Parallelogram

Original article: w:Parallelogram

This article is about the quadrilateral shape. For the album by Linda Perhacs, see Parallelograms (album).

Parallelogram
This parallelogram is a rhomboid as it has no right angles and unequal sides.
Type	quadrilateral, trapezium
Edges and vertices	4
Symmetry group	C2, [2]+,
Area	b × h (base × height); ab sin θ (product of adjacent sides and sine of the vertex angle determined by them)
Properties	convex

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 평행사변형(parallelogram)은 두 쌍의 평행(parallel) 변을 갖는 단순(simple) (비-자체-교차하는(self-intersecting)) 사변형(quadrilateral)입니다. 평행 사변형의 반대편 또는 마주보는 변은 같은 길이를 갖고 평행 사변형의 반대편 각도는 같은 측정을 가집니다. 반대편 변과 반대편 각도의 합동(congruence)은 유클리드 평행 공준의 직접적인 결과이고 어느 조건도 유클리드 평행 공준(parallel postulate) 또는 그것의 동등한 공식화 중 하나에 호소없이 입증될 수 없습니다.

비교에 의해, 단지 한 쌍의 평행한 변을 갖는 사변형은 사다리꼴(미국:trapezoid, 영국:trapezium)입니다.

평행사변형의 삼-차원 짝은 평행육면체(parallelepiped)입니다.

어원(그리스어로 παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon, "평행 직선"의 모양)은 그 정의를 반영합니다.

Special cases

• 직사각형(Rectangle) – 같은 크기의 넷의 각도 (직각)을 갖는 평행사변형.
• 마름모(Rhombus) – 네 변의 길이가 같은 평행사변형. 직사각형도 아니고 마름모도 아닌 평행사변형은 전통적으로 rhomboid라고 불렸지만 이 용어는 현대 수학에서는 사용되지 않습니다.
• 정사각형(Square) – 같은 길이의 넷의 변과 같은 크기의 각도 (직각)을 갖는 평행사변형.

Characterizations

단순(simple) (비-자체-교차하는) 사변형(quadrilateral)이 평행사변형인 것과 다음 명제 중 임의의 하나가 참인 것은 필요충분(iff) 조건입니다:

• 두 쌍의 반대편 변이 평행입니다 (정의에 의해).
• 두 쌍의 반대편 변이 길이에서 같습니다.
• 두 쌍의 반대편 각도가 측정에서 같습니다.
• 대각선(diagonal)이 서로 이등분합니다.
• 한 쌍의 반대편 변이 평행(parallel)이고 길이에서 같습니다.
• 인접 각도(adjacent angles)는 보충적(supplementary)입니다.
• 각 대각선은 평행사변형을 둘의 합동(congruent) 삼각형(triangle)으로 나눕니다.
• 변의 제곱(square)의 합이 대각선의 제곱의 합과 같습니다. (이것이 평행사변형 법칙(parallelogram law)입니다.)
• 그것은 순서 2의 회전 대칭(rotational symmetry)을 가집니다.
• 임의의 내부 점에서 변까지의 거리의 합은 점의 위치와 독립적입니다. (이것은 비비아니의 정리(Viviani's theorem)의 확장입니다.)
• X를 통과하는 모든 각 직선이 사변형을 같은 넓이의 두 영역으로 나누는 속성을 갖는 사변형의 평면에서 점 X가 있습니다.

따라서 모든 평행사변형은 위에 나열된 모든 속성을 가지고, 전환적으로(conversely), 만약 이들 명제 중 단지 하나가 단순 사변형에서 참이면, 그것은 평행사변형입니다.

Other properties

• 평행사변형의 반대편 변은 (정의에 의해) 평행이고 따라서 결코 교차하지 않을 것입니다.
• 평행사변형의 넓이는 그것의 대각선 중 하나에 의해 생성된 삼각형의 넓이의 두 배입니다.
• 평행사변형의 넓이는 역시 두 인접(adjacent) 변의 벡터 교차 곱(vector cross product)의 크기와 같습니다.
• 평행사변형의 중간점을 통과하는 임의의 직선은 넓이를 이등분합니다.
• 임의의 비-퇴화 아핀 변환(affine transformation)은 평행사변형을 또 다른 평행사변형으로 취합니다.
• 평행사변형은 (180°을 통한) 순서 2의 회전 대칭(rotational symmetry)을 가집니다 (또는 만약 정사각형이면 순서 4). 만약 그것은 역시 정확하게 둘의 반사 대칭(reflectional symmetry)의 직선을 가지면 그것은 마름모 또는 오블롱 (비-정사각형 직사각형)이어야 합니다. 만약 그것이 넷의 반사 대칭의 직선을 가지면 그것은 정사각형(square)입니다.
• 평행사변형의 둘레는 2(a + b)이며 여기서 a와 b는 인접 변의 길이입니다.
• 임의의 다른 볼록 다각형과 달리, 평행사변형은 그것의 두 배 넓이보다 작게 갖는 임의의 삼각형에 내접될 수 없습니다.
• 평행사변형의 변에 내부 또는 외부로 모두로 구성된 넷의 정사각형의 중심은 정사각형의 꼭짓점입니다.
• 만약 평행사변형의 변에 평행한 두 직선이 대각선에 공점(concurrent)을 구성되면, 해당 대각선의 반대편 변 위에 형성된 평행사변형은 넓이에서 같습니다.
• 평행사변형의 대각선은 그것의 같은 넓이의 넷의 삼각형으로 나눕니다.

Area formula

A parallelogram can be rearranged into a rectangle with the same area.

Animation for the area formula $K=bh$.

일반 볼록 사변형에 대해 모든 넓이의 공식은 평행사변형에 적용됩니다. 추가적인 공식은 평행사변형에 특정됩니다:

밑변 b이고 높이 h를 갖는 평행사변형은 오른쪽 그림에서 보인 것처럼 사다리꼴(trapezoid)과 직각 삼각형(right triangle)으로 나뉘고, 직사각형(rectangle)으로 재배열될 수 있습니다. 이것은 평행사변형의 넓이(area)가 같은 밑변과 높이를 갖는 직사각형의 넓이와 같다는 것을 의미합니다:

$K=bh.$

The area of the parallelogram is the area of the blue region, which is the interior of the parallelogram

밑변 × 높이 넓이 공식은 역시 오른쪽 그림을 사용하여 유도할 수 있습니다. 오른쪽 평행사변형의 넓이 K (파란색 넓이)는 직사각형의 전체 영역에서 둘의 주황색 삼각형 넓이를 뺀 것입니다. 직사각형의 넓이는 다음입니다:

$K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,$

그리고 단일 주황색 삼각형의 넓이는 다음입니다:

$K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,$

그러므로, 평행사변형의 넓이는 다음입니다:

$K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.$

두 변 B와 C와 각도 θ에 대해 또 다른 넓이 공식은 다음입니다:

$K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,$

변 B와 C (B ≠ C) 및 대각선의 교차에서 각도 $\gamma$를 갖는 평행사변형의 넓이는 다음에 의해 제공됩니다:

$K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.$

평행사변형은 인접한 두 변의 길이 B와 C에서 어느 한 대각선의 길이 D₁과 함께 지정될 때, 넓이는 헤론의 공식(Heron's formula)에서 구할 수 있습니다. 구체적으로 그것은 다음입니다:

$K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}$

여기서 $S=(B+C+D_{1})/2$이고 선행 인수 2는 선택된 대각선이 평행사변형을 둘의 합동 삼각형으로 나눈다는 사실에서 옵니다.

Area in terms of Cartesian coordinates of vertices

벡터 $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}$라고 놓고 $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$가 a와 b의 원소를 갖는 행렬을 나타낸다고 놓습니다. 그런-다음 a와 b에 의해 생성된 평행사변형의 넓이는 $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$와 같습니다.

벡터 $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$라고 놓고 $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}$라고 놓습니다. 그런-다음 a와 b에 의해 생성된 평핸사변형의 넓이는 ${\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}$와 같습니다.

점 $a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}$이라고 놓습니다. 그런-다음 a, b, 및 c에서 꼭짓점을 갖는 평행사변형의 넓이는 다음처럼 a, b, 및 c를 행으로 사용하고 일을 사용하여 마지막 열을 덧붙인 것으로 만들어진 행렬의 행렬식의 절댓값과 동등합니다:

$K=\left|\,\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|.$

Proof that diagonals bisect each other

Parallelogram ABCD

평행사변형의 대각선이 서로 이등분됨을 입증하기 위해, 우리는 합동(congruent) 삼각형(triangle)을 사용할 것입니다:

$\angle ABE\cong \angle CDE$ (alternate interior angles are equal in measure)

$\angle BAE\cong \angle DCE$ (alternate interior angles are equal in measure).

(왜냐하면 이들이 횡단선이 평행 직선(parallel lines) AB와 DC로 만드는 각도이기 때문입니다).

역시 변 AB는 변 DC와 길이에서 같은데, 왜냐하면 평행사변형의 반대편 변은 길이에서 같기 때문입니다.

그러므로, 삼각형 ABE와 CDE는 합동입니다 (ASA 공준, 둘의 대응하는 각도와 포함된 변).

그러므로,

$AE=CE$

$BE=DE.$

대각선 AC와 BD가 서로 같은 길이의 선분으로 나누기 때문에, 대각선은 서로를 이등분합니다.

이와는 별도로, 대각선 AC와 BD는 점 E에서 서로 이등분하므로, 점 E는 각 대각선의 중간점입니다.

Lattice of parallelograms

평행사변형은 평행이동으로 평면을 타일링할 수 있습니다. 만약 가장자리가 같거나, 각도가 직각이면, 격자의 대칭이 더 높습니다. 이것들은 2차원에서 넷의 브라베 격자를 나타냅니다.

Lattices

Form	Square	Rectangle	Rhombus	Parallelogram
System	Square (tetragonal)	Rectangular (orthorhombic)	Centered rectangular (orthorhombic)	Oblique (monoclinic)
Constraints	α=90°, a=b	α=90°	a=b	None
Symmetry	p4m, [4,4], order 8n	pmm, [∞,2,∞], order 4n		p1, [∞+,2,∞+], order 2n
Form

Parallelograms arising from other figures

Proof without words of Varignon's theorem:

1. An arbitrary quadrilateral and its diagonals.
2. Bases of similar triangles are parallel to the blue diagonal.
3. Ditto for the red diagonal.
4. The base pairs form a parallelogram with half the area of the quadrilateral, A_q, as the sum of the areas of the four large triangles, A_l is 2 A_q (each of the two pairs reconstructs the quadrilateral) while that of the small triangles, A_s is a quarter of A_l (half linear dimensions yields quarter area), and the area of the parallelogram is A_q minus A_s.

Automedian triangle

자동-중앙선 삼각형(automedian triangle)은 그것의 중앙선(medians)이 (비록 다른 순서에서) 그것의 변과 비율이 같은 삼각형입니다. 만약 ABC가 꼭짓점 A가 변 a의 반대편 변을 의미하고, G가 도형중심(centroid) (여기서 ABC의 세 중앙선이 교차함)이고, AL은 ABC의 둘레원 위에 놓이는 L을 갖는 ABC의 연장된 중앙선 중 하나이면, BGCL은 평행사변형입니다.

Varignon parallelogram

임의적인 사변형의 변의 중간점(midpoint)은 그것의 바리논 평행사변형이라고 불리는 평행사변형의 꼭짓점입니다. 만약 사변형이 볼록(convex) 또는 오목(concave)이면 (즉, 비-자체-교차하지 것이며), 바리논 평행사변형의 넓이는 사변형의 넓이의 절반입니다.

Tangent parallelogram of an ellipse

타원(ellipse)에 대해, 두 지름은 켤레(conjugate)라고 말해지는 것과 한 지름의 끝점에서 타원에 대한 접선(tangent line)이 나머지 다른 지름과 평행인 것은 필요충분 조건입니다. 타원의 각 켤레 지름의 쌍은 켤레 지름의 네 끝점에서 타원에 대한 접선에 의해 형성된 해당하는 접 평행사변형(tangent parallelogram)을, 때때로 경계 평행사변형이라고 불림, 가집니다. 주어진 타원에 대해 모든 접 평행사변형은 같은 넓이를 가집니다.

켤레 지름의 임의의 쌍 또는 임의의 접 평행사변형에서 타원을 재구성하는 것이 가능합니다.

Faces of a parallelepiped

평행육면체(parallelepiped)는 그것의 여섯 면(faces)이 평행사변형인 삼-차원 도형입니다.

See also

• Fundamental parallelogram (disambiguation)
• Antiparallelogram

External links

• Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Weisstein, Eric W. "Parallelogram". MathWorld.
• Interactive Parallelogram --sides, angles and slope
• Area of Parallelogram at cut-the-knot
• Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
• Definition and properties of a parallelogram with animated applet
• Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet