Linear span

수학(mathematics)에서, (벡터 공간(vector space)에서) 벡터(vectors)의 집합(set) $S$ 의 선형 스팬(linear span)은, 역시 선형 껍질(linear hull)^[1] 또는 단지 스팬이라고 불리고 $span(S)$ 로 표시되며,^[2] 그 집합을 포함하는 가장 작은 선형 부분-공간(linear subspace)입니다.^[3] 그것은 $S$ 를 포함하는 모든 선형 부분-공간의 교집합(intersection), 또는 $S$ 원소의 선형 조합(linear combinations)의 집합으로 특성화될 수 있습니다. 벡터 집합의 선형 스팬은 따라서 벡터 공간입니다. 스팬은 매트로이드(matroids)와 모듈(modules)로 일반화될 수 있습니다.

벡터 공간 $V$ 가 집합 $S$ 의 스팬임을 표현하기 위해, 공통적으로 다음과 같은 문구를 사용합니다: $S$ 는 $V$ 를 스팬합니다; $S$ 는 $V$ 를 생성합니다; $V$ 는 $S$ 에 의해 스팬됩니다; $V$ 는 $S$ 에 의해 생성됩니다; $S$ 는 $V$ 의 스패닝 집합입니다; $S$ 는 $V$ 의 생성하는 집합(generating set)입니다.

Definition

필드(field) K에 걸쳐 벡터 공간(vector space) V가 주어지면, 벡터 집합(set) S의 스팬 (반드시 무한할 필요는 없음)은 S를 포함하는 V의 모든 부분-공간(subspaces)의 교집합 W로 정의됩니다. W는 S에 의해, 또는 S에서 벡터에 의해 스팬된 부분-공간으로 참조됩니다. 반대로, S는 W의 스패닝 집합이라고 불리고, 우리는 S는 W를 스팬한다고 말합니다.

대안적으로, S의 스팬은 위의 정의에서 따르는 S의 원소 (벡터)의 모든 유한 선형 조합(linear combinations)의 집합으로 정의될 수 있습니다.^[4]^[5]^[6]^[7]

$\operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}v_{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,v_{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.$

무한 S의 경우에서, 무한 선형 조합 (즉, 조합이 무한 합을 포함할 수 있는 곳, 그러한 합이, 말하자면, 바나흐 공간(Banach space)에서와 같이 어떻게든 정의된다고 가정함)은 정의에 의해 제외됩니다; 이것들을 허용하는 일반화(generalization)는 동등하지 않습니다.

Examples

실수(real) 벡터 공간 R³은 스패닝 집합으로 {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}를 가집니다. 이 특별한 스패닝 집합은 역시 기저(basis)입니다. 만약 (−1, 0, 0)가 (1, 0, 0)에 의해 대체되면, 그것은 역시 R³의 정식의 기저(canonical basis)를 형성할 것입니다.

같은 공간에 대해 또 다른 스패닝 집합은 {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1⁄2, 3), (1, 1, 1)}에 의해 제공되지만, 이 집합은 기저가 아닌데, 왜냐하면 그것들은 선형적으로 종속(linearly dependent)이기 때문입니다.

집합 {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}은 R³의 스패닝 집합이 아닌데, 왜냐하면 그것의 스팬은 마지막 구성 요소가 영인 R³에서 모든 벡터의 스팬이기 때문입니다. 해당 공간은 역시 집합 {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}에 의해 스팬되는데, 왜냐하면 (1, 1, 0)는 (1, 0, 0)과 (0, 1, 0)의 선형 조합이기 때문입니다. 그것은, 어쨌든, R²를 스팬합니다. (R³의 부분집합으로 해석될 때).

빈 집합은 {(0, 0, 0)}의 스패닝 집합인데, 왜냐하면 빈 집합은 R³에서 모든 가능한 벡터 공간의 부분집합이고, {(0, 0, 0)}는 모든 이들 벡터 공간의 교집합이기 때문입니다.

n이 비-음의 정수인 함수 xⁿ의 집합은 다항식 공간을 스팬합니다.

Theorems

Theorem 1: 벡터 공간 V의 비-빈 부분-집합 S에 의해 스팬된 부분-공간은 S에 있는 벡터의 모든 선형 조합의 집합입니다.

이 정리는 너무 잘 알려져 있어, 집합의 스팬의 정의라고도 참조됩니다.

Theorem 2: 벡터 공간 V의 모든 각 스패닝 집합 S는 적어도 V에서 벡터의 임의의 선형적으로 독립(linearly independent) 집합만큼 많은 원소를 포함해야 합니다.

Theorem 3: V를 유한-차원 벡터 공간이라고 놓습니다. V를 스팬하는 임의의 벡터 집합은 필요하다면 (즉, 그 집합에서 선형적으로 종속 벡터가 있으면) 벡터를 폐기함으로써 V에 대해 기저로 축소될 수 있습니다. 만약 선택 공리(axiom of choice)가 유지되면, 이것은 V가 유한 차원을 갖는다는 가정 없이 참입니다.

이것은 역시 V가 유한-차원일 때 기저가 최소 스패닝 집합임을 나타냅니다.

Generalizations

공간에서 점의 스팬의 정의를 일반화하면, 매트로이드(matroid)의 바탕 집합의 부분-집합 X는 만약 X의 랭크가 전체 바탕 집합의 랭크와 같으면 스패닝 집합(spanning set)이라고 불립니다.

벡터 공간 정의는 모듈로 일반화될 수도 있습니다.^[8]^[9] R-모듈 A와 A의 원소 모음 $a 1$ , ..., $a n$ 이 주어지면, $a 1$ , ..., $a n$ 에 의해 스팬된 A의 부분-모듈(submodule)은 원소 $a i$ 의 모든 R-선형 조합으로 구성되는 다음 순환 모듈(cyclic modules)의 합입니다: $Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}$ 벡터 공간의 경우와 마찬가지로, A의 임의의 부분-집합에 의해 스팬된 A의 부분-모듈은 해당 부분-집합을 포함하는 모든 부분-모듈의 교집합입니다.

Closed linear span (functional analysis)

함수형 해석학(functional analysis)에서, 벡터(vectors)의 집합(set)의 닫힌 선형 스팬은 해당 집합의 선형 스팬을 포함하는 최소 닫힌 집합입니다.

X는 노름 벡터 공간으로 가정하고 E를 X의 임의의 비-빈 부분집합으로 놓습니다. E의 닫힌 선형 스팬은, ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ 또는 ${\overline {\operatorname {Span} }}(E)$ 에 의해 표시되며, E를 포함하는 X의 모든 닫힌 선형 부분공간의 교집합입니다.

이것의 하나의 수학적 형식화는 다음입니다:

{\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.

구간 [0, 1] 위에 함수 xⁿ 집합의 닫힌 선형 스팬은, 여기서 n은 비-음의 정수이며, 사용된 노름에 따라 다릅니다. 만약 L² 노름(L² norm)이 사용되면, 닫힌 선형 스팬은 그 구간 위에 제곱-적분가능 함수(square-integrable functions)의 힐베르트 공간(Hilbert space)입니다. 그러나 만약 최대 노름(maximum norm)이 사용되면, 닫힌 선형 스팬은 그 구간 위에 연속 함수의 공간이 될 것입니다. 두 경우 모두에서, 닫힌 선형 스팬은 다항식이 아닌 함수를 포함하고, 따라서 선형 스팬 자체에는 없습니다. 어쨌든, 닫힌 선형 스팬에서 함수 집합의 카디널리티(cardinality)는 연속체의 카디널리티(cardinality of the continuum)이며, 이는 다항식 집합에 대한 것과 같은 카디널리티입니다.

Notes

집합의 선형 스팬은 닫힌 선형 스팬에서 조밀합니다. 게다가, 아래 보조정리에서 언급했듯이, 닫힌 선형 스팬은 실제로 선형 스팬의 클로저(closure)입니다.

닫힌 선형 스팬은 닫힌 선형 부분공간을 다룰 때 중요합니다 (이는 그 자체로 매우 중요합니다. 리스의 보조정리(Riesz's lemma)를 참조하십시오).

A useful lemma

X를 노름 공간으로 놓고 E를 X의 임의의 비-빈 부분-집합으로 놓습니다. 그런-다음

${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ 는 E를 포함하는 X의 닫힌 선형 부분-공간입니다,
${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}$ , 즉, ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ 는 $\operatorname {Sp} (E)$ 의 클로저입니다,
$E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.$

(따라서 닫힌 선형 스팬을 찾는 보통의 방법은 먼저 선형 스팬을 찾고, 그런-다음 해당 선형 스팬의 클로저를 찾는 것입니다.)

Citations

^ Encyclopedia of Mathematics (2020). Linear Hull.
^ Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
^ Axler (2015) p. 29, § 2.7
^ Hefferon (2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13
^ Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
^ Roman (2005) pp. 41-42
^ MathWorld (2021) Vector Space Span.
^ Roman (2005) p. 96, ch. 4
^ Lane & Birkhoff (1999) p. 193, ch. 6

Sources

Textbook

Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (4th ed.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (3rd ed.). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462.
Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049.
Lay, David C. (2021) Linear Algebra and It's Applications (6th Edition). Pearson.

Web

Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics" (PDF). University of California, Davis. Retrieved 27 September 2011.
Weisstein, Eric Wolfgang. "Vector Space Span". MathWorld. Retrieved 16 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
"Linear hull". Encyclopedia of Mathematics. 5 April 2020. Retrieved 16 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

External links

Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
Sanderson, Grant (August 6, 2016). "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of Linear Algebra. Archived from the original on 2021-12-11 – via YouTube.

[1] Encyclopedia of Mathematics (2020). Linear Hull.

[:0-2] Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8

[3] Axler (2015) p. 29, § 2.7

[4] Hefferon (2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13

[:02-5] Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8

[6] Roman (2005) pp. 41-42

[7] MathWorld (2021) Vector Space Span.

[8] Roman (2005) p. 96, ch. 4

[9] Lane & Birkhoff (1999) p. 193, ch. 6

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