Normal (geometry)

기하학(geometry)에서, 법선(normal)은 주어진 대상에 수직(perpendicular)인 직선(line), 반직선(ray), 또는 벡터(vector)와 같은 대상입니다. 예를 들어, 주어진 점에서 평면 곡선(plane curve)에 대한 법선(normal line)은 그 점에서 곡선에 대한 접선(tangent line)에 수직(perpendicular)인 (무한) 직선입니다. 법선 벡터는 길이 일 (단위 벡터(unit vector))을 가질 수 있거나 그것의 길이가 대상의 곡률 (곡률 벡터(curvature vector))을 나타낼 수 있습니다; 그것의 대수적 기호(algebraic sign)는 변 (내부 또는 외부)을 나타낼 수 있습니다.

삼 차원에서, 점 $P$ 에서 표면(surface)에 대한 표면 법선(surface normal), 또는 간단히 법선(normal)은 $P$ 에서 표면의 접 평면(tangent plane)에 수직(perpendicular)인 벡터(vector)입니다. 단어 "법선"은 형용사로 역시 사용됩니다: 평면(plane)에 대한 법선인 직선(line), 힘(force)의 법선 성분, 법선 벡터(normal vector) 등이 있습니다. 법선성의 개념은 직교(orthogonality) (직각(right angle))로 일반화됩니다.

그 개념은 유클리드 공간(Euclidean space)에 삽입된 임의의 차원의 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)로 일반화되어 왔습니다. 점 $P$ 에서 매니폴드의 법선 벡터 공간(normal vector space) 또는 법선 공간(normal space)은 $P$ 에서 접 공간(tangent space)과 직교(orthogonal)인 벡터의 집합입니다. 법선 벡터는 매끄러운 곡선(smooth curves)과 매끄러운 표면(smooth surfaces)의 경우에서 특별히 흥미로운 것입니다.

법선은 플랫 셰이딩(flat shading)에 대해 광원(light source)을 향한 표면의 방향을 결정하거나, 퐁 셰이딩(Phong shading)과 함께 곡선화된 표면을 모방하기 위한 각 표면의 가장자리 (꼭짓점(vertices))의 방향을 결정하기 위해 3D 컴퓨터 그래픽 (단 하나의 법선이 정의될 것이므로, 단수에 주의)에서 종종 사용됩니다.

곡선 또는 표면까지의 점 Q의 법선 거리(normal distance)는 Q와 대상 위로 수직 투영 (법선이 Q를 포함하는 대상 위의 점 P에서) 사이의 유클리드 거리(Euclidean distance)입니다. 법선 거리는 점에서 직선까지의 거리(distance from a point to a line)와 점에서 평면까지의 거리(distance from a point to a plane)를 일반화한 수직 거리(perpendicular distance)의 한 유형입니다. 그것은 곡선 피팅(curve fitting)에 대해 사용될 수 있고 오프셋 표면(offset surface)을 정의하는 것에 대해 사용될 수 있습니다.

Normal to surfaces in 3D space

Calculating a surface normal

볼록(convex) 다각형(polygon) (예를 들어 삼각형(triangle))에 대해, 표면 법선은 다각형의 두 (비-평행) 가장자리의 벡터 교차 곱(cross product)으로 계산될 수 있습니다.

방정식 $ax+by+cz+d=0$ 에 의해 주어진 평면(plane)에 대해, 벡터 $\mathbf {n} =(a,b,c)$ 는 법선입니다.

그것의 방정식이 다음 매개변수 형식에서 주어진 평면에 대해:

\mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,

여기서 $\mathbf {r} _{0}$ 는 평면 위의 한 점이고 $\mathbf {p} ,\mathbf {q}$ 는 평면을 향하는 비-평행 벡터이며, 평면에 대한 법선은 교차 곱(cross product) $\mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q}$ 으로 구할 수 있는 $\mathbf {p}$ 와 $\mathbf {q}$ 둘 다에 법선인 벡터입니다.

만약 3-공간 $\mathbb {R} ^{3}$ 에서 (아마도 비-평탄) 표면 $S$ 가 $s$ 와 $t$ 실수(real) 변수를 갖는 곡선 좌표(curvilinear coordinates) $\mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$ 의 시스템에 의해 매개변수화(parameterized)되면, S에 대한 법선은 다음 부분 도함수(partial derivative)의 교차 곱에 의해 주어진 접 평면에 대한 정의에 의해 법선입니다:

\mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.

만약 표면 $S$ 가 $F(x,y,z)=0$ 을 만족시키는 점 $(x,y,z)$ 의 집합으로 암시적으로(implicitly) 주어지면, 표면 위의 점 $(x,y,z)$ 에서 법선은 다음 그래디언트(gradient)에 의해 제공됩니다:

\mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).

왜냐하면 임의의 점에서 그래디언트는 수준 집합 $S$ 에 수직이기 때문입니다.

$\mathbb {R} ^{3}$ 에서 함수 $z=f(x,y)$ 의 그래프로 주어진 표면 $S$ 에 대해, 위쪽-향하는 법선은 다음을 제공하는 매개변수화 $\mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),$ 또는 $\mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right)$ 을 제공하는 보다 간단하게 암시적 형식 $F(x,y,z)=z-f(x,y)=0$ 에서 구할 수 있습니다:

\mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);

표면은 특이 점(singular point)에서 접 평면을 가지지 않기 때문에, 그것은 해당 점: 예를 들어, 원뿔(cone)의 꼭짓점에서 잘-정의된 법선을 가지지 않습니다. 일반적으로, 립시츠 연속(Lipschitz continuous)인 표면에 대해 거의 모든 곳에서 법선을 정의하는 것이 가능합니다.

Choice of normal

(초)표면에 대한 법선은 보통 단위 길이(unit length)를 갖도록 스케일되지만, 반대 방향도 단위 법선이기 때문에, 그것은 고유한 방향을 가지지 않습니다. 삼 차원에서 집합의 토폴로지적 경계(topological boundary)인 표면에 대해, 우리는 안쪽-가리키는 법선(inward-pointing normal)과 바깥쪽-가리키는 법선(outer-pointing normal) 사이를 구분할 수 있습니다. 방향화된 표면(oriented surface)에 대해, 법선은 보통 오른손 규칙(right-hand rule) 또는 더 높은 차원에서 아날로그에 의해 결정됩니다.

만약 그 법선이 접선 벡터의 교차 곱으로 구성되면 (위 텍스트에서 설명한 대로), 그것은 유사-벡터(pseudovector)입니다.

Transforming normals

표면에 변환을 적용할 때, 종종 원래 법선에서 결과 표면에 대해 법선을 유도하는 것이 유용합니다.

구체적으로 특별히, 3x3 변환 행렬 $\mathbf {M}$ 이 주어지면, 우리는 다음 논리에 의해 접 평면 $\mathbf {t}$ 에 수직인 벡터 $\mathbf {n}$ 을 접 평면 $\mathbf {Mt}$ 에 수직인 벡터 $\mathbf {n} ^{\prime }$ 로 변환하는 행렬 $\mathbf {W}$ 을 결정할 수 있습니다:

n′를 $\mathbf {Wn}$ 으로 씁니다. 우리는 $\mathbf {W}$ 를 찾아야 합니다. ${\begin{alignedat}{5}W\mathbb {n} {\text{ is perpendicular to }}M\mathbb {t} \quad \,&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )\cdot (M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )^{\mathrm {T} }(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\left(\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }W^{\mathrm {T} }\right)(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }\left(W^{\mathrm {T} }M\right)\mathbb {t} \\\end{alignedat}}$

$W^{\mathrm {T} }M=I,$ 또는 $W=(M^{-1})^{\mathrm {T} },$ 를 만족하는 $\mathbf {W}$ 를 선택하는 것은 요구될 때 $M\mathbb {t}$ 에 수직인 $W\mathbb {n}$ , 또는 $\mathbf {t} ^{\prime }$ 에 수직인 $\mathbf {n} ^{\prime }$ 를 제공하는 위의 방정식을 만족시킬 것입니다.

그러므로, 우리는 표면 법선을 변환할 때 선형 변환의 역 전치를 사용해야 합니다. 역 전치는 만약 행렬이 직교, 즉, 스케일링 또는 전단없이 순전히 회전이면 원래 행렬과 같습니다.

Hypersurfaces in n-dimensional space

$n$ -차원 공간( $n$ -dimensional space) $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 $(n-1)$ -차원 초평면(hyperplane)에 대해 그것의 다음 매개변수 표현에 의해 주어지면

\mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n-1},

여기서 $\mathbf {p} _{0}$ 는 초평면 위의 한 점이고 $i=1,\ldots ,n-1$ 에 대해 $\mathbf {p} _{i}$ 가 초평면을 따라 가리키는 선형적으로 독립 벡터이며, 초평면에 대한 법선은 $P\mathbf {n} =\mathbf {0}$ 을 의미하는 행렬 $P={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n-1}\end{bmatrix}},$ 의 널 공간(null space)에서 임의의 벡터 $\mathbf {n}$ 입니다. 즉, 모든 평면-내 벡터에 수직인 임의의 벡터는 정의에 의해 표면 법선입니다. 대안적으로, 만약 초평면이 단일 선형 방정식 $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c$ 의 해 집합으로 정의되면, 벡터 $\mathbb {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ 는 법선입니다.

삼-차원 공간에서 표면에 대한 법선의 정의는 $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 $(n-1)$ -차원 초표면(hypersurface)으로 연장될 수 있습니다. 초표면은 방정식 $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0$ 을 만족시키는 점 $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 의 집합으로 암시적으로 지역적으로(locally) 정의될 수 있으며, 여기서 $F$ 는 주어진 스칼라 함수(scalar function)입니다. 만약 $F$ 가 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)이면 초평면은 그래디언트(gradient)가 영이 아닌 점의 이웃(neighbourhood)에서 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)입니다. 이들 점에서, 법선 벡터가 다음 그래디언트에 의해 주어집니다:

\mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.

법선(normal line)은 기저 $\{\mathbf {n} \}$ 를 갖는 일-차원 부분공간입니다.

Varieties defined by implicit equations in n-dimensional space

$n$ -차원 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 암시적 방정식에 의해 정의된 미분 다양체(differential variety)는 $n$ 변수에서 미분-가능 함수의 유한 집합의 공통 영들의 집합입니다:

f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).

다양체의 야코비 행렬(Jacobian matrix)은 $i$ -번째 행이 $f_{i}$ 의 그래디언트인 $k\times n$ 행렬입니다. 암시적 함수 정리(implicit function theorem)에 의해, 그 다양체는 야코비 행렬이 랭크 $k$ 를 가지는 점의 이웃에서 매니폴드(manifold)입니다. 그러한 점 $P$ 에서, 법선 벡터 공간(normal vector space)은 $f_{i}$ 의 그래디언트 벡터의 $P$ 에서 값에 의해 제공된 벡터 공간입니다.

다시 말해서, 다양체는 $k$ 초평면의 교집합으로 정의되고, 한 점에서 법선 벡터 공간은 그 점에서 초평면의 법선 벡터에 의해 생성된 벡터 공간입니다.

그 다양체의 한 점 $P$ 에서 법선 (아핀) 공간(normal (affine) space)은 $P$ 를 통과하는 아핀 부분공간(affine subspace)이고 $P$ 에서 법선 벡터 공간에 의해 생성됩니다.

이들 정의는 그 다양체가 매니폴드가 아닌 점에 대한 확장된 버바팀(verbatim)일 수 있습니다.

Example

V를 다음 방정식에 의한 삼-차원 공간에서 정의된 다양체로 놓습니다:

x\,y=0,\quad z=0.

이 다양체는 $x$ -축과 $y$ -축의 합집합입니다.

점 $(a,0,0)$ 에서, 여기서 $a\neq 0$ 이며, 야코비 행렬의 행은 $(0,0,1)$ 과 $(0,a,0)$ 입니다. 따라서 법선 아핀 공간은 방정식 $x=a$ 의 평면입니다. 유사하게, 만약 $b\neq 0$ 이면, $(0,b,0)$ 에서 법선 평면(normal plane)은 방정식 $y=b$ 의 평면입니다.

그 점 $(0,0,0)$ 에서, 야코비 행렬의 행은 $(0,0,1)$ 과 $(0,0,0)$ 입니다. 따라서 법선 벡터 공간과 법선 아핀 공간은 차원 1을 가지고 법선 아핀 공간은 $z$ -축입니다.

Uses

표면 법선은 벡터 필드(vector field)의 표면 적분(surface integral)을 정의하는 것에 유용합니다.
표면 법선은 종종 법선 매핑(normal mapping)에 의해 조절된 조명(lighting) 계산에 대해 3D 컴퓨터 그래픽(3D computer graphics)에서 공통적으로 사용됩니다 (램버트의 코사인 법칙(Lambert's cosine law)을 참조하십시오).
표면 법선 정보를 포함하는 렌더링 레이어(Render layers)는 렌더링된 요소의 겉보기 조명을 선택하기 위해 디지털 합성(Digital compositing)에서 사용될 수 있습니다.
컴퓨터 시각(computer vision)에서, 3D 물체의 모양은 광도계 스트레오(photometric stereo)를 사용하여 표면 법선에서 추정됩니다.^[1]

Normal in geometric optics

법선 반직선(normal ray)은 주어진 지점에서 광학 매체(optical medium)의 표면에 수직(perpendicular)인 바깥쪽-가리키는 반직선입니다.^[2] 빛의 반사(reflection of light)에서, 입사각(angle of incidence)과 반사각(angle of reflection)은 각각 (입사 평면(plane of incidence)에서) 법선과 투사 반직선(incident ray) 사이의 각도와 법선과 반사된 반직선(reflected ray) 사이의 각도입니다.

References

^ Ying Wu. "Radiometry, BRDF and Photometric Stereo" (PDF). Northwestern University.
^ "The Law of Reflection". The Physics Classroom Tutorial. Archived from the original on April 27, 2009. Retrieved 2008-03-31.

External links

Weisstein, Eric W. "Normal Vector". MathWorld.
An explanation of normal vectors from Microsoft's MSDN
Clear pseudocode for calculating a surface normal from either a triangle or polygon.

[1] Ying Wu. "Radiometry, BRDF and Photometric Stereo" (PDF). Northwestern University.

[2] "The Law of Reflection". The Physics Classroom Tutorial. Archived from the original on April 27, 2009. Retrieved 2008-03-31.

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