Rectangle

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Rectangle
Rectangle
Type	quadrilateral, trapezium, parallelogram, orthotope
Edges and vertices	4
Schläfli symbol	{ } × { }
Coxeter–Dynkin diagrams
Symmetry group	Dihedral (D2), [2], (*22), order 4
Properties	convex, isogonal, cyclic Opposite angles and sides are congruent

유클리드 평면 기하학(Euclidean plane geometry)에서, 직사각형은 넷의 직각(right angle)을 갖는 사변형(quadrilateral)입니다. 그것은 역시 다음과 같이 정의될 수 있습니다: 등각 사변형, 왜냐하면 등각은 모든 그것의 각도가 같음 (360°/4 = 90°)을 의미하기 때문입니다; 또는 직각을 포함하는 평행사변형. 넷의 같은 길이의 변을 갖는 직사각형은 정사각형(square)입니다. 용어 오블롱(oblong)은 때때로 정사각형이 아닌 직사각형을 참조하기 위해 사용됩니다. 꼭짓점 ABCD를 갖는 직사각형은  ABCD로 표시됩니다.

단어 rectangle는 라틴어(Latin) rectangulus에서 유래하며, 이것은 rectus (형용사로, 똑바른, 적절한) 및 angulus (각도)의 조합입니다.

교차된 직사각형(crossed rectangle)은 두 대각선을 따라 직사각형의 둘의 반대편 변으로 구성하는 교차된 (자체-교차하는) 사변형입니다 (따라서 오직 두 변이 평행합니다). 그것은 역평행사변형(antiparallelogram)의 특별한 경우이고, 그것의 각도는 직각이 아니고 비록 반대편 각도가 같더라도 모두 같지는 않습니다. 구형(spherical), 타원형(elliptic), 및 쌍곡형(hyperbolic)과 같은 다른 기하학은 직각이 아닌 길이에서 같은 변과 같은 각도를 갖는 소위 직사각형을 가집니다.

직사각형은 평면을 직사각형으로 타일링(tiling)하거나 다각형(polygon)으로 직사각형을 타일링하는 것과 같은 많은 타일링 문제와 관련됩니다.

Characterizations

볼록(convex) 사변형(quadrilateral)이 직사각형인 것과 다음 중 임의의 하나인 것은 필요충분(iff) 조건입니다:

• 적어도 하나의 직각(right angle)을 갖는 평행사변형(parallelogram)
• 같은 길이의 대각선(diagonal)을 갖는 평행사변형
• 삼각형(triangle) ABD와 DCA가 합동(congruent)인 평행사변형 ABCD
• 등각 평행사변형
• 넷의 직각을 갖는 사변형
• 두 대각선이 길이에서 같고 서로를 이등분(bisect)하는 사변형
• 그것의 넓이가 ${\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)$인 연속적인 변 a, b, c, d를 갖는 볼록 사변형.
• 그것의 넓이가 ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}$인 연속적인 변 a, b, c, d를 갖는 볼록 사변형.

Classification

A rectangle is a special case of both parallelogram and trapezoid. A square is a special case of a rectangle.

Traditional hierarchy

직사각형은 인접한 변(sides)의 각 쌍이 수직(perpendicular)인 평행사변형(parallelogram)의 특수한 경우입니다.

평행사변형은 양쪽 쌍의 반대편 변이 평행(parallel)하고 길이(length)에서 같은(equal) 사다리꼴(trapezoid)의 특수한 경우입니다.

사다리꼴은 적어도 한 쌍의 평행(parallel) 반대쪽 변을 가지는 볼록(convex) 사변형(quadrilateral)입니다.

볼록 사변형은 다음입니다:

• 단순(Simple): 경계는 스스로 교차하지 않습니다.
• 별-모양(Star-shaped): 전체 내부는 임의의 가장자리 교차없이 단일 점에서 보일 수 있습니다.

Alternative hierarchy

드 빌리에(De Villiers)는 직사각형을 더 일반적으로 반대쪽 변의 각 쌍을 통해 대칭의 축(axes of symmetry)을 갖는 임의의 사변형으로 정의합니다. 이 정의는 직각 직사각형과 교차된 직사각형 둘 다를 포함합니다. 각각은 한 쌍의 반대쪽 변에 평행하고 같은-거리에 있는 대칭축을 가지고, 다른 하나는 그들의 변의 수직(perpendicular) 이등분선이지만, 교차된 직사각형의 경우에서, 첫 번째 축(axis)은 그것이 양분하는 어느 한 변에 대해 대칭(symmetry)의 축이 아닙니다.

둘의 대칭 축을 갖는 사변형은, 각각 반대쪽 한 쌍의 변을 통과하며, 한 쌍의 반대쪽 변을 통해 적어도 하나의 대칭의 축을 갖는 더 큰 사변형의 클래스에 속합니다. 이들 사변형은 이등변 사다리꼴(isosceles trapezia)과 교차된 이등변 사다리꼴 (이등변 사다리꼴과 같은 꼭짓점 배열(vertex arrangement)을 갖는 교차된 사변형)으로 구성됩니다.

Properties

Symmetry

직사각형은 순환적(cyclic)입니다: 모든 모서리(corner)는 단일 원(circle) 위에 놓입니다.

그것은 등각(equiangular)입니다: 모든 그것의 모서리 각도(angle)는 같습니다 (각각은 90 도(degrees)입니다).

그것은 등각형(isogonal) 또는 꼭짓점-전이(vertex-transitive)입니다: 모든 모서리는 같은 대칭 궤도(symmetry orbit) 내에 놓입니다.

그것은 반사적 대칭의 두 직선(line)을 가지고 (180°를 통한) 순서 2의 회전적 대칭(rotational symmetry)을 가집니다.

Rectangle-rhombus duality

직사각형의 이중 다각형(dual polygon)은 아래 테이블에서 보인 것처럼 마름모(rhombus)입니다.

직사각형	마름모
모든 각도는 같습니다.	모든 변은 같습니다.
교대하는 변은 같습니다.	교대하는 각도는 같습니다.
그것의 중심은 그것의 꼭짓점(vertices)에서 등거리에 있고, 따라서 그것은 둘레원(circumcircle)을 가집니다.	그것의 중심은 그것의 변에서 등거리에 있고, 따라서 그것은 내원을 가집니다.
둘의 대칭의 축은 반대편 변을 이등분합니다.	둘의 대칭의 축은 반대변 각도를 이등분합니다.
대각선은 길이에서 같습니다.	대각선은 같은 각도에서 교차합니다.

• 직사각형의 변의 중간점을 순서대로 연결함으로써 형성된 도형은 마름모(rhombus)이고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

Miscellaneous

직사각형은 직선적(rectilinear)입니다: 그것의 변은 직각에서 만납니다.

평면에서 직사각형은 다섯의 독립적인 자유도(degrees of freedom)로 정의될 수 있으며, 예를 들어, 자유도는 위치에 대해 셋 (평행이동(translation)의 둘과 회전(rotation)의 하나로 구성), 모양 (종횡비(aspect ratio))에 대해 하나, 및 전체 크기 (넓이)에 대해 하나로 구성됩니다.

어느 쪽도 다른 쪽 안에 들어맞지 않는 둘의 직사각형은 비-비교가능(incomparable)이라고 말합니다.

Formulae

The formula for the perimeter of a rectangle

The area of a rectangle is the product of the length and width.

만약 정사각형이 길이 $\ell$와 너비 $w$를 가지면,

• 그것은 넓이(area) $A=\ell w\,$를 가지고,
• 그것은 둘레(perimeter) $P=2\ell +2w=2(\ell +w)\,$를 가지고,
• 각 대각선은 길이 $d={\sqrt {\ell ^{2}+w^{2}}}$를 가지고,
• $\ell =w\,$일 때, 그 직사각형은 정사각형(square)입니다.

Theorems

직사각형에 대해 같은-둘레 정리(isoperimetric theorem)는 주어진 둘레(perimeter)의 모든 직사각형 중에서 정사각형이 가장 큰 넓이(area)를 가진다는 말합니다.

수직(perpendicular) 대각선(diagonals)을 갖는 임의의 사변형(quadrilateral)의 변의 중간점은 직사각형을 형성합니다.

같은 대각선(diagonals)을 갖는 평행사변형(parallelogram)은 직사각형입니다.

순환 사변형에 대해 일본 정리(Japanese theorem for cyclic quadrilaterals)는 한 번에 셋을 취해진 순환 사변형의 꼭짓점에 의해 결정되는 넷의 삼각형의 내중심은 직사각형을 형성합니다.

영국 국기 정리(British flag theorem)는 직사각형의 같은 평면 위에 임의의 점 P에 대해 A, B, C, 및 D로 표시된 꼭짓점과 함께 다음임을 말합니다:

$\displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}.$

평면에 있는 모든 각 볼록 몸체 C에 대해, 우리는 r의 중심-닮음(homothetic) 사본 R이 C에 대한 둘레접되고 양의 중심-닮음-변환 비율이 많아야 2 및 $0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)$임을 만족하는 C에서 직사각형 r에 내접(inscribe)될 수 있습니다.

Crossed rectangles

교차된(crossed) 사변형 (자체-교차함)은 두 대각선을 따라 비-자체-교차하는 사변형의 두 반대쪽 변으로 구성됩니다. 유사하게, 교차된 직사각형은 둘의 대각선을 따라 직사각형의 둘의 반대쪽 변으로 구성하는 교차된 사변형입니다. 그것은 직사각형과 같은 꼭짓점 배열(vertex arrangement)을 가집니다. 그것은 공통 꼭짓점을 갖는 둘의 동일한 삼각형으로 표시되지만, 기하학적 교차점은 꼭짓점으로 고려되지 않습니다.

교차된 사변형은 때때로 활 타이(bow tie) 또는 나비(butterfly)에 비유되며, 때때로 "각진 팔"이라고 불립니다. 꼬여져 있는 삼-차원(three-dimensional) 직사각형 와이어(wire) 프레임(frame)은 활 넥타이 모양을 취할 수 있습니다.

교차된 직사각형의 내부는 시계방향 또는 반시계방향으로 감기는 방향에 따라 각 삼각형에서 ±1의 다각형 밀도(polygon density)를 가질 수 있습니다.

교차된 직사각형은 만약 오른쪽 및 왼쪽 회전이 허용되면 등각형(equiangular)으로 고려될 수 있습니다. 임의의 교차된 사변형과 마찬가지로, 그것의 내부 각도(interior angle)의 합은 720°이며, 내부 각도에 대해 외부에 나타나고 180°를 초과하는 것을 허용합니다.

직사각형과 교차된 직사각형은 다음과 같은 공통 속성을 갖는 사변형입니다:

• 반대쪽 변은 길이에서 같습니다.
• 두 대각선은 길이에서 같습니다.
• 그것은 둘의 반사 대칭의 축을 가지고 (180°를 통한) 순서 2의 회전적 대칭을 가집니다.

Other rectangles

A saddle rectangle has 4 nonplanar vertices, alternated from vertices of a cuboid, with a unique minimal surface interior defined as a linear combination of the four vertices, creating a saddle surface. This example shows 4 blue edges of the rectangle, and two green diagonals, all being diagonal of the cuboid rectangular faces.

구형 기하학(spherical geometry)에서, 구형 직사각형은 그것의 넷의 모서리가 90°보다 큰 같은 각도에서 만나는 큰 원(great circle) 호인 도형입니다. 반대쪽 호의 길이에서 같습니다. 유클리드 입체 기하학에서 구의 표면은 타원 기하학의 의미에서 비-유클리드 표면입니다. 구형 기하학은 타원 기하학의 가장 단순한 형식입니다.

타원 기하학(elliptic geometry)에서, 타원 직사각형은 그것의 넷의 가장자리가 90°보다 큰 같은 각도에서 만나는 타원 호인 타원 평면에서 그림입니다. 반대쪽 호는 길이는 같습니다.

쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)에서, 쌍곡선 직사각형은 그것의 넷의 가장자리가 90°보다 작은 같은 각도에서 만나는 쌍곡선 호인 쌍곡선 평면에서 그림입니다. 반대쪽 호는 길에서 같습니다.

Tessellations

직사각형은 다음 타일링과 같은 벽돌세공(brickwork)에서 많은 주기적 테셀레이션(tessellation) 패턴에서 사용됩니다:

Stacked bond

Running bond

Basket weave

Basket weave

Herringbone pattern

Squared, perfect, and other tiled rectangles

A perfect rectangle of order 9

정사각형, 직사각형, 또는 삼각형에 의해 타일링된 직사각형은 각각 "정사각형된", "직사각형된", 또는 "삼각형된" 직사각형이라고 말합니다. 타일링된 직사각형은 만약 타일이 닮았고(similar) 숫자에서 유한하고 둘의 타일이 같은 크기가 아니면 완전입니다. 만약 둘의 그러한 타일이 같은 크기이면, 타일링이 불완전입니다. 완전 (또는 불완전) 삼각형된 직사각형에서, 그 삼각형은 직각 삼각형(right triangle)이어야 합니다. 모든 알려진 완전 직사각형, 완전 정사각형, 및 관련된 모양의 데이터베이스는 squaring.net에서 구할 수 있습니다. 1978년에 컴퓨터에 의해 발견된 직사각형의 완전 타일링에 대해 필요한 가장 낮은 정사각형의 숫자는 9이고 정사각형 완전 타일링에 대해 필요한 가장 낮은 정사각형의 숫자는 21입니다.

직사각형이 비-정수-비율-가능(commensurable) 변을 가지는 것과 그것이 유한 숫자의 동일하지 않은 정사각형에 의해 타일링-가능인 것은 필요충분 조건입니다. 같은 것은 만약 타일이 같지 않은 이등변 직각 삼각형(right triangles)이면 참입니다.

가장 관심을 끈 다른 타일에 의한 직사각형의 타일링은 모든 회전과 반사를 허용하는 합동 비-직사각형적 폴리오미노(polyomino)에 의한 타일입니다. 합동 폴리아볼로(polyaboloes)에 의한 타일링도 있습니다.

Unicode

   U+25AC ▬ BLACK RECTANGLE
   U+25AD ▭ WHITE RECTANGLE
   U+25AE ▮ BLACK VERTICAL RECTANGLE
   U+25AF ▯ WHITE VERTICAL RECTANGLE

See also

• Cuboid
• Golden rectangle
• Hyperrectangle
• Superellipse (includes a rectangle with rounded corners)

External links

• Weisstein, Eric W. "Rectangle". MathWorld.
• Definition and properties of a rectangle with interactive animation.
• Area of a rectangle with interactive animation.