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Mathematical notation

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Original article: w:Mathematical notation
For information on rendering mathematical formulae, see Help:Formula, Help:Displaying a formula, and Wikipedia:Manual of Style/Mathematics.
See also: List of mathematical symbols

수학적 표기법은 수학적 대상과 아이디어의 기호(symbol)적 표현의 시스템입니다. 수학적 표기법은 수학(mathematics), 물리적 과학(physical sciences), 공학(engineering), 및 경제학(economics)에서 사용됩니다. 수학적 표기법은 숫자 0, 1, 및 2; x, y, 및 z와 같은 변수(variables); "(" 및 "|"와 같은 구분 기호; sin과 같은 함수(function) 기호; "+"와 같은 연산자 기호; "<"와 같은 관계 기호(relational symbols), lim과 dy/dx와 같은 개념 기호; 펜로즈 그래픽 표기법(Penrose graphical notation)과 콕서터–딘킨 다이어그램(Coxeter–Dynkin diagram)과 같은 방정식(equation)과 복소 다이어그램 표기법과 같은 비교적 단순한 기호적 표현을 포함합니다.[1]

Definition

수학적 표기법은 수학에서 개념을 기록하는 데 사용되는 쓰기 시스템(writing system)입니다.

쓰기에 사용된 매체는 아래에 자세히 설명되어 있지만, 현재 공통적인 재료는 종이와 연필, 칠판과 분필 (또는 보드 마커), 및 전자 매체를 포함합니다. 수학적 개념을 시스템적으로 고수하는 것은 수학적 표기법의 기본 개념입니다. 관련된 개념에 대해, 논리적 논증(logical argument), 수학적 논리(mathematical logic), 및 모델 이론(model theory)을 참조하십시오.

Expressions

수학적 표현(mathematical expression)은 평가될 수 있는 기호의 수열입니다. 예를 들어, 만약 기호가 숫자를 나타내면, 그 표현은 괄호 안의 임의의 표현, 가능하면, 그 다음 지수와 근, 그런-다음 곱셈과 나눗셈, 및 마지막으로 덧셈 또는 뺄셈, 모두 왼쪽에서 오른쪽으로 수행된, 계산을 제공하는 전통적인 연산의 순서(order of operations)에 따라 평가됩니다.

컴퓨터 언어(computer language)에서, 이들 규칙은 컴파일러(compiler)에 의해 구현됩니다. 표현식 평가에 대한 자세한 내용에 대해, 컴퓨터 과학 주제: 열성 평가(eager evaluation), 지연 평가(lazy evaluation), 지름길 평가(shortcut evaluation), 및 평가 연산자(evaluation operator)를 참조하십시오.

Precise semantic meaning

현대 수학은 정확해야 하는데, 왜냐하면 모호한(ambiguous) 표기법은 형식적 증명(formal proof)을 허용하지 않기 때문입니다. 일부 대상 (예를 들어, 숫자, 모양, 패턴)에 대한 형식적 기호의 수열(sequence)로 표시되는 명제(statement)를 가진다고 가정합니다. 명제가 유효한 것으로 나타날 때까지, 그것들의 의미는 아직 해결되지 않았습니다. 추론 과정 동안, 우리는 기호를 아마도 모델(model)에서 표시된 그것들의 대상을 참조하도록 허용합니다. 해당 대상의 의미론(semantics)은 발견적(heuristic) 측면과 연역적(deductive) 측면을 가집니다. 어느 경우든, 우리는 해당 대상의 속성을 알고 싶을 수 있으며, 그런-다음 의도적 정의(intensional definition)에 나열할 수 있습니다.

이들 속성은 그런-다음 수학적 기호의 테이블(table of mathematical symbols)에서 일부 잘-알려져 있고 합의된 기호에 의해 표현될 수 있습니다. 이 수학적 표기법은 다음과 같은 주석을 포함할 수 있습니다:

다른 문맥에서, 같은 기호 또는 표기법은 다른 개념을 나타내기 위해 사용될 수 있습니다 (여러 기호가 같은 개념을 나타내기 위해 사용될 수 있는 것처럼). 그러므로, 수학적 쓰기를 완전하게 이해하기 위해서, 먼저 저자에 의해 주어진 표기법의 정의를 확인하는 것이 중요합니다. 이것은, 예를 들어, 만약 저자가 독자가 이미 사용 중인 표기법에 익숙하다고 가정하면 문제가 될 수 있습니다.

History

Main article: History of mathematical notation

Counting

숫자-세기(counting)를 나타내기 위한 수학적 표기법은 적어도 50,000년 전에 처음 개발된 것으로 믿어집니다[2]–손가락 세기(finger counting)와[3] 같은 초기 수학적 아이디어는 역시 암석, 막대기, 뼈, 점토, 돌, 나무 조각, 및 매듭지은 밧줄로 표현되어 왔습니다. 조각과 매듭이 있는 밧줄. 탈리 막대(tally stick)는 후기 구석기 시대(Upper Paleolithic)까지 거슬러 올라가는 계산 방법입니다. 아마도 가장 오래된 알려진 수학적 텍스트는 고대 수메르(Sumer)의 텍스트일 것입니다. 안데스(Andes)의 인구조사 키푸(Census Quipu)와 아프리카의 이상고 뼈(Ishango Bone)는 둘 다 수치적 개념을 설명하는 탈리 표식(tally mark) 방법을 사용했습니다.

숫자로 영(zero)의 개발은 초기 수학에서 가장 중요한 발전 중 하나입니다. 그것은 바빌로니아인과 그리스 이집트인에 의해 자리 표시자로 사용되었고, 그런-다음 마야인, 인도인, 및 아랍인에 의해 정수(integer)로 사용되었습니다 (자세한 정보에 대해 영의 역사(history of zero)를 참조하십시오).

Geometry becomes analytic

기하학(geometry)에서 가장 초기 수학적 관점은 세는 것에 적합하지 않았습니다. 자연수(natural number), 분수(fraction)와의 그것들의 관계, 및 연속(continuous) 양의 식별은 실제로 형식을 갖추기 위해 수천 년이 걸렸고, 표기법의 발전에 대해 허용되기 위해 훨씬 더 오래 걸렸습니다.

사실, 기하학이 수치적 표기법의 대상이 된 것은 르네 데카르트(René Descartes)에 의한 해석적 기하학(analytic geometry)을 발명하기 전까지는 아니었습니다.[4] 수학적 개념에 대해 몇 가지 기호적 지름길은 기하학적 증명의 출판에 사용되었습니다. 더욱이, 기하학의 정리와 증명 구조의 힘과 권위는, 예를 들어, 아이작 뉴턴(Isaac Newton)에 의한 Principia Mathematica와 같은 비-기하학적 논문에 큰 영향을 미쳤습니다.

Modern notation

18세기와 19세기는 오늘날 사용되는 것처럼 수학 표기법의 생성과 표준화를 보였습니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 현재 사용 중인 많은 표기법을 담당했습니다: 상수에 대해 a, b, c를, 미지수에 대해 x, y, z를, 자연 로그의 밑수에 대해 e를, 합계(summation)에 대해 시그마 (Σ)를, 허수 단위(imaginary unit)에 대해 i, 및 함수형 표기법 f(x)를 사용합니다. 그는 역시 아르키메데스 상수에 대해 π의 사용을 대중화했습니다 (윌리엄 오트레드(William Oughtred)의 더 빠른 표기법을 기반으로 한 이러한 방법에서 π의 사용에 대해 William Jones(윌리엄 존스)의 제안에 기인합니다).

게다가, 수학의 많은 분야는 표기법에 대해 그들의 창시자의 흔적이 남아 있습니다: 라이프니츠(Leibniz)의 미분 연산자,[5] 게오르크 칸토어(Georg Cantor)의 세는-숫자(cardinal) 무한대 (존 월리스(John Wallis)의 렘니스케이트(lemniscate) (∞)에 추가하여), 가우스(Gauss)의 합동(congruence) 기호 (≡), 기타 등등.

Computerized notation

TeX, LaTeX, 및, 보다 최근에, MathML과 같은 수학적으로 지향적인 마크업 언어는 다양한 수학적 표기법을 표현할 수 있을 만큼 충분히 강력합니다.

정리-증명 소프트웨어는 수학에 대해 자체 표기법과 함께 제공됩니다; OMDoc 프로젝트는 그러한 표기법에 대해 공개 공통 부분을 제공하려고 합니다; 그리고 MMT 언어는 다른 표기법 사이의 상호운용성을 위한 기반을 제공합니다.

Non-Latin-based mathematical notation

현대 아랍어 수학적 표기법(Modern Arabic mathematical notation)은 대부분 아랍어 알파벳(Arabic alphabet)을 기반으로 하고 아랍 세계(Arab world), 이전-대학 과정(tertiary education)에서 널리 사용됩니다.

(서양 표기법은 아라비아 숫자-표시(Arabic numerals)를 사용하지만, 아라비아 표기법은 역시 라틴 문자와 아라비아 스크립트를 갖는 관련된 기호로 대체합니다.)

아랍어 표기법 외에도, 수학은 역시 그리스 알파벳(Greek alphabet)을 다양한 수학적 대상과 변수를 표시하기 위해 사용합니다. 어떤 경우에서, 특정 히브리어 알파벳(Hebrew alphabet)은 역시 사용됩니다 (예를 들어, 무한 세는-숫자(infinite cardinal)의 문맥에서).

일부 수학적 표기법은 대부분 도식적이고, 따라서 거의 전체적으로 스크립트 독립적입니다. 예제는 펜로즈 그래픽 표기법(Penrose graphical notation)과 콕서터–딘킨 다이어그램(Coxeter–Dynkin diagram)입니다.

시각 장애인에 의해 사용되는 점자-기반 수학 표기법은 네메스 점자(Nemeth Braille)와 GS8 점자(GS8 Braille)를 포함합니다.

Encoding

스크립트 이름 ISO 15924 표준에서 수학적 표기법에 대해 코드는 Zmth 및 995입니다.[6]

See also

Notes

  1. ^ Helmenstine, Anne Marie (June 27, 2019). "Why Mathematics Is a Language". ThoughtCo. Retrieved 2020-08-08.
  2. ^ An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition) by Howard Eves (1990) p.9
  3. ^ Georges Ifrah notes that humans learned to count on their hands. Ifrah shows, for example, a picture of Boethius (who lived 480–524 or 525) reckoning on his fingers in Ifrah 2000, p. 48.
  4. ^ Boyer, C. B. (1959), "Descartes and the geometrization of algebra", The American Mathematical Monthly, 66 (5): 390–393, doi:10.2307/2308751, JSTOR 2308751, MR 0105335, The great accomplishment of Descartes in mathematics invariably is described as the arithmetization of geometry.
  5. ^ "Gottfried Wilhelm Leibnitz". Retrieved 5 October 2014.
  6. ^ "IETF Language Subtag Registry". IANA. 2021-08-06. Retrieved 10 September 2021.

References

External links

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