Linear combination

Original article: w:Linear combination

수학(mathematics)에서, 선형 조합(linear combination)은 각 항에 상수를 곱하고 그 결과를 더함으로써 항의 집합(set)에서 구성된 표현(expression)입니다 (예를 들어, x와 y의 선형 조합은, 형식 ax + by의 임의의 표현일 것이며, 여기서 a와 b가 상수입니다). 선형 조합의 개념은 선형 대수(linear algebra)과 수학의 관련 분야의 핵심입니다. 이 기사의 대부분은 필드(field)에 걸쳐 벡터 공간(vector space)의 문맥에서 선형 조합을 다루며, 기사의 끝 부분에 일부 일반화가 나와 있습니다.

Definition

V를 필드 K에 걸쳐 벡터 공간이라고 놓습니다. 평소와 같이, 우리는 V 벡터의 원소를 호출하고 K 스칼라의 원소를 호출합니다. 만약 v₁,...,v_n이 벡터이고 a₁,...,a_n이 스칼라이면, 해당 벡터와 계수로 해당 스칼라를 갖는 선형 조합은 다음과 같습니다:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+a_{3}\mathbf {v} _{3}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}.$

용어 "선형 조합"의 사용에서 표현 또는 그것의 값을 참조하는지 여부에 대해 모호한 부분이 있습니다. 대부분의 경우에서, "v₁,...,v_n의 모든 선형 조합의 집합은 항상 부분-공간을 형성한다"라는 주장에서와 같이, 그 값이 강조됩니다. 어쨌든, "두 개의 서로 다른 선형 조합이 같은 값을 가질 수 있음"이라고 말할 수도 있으며, 이 경우에서 참조는 표현에 대한 것입니다. 이들 용도 사이의 미묘한 차이는 선형 종속성(linear dependence) 개념의 본질입니다: 벡터의 가족 F는 만약 F에서 (값으로) 벡터의 선형 조합이 (표현으로) 그렇게 고유하면 정확하게 선형적으로 독립입니다. 임의의 경우에서, 표현으로 볼 때조차도, 선형 조합에 대한 모든 중요한 것은 각 v_i의 계수입니다; 항을 순열하거나 영 계수를 갖는 항을 추가하는 것과 같은 자명한 수정은 구별되는 선형 조합을 생성하지 않습니다.

주어진 상황에서, K와 V는 명시적으로 지정될 수 있거나, 그것들은 문맥에서 명백할 수 있습니다. 그 경우에서, 우리는 종종 지정되지 않은 계수를 갖는 (그것들이 K에 속해야 한다는 점은 제외) 벡터 v₁,...,v_n의 선형 조합에 대해 이야기합니다. 또는, S가 V의 부분-집합(subset)이면, 우리는 벡터가 집합 S에 속해야 하는 (및 계수가 K에 속해야 하는) 점을 제외하고, 계수와 벡터가 모두 지정되지 않은, S에서 벡터의 선형 조합에 대해 말할 수 있습니다. 마지막으로, 우리는 아무것도 지정되지 않은 (벡터는 V에 속해야 하고 계수는 K에 속해야 한다는 점만 제외) 선형 조합에 대해 간단히 말할 수 있습니다; 이 경우에서 V에서 모든 각 벡터는 확실한 일부 선형 조합의 값이기 때문에, 표현을 참조하는 것일 수 있습니다.

정의에 의해, 선형 조합은 유한하게 많은 벡터만 포함함을 주목하십시오 (아래 Generalizations에 설명된 경우 제외). 어쨌든, 벡터를 가져오는 (하나가 언급되었으면) 집합 S는 여전히 무한일 수 있습니다; 각각의 개별 선형 조합은 유한한 벡터만 포함할 것입니다. 역시, n이 영(zero)이 될 수 없는 이유는 없습니다; 그 경우에서, 우리는 선형 결합의 결과가 V에서 영 벡터(zero vector)라고 관례에 따라 선언합니다.

Examples and counterexamples

Euclidean vectors

필드 K를 실수(real numbers)의 집합 R이라고 놓고, 벡터 공간 V를 유클리드 공간(Euclidean space) R³라고 놓습니다. 벡터 e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0), 및 e₃ = (0,0,1)을 생각해 보십시오. 그런-다음 R³에서 임의의 벡터는 e₁, e₂, 및 e₃의 선형 조합입니다.

이것이 사실인지 확인하기 위해, R³에서 임의적인 벡터 (a₁,a₂,a₃)를 취하고, 다음과 같이 작성하십시오:

${\begin{aligned}(a_{1},a_{2},a_{3})&=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})\\[6pt]&=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)\\[6pt]&=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}$

Functions

K를 모든 복소수(complex numbers)의 집합 C라고 놓고, V를 실수 직선 R에서 복소 평면(complex plane) C까지의 모든 연속 함수(continuous functions )의 집합 C_C(R)라고 놓습니다. f(t에 의해 정의된 벡터 (함수) f와 g를 f(t) := e^it와 g(t) := e^−it에 의해 정의된다고 생각해 보십시오. (여기서, e는 자연 로그의 밑수, 약 2.71828...이고, i는 허수 단위(imaginary unit), −1의 제곱근입니다.) f와 g의 일부 선형 조합은 다음과 같습니다:

• $\cos t={\tfrac {1}{2}}\,e^{it}+{\tfrac {1}{2}}\,e^{-it}$
• $2\sin t=(-i)e^{it}+(i)e^{-it}.$

다른 한편으로, 상수 함수 3은 f와 g의 선형 조합이 아닙니다. 이를 보기 위해, 3이 e^it와 e^−it의 선형 조합으로 쓸 수 있다고 가정합니다. 이것은 모든 실수 t에 대해 ae^it + be^−it = 3를 만족하는 복소수 스칼라 a와 b가 존재한다는 것을 의미합니다.t = 0와 t = π를 설정하면 방정식 a + b = 3와 a + b = −3를 제공하고, 분명히 이것은 일어날 수 없습니다. 오일러의 항등식(Euler's identity)을 참조하십시오.

Polynomials

K를 R, C, 또는 임의의 필드라고 놓고, V를 필드 K에서 가져온 계수를 갖는 모든 다항식(polynomials)의 집합 P라고 놓습니다. 벡터 (다항식) p₁ := 1, p₂ := x + 1, 및 p₃ := x² + x + 1를 생각해 보십시오.

다항식 x² − 1은 p₁, p₂, 및 p₃의 선형 조합입니까? 알아내기 위해, 이들 벡터의 임의적인 선형 조합을 고려하고 그것이 원했던 벡터 x² − 1과 같을 때를 확인하기 위해 시도하십시오. 임의적인 계수 a₁, a₂, 및 a₃을 선택하면, 다음을 원합니다:

$a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1.$

다항식에 곱해서, 이것은 다음을 의미합니다:

$(a_{1})+(a_{2}x+a_{2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1$

그리고 x의 같은 거듭제곱을 모우면, 다음을 얻습니다:

$a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})=1x^{2}+0x+(-1).$

두 다항식이 같은 것과 그것들의 대응하는 계수가 같은 것이 필요충분(iff) 조건이므로, 우리는 다음을 결론지을 수 있습니다:

$a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1.$

이 선형 방정식의 시스템(system of linear equations)은 쉽게 해결될 수 있습니다. 첫째, 첫 번째 방정식은 단순히 a₃가 1이라고 말합니다. 이를 알면, a₂에 대한 두 번째 방정식을 풀 수 있으며, 이는 −1이 됩니다. 마지막으로, 마지막 방정식은 a₁도 −1임을 알려줍니다. 그러므로, 선형 조합을 얻을 수 있는 유일한 방법은 이들 계수를 갖는 것입니다. 실제로,

$x^{2}-1=-1-(x+1)+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}$

그래서 x² − 1는 p₁, p₂, 및 p₃의 선형 조합입니다.

다른 한편으로, 다항식 x³ − 1은 어떻습니까? 만약 이 벡터를 p₁, p₂, 및 p₃의 선형 조합으로 만들려고 시도하면, 이전과 같은 과정을 수행하여, 다음 방정식을 얻습니다:

${\begin{aligned}&0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\[5pt]={}&1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1).\end{aligned}}$

어쨌든, 이 경우에서 대응하는 계수를 같게 설정하면, x³에 대한 방정식은 다음과 같습니다:

$0=1$

이것은 항상 거짓입니다. 그러므로, 이것이 작동하는 방법은 없고, x³ − 1는 p₁, p₂, 및 p₃의 선형 조합이 아닙니다.

The linear span

Main article: Linear span

임의적인 필드 K, 임의적인 벡터 공간 V를 취하고, v₁,...,v_n을 V에서 벡터라고 놓습니다. 이들 벡터의 모든 선형 조합의 집합을 고려하는 것은 흥미롭습니다. 이 집합은 벡터의 선형 스팬(linear span) (또는 그냥 스팬)이라고 불립니다, 말하자면, S = {v₁, ..., v_n}. 우리는 S의 스팬을 span(S) 또는 sp(S)로 씁니다:

$\operatorname {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.$

Linear independence

Main article: Linear independence

벡터 v₁,...,v_n의 일부 집합에 대해, 단일 벡터가 두 가지 다른 방법에서 그것들의 선형 조합으로 작성될 수 있다고 가정합니다:

$\mathbf {v} =\sum _{i}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}b_{i}\mathbf {v} _{i}{\text{ where }}a_{i}\neq b_{i}.$

이것은, 이것들을 뺌으로써 ($c_{i}:=a_{i}-b_{i}$), 비-자명한 조합이 영이라고 말하는 것과 동등합니다:

$\mathbf {0} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}.$

만약 그것이 가능하면, v₁,...,v_n는 선형적으로 종속(linearly dependent)이라고 불립니다; 그렇지 않으면, 그것들은 선형적으로 독립(linearly independent)이라고 불립니다. 유사하게, 우리는 벡터의 임의적인 집합 S의 선형 종속성 또는 독립성에 대해 말할 수 있습니다.

만약 S가 선형적으로 독립이고 S의 스팬이 V와 같으면, S는 V에 대해 기저(basis)입니다.

Affine, conical, and convex combinations

선형 조합에 사용되는 계수를 제한함으로써, 아핀 조합(affine combination), 원뿔형 조합(conical combination), 및 볼록 조합(convex combination)의 관련 개념과 이들 연산 아래에서 닫힌 집합의 관련된 개념을 정의할 수 있습니다.

Type of combination	Restrictions on coefficients	Name of set	Model space
Linear combination	no restrictions	Vector subspace	$\mathbf {R} ^{n}$
Affine combination	${\textstyle \sum a_{i}=1}$	Affine subspace	Affine hyperplane
Conical combination	$a_{i}\geq 0$	Convex cone	Quadrant, octant, or orthant
Convex combination	$a_{i}\geq 0$ and ${\textstyle \sum a_{i}=1}$	Convex set	Simplex

이것들은 더 제한된 연산이기 때문에, 더 많은 부분-집합이 그들 아래에서 닫혀 있을 것이므로, 아핀 부분-집합, 볼록 원뿔, 및 볼록 집합은 벡터 부분-공간의 일반화입니다; 벡터 부분-공간은 역시 아핀 부분공간, 볼록 원뿔, 및 볼록 집합이지만, 볼록 집합은 벡터 부분공간, 아핀 또는 볼록 원뿔일 필요는 없습니다.

이들 개념은 종종 대상의 특정 선형 조합을 취할 수 있지만, 아무것도 취할 수 없을 때 발생합니다: 예를 들어, 확률 분포는 볼록 조합 (그것들이 볼록 집합을 형성) 아래에서 닫혀 있지만, 원뿔형 또는 아핀 조합 (또는 선형) 아래에서 닫혀 있지 않고, 양수 측정(positive measures)은 원뿔형 조합 아래에서 닫혀 있지만 아핀 또는 선형 아래에서 닫혀 있지 않습니다 – 따라서 부호화된 측정(signed measures)은 선형 클로저로 정의합니다.

선형과 아핀 조합은 임의의 필드 (또는 링)에 걸쳐 정의될 수 있지만, 원뿔형과 볼록 조합은 "양수" 개념을 요구하고, 따라서 순서화된 필드(ordered field) (또는 순서화된 링(ordered ring)), 일반적으로 실수에 걸쳐 오직 정의될 수 있습니다.

만약 덧셈이 아닌 스칼라 곱셈만 허용하면, (반드시 볼록할 필요는 없는) 원뿔(cone)을 얻습니다; 종종 정의를 양의 스칼라에 의한 곱셈만 허용하도록 제한합니다.

이들 모든 개념은 보통 독립적으로 공리화되기 보다는 주변 벡터 공간의 부분집합으로 정의됩니다 ("원점을 잊은 벡터 공간"으로도 여겨지는 아핀 공간을 제외).

Operad theory

Main article: Operad theory

보다 추상적으로, 오퍼리드 이론(operad theory)의 언어에서, 벡터 공간을 오퍼리드 $\mathbf {R} ^{\infty }$ 무한 직접 합(direct sum)이므로, 오직 유한하게 많은 항이 비-영입니다; 이것은 오직 유한 합을 취하는 것에 해당함)에 걸쳐 대수(algebras)로 고려할 수 있으며, 이는 선형 조합을 매개변수화합니다: 예를 들어 벡터 $(2,3,-5,0,\dots )$는 선형 조합 $2\mathbf {v} _{1}+3\mathbf {v} _{2}-5\mathbf {v} _{3}+0\mathbf {v} _{4}+\cdots$에 해당합니다. 유사하게, 항이 합해져서 1이거나, 항이 모두 비-음수이거나, 둘 다인 부분-오퍼리드에 각각 해당하는 아핀 조합, 원뿔형 조합, 및 볼록 조합을 고려할 수 있습니다. 그래픽으로, 이것들은 무한 아핀 초평면, 무한 초-옥탄트(hyper-octant), 및 무한 심플렉스입니다. 이것은 $\mathbf {R} ^{n}$이 모델 공간임 또는 표준 심플렉스가 모델 공간임을 의미하는 것과 모든 각 경계진 볼록 폴리토프(convex polytope)가 심플렉스의 이미지라는 그러한 관찰을 공식화합니다. 여기서 부분-오퍼리드는 보다 제한된 연산에 해당하고 따라서 보다 일반적인 이론에 해당합니다.

이러한 관점에서, 선형 조합을 벡터 공간 위에 가장 일반적인 종류의 연산으로 생각할 수 있습니다 – 벡터 공간이 선형 조합의 오퍼리드에 걸쳐 대수라고 말하는 것은 벡터 공간에서 모든 가능한 대수적 연산이 선형 조합라는 정확하게 그 명제입니다.

덧셈과 스칼라 곱셈의 기본 연산은, 덧셈의 항등원과 덧셈의 역원의 존재와 함께, 일반 선형 조합보다 임의의 더 복잡한 방법으로 결합될 수 없습니다: 기본 연산은 모든 선형 조합의 오퍼리드에 대해 생성하는 집합(generating set)입니다.

궁극적으로, 이 사실은 벡터 공간 연구에서 선형 조합의 유용성의 핵심에 놓입니다.

Generalizations

만약 V가 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)이면, V의 토폴로지를 사용하여 특정 무한 선형 조합을 이해하는 방법이 있을 수 있습니다. 예를 들어, a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ + ⋯, 영원히 계속 가는 것에 대해 말할 수 있을 것입니다. 그이러한 무한 선형 조합이 항상 의미가 있는 것은 아닙니다; 그것들이 그럴 때 우리는 그것들을 수렴(convergent)이라고 부릅니다. 이 경우에서 더 많은 선형 조합을 허용하면 스팬, 선형 독립성, 및 기저의 다른 개념으로 이어질 수도 있습니다. 토폴로지적 벡터 공간의 다양한 특성에 대한 기사에서는 이에 대해 더 자세히 설명합니다.

만약 K가 필드 대신 교환 링(commutative ring)이면, 선형 조합에 대한 위에서 말해 왔던 모든 것이 변경 없이 이 경우에 일반화됩니다. 유일한 차이점은 벡터 공간 대신 이 V 모듈(modules)과 같은 공간을 호출한다는 것입니다. 만약 K가 비-교환 링이면, 그 개념은 여전히 일반화되며, 한 가지 주의 사항이 있습니다: 비-교환 링에 걸쳐 모듈은 왼쪽과 오른쪽 버전으로 제공되기 때문에, 우리의 선형 조합은 주어진 모듈에 적절한 것이 무엇이든 이들 버전 중 하나로 제공될 수도 있습니다. 이것은 단순히 올바른 측면에서 스칼라 곱셈을 수행하는 문제입니다.

V가 두 개의 링, K_L와 K_R에 걸쳐 쌍-모듈(bimodule)일 때 더 복잡한 꼬임이 발생합니다. 그 경우에서, 가장 일반적인 선형 조합은 다음과 같습니다:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}b_{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}b_{n}$

여기서 a₁,...,a_n는 K_L에 속하고, b₁,...,b_n는 K_R에 속하고, v₁,…,v_n는 V에 속합니다.

Application

선형 조합의 중요한 응용은 양자 역학(quantum mechanics)에서 파동 함수(wave functions)입니다.

See also

• Weighted sum

References

Textbook

• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Lay, David C.; Lay, Steven R.; McDonald, Judi J. (2016). Linear Algebra and its Applications (5th ed.). Pearson. ISBN 978-0-321-98238-4.
• Strang, Gilbert (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Web

• "Linear Combinations". nLab. 27 October 2015. Retrieved 16 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

External links

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.