Quartic function

Original article: wikipedia:Quartic function

This article is about the univariate case. For the bivariate case, see Quartic plane curve.

Graph of a polynomial of degree 4, with 3 critical points and four real roots (crossings of the x axis) (and thus no complex roots). If one or the other of the local minima were above the x axis, or if the local maximum were below it, or if there were no local maximum and one minimum below the x axis, there would only be two real roots (and two complex roots). If all three local extrema were above the x axis, or if there were no local maximum and one minimum above the x axis, there would be no real root (and four complex roots).

대수학(algebra)에서, 사차 함수(quartic function)는 다음 형식의 함수(function)입니다:

$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,$

여기서 a는 비-영이고, 사차 다항식(quartic polynomial)이라 불리는, 사차(degree)의 방정식(polynomial)에 의해 정의됩니다.

때때로 용어 복이차(biquadratic)는 사차(quartic) 대신에 사용되지만, 보통, 복이차 함수(biquadratic function)는 제곱의 이차 함수(quadratic function)를 참조하며 (또는, 동등하게, 홀수 차수의 항없이 사차 다항식에 의해 정의된 함수입니다), 다음의 형식을 가집니다:

$f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e.$

사차 방정식(quartic equation) 또는 사차의 방정식(equation of the fourth degree)은 사차 다항식을 0과 같게 하는 방정식으로써, 다음과 같은 형식입니다:

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,$

여기서 a ≠ 0입니다.

사차 함수의 도함수(derivative)는 삼차 함수(cubic function)입니다.

사차 함수는 짝수 차수의 다항식으로 정의되므로, 그것은 인수가 양 및 음의 무한대(infinity)로 갈 때 같은 무한 극한을 가집니다. 만약 a가 양수이면, 함수는 양쪽 끝에서 양의 무한대로 증가합니다; 따라서 함수는 전역 최솟값(global minimum)을 가집니다. 마찬가지로, 만약 a가 음수이면, 음의 무한대로 감소하고 전역 최댓값을 가집니다. 두 경우 모두에서, 그것은 다른 극댓값(local maximum)과 다른 극솟값(local minimum)을 가질 수도 있거나 그렇지 않을 수도 있습니다.

차수 사(사차(quartic)인 경우)는 모든 각 다항 방정식이 제곱근(radicals)에 의해 해결될 수 있는 가장-높은 차수입니다.

History

로도비코 페라리(Lodovico Ferrari)는 1540년에 사차에 대한 해를 발견한 것으로 인정받았지만, 이 해는, 사차의 모든 대수적 해와 마찬가지로, 구해야 할 삼차(cubic)의 해를 요구하므로, 그것은 즉시 출판될 수 없었습니다. 사차의 해는 페라리의 멘토 제롤라모 카르다노(Gerolamo Cardano)에 의해 그의 책 Ars Magna에서 삼차의 해와 함께 출판되었습니다.

소비에트 역사학자 디프만(I.Y. Depman)은, 훨씬 이전, 1486년에서, 스페인 수학자 발메스(Valmes)가 사차 방정식을 풀었다고 주장한 것에 대해 말뚝에서 화형(burned at the stake)되었다고 주장했습니다. 종교 심문관(Inquisitor General) 토마스 데 토르크마더(Tomás de Torquemada)의 주장한 바에 의하면 발메스에게 그러한 해결책이 인간 이해로 접근할 수 없는 것이 신의 뜻이라고 말했습니다. 어쨌든, 서부에서 디프만의 이 이야기를 대중화한 베크만(Beckmann)은 그것이 믿을 수 없는 것이고 그것은 소비에트 반종교 선전으로 발명되었을 수 있었을 것이라는 암시임을 말했습니다. 이 이야기의 베크만 버전은 여러 책과 인터넷 사이트에서, 보통 그의 승인없이 때때로 환상적인 뀌밈과 함께 광범위하게 복사되었습니다. 이 이야기 또는 심지어 발메스의 존재에 대해 확실한 증거를 찾으려는 여러 시도는 실패해 왔습니다.

사차는 이러한 해가 찾아질 수 있는 일반 다항식의 가장-높은 차수인 것의 증명은 1824년에 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)에서 처음으로 제공되었으며, 더-높은 차수 다항식을 풀려는 모든 시도는 쓸모가 없음을 증명했습니다. 나중에 1832년에 결투에서 죽기 전에 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)에 의해 남겨진 짧은-편지는 다항식의 근에 대한 우아하고 완전한 이론(complete theory)으로 이어졌으며, 이 이론은 하나의 결과였습니다.

Applications

두 원뿔 단면(conic section)의 교점의 각 좌표(coordinate)는 사차 방정식의 해입니다. 같은 것은 직선과 토러스(torus:원환체)의 교차에 대해 참입니다. 그것은, 사차 방정식이 계산 기하학(computational geometry)과 컴퓨터 그래픽(computer graphics), 컴퓨터-지원 설계(computer-aided design), 컴퓨터-지원 제조(computer-aided manufacturing) 및 광학(optics)과 같은 모든 관련 분야에서 종종 발생하는 것을 따릅니다. 여기에 그의 해는 사차 방정식을 푸는 것을 포함한 다른 기하학적 문제의 예제가 있습니다.

컴퓨터-지원 제조(computer-aided manufacturing)에서, 토러스는 엔드-밀(endmill) 단절기와 공통적으로 관련된 하나의 모양입니다. 삼각-분할된 표면에 상대적인 그의 위치를 계산하기 위해, z-축 위에 수평 토러스의 위치는 그것이 고정된 직선에 접하는 곳이 찾아져야 하고, 이것은 계산되어야 할 일반적인 사차 방정식의 해를 요구합니다.

사차 방정식은 교차된 사다리 문제(crossed ladders problem)를 해결하는 과정에서 역시 발생하며, 그것에서 두 교차된 사다리의 길이, 하나의 벽에 기초하고 다른 벽에 기대어 있는 각각은 그들이 교차하는 곳에서 높이와 함께 제공되고, 벽 사이의 거리는 구해져야 합니다.

광학에서, 알라젠의 문제(Alhazen's problem)는 "광원과 구면 거울이 주어지면, 거울에서 빛이 관찰자의 눈에 반사될 지점을 찾으십시오"입니다. 이것은 사차 방정식으로 이어집니다.

두 타원의 가장-가까운 접근의 거리(distance of closest approach of two ellipses)를 찾는 것은 사차 방정식을 푸는 것을 포함합니다.

4×4 행렬(matrix)의 고윳값(eigenvalue)은 행렬의 특성 다항식(characteristic polynomial)인 사차 다항식의 근입니다.

사차 선형 차이 방정식(difference equation) 또는 미분 방정식(differential equation)의 특성 방정식은 사차 방정식입니다. 예제는 빔 굽힘의 티모셴코-레일리 이론(Timoshenko-Rayleigh theory)에서 발생합니다.

구, 원기둥, 또는 다른 이차-초곡면(quadric) 사이의 교차(Intersections)는 사차 방정식을 사용하여 구할 수 있습니다.

Inflection points and golden ratio

F 및 G를 사차의 구별되는 변곡 점(inflection point)으로 놓고, H를 변곡 가름 직선(secant line:할선)과 F보다 G에 더 가까운 사차의 교차로 놓으면, G는 FH를 황금 분할(golden section)로 나눕니다:

${\frac {FG}{GH}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \;({\text{the golden ratio}}).$

게다가, 가름선과 가름선 아래의 사차 사이의 영역의 넓이는 가름선과 가름선 위의 사차 사이의 영역의 넓이와 같습니다. 그들 영역 중 하나는 같은 넓이의 부분-영역으로 분리됩니다.

Solution

Nature of the roots

실수 계수 및 a ≠ 0을 갖는 일반적인 사차 방정식이 주어지면,

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

그의 근의 본성은 다음과 같은 그의 판별식(discriminant)의 부호에 의해 주로 결정됩니다.

${\begin{aligned}\Delta \ =\ &256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}$

이것은 다음의 네 개의 다른 다항식의 부호를 고려함으로써 개선될 수 있습니다:

$P=8ac-3b^{2}$

P/8a²는 관련된 눌린 사차의 이차 계수로써 쓰입니다 (아래를 참조하십시오);

$R=b^{3}+8da^{2}-4abc,$

R/8a³는 관련된 눌린 사차의 일차 계수로써 쓰입니다

$\Delta _{0}=c^{2}-3bd+12ae,$

이것은, 만약 사차가 삼중 근을 가지면, 0입니다; 및

$D=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}$

이것은, 만약 사차가 두 개의 이중 근을 가지면, 0입니다.

근의 본성에 대해 가능한 경우는 다음입니다:

• 만약 ∆ < 0이면, 방정식은 두 구별되는 실수 근 및 두 복소수 켤레(complex conjugate) 비-실수 근을 가집니다.
• 만약 ∆ > 0이면, 방정식의 네 근은 모두 실수 또는 어떤 것도 실수가 아닌 것 중에 하나입니다:
  • 만약 P < 0 및 D < 0이면, 네 근은 실수이고 구별됩니다.
  • 만약 P > 0 또는 D > 0이면, 두 쌍의 비-실수 복소수 켤레 근입니다.
• 만약 ∆ = 0이면 (및 오직 그러면) 다항식은 중복(multiple) 근을 가집니다. 여기서 발생할 수 있는 다른 경우가 있습니다:
  • 만약 P < 0 및 D < 0 및 ∆₀ ≠ 0이면, 하나의 실수 이중 근과 두 실수 단순 근이 있습니다.
  • 만약 D > 0 또는 (P > 0 및 (D ≠ 0 또는 R ≠ 0))이면, 하나의 실수 이중 근과 두 복소수 켤레 근이 있습니다.
  • 만약 ∆₀ = 0 및 D ≠ 0이면, 하나의 삼중 근과 하나의 단순 근이 있고, 모두 실수입니다.
  • 만약 D = 0이면:
    • 만약 P < 0이면, 두 실수 이중 근이 있습니다.
    • 만약 P > 0 및 R = 0이면, 두 복소수 켤레 이중 근이 있습니다.
    • 만약 ∆₀ = 0이면, 모든 네 근은 −b/4a와 같습니다.

덮어지지 않을 것으로 보이는 어떤 경우가 있지만, 그들은 발생하지 않습니다. 예를 들어, ∆₀ > 0, P = 0 및 D ≤ 0은 경우의 하나가 아닙니다. 사실, 만약 ∆₀ > 0 및 P = 0이면, D > 0인데, 왜냐하면 $16a^{2}\Delta _{0}=3D+P^{2}$이기 때문입니다; 그래서 이 조합은 가능하지 않습니다.

General formula for roots

Solution of $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ written out in full. This formula is too unwieldy for general use; hence other methods, or simpler formulas for special cases, are generally used.

a ≠ 0을 가진 일반적인 사차 방정식

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

에 대해 네 근 x₁, x₂, x₃, 및 x₄은 다음 공식에서 제공되며, 이것은 변수를 다시 변경 (§ Converting to a depressed quartic를 참조하십시오)하고 이차(quadratic) 및 삼차 방정식(cubic equation)에 대한 공식을 사용하여 페라리의 방법(Ferrari's method)의 섹션에서 하나로부터 추론됩니다.

${\begin{aligned}x_{1,2}\ &=-{\frac {b}{4a}}-S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p+{\frac {q}{S}}}}\\x_{3,4}\ &=-{\frac {b}{4a}}+S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p-{\frac {q}{S}}}}\end{aligned}}$

여기서 p와 q는 관련된 눌린 사차(associated depressed quartic)에서 각각 이차와 일차의 계수입니다:

${\begin{aligned}p&={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}\end{aligned}}$

및 여기서

${\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {1}{3a}}\left(Q+{\frac {\Delta _{0}}{Q}}\right)}}\\Q&={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}+{\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}$

(만약 S = 0 또는 Q = 0이면, 아래의 § Special cases of the formula를 참조하십시오)

위에서,

${\begin{aligned}\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\\Delta _{1}&=2c^{3}-9bcd+27b^{2}e+27ad^{2}-72ace\end{aligned}}$

및

$\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}=-27\Delta \ ,$ where $\Delta$은 앞서-말한 판별식(discriminant)입니다. Q에 대한 삼차 근 표현에 대해, 복소 평면에서 세 개의 세제곱 근의 임의의 것은, 비록 그들 중 하나가 선택하기 위해 자연스럽고 가장-단순한 하나인 실수일지라도, 사용될 수 있습니다. 이들 마지막 네 항의 수학적 표현은 그들의 삼차 짝(cubic counterparts)의 그것과 매우 유사합니다.

Special cases of the formula

• 만약 $\Delta >0$이면, $Q$의 값은 비-실수 복소수입니다. 이 경우에서, 모든 근이 비-실수 또는 그들은 전부 실수 중 하나입니다. 후자의 경우에서, $S$의 값은, 비록 $Q$의 관점에서 표현될지라도, 역시 실수입니다; 이것은 사차의 현재 문맥으로 확장된 입방 함수의 기약 경우(casus irreducibilis)입니다. 우리는, 다음으로, 삼각 함수(trigonometric functions)를 사용하여, 순수하게 실수 방법으로 그것을 표현하는 것을 선호할 수 있습니다:

$S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\phi }{3}}}}$

여기서

$\phi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).$

• 만약 $\Delta \neq 0$ 및 $\Delta _{0}=0$이면, ${\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}$의 부호는 $Q\neq 0$을 가지도록 선택되어야 하며, 즉 우리는 $\Delta _{1}$의 부호를 유지하면서, ${\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}$을 $\Delta _{1}$으로 정의해야 합니다.
• 만약 $S=0$이면, 우리는 $S\neq 0$를 가지기 위해 $Q$에서 세제곱 근의 선택을 바꾸어야 합니다. 이것은, 사차가 $\left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}$으로 인수분해될 수 있는 것을 제외하고 항상 가능합니다. 결과는, 그런-다음 정확하지만, 오해하게 만드는데 왜냐하면 그것은 이 경우에서 세제곱 근이 필요하지 않다는 사실을 감추기 때문입니다. 사실 이 경우는, 만약 $q$의 분자(numerator)가 영이면 오직 발생할 수 있으며, 그 경우에서 결합된 눌린 사차(depressed quartic)는 복이차입니다; 그것은 따라서 아래(below)에서 묘사된 방법에 의해 풀릴 수 있습니다.
• 만약 $\Delta =0$와 $\Delta _{0}=0$이고, 따라서 역시 $\Delta _{1}=0$이면, 적어도 세 근이 서로 같고, 근은 계수의 유리 함수(rational function)입니다. 삼중 근 $x_{0}$는 사차와 그의 두 번째 도함수 $2(6ax^{2}+3bx+c)$의 공통 근입니다; 그것은 따라서 그의 두 번째 도함수에 의해 사차의 유클리드 나눗셈(Euclidean division)의 나머지의 역시 유일한 근이며, 나머지는 선형 다항식입니다. 단순 근 $x_{1}$은 $x_{1}+3x_{0}=-b/a$으로부터 추론될 수 있습니다.
• 만약 $\Delta =0$ 및 $\Delta _{0}\neq 0$이면, 근에 대해 유의 표현은 정확하지만 오해하게 만들며, 다항식이 비-기약(reducible)이고 세제곱 근은 근을 표현하기 위해 필요하지 않는다는 사실을 감춥니다.

Simpler cases

Reducible quartics

일반적인 사차를 생각해 보십시오:

$Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.$

그것은, 만약 Q(x) = R(x)×S(x)이면, 비-기약(reducible)인데, 여기서 R(x) and S(x)는 유리수(rational) 계수를 가진 (또는 보다 일반적으로 Q(x)의 계수로 같은 필드(field)에서 계수를 갖는) 비-상수 다항식입니다. 그러한 인수분해는 두 형식의 하나를 취할 것입니다:

$Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})$

또는

$Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).$

두 경우에서, Q(x)의 근은 인수의 근이며, 그것은 이차 함수(quadratic function) 또는 삼차 함수(cubic function)의 근에 대해 공식을 사용하여 계산될 수 있습니다.

그러한 인수분해의 존재를 발견하는 것은 Q(x)의 분해 삼차를 사용하여 수행될 수 있습니다. 그것은 다음임을 밝힙니다:

• 만약 우리가 R에 걸쳐 동작시키면 (즉, 만약 계수가 실수인 것으로 제한되면) (또는, 보다 일반적으로 어떤 실수 닫힌 필드(real closed field)에 걸쳐), 그러한 인수분해는 항상 있습니다;
• 만약 우리가 Q에 걸쳐 동작시키면 (즉, 만약 계수가 유리수인 것으로 제한되면), Q(x)가 비-기약인지 여부를 결정하는 것, 만약 그렇다면, 그것을 더 작은 차수의 다항식의 곱으로 어떻게 표현하는 것에 대한 알고리듬이 있습니다.

사실, 사차 방정식을 푸는 여러 방법 (페라리의 방법(Ferrari's method), 데카르트의 방법(Descartes' method), 및, 적은 정도로, 오일러의 방법(Euler's method))은 그러한 인수분해를 찾는 것에 기초합니다.

Biquadratic equation

만약 a₃ = a₁ = 0이면, 복이차 함수(biquadratic function)

$Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}\,\!$

는 복이차 방정식을 정의하며, 이것은 풀기가 쉽습니다.

임의의 변수 z = x²를 정합니다. 그런-다음 Q(x)는 z에서 이차(quadratic) q가 됩니다: z₊ 및 z₋을 q(z)의 근으로 놓습니다. 그런-다음 우리의 사차 Q(x)의 근은 다음입니다:

${\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}$

Quasi-palindromic equation

다항식

$P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}$

은 거의 회문(palindromic)인데, 왜냐하면 P(mx) = x⁴/m²P(m/x)이기 때문입니다 (만약 m = 1이면 그것은 회문입니다). P(x)/x² = 0에서 변수 z = x + m/x의 변경은 이차 방정식(quadratic equation) a₀z² + a₁z + a₂ − 2ma₀ = 0을 생성합니다. x² − xz + m = 0이므로, 사차 방정식 P(x) = 0은 두 번 이차 공식(quadratic formula)을 적용함으로써 해결될 수 있을 것입니다.

Solution methods

Converting to a depressed quartic

푸는 목적에 대해, 그것은 다음 간단한 변수의 변경에 의해 사차를 눌린 사차(depressed quartic)로 변환하는 것이 일반적으로 더 낫습니다. 모든 공식은 더 단순해지고 일부 방법은 이 경우에서 오직 작동합니다. 원래 사차의 근은 변수의 역 변경에 의해 눌린 사차의 근으로부터 쉽게 회복됩니다.

다음

$a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

을 우리가 풀기를 원하는 사차 방정식으로 놓습니다.

a₄로 나누어, 동등한 방정식 x⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0을 얻는데, 여기서 b = a₃/a₄, c = a₂/a₄, d = a₁/a₄, 및 e = a₀/a₄입니다. x에 대해 y − b/4를 치환하고, 항을 다시-묶은 후에, 방정식 y⁴ + py² + qy + r = 0을 제공하며, 여기서

${\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}$

만약 y₀가 이 눌린 사차의 근이면, y₀ − b/4 (즉 y₀ − a₃/4a₄)은 원래 사차의 근이고 원래 사차의 모든 각 근은 이 과정에 의해 획득될 수 있습니다.

Ferrari's solution

이전 섹션에서 표현된 것처럼, 우리는 눌린 사차 방정식으로 시작합니다:

$y^{4}+py^{2}+qy+r=0.$

이 눌린 사차는 로도비코 페라리(Lodovico Ferrari)에 의해 발견된 방법을 수단으로 해결될 수 있습니다. 눌린 방정식은 다음으로 다시-쓸 수 있습니다 (이것은 제곱을 전개하고 왼쪽 변에서 모든 항을 다시-묶음으로써 쉽게 확인될 수 있습니다):

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.$

그런-다음, 우리는 변수 m을 양쪽 변에 2y²m + pm + m²를 더함으로써 왼쪽 변에 대한 인수로 도입합니다. 오른쪽 변에서 y의 거듭제곱의 계수를 다시-묶은 후에, 이것은 다음 방정식을 제공합니다:

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=2my^{2}-qy+m^{2}+mp+{\frac {p^{2}}{4}}-r,$

(1)

이것은, 어떤 값이든 m에 제공됨에 따라, 원래 방정식과 동등합니다.

m의 값은 임의로 선택할 수 있으므로, 우리는 오른쪽 변에서 제곱식을 완성(complete the square)하기 위해 그것을 선택할 것입니다. 이것은이 2 차 방정식의 y에있는 판별 변수가 0, 즉 m이 방정식의 근본임을 의미합니다. 이것은 이 이차 방정식(quadratic equation)의 y에서 판별식(discriminant)이 영이 됨을 의미하며, 즉 m은 다음 방정식의 근입니다:

$(-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,$

이것은 다음으로 다시-쓸 수 있습니다:

$8m^{3}+8pm^{2}+(2p^{2}-8r)m-q^{2}=0.$

(1a)

이것은 사차 방정식의 분해 삼차(resolvent cubic)입니다. m의 값은 따라서 카르다노의 공식(Cardano's formula)으로부터 얻어질 수 있습니다. m이 이 방정식의 근일 때, 방정식 (1)의 오른쪽 변은 다음 제곱입니다.

$\left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.$

어쨌든, 이것은 만약 m = 0이면 영에 의한 나눗셈을 유도합니다. 이것은 q = 0을 의미하고, 따라서 해당 눌린 방정식은 복-이차식이고, 더 쉬운 방법으로 풀 수 있습니다 (위를 참조하십시오). 이것은, 우리가 숫자 계수를 갖는 오직 명시적으로 주어진 방정식을 풀었을 때, 페라리의 당시에는 문제가 되지 않았습니다. 항상 참인 일반적인 공식에 대해, 우리는 따라서 m ≠ 0를 만족하는 삼차 방정식의 근을 선택해야 합니다. 이것은 눌린 방정식 y⁴ = 0을 제외하고 항상 가능합니다.

이제, 만약 m은 m ≠ 0을 만족하는 삼차 방정식의 근이면, 방정식 (1)은 다음이 됩니다:

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.$

이 방정식은 형식 M² = N²의 것이며, 이것은 M² − N² = 0 또는 (M + N)(M − N) = 0으로 다시-정렬될 수 있습니다. 그러므로, 방정식 (1)은 다음으로 다시-쓸 수 있을 것입니다:

$\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.$

이 방정식은 각 인수에 이차 공식(quadratic formula)을 적용함으로써 쉽게 해결됩니다. 그들을 풀면 우리는 다음으로 네 근을 쓸 수 있을 것입니다:

$y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},$

여기서 ±₁ 및 ±₂은 + 또는 − 중의 하나를 나타냅니다. ±₁의 두 개의 발생은 반드시 같은 부호를 나타내야 하므로, 이것은 각 근에 대해 하나씩 네 가지 가능성을 남깁니다.

그러므로, 원래 사차 방정식의 해는 다음입니다:

$x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}.$

위의 일반적인 공식(general formula)과 비교는 √2m = 2S임을 보여줍니다.

Descartes' solution

데카르트는 1637년에 사차 방정식을 두 개의 이차 방정식으로 인수화함으로써 그것의 근을 찾는 방법을 도입했습니다.

다음을 놓습니다:

${\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}$

계수 동일화(equating coefficients)에 의해, 이것은 다음 방정식의 시스템을 결과로써 생깁니다:

$\left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.$

이것은 눌린 사차(depressed quartic) y⁴ + py² + qy + r로 다시 시작함으로써 단순화될 것이며, 이것은 x에 대해 y − b/4를 치환함으로써 얻어질 수 있습니다. y³의 계수는 0이므로, 우리는 s = −u를 얻고:

$\left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.$

우리는 이제 다음을 행함으로써 t와 v 둘 다를 제거할 수 있습니다:

${\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}$

만약 우리가 U = u²로 정하면, 이 방정식을 푸는 것은 다음 분해 삼차(resolvent cubic)의 근을 찾는 것이 됩니다.

$U^{3}+2pU^{2}+(p^{2}-4r)U-q^{2},$

(2)

이것은 다른 곳에서 행해집니다. 이 분해 삼차는 위에 주어진 분해 삼차와 동등한데, 왜냐하면 치환 U = 2m에 의해 알 수 있기 때문입니다.

만약 u가 이 분해의 비-영 근의 제곱근이면 (그러한 비-영 근은 사차 x⁴를 제외하고 존재하며, 이것은 자명한 인수분해입니다),

$\left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.$

이 해에서 대칭은 다음입니다. 삼차의 세 근이 있는데, 사차가 두 개의 이차로 인수화되는 세 가지 방법에 해당하고, 단지 U의 제곱근에 대해 u의 양 또는 음의 값을 선택하면 두 개의 이차를 서로 교환합니다.

위의 해는 유리수 계수와 삼차 항에 대한 영 계수를 갖는 사차 다항식이 유리수 계수와 함께 이차들로 인수화-가능한 것과 분해 삼차 (2)가 유리수의 제곱인 비-영 근을 가지는 것, 또는 p² − 4r가 유리수의 제곱 및 q = 0인 것 둘 중의 하나인 것과 필요충분 조건임을 보여줍니다; 이것은 유리 근 테스트(rational root test)를 사용하여 쉽게 확인될 수 있습니다.

Euler's solution

이전 방법의 변형은 오일러(Euler)에 기인입니다. 이전의 방법과는 달리, 이전의 둘 다는 분해 삼차의 일부 근을 사용하며, 오일러의 방법은 그들의 모두를 사용합니다. 눌린 사차 x⁴ + px² + qx + r를 생각해 보십시오. 그것을 관찰하십시오, 만약

• x⁴ + px² + qx + r = (x² + sx + t)(x² − sx + v),
• r₁ 및 r₂가 x² + sx + t의 근,
• r₃ 및 r₄가 x² − sx + v의 근

이면,

• x⁴ + px² + qx + r의 근은 r₁, r₂, r₃, 및 r₄이고,
• r₁ + r₂ = −s이고,
• r₃ + r₄ = s입니다.

그러므로, (r₁ + r₂)(r₃ + r₄) = −s²입니다. 달리 말해서, −(r₁ + r₂)(r₃ + r₄)가 분해 삼차 (2)의 근 중 하나이고 이것은 그 삼차의 근이 −(r₁ + r₂)(r₃ + r₄), −(r₁ + r₃)(r₂ + r₄), 및 −(r₁ + r₄)(r₂ + r₃)임을 제안합니다. 이것은 실제로 참이고 그것은 비에타의 공식(Vieta's formulas)으로부터 따릅니다. 그것은 비에타의 공식과 함께 우리가 눌린 사차와 작동하는 중인 것, r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = 0인 사실로부터 역시 따릅니다. (물론, 이것은 r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = −s + s인 사실로부터 역시 따릅니다.) 그러므로, 만약 α, β, 및 γ가 분해 삼차의 근이면, 숫자 r₁, r₂, r₃, 및 r₄는 다음을 만족하는 것입니다:

$\left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.$

그것이 r₁ + r₂가 α의 제곱 근이고 r₃ + r₄가 α의 다른 제곱 근이라는 첫 번째 두 방정식의 결과입니다. 같은 이유에 대해,

• r₁ + r₃는 β의 제곱 근입니다,
• r₂ + r₄는 β의 다른 제곱 근입니다,
• r₁ + r₄는 γ의 제곱 근입니다,
• r₂ + r₃는 γ의 다른 제곱 근입니다.

그러므로, 숫자 r₁, r₂, r₃, 및 r₄는 다음을 만족하는 것입니다:

$\left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.$

제곱 근의 부호는 아래에서 다루어질 것입니다. 이 시스템의 유일한 해는 다음입니다:

$\left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.$

각 제곱 근에 대해, 일반적으로, 두 선택이 있으므로, 그것은, 이것이 집합 {r₁, r₂, r₃, r₄}에 대해 8 (= 2³) 선택을 제공하는 것처럼 보일 수 있을 것이지만, 실제로는, 그것은 2보다 많은 그러한 선택은 제공되지 않는데, 왜냐하면 제곱 근의 하나를 대칭 제곱 근으로 바꾸는 것의 결과는 집합 {r₁, r₂, r₃, r₄}이 집합 {−r₁, −r₂, −r₃, −r₄}이 되는 것이기 때문입니다.

제곱 근의 올바른 부호를 결정하기 위해, 우리는 단순히 숫자 α, β, 및 γ의 각각에 대해 어떤 제곱 근을 선택하고 그들을 이전 방정식으로부터 숫자 r₁, r₂, r₃, 및 r₄를 계산하기 위해 사용합니다. 그런-다음, 우리는 숫자 √α√β√γ를 계산합니다. α, β, 및 γ는 (2)의 근이므로, 그것은, 그들 곱이 q²와 같고 그러므로 √α√β√γ = ±q인 비에타의 공식의 하나의 결과입니다. 그러나 단순 계산은 다음임을 보입니다:

√α√β√γ = r₁r₂r₃ + r₁r₂r₄ + r₁r₃r₄ + r₂r₃r₄.

만약 이 숫자가 −q이면, 제곱 근의 선택은 좋은 것이었습니다 (다시, 비에타의 공식에 의해); 그렇지 않으면, 다항식의 근은 −r₁, −r₂, −r₃, 및 −r₄가 될 것이며, 이것은 만약 제곱 근의 하나가 대칭 제곱 근으로 바뀌면, 획득된 숫자입니다 (또는 만약 세 제곱 근의 각각이 대칭의 것으로 바뀌면, 총합이 같은 것에 이르는 것입니다).

이 논증은 제곱 근의 선택의 또 다른 방법을 제안합니다:

• α의 임의의 제곱 근 √α 및 β의 임의의 제곱 근 √β을 선택하십시오;
• √γ을 $-{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}$로 정의하십시오.

물론, 이것은, 만약 α 또는 β가 0과 같아지면 의미없을 것이지만, 0은 q = 0일 때, 즉, 우리가 복이차 방정식(biquadratic equation)을 다룰 때 오직 (2)의 근이며, 이 경우에서 더 간단한 접근이 있습니다.

Solving by Lagrange resolvent

네 원소에 대한 대칭 그룹 대칭 그룹(symmetric group) S₄은 정규 부분-그룹(normal subgroup)으로 클레인 네-그룹(Klein four-group)을 가집니다. 이것은 그의 근이 이산 푸리에 변환 또는 근의 아다마르 행렬(Hadamard matrix) 변환으로 다양하게 묘사될 수 있는 분해 삼차를 사용하여 제안합니다; 일반적인 방법에 대해 라그랑주 분해(Lagrange resolvents)를 참조하십시오. x⁴ + bx³ + cx² + dx + e의 네 근을 0에서 3까지 i에 대해, x_i로 표시합니다. 만약 우리가 다음을 설정하면:

${\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}$

변환이 대합이므로, 우리는 정확하게 같은 방법으로 네 개의 s_i의 관점으로 근을 표현할 수 있을 것입니다. 우리는 값 s₀ = −b/2을 알고 있으므로, 우리는 s₁, s₂ 및 s₃에 대해 값이 오직 필요합니다. 이들은 다음 방정식의 근입니다:

$(s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).$

s_i을 x_i의 관점에서 그들의 값으로 치환하면, 이 다항식은 그의 계수가 x_i에서 대칭 다항식(symmetric polynomial)인 s에서 다항식 다항식을 전개될 것입니다. 대칭 다항식의 기본 정리(fundamental theorem of symmetric polynomials)에 의해, 이들 계수는 일계수 사차의 계수에서 다항식으로 표현될 수 있을 것입니다. 만약, 단순화에 대해, 우리가 사차가 눌린 것, 즉 b = 0으로 가정하면, 이것은 다음 다항식이 결과로써 생깁니다:

$s^{6}+2cs^{4}+(c^{2}-4e)s^{2}-d^{2}$

(3)

이 다항식은 차수 6이지만, s²에서 오직 차수 3이고, 그러므로 해당하는 방정식은 삼차 함수(cubic function)에 대한 기사에서 묘사된 방법으로 해결될 수 있습니다. s_i의 관점에서 x_i의 표현에서 근을 치환함으로써, 우리는 근에 대해 표현을 얻습니다. 사실 우리는, 분명하게, 삼차 다항식의 근 및 그들의 제곱 근에 주어진 부호의 번호를 매기는 것에 의존하여, 여러 표현을 얻습니다. 모든 이들 다른 표현은 단순히 x_i의 번호를 매기는 것을 변화시킴으로써 그들 중 하나로부터 추론될 수 있을 것입니다.

이들 표현은, 단위의 세제곱 근(cubic roots of unity)을 포함하여, 불필요하게 복잡한데, 이것은 다음으로 피할 수 있습니다. 만약 s가 (3)의 임의의 비-영 근이고, 우리가 다음

${\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}$

을 정하면,

$F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.$

우리는 그러므로 s에 대해 풀고 그런-다음 이차 공식(quadratic formula)을 사용하여 두 인수의 근에 대해 해결함으로써 사차를 풀 수 있습니다.

이것은 데카르트의 방법(Descartes' method)에 의해 생성된 공식으로 근에 대해 정확하게 같은 공식을 제공합니다.

Solving with algebraic geometry

대수 기하학을 사용하여 대안적인 해가 있습니다. 간단히 말하면, 우리는 근을 두 개의 이차 곡선의 교점으로 해석하며, 그런-다음 이들 점을 통과하는 세 개의 비-기약 이차 곡선(reducible quadratic curves) (직선의 쌍)을 찾고 (이것은 분해 삼차에 해당하고, 직선의 쌍이 라그랑주의 분해입니다), 그런-다음 이차를 풀기 위해 이들 선형 방정식을 사용합니다.

눌린 사차 x⁴ + px² + qx + r = 0의 네 근은 두 이차 방정식 y² + py + qx + r = 0과 y − x² = 0의 교점의 x 좌표로 역시 표현될 수 있을 것입니다. 즉, 치환 y = x²을 사용함으로써 네 점에서 교차하는 두 이차식은 베지에의 정리(Bézout's theorem)의 한 예제입니다. 명시적으로, 네 점은 사차의 네 근 x_i에 대해 P_i ≔ (x_i, x_i²)입니다.

이들 네 점은 같은-직선 위에 없는데 왜냐하면 그들은 기약 이차 y = x² 위에 놓이고 따라서 이들 점을 통과하는 이차들의 1-매개-변수 가족 (하나의 곡선의 연필(pencil of curves))이기 때문입니다. 두 이차의 투영법을 세 가지 변수에 이차 형식(quadratic form)으로 쓰면:

${\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}$

연필은 투영 직선에서 임의의 점 [λ, μ]에 대해 형식 λF₁ + μF₂에 의해 제공됩니다 – 달리 말해서, 여기서 λ 및 μ는 둘 다 영이 아니고, 이차 형식에 상수를 곱하면 이차 곡선의 영은 변하지 않습니다.

이 연필은 세 비-기약 이차를 포함하는데, 각각은 직선의 쌍에 해당하고, 각각은 네 점의 두 개를 통과하며, 이것은 $\textstyle {\binom {4}{2}}$ = 6 다른 방법으로 행해질 수 있습니다. 이들을 Q₁ = L₁₂ + L₃₄, Q₂ = L₁₃ + L₂₄, 및 Q₃ = L₁₄ + L₂₃으로 표시합니다. 이들의 임의의 두 개가 주어지면, 그들의 교점은 정확하게 네 점입니다.

비-기약 이차식은, 차례로, 이차 형식 λF₁ + μF₂을 3×3 행렬로 표현함으로써 결정될 수 있을 것입니다: 비-기약 이차들은 특이점을 가진 이 행렬에 해당하며, 그것은 행렬식이 영이 되는 것과 동등하고, 행렬식이 λ 및 μ에서 동차 세 다항식이고 분해 삼차에 해당합니다.

See also

• Linear function
• Quadratic function
• Cubic function
• Quintic function
• Polynomial
• Newton's method

Further reading

• Carpenter, W. (1966). "On the solution of the real quartic". Mathematics Magazine. 39: 28–30. doi:10.2307/2688990.
• Yacoub,M.D.; Fraidenraich, G. (July 2012). "A solution to the quartic equation". Mathematical Gazette. 96: 271–275. doi:10.1017/s002555720000454x.

External links

• Quartic formula as four single equations at PlanetMath.org.
• Ferrari's achievement