적으로 포함합니다. 이것은 보통 (그러나 항상 그런 것은 아님) 미분 방정식을 포함하는 모델에 해당됩니다. 모델링의 목적은 세상에 대한 우리의 이해를 높이는 것이므로, 모델의 유효성은 경험적 관찰에 대한 적합성뿐만 아니라, 모델에 원래 설명된 것 이상의 상황이나 데이터를 외삽하는 능력에 달려 있습니다. 우리는 이것을 질적 예측과 양적 예측 사이의 차이로 생각할 수 있습니다. 우리는 역시 연구 중인 현상에 대한 직접적인 조사에서 이미 알려진 것 이상의 어떤 통찰력을 제공하지 않은 한 모델은 가치가 없다고 주장할 수도 있습니다.

그러한 비판의 예제는 최적 채집 이론(optimal foraging theory)의 수학적 모델이 진화(evolution)의 상식적인 결론과 생태학의 다른 기본 원칙을 넘어서는 통찰력을 제공하지 않는다는 주장입니다.^[9]

Significance in the natural sciences

수학적 모델은 자연 과학, 특히 물리학(physics)에서 매우 중요합니다. 물리 이론(theories)은 거의 예외 없이 수학적 모델을 사용하여 표현됩니다.

역사를 통틀어, 점점 더 정확한 수학적 모델이 개발되어 왔습니다. 뉴턴의 법칙(Newton's laws)은 많은 일상적인 현상을 정확하게 설명하지만, 특정 극한에서 상대성 이론(theory of relativity)과 양자 역학(quantum mechanics)이 사용되어야 합니다.

사물을 단순화하기 위해 물리학에서 이상화된 모델을 사용하는 것이 공통적입니다. 질량이 없는 로프, 점 입자, 이상적인 기체(ideal gases), 및 상자 안의 입자(particle in a box)는 물리학에서 사용되는 많은 단순화된 모델 중에 있습니다. 물리학의 법칙은 뉴턴의 법칙, 맥스웰의 방정식(Maxwell's equations), 및 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)과 같은 간단한 방정식으로 표현됩니다. 이들 법칙은 실제 상황의 수학적 모델을 만들기 위한 기초입니다. 많은 실제 상황은 매우 복잡하고 따라서 컴퓨터에서 근사적으로 모델링되며, 컴퓨터에서 계산적으로 실행할 수 있는 모델은 기본 법칙에서 또는 기본 법칙에서 만들어진 근사 모델에서 만들어집니다. 예를 들어, 분자는 슈뢰딩거 방정식에 대한 근사적인 해인 분자 궤도(molecular orbital) 모델에 의해 모델링될 수 있습니다. 공학(engineering)에서, 물리학 모델은 종종 유한 원소 해석(finite element analysis)과 같은 수학적 방법에 의해 만들어집니다.

다른 수학적 모델은 필연적으로 우주의 기하학에 대한 정확한 설명이 아닌 다른 기하학을 사용합니다. 유클리드 기하학(Euclidean geometry)은 고전 물리학에서 많이 사용되고, 반면에 특수 상대성(special relativity)과 일반 상대성(general relativity)은 유클리드가 아닌 기하학(geometries)을 사용하는 이론의 예입니다.

Some applications

종종 공학자가 제어되거나 최적화될 시스템을 분석할 때, 그들은 수학적 모델을 사용합니다. 해석학에서, 공학자는 시스템의 작동 방법에 대한 가설로 시스템의 설명 모델을 구축하거나, 예측할 수 없는 사건이 시스템에 어떤 영향을 미칠 수 있는지 추정하려고 시도할 수 있습니다. 유사하게, 시스템 제어에서, 공학자는 모의실험(simulation)에서 다른 제어 접근 방식을 시도할 수 있습니다.

수학적 모델은 보통 변수의 집합(set)과 변수 사이의 관계를 수립하는 방정식의 집합에 의해 시스템을 설명합니다. 변수는 여러 유형: 예를 들어 실수 또는 정수, 부울 값, 또는 문자열일 수 있습니다. 변수는 시스템의 일부 속성, 예를 들어, 종종 신호(signal), 타이밍 데이터(timing data), 카운터, 및 이벤트 발생 (예/아니오)의 형식으로 측정된 시스템 출력을 나타냅니다. 실제 모델은 서로 다른 변수 사이의 관계를 설명하는 함수의 집합입니다.

Examples

컴퓨터 과학(computer science)에서 인기있는 예제 중 하나는 다양한 기계의 수학적 모델입니다. 예제는 추상적인 수학적 개념으로 정의되는 결정론적 유한 자동장치(deterministic finite automaton) (DFA)가 있지만, DFA의 결정론적 속성으로 인해, 그것이 하드웨어와 다양한 특정 문제를 해결하기 위한 소프트웨어로 구현 가능합니다. 예를 들어, 다음은 입력에 짝수 0이 포함되어야 하는 이진 알파벳을 갖는 DFA M입니다:

M = (Q, Σ, δ, q₀, F) 여기서

Q = {S₁, S₂},
Σ = {0, 1},
q₀ = S₁,
F = {S₁}, 및
δ는 다음 상태 전이 테이블(state transition table)에 의해 정의됩니다:

	0	1
S₁	S₂	S₁
S₂	S₁	S₂

상태 S₁은 지금까지 입력에서 0의 짝수개 있음을 나타내고, 반면에 S₂는 홀수를 의미합니다. 입력에서 A 1은 자동장치의 상태를 변경하지 않습니다. 입력이 끝났을 때, 상태는 입력에 짝수 개의 0이 포함되었는지 여부를 표시할 것입니다. 만약 입력이 짝수 개의 0을 포함했으면, M은 S₁, 승인 상태에서 끝날 것이므로, 입력 문자열이 승인될 것입니다.

M에 의해 인식된 언어는 정규 표현식(regular expression) 1*( 0 (1*) 0 (1*) )*에 의해 제공하는 정규 언어(regular language)이며, 여기서 "*"는 클레이니 별(Kleene star)입니다. 예를 들어 1*는 기호 "1"의 임의의 비-음의 숫자 (0도 가능)를 나타냅니다.

생각없이 수행되는 많은 일상 활동은 수학적 모델을 사용합니다. 지구의 영역을 작고 평평한 표면 위로의 지리학적 지도 투영(map projection)은 여행 계획과 같은 다양한 목적에 사용될 수 있는 모델입니다.^[10]

또 다른 간단한 활동은 이동된 거리가 시간과 속도의 곱이라는 방정식을 사용하여 초기 위치, 이동 방향, 및 이동의 속력에서 차량의 위치를 예측하는 것입니다. 이것은 더 공식적으로 사용될 때 추측 항법(dead reckoning)으로 알려져 있습니다. 이러한 방식에서 수학적 모델링은 반드시 형식적 수학을 필요로 하지는 않습니다; 동물은 추측 항법을 사용하는 것으로 나타났습니다.^[11]^[12]

인구 증가. 인구 증가의 간단한 (근사를 통한) 모델은 맬서스 성장 모델(Malthusian growth model)입니다. 약간 더 현실적이고 널리 사용되는 인구 증가 모델은 로지스틱 함수(logistic function)와 그 확장입니다.

퍼텐셜-필드에서 입장의 모델. 이 모델에서 우리는 입자를 공간에서의 좌표를 시간의 함수로 제공하는 함수에 의해 모델링되는 공간의 궤적을 설명하는 질량의 점으로 고려합니다. 퍼텐셜 필드는 함수 $V\!:\mathbb {R} ^{3}\!\rightarrow \mathbb {R}$ 와 궤적에 의해 주어지며, 즉 함수 $\mathbf {r} \!:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ 는 다음 미분 방정식의 해입니다:

-{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}m={\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial y}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} ,

이것은 역시 다음으로 쓸 수 있습니다:

m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V[\mathbf {r} (t)].

이 모델은 입자가 점질 량이라고 가정함을 주목해야 하며, 이것은 우리가 이 모델을 사용하는; 예를 들어, 행성 운동의 모델처럼 많은 경우에서 잘못된 것으로 알려져 있습니다.

소비자를 위한 합리적 행동의 모델. 이 모델에서, 우리는 소비자는 각각 시장 가격 p₁, p₂,..., p_n을 갖는 1,2,...,n으로 표시된 n 상품을 선택해야 한다고 가정합니다. 소비자는 소비된 상품 x₁, x₂,..., x_n의 총양에 따라 순서-숫자 효용(ordinal utility) 함수 U (각 효용의 수준이 아니라 두 효용 사이의 차이의 부호만 의미가 있다는 의미에서 순서-숫자)를 갖는다고 가정합니다. 이 모델은 나아가서 소비자가 U(x₁, x₂,..., x_n)을 최대화하는 그러한 방법으로 벡터 x₁, x₂,..., x_n을 구매하기 위해 사용되는 예산 M을 가지고 있다고 가정합니다. 이 모델에서 합리적인 행동의 문제는 그런-다음 수학적 최적화(mathematical optimization) 문제가 됩니다. 즉,

\max U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

subject to:

\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq M.

x_{i}\geq 0\;\;\;\forall i\in \{1,2,\ldots ,n\}

이 모델은 경제 균형의 존재와 파레토 효율성(Pareto efficiency)을 보여주기 위해 일반 균형 이론(general equilibrium theory)과 같은 넓고 다양한 경제 문맥에서 사용되어 왔습니다.

이웃-감지 모델은 초기에 혼란스러운 곰팡이(fungal) 네트워크에서 버섯(mushroom) 형성을 설명하는 모델입니다.
컴퓨터 과학(computer science)에서, 수학적 모델은 컴퓨터 네트워크를 모의실험하기 위해 사용될 수 있습니다.
역학(mechanics)에서, 수학적 모델은 로켓 모델의 움직임을 분석하기 위해 사용될 수 있습니다.

References

^ D. Tymoczko, A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice (Oxford Studies in Music Theory), Oxford University Press; Illustrated Edition (March 21, 2011), ISBN 978-0195336672
^ Andras Kornai, Mathematical Linguistics (Advanced Information and Knowledge Processing),Springer, ISBN 978-1849966948
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External links

General reference

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Philosophical

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[2] Andras Kornai, Mathematical Linguistics (Advanced Information and Knowledge Processing),Springer, ISBN 978-1849966948

[3] Andreski, Stanislav (1972). Social Sciences as Sorcery. St. Martin’s Press. ISBN 0-14-021816-5.

[4] Truesdell, Clifford (1984). An Idiot's Fugitive Essays on Science. Springer. pp. 121–7. ISBN 3-540-90703-3.

[5] Li, C., Xing, Y., He, F., & Cheng, D. (2018). A Strategic Learning Algorithm for State-based Games. ArXiv.

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[7] "Thomas Kuhn". Stanford Encyclopedia of Philosophy. 13 August 2004. Retrieved 15 January 2019.

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[11] Gallistel (1990). The Organization of Learning. Cambridge: The MIT Press. ISBN 0-262-07113-4.

[12] Whishaw, I. Q.; Hines, D. J.; Wallace, D. G. (2001). "Dead reckoning (path integration) requires the hippocampal formation: Evidence from spontaneous exploration and spatial learning tasks in light (allothetic) and dark (idiothetic) tests". Behavioural Brain Research. 127 (1–2): 49–69. doi:10.1016/S0166-4328(01)00359-X. PMID 11718884. S2CID 7897256.

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