Sphere with radius one, usually centered on the origin of the space
Some 1-spheres.
‖
x
‖
2
{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}}
수학(mathematics) 에서, 단위 구 (unit sphere )는 단순히 주어진 중심(center) 을 주위로 반지름(radius) 일의 구(sphere) 입니다. 보다 일반적으로, 그것은 고정된 중심 점에서 거리(distance) 1의 점들의 집합(set of points) 이며, 여기서 다른 노름(norms) 이 "거리"의 일반적인 개념으로 사용될 수 있습니다. 단위 공 (unit ball )은 고정된 중심 점에서 1보다 작거나 같은 거리의 점의 닫힌 집합(closed set) 입니다. 보통 중심(origin) 은 공간의 원점에 있으므로, 우리는 "단위 공" 또는 "단위 구"라고 말합니다. 특수한 경우는 단위 원(unit circle) 과 단위 디스크(unit disk) 입니다.
단위 구의 중요성은 임의의 구는 평행이동(translation) 과 스케일링(scaling) 의 조합에 의해 단위 구로 변형될 수 있다는 것입니다. 이런 방법으로, 일반적으로 구의 속성은 단위 구의 연구로 축소될 수 있습니다.
Unit spheres and balls in Euclidean space n 차원의 유클리드 공간(Euclidean space) 에서, (n −1) -차원 단위 구는 다음 방정식을 만족시키는 모든 점
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
=
1.
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}
n -차원 열린 단위 공은 다음 부등식(inequality) 을 만족시키는 모든 점의 집합입니다:
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
<
1
,
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}
그리고 n -차원 닫힌 단위 공은 다음 부등식(inequality) 을 만족시키는 모든 점의 집합입니다:
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
≤
1.
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}
General area and volume formulas Graphs of volumes (V ) and surface areas (S ) of unit n -balls. 단위 구의 고전적인 방정식은 1의 반지름을 갖고 x -, y -, 또는 z -축에 변경이 없는 타원면체의 방정식입니다:
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
+
y
2
+
z
2
=
1
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}
n -차원 유클리드 공간에서 단위 공의 부피와 단위 구의 표면 넓이는 많은 중요한 해석학(analysis) 의 공식에 나타납니다. n 차원에서 단위 공의 부피는, V n 감마 함수(gamma function) 를 사용함으로써 표현될 수 있습니다. 그것은 다음입니다:
V
n
=
π
n
/
2
Γ
(
1
+
n
/
2
)
=
{
π
n
/
2
/
(
n
/
2
)
!
i
f
n
≥
0
i
s
e
v
e
n
,
π
⌊
n
/
2
⌋
2
⌈
n
/
2
⌉
/
n
!
!
i
f
n
≥
0
i
s
o
d
d
,
{\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even,} \\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}}
여기서 n !!는 두 배 팩토리얼(double factorial) 입니다.
(n −1)-차원 단위 구의 초-부피 (즉 , n- 차원 단위 공의 경계의 "넓이")는, A n −1
A
n
−
1
=
n
V
n
=
n
π
n
/
2
Γ
(
1
+
n
/
2
)
=
2
π
n
/
2
Γ
(
n
/
2
)
,
{\displaystyle A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\,,}
여기서 마지막 상등은 오직 n > 0
A
0
=
2
{\displaystyle A_{0}=2}
[
−
1
,
1
]
⊂
R
{\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }
A
1
=
2
π
{\displaystyle A_{1}=2\pi }
A
2
=
4
π
{\displaystyle A_{2}=4\pi }
{
x
∈
R
3
:
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
≤
1
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}}
{
x
∈
R
3
:
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
=
1
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}}
일부
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
A
n
−
1
{\displaystyle A_{n-1}}
V
n
{\displaystyle V_{n}}
0
(
1
/
0
!
)
π
0
{\displaystyle (1/0!)\pi ^{0}}
1
1
1
(
2
1
/
1
!
!
)
π
0
{\displaystyle 1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}}
2
(
2
1
/
1
!
!
)
π
0
{\displaystyle (2^{1}/1!!)\pi ^{0}}
2
2
2
(
1
/
1
!
)
π
1
=
2
π
{\displaystyle 2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi }
6.283
(
1
/
1
!
)
π
1
=
π
{\displaystyle (1/1!)\pi ^{1}=\pi }
3.141
3
3
(
2
2
/
3
!
!
)
π
1
=
4
π
{\displaystyle 3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi }
12.57
(
2
2
/
3
!
!
)
π
1
=
(
4
/
3
)
π
{\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi }
4.189
4
4
(
1
/
2
!
)
π
2
=
2
π
2
{\displaystyle 4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}}
19.74
(
1
/
2
!
)
π
2
=
(
1
/
2
)
π
2
{\displaystyle (1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}}
4.935
5
5
(
2
3
/
5
!
!
)
π
2
=
(
8
/
3
)
π
2
{\displaystyle 5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}}
26.32
(
2
3
/
5
!
!
)
π
2
=
(
8
/
15
)
π
2
{\displaystyle (2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}}
5.264
6
6
(
1
/
3
!
)
π
3
=
π
3
{\displaystyle 6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}}
31.01
(
1
/
3
!
)
π
3
=
(
1
/
6
)
π
3
{\displaystyle (1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}}
5.168
7
7
(
2
4
/
7
!
!
)
π
3
=
(
16
/
15
)
π
3
{\displaystyle 7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}}
33.07
(
2
4
/
7
!
!
)
π
3
=
(
16
/
105
)
π
3
{\displaystyle (2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}}
4.725
8
8
(
1
/
4
!
)
π
4
=
(
1
/
3
)
π
4
{\displaystyle 8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}}
32.47
(
1
/
4
!
)
π
4
=
(
1
/
24
)
π
4
{\displaystyle (1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}}
4.059
9
9
(
2
5
/
9
!
!
)
π
4
=
(
32
/
105
)
π
4
{\displaystyle 9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}}
29.69
(
2
5
/
9
!
!
)
π
4
=
(
32
/
945
)
π
4
{\displaystyle (2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}}
3.299
10
10
(
1
/
5
!
)
π
5
=
(
1
/
12
)
π
5
{\displaystyle 10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}}
25.50
(
1
/
5
!
)
π
5
=
(
1
/
120
)
π
5
{\displaystyle (1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}}
2.550
여기서 n ≥ 2에 대해 십진 전개 값은 표시된 정밀도로 반올림됩니다.
Recursion A n
A
0
=
2
{\displaystyle A_{0}=2}
A
1
=
2
π
{\displaystyle A_{1}=2\pi }
A
n
=
2
π
n
−
1
A
n
−
2
{\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
V n
V
0
=
1
{\displaystyle V_{0}=1}
V
1
=
2
{\displaystyle V_{1}=2}
V
n
=
2
π
n
V
n
−
2
{\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
Non-negative real-valued dimensions n
2
−
n
V
n
=
π
n
/
2
2
n
Γ
(
1
+
n
/
2
)
{\displaystyle 2^{-n}V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{2^{n}\Gamma (1+n/2)}}}
[1] [2]
Other radii 반지름 r 을 갖는 (n −1)-차원 구의 표면 넓이는 A n −1r n −1r 을 갖는 n -차원 공의 부피는 V n r n r 을 갖는 심-차원 공의 이-차원 표면에 대한 넓이는 A = 4π r 2 r 을 갖는 삼-차원 공의 부피는 V = 4π r 3 / 3
Unit balls in normed vector spaces 노름(norm)
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
노름된 벡터 공간(normed vector space)
V
{\displaystyle V}
열린 단위 공 (open unit ball )은 다음에 의해 제공됩니다:
{
x
∈
V
:
‖
x
‖
<
1
}
{\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}
그것은 (V ,||·||)의 닫힌 단위 공 의 토폴로지적 내부(topological interior) 입니다:
{
x
∈
V
:
‖
x
‖
≤
1
}
{\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}
후자는 전자와 그것들의 공통 경계의 서로소 합집합, (V ,||·||)의 단위 구 입니다:
{
x
∈
V
:
‖
x
‖
=
1
}
{\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}
단위 공 의 '모양'은 선택된 노름에 전적으로 의존합니다; 그것은 '모서리'를 가질 수 있고, 예를 들어 R n n 유클리드 거리(Euclidean distance) 위에 유한-차원 경우를 기반으로 보통의 힐베르트 공간(Hilbert space) 노름에 속하는 단위 공으로 자연스럽게 둥근 공 (round ball )을 얻습니다; 그것의 경계는 보통 단위 구(unit sphere )가 의미하는 것입니다.
x
=
(
x
1
,
.
.
.
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
p ≥ 1에 대해
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
‖
x
‖
p
=
(
∑
k
=
1
n
|
x
k
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}}
그런-다음
‖
x
‖
2
{\displaystyle \|x\|_{2}}
힐베르트 공간(Hilbert space) 노름입니다.
‖
x
‖
1
{\displaystyle \|x\|_{1}}
ℓ
1
{\displaystyle \ell _{1}}
p ≥ 1은
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
삼각형 부등식(triangle inequality) 의 결과로 볼록(convex) 이어야 하기 때문입니다.
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }}
ℓ
∞
{\displaystyle \ell _{\infty }}
이-차원 단위 공의 일-차원 원주
C
p
{\displaystyle C_{p}}
C
1
=
4
2
{\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}
C
2
=
2
π
.
{\displaystyle C_{2}=2\pi \,.}
C
∞
=
8
{\displaystyle C_{\infty }=8}
Generalizations Metric spaces 위의 세 가지 정의는 모두 선택한 원점과 관련하여 메트릭 공간(metric space) 으로 간단하게 일반화될 수 있습니다. 어쨌든, 토폴로지적 고려 사항 (내부, 클로저, 경계)은 같은 방법으로 적용될 필요가 없고 (예를 들어, 초메트릭(ultrametric) 공간에서, 세 가지 모두 동시에 열린 집합과 닫힌 집합입니다), 일부 메트릭 공간에서 단위 구가 심지어 빈 것일 수 있습니다.
Quadratic forms 만약 V 가 실수 이차 형식(quadratic form) F :V → R을 갖는 선형 공간이면, { p ∈ V : F (p) = 1 }는 V 의 단위 구[3] [4] 단위 준-구(unit quasi-sphere) 라고 불릴 수 있습니다. 예를 들어, 이차 형식
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
분할-복소수(split-complex numbers) 의 평면에서 "단위 원" 역할을 하는 단위 쌍곡선(unit hyperbola) 을 생성합니다. 유사하게, 이차 형식 x2 은 이중 숫자(dual number) 평면에서 단위 구에 대한 한 쌍의 직선을 생성합니다.
See also Notes and references
^ The Chinese University of Hong Kong, Math 5011, Chapter 3, Lebesgue and Hausdorff Measures ^ Manin, Yuri I. "The notion of dimension in geometry and algebra" (PDF) . Bulletin of the American Mathematical Society . 43 (2): 139–161. Retrieved 17 December 2021 . ^ Takashi Ono (1994) Variations on a Theme of Euler: quadratic forms, elliptic curves, and Hopf maps , chapter 5: Quadratic spherical maps, page 165, Plenum Press , ISBN 0-306-44789-4
^ F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations , "Generalized Spheres", page 42, Academic Press , ISBN 0-12-329650-1
External links
Look up
unit sphere in Wiktionary, the free dictionary.
_and_surface_areas_(S)_of_n-balls_of_radius_1.png)
![{\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2016a25b4496666df761c56045fc221d3fbd2c08)
