Equality (mathematics)

수학(mathematics)에서, 상등(equality)은 둘의 양, 또는 보다 일반적으로 둘의 수학적 표현(mathematical expression) 사이의 관계이며, 그 양이 같은 값을 가지거나, 그 표현이 같은 수학적 대상(mathematical object)을 나타내는 것으로 주장합니다. $A$ 와 $B$ 사이의 상등은 $A=B$ 로 쓰이고, " $A$ 와 $B$ 는 같습니다"라고 읽습니다. 기호 " $=$ "는 "등호(equals sign)"라고 불립니다. 같지 않은 둘의 대상은 구벌(distinct)이라고 말합니다.

예를 들어:

$x=y$ 는 $x$ 와 $y$ 가 같은 대상을 나태냄을 의미합니다.^[1]
항등식(identity) $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ 는 만약 $x$ 가 임의의 숫자이면, 두 표현은 같은 값을 가짐을 의미합니다. 이것은 등호의 양쪽 변이 같은 함수(function)를 나타내는 것으로 역시 해석될 수 있습니다.
$\{x|P(x)\}=\{x|Q(x)\}$ 인 것과 $P(x)\Leftrightarrow Q(x)$ 인 것은 필요충분 조건입니다. 집합-구성 표기법(set-builder notation)을 사용하는 이 주장은 만약 속성 $P(x)$ 를 만족시키는 원소가 $Q(x)$ 를 만족시키는 원소와 같으면, 집합-구성 표기법의 두 사용이 같은 집합을 정의함을 의미합니다. 이 속성은 종종 "같은 원소를 가지는 두 집합은 같습니다"라고 표현합니다. 이것은 집합 이론(set theory:집합 이론)의 보통 공리 중 하나이며, 확장성의 공리(Axiom of extensionality)라고 불립니다.^[2]

Etymology

단어의 어원(etymology)은 라틴어 aequālis (“equal”, “like”, “comparable”, “similar”) 또는 aequus (“equal”, “level”, “fair”, “just”)입니다.

Basic properties

치환 속성: 임의의 양 a와 b 및 임의의 표현 F(x)에 대해, 만약 a = b이면, F(a) = F(b)입니다 (양쪽 변이 잘-형성(well-formed)되었다는 가정 아래에서 그렇습니다).
이에 대한 몇 가지 구체적인 예제는 다음입니다:
- 임의의 실수 a, b, 및 c에 대해, 만약 a = b이면, a + c = b + c입니다 (여기서, F(x)는 x + c입니다);
- 임의의 실수 a, b, 및 c에 대해, 만약 a = b이면, a − c = b − c입니다 (여기서, F(x)는 x − c입니다);
- 임의의 실수 a, b, 및 c에 대해, 만약 a = b이면, ac = bc입니다 (여기서, F(x)는 xc입니다);
- 임의의 실수 a, b, 및 c에 대해, 만약 a = b이고 c가 영(zero)이 아니면, a/c = b/c입니다 (여기서, F(x)는 x/c입니다).
반사 속성: 임의의 양 a에 대해, a = a.
대칭 속성: 임의의 a와 b에 대해, 만약 a = b이면, b = a입니다.
전이 속성: 임의의 a, b, 및 c에 대해, 만약 a = b이고 b = c이면, a = c입니다.^[3]

이들 마지막 셋의 속성은 상등을 동치 관계(equivalence relation)로 만듭니다. 그것들은 원래 자연수에 대한 페아노 공리(Peano axioms) 중에 포함되었습니다. 비록 대칭 속성과 전이 속성이 종종 기본적으로 여겨지지만, 그것들은 치환 속성과 반사 속성에서 추론될 수 있습니다.

Equality as predicate

$A$ 와 $B$ 가 완전히 지정되지 않았거나 일부 변수(variables)에 의존할 때, 상등은 제안(proposition)이며, 일부 값에 대해 참이고 다른 값에 대해 거짓일 수 있습니다. 상등은 인수로부터 진리 값(truth value) (거짓 또는 참)을 생성할 수 있는 이항 관계(binary relation) (즉, 두-인수 술어(predicate))입니다. 컴퓨터 프로그래밍에서, 두 표현에서 계산은 비교(comparison)로 알려져 있습니다.

Identities

$A$ 와 $B$ 가 일부 변수의 함수(functions)로 보일 때, $A=B$ 는 $A$ 와 $B$ 가 같은 함수를 정의함을 의미합니다. 함수의 그러한 상등은 때때로 항등식(identity)이라고 불립니다. 한 예제는 $\left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1$ 입니다. 항상은 아니지만 때때로, 항등식은 세-쌍 막대(triple bar)로 쓰입니다: $\left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.$

Equations

방정식(equation)은 지정된 상등이 참인 미지수라고 불리는 일부 변수의 값을 찾는 문제입니다. 용어 "방정식"은 역시 관심있는 변수의 값에 대해 오직 만족시키는 상등 관계를 참조할 수 있습니다. 예를 들어, $x^{2}+y^{2}=1$ 는 단위 원(unit circle)의 방정식입니다.

방정식을 항등식, 또는 상등 관계의 다른 사용과 구별하는 표준 표기법은 없습니다: 우리는 문맥과 표현의 의미론에서 적절한 해석을 추측해야 합니다. 항등식은 주어진 도메인에 있는 모든 변수 값에 대해 참으로 주장됩니다. "방정식"은 때때로 항등식을 의미할 수 있지만, 방정식이 참인 부분집합이 되도록 변수 공간의 부분집합을 지정하는 것이 더 많습니다.

Congruences

일부 경우에서, 우리는 고려 중인 속성에 대해 오직 동등한 둘의 수학적 대상을 같은 것으로 고려할 수 있습니다. 기하학(geometry)에서 예를 들어, 둘의 기하학적 모양(geometric shape)은 하나가 다른 하나와 일치하도록 움직일 수 있을 때 같다고 말합니다. 단어 합동(congruence) (및 관련 기호 $\cong$ )은 역시 이러한 종류의 상등에 사용됩니다.

Approximate equality

상등의 임의의 개념을 가지지 않는 일부 논리 시스템(logic systems)이 있습니다. 이것은 정수(integer), 기본 산술 연산(arithmetic operation), 로그(logarithm)와 지수 함수(exponential function)를 포함하는 공식에 의해 정의된 두 실수(real number)의 상등의 결정 불결정성(undecidability)을 반영합니다. 다시 말해, 그러한 상등을 결정하는 임의의 알고리듬(algorithm)은 존재할 수 없습니다.

실수 또는 다른 것들 사이의 이항 관계(binary relation) "근사적으로 같음" (기호 $\approx$ 로 표시됨)은, 심지어 더 정확하게 정의되더라도, 전이적이지 않습니다 (왜냐하면 많은 작은 차이(differences)는 합해져서 큰 것이 될 수 있기 때문입니다). 어쨌든, 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 상등은 전이적입니다.

테스트 아래에서 의심스러운 상등은 ≟ 기호를 사용하여 표시될 수 있습니다.

Relation with equivalence and isomorphism

관계로 볼 때, 상등은 집합에 대한 동치 관계(equivalence relation): 반사적(reflexive), 대칭적(symmetric), 및 전이적(transitive)인 이진 관계의 보다 일반적인 개념의 원형입니다. 항등 관계는 동치 관계입니다. 반대로, R을 동치 관계라고 놓고, x R z를 만족하는 모든 원소 z로 구성하는 x의 x^R 동치 클래스에 의해 나타내도록 놓습니다. 그런-다음 관계 x R y는 상등 x^R = y^R과 동등합니다. 상등은 가장 작은 동치 클래스 (모든 각 클래스는 단일 원소로 축소됨)를 가지는 관계라는 의미에서 임의의 집합 S에 대한 가장 훌륭한 동치 관계임을 따릅니다.

일부 문맥에서, 상등은 동치 또는 동형과 예민하게 구별됩니다.^[4] 예를 들어, 우리는 유리수와 분수를 구별할 수 있습니다: 유리수는 분수의 동치 클래스입니다: 분수 $1/2$ 과 $2/4$ 는 분수 (기호의 다른 문자열)로 구분되지만 그것들은 같은 유리수 (숫자 직선 위의 같은 점)를 "나타냅니다". 이 구별은 몫 집합(quotient set)의 개념을 발생시킵니다.

유사하게, 다음 집합은

\{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}

and

\{1,2,3\}

같은 집합이 아니지만 – 첫 번째는 문자로 구성되고, 반면에 두 번째는 숫자로 구성됩니다 – 그것들은 둘 다 세 원소의 집합이고 따라서 동형적이며, 그것들 사이에 전단사(bijection)가 있음을 의미합니다. 예를 들어,

{\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.

어쨌든, 다음과 같은 동형의 다른 선택이 있습니다:

{\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,

그리고 이들 집합은 그러한 선택을 만듦없이 식별될 수 없습니다 – 그것들을 식별하는 임의의 명제는 "식별의 선택에 의존합니다". 상등과 동형 사이의 이 구분은 카테고리 이론(category theory)에서 근본적으로 중요하고 카테고리 이론의 발전을 위한 한 가지 동기입니다.

Logical definitions

라이프니츠(Leibniz)는 상등의 개념을 다음과 같이 특징지었습니다:

임의의 x와 y가 주어지면, x = y인 것과 임의의 술어(predicate) P가 주어지면, P(x)인 것과 P(y)인 것이 P(y)필요충분 조건인 것은 필요충분 조건입니다.

Equality in set theory

집합의 상등은 공리가 상등을 갖는 또는 상등없이 일-차 언어를 기반으로 하는지 여부에 따라 둘의 다른 방법에서 집합 이론에서 공리화됩니다.

Set equality based on first-order logic with equality

상등을 갖는 일-차 논리에서, 확장성의 공리는 같은 원소를 포함하는 두 집합이 같은 집합임을 나타냅니다.^[5]

논리 공리: x = y ⇒ ∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)
논리 공리: x = y ⇒ ∀z, (x ∈ z ⇔ y ∈ z)
집합 이론 공리: (∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)) ⇒ x = y

리비(Lévy)에 의해 지적된 것처럼, 연구의 절반을 일-차 논리에 통합하는 것은 단순한 편의 문제로 고려될 수 있습니다:

"우리가 상등을 갖는 일-차 술어 미적분학을 채택하는 이유는 편의상의 문제입니다; 이로써 우리는 상등을 정의하고 모든 그것의 속성을 증명하는 노동을 절약할 수 있습니다; 이 부담은 이제 논리에 의해 가정됩니다."^[6]

Set equality based on first-order logic without equality

상등없이 일-차 논리에서, 두 집합이 만약 그것들이 같은 원소를 포함하면 같은 것으로 정의됩니다. 그런-다음 확장성의 공리는 두 개의 같은 집합이 같은 집합에 포함되어 있음을 말합니다.^[7]

집합 이론 정의: "x = y" means ∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)
집합 이론 공리: x = y ⇒ ∀z, (x ∈ z ⇔ y ∈ z)

Notes

^ Rosser 2008, p. 163.
^ Lévy 2002, pp. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999, p. 2. Mendelson 1964, p. 5.
^ Weisstein, Eric W. "Equal". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-01.
^ (Mazur 2007)
^ Kleene 2002, p. 189. Lévy 2002, p. 13. Shoenfield 2001, p. 239.
^ Lévy 2002, p. 4.
^ Mendelson 1964, pp. 159–161. Rosser 2008, pp. 211–213

References

Kleene, Stephen Cole (2002) [1967]. Mathematical Logic. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7.
Lévy, Azriel (2002) [1979]. Basic set theory. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0.
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (Third ed.). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.
Mazur, Barry (12 June 2007), When is one thing equal to some other thing? (PDF)
Mendelson, Elliott (1964). Introduction to Mathematical Logic. New York: Van Nostrand Reinhold.
Rosser, John Barkley (2008) [1953]. Logic for mathematicians. Mineola, New York: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3.
Shoenfield, Joseph Robert (2001) [1967]. Mathematical Logic (2nd ed.). A K Peters. ISBN 978-1-56881-135-2.

External links

"Equality axioms", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Rosser 2008, p. 163.

[2] Lévy 2002, pp. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999, p. 2. Mendelson 1964, p. 5.

[3] Weisstein, Eric W. "Equal". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-01.

[4] (Mazur 2007)

[5] Kleene 2002, p. 189. Lévy 2002, p. 13. Shoenfield 2001, p. 239.

[6] Lévy 2002, p. 4.

[7] Mendelson 1964, pp. 159–161. Rosser 2008, pp. 211–213

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]