Zero divisor

추상 대수학(abstract algebra)에서, 링(ring) $R$ 의 원소(element) $a$ 는, 만약 $ax = 0$ 을 만족하는 영이 아닌 $x$ 가 존재하면 왼쪽 영제수(left zero divisor)라고 불리거나,^[1] 또는 만약 $x$ 에서 $ax$ 로 보내는 $R$ 에서 $R$ 로의 맵이 단사가 아니면 마찬가지입니다.^[a] 비슷하게, 링의 원소(element) $a$ 는 만약 $ya = 0$ 을 만족하는 비-영 $y$ 가 존재하면 오른쪽 영제수(right zero divisor)라고 불립니다. 이것은 링에서 나눔 가능도(divisibility)의 부분적인 경우입니다. 왼쪽 또는 오른쪽 영제수인 원소는 간단히 영제수(zero divisor)라고 불립니다.^[2] 왼쪽 및 오른쪽 영제수 둘 다인 원소 $a$ 는 양-측 영제수(two-sided zero divisor)라고 불립니다 ( $ax = 0$ 을 만족하는 비-영 $x$ 는 $ya = 0$ 을 만족하는 비-영 $y$ 와 다를 수 있습니다). 만약 링이 교환 가능이면(ring is commutative), 왼쪽 및 오른쪽 영제수는 같습니다.

왼쪽 영제수가 아닌 링의 원소는 왼쪽 정규(left regular) 또는 왼쪽 취소-가능(left cancellable)이라고 불립니다. 비슷하게, 오른쪽 영제수가 아닌 링의 원소는 오른쪽 정규(right regular) 또는 오른쪽 취소-가능(right cancellable)이라고 불립니다. 왼쪽 및 오른쪽 취소-가능이고 따라서 영제수가 아닌 링의 원소는 정규(regular) 또는 취소-가능(cancellable),^[3] 또는 비-영-제수(non-zero-divisor)라고 불립니다. 비-영인 영제수는 비-영 영제수(nonzero zero divisor) 또는 비-자명한 영제수(nontrivial zero divisor)라고 불립니다. 비-자명한 영제수를 갖지 않는 비-영 링은 도메인(domain)이라고 불립니다.

Examples

링(ring) $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ 에서, 잔여 클래스 ${\overline {2}}$ 는 영제수인데 왜냐하면 ${\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}$ 이기 때문입니다.
정수의 링 $\mathbb {Z}$ 의 오직 영제수는 $0$ 입니다.
비-영 링의 거듭제곱영(nilpotent) 원소는 항상 양-측 영제수입니다.
링의 거듭상등 원소(idempotent element) $e\neq 1$ 는 항상 양-측 영제수인데, 왜냐하면 $e(1-e)=0=(1-e)e$ 이기 때문입니다.
필드(field)에 걸쳐 $n\times n$ 행렬의 링은 만약 $n\geq 2$ 이면 비-영 영제수를 가집니다. (임의의 비-영 링(nonzero ring)에 걸쳐) $2\times 2$ 행렬의 링에서 영제수의 예제는 다음에 제시합니다: ${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},$ ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$
둘 이상의 비-영 링(nonzero rings)의 직접 곱(direct product)은 항상 비-영 영제수를 가집니다. 예를 들어, 각 비-영 $R_{i}$ 를 갖는 $R_{1}\times R_{2}$ 에서, $(1,0)(0,1)=(0,0)$ 이므로, $(1,0)$ 은 영제수입니다.
$K$ 를 필드(field)로 놓고 $G$ 를 그룹(group)으로 놓습니다. $G$ 가 유한 차수(order) $n>1$ 의 원소 $g$ 를 가진다고 가정합니다. 그런-다음 그룹 링(group ring) $K[G]$ 에서 우리는 인수의 어떤 것도 영이 아닌 $(1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0$ 를 가지므로, $1-g$ 는 $K[G]$ 에서 비-영 영제수입니다.

One-sided zero-divisor

(형식적) 행렬 ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ 의 링과 함께 $x,z\in \mathbb {Z}$ 와 $y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 를 생각해 보십시오. 그런-다음 ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}$ 및 ${\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}$ . 만약 $x\neq 0\neq z$ 이면, ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ 가 왼쪽 영제수인 것과 $x$ 가 짝수인 것은 필요충분(iff) 조건인데, 왜냐하면 ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}$ 이기 때문이고, 그것이 오른쪽 영제수인 것과 $z$ 가 유사한 이유로 짝수인 것은 필요충분 조건입니다. 만약 $x,z$ 중 하나가 $0$ 이면, 그것은 양-측 영제수입니다.
다음은 오직 한쪽에 대한 영제수인 원소를 갖는 링의 또 다른 예제입니다. $S$ 를 모든 정수의 수열(sequences)의 집합 $(a_{1},a_{2},a_{3},...)$ 으로 놓습니다. 링에 대해 $S$ 에서 $S$ 로의 모든 덧셈 맵(additive map)을 취하고, 링 연산으로 점별(pointwise) 덧셈과 합성(composition)을 사용합니다. (즉, 우리의 링은 $\mathrm {End} (S)$ , 덧셈 링 $S$ 의 자기-사상 링(endomorphism ring)입니다.) 이 링의 원소의 셋의 예제는 오른쪽 쉬프트 $R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)$ , 왼쪽 쉬프트 $L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)$ , 및 첫 번째 인자 $P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)$ 위로의 투영 맵입니다. 이들 덧셈 맵(additive map)의 셋 모두는 영이 아니고, 합성 $LP$ 과 $PR$ 은 둘 다 0이므로, $S$ 에서 $S$ 로의 덧셈 맵 링에서 $L$ 은 왼쪽 영제수이고 $R$ 은 오른쪽 영제수입니다. 어쨌든, $L$ 은 오른쪽 영제수가 아니고 $R$ 은 왼쪽 영제수가 아닙니다: 합성 $LR$ 은 항등식입니다. $RL$ 은 양-측 영제수인데 왜냐하면 $RLP=0=PRL$ 이고, 반면에 $LR=1$ 은 임의의 방향에서 없습니다.

Non-examples

정수 모듈로(modulo) 소수(prime number)의 링은 0 이외의 영제수를 가지지 않습니다. 왜냐하면 모든 각 비-영 원소는 단위(unit)이므로, 이 링은 유한 필드(finite field)입니다.
보다 일반적으로, 나눗셈 링(division ring)은 0을 제외하고 영제수를 가지지 않습니다.
오직 영제수가 O인 비-영(nonzero) 교환 링은 정수 도메인(integral domain)이라고 불립니다.

Properties

필드(field)에 걸쳐 $n$ -×- $n$ 행렬의 링에서, 왼쪽과 오른쪽 영제수는 일치합니다; 그것들은 정확히 특이 행렬(singular matrices)입니다. 정수 도메인에 걸쳐 $n$ -×- $n$ 행렬의 링에서, 영제수는 정확히 행렬식(determinant) 영(zero)을 갖는 행렬입니다.
왼쪽 또는 영제수는 결코 단위(unit)일 수 없는데, 왜냐하면 만약 $a$ 가 역-가능이고 일부 비-영 $x$ 에 대해 $ax = 0$ 이면, $0 = a -1 0 = a -1 ax = x$ , 모순이기 때문입니다.
원소는 그것이 정규인 변에 취소-가능(cancellable)입니다. 즉, 만약 $a$ 가 왼쪽 정규이면, $ax = ay$ 가 $x = y$ 임을 의미하고, 유사하게 오른쪽 정규에도 그렇습니다.

Zero as a zero divisor

정의가 이 경우에도 적용되기 때문에, 경우 $a = 0$ 에 대해 별도의 규칙이 필요하지 않습니다:

만약 $R$ 이 영 링(zero ring) 이외의 링이면, $0$ 은 (양-측) 영제수인데, 왜냐하면 임의의 비-영 원소 $x$ 는 $0 x = 0 = x 0$ 를 만족시키기 때문입니다.
만약 $R$ 이 $0 = 1$ 인 영 링(zero ring)이면, $0$ 은 영제수가 아닌데, 왜냐하면 $0$ 에 곱해질 때 $0$ 을 산출하는 비-영 원소가 없기 때문입니다.

일부 참조는 관례에 따라 모든 링에서 영제수로 $0$ 을 포함하거나 제외하지만, 그들은 그때에 다음과 같은 명제에서 예외를 도입해야 하는 어려움을 겪습니다:

교환 링 $R$ 에서, 비-영제수의 집합은 $R$ 에서 곱셈 집합(multiplicative set)입니다. (이것은, 차례로, 전체 몫 링(total quotient ring)의 정의에 대해 중요합니다.) 같은 것은 교환적이든 아니든 임의의 링에서 비-왼쪽-영제수의 집합과 비-오른쪽-영제수의 집합에 대해 참입니다.
교환 뇌터 링(Noetherian ring) $R$ 에서, 영제수의 집합은 $R$ 의 결합된 소수 아이디얼(associated prime ideals)의 합집합입니다.

Zero divisor on a module

$R$ 을 교환 링이라고 놓고, $M$ 을 $R$ -모듈로, $a$ 를 $R$ 의 원소로 놓습니다. 우리는 만약 " $a$ 에 의한 곱셈" 맵 $M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M$ 이 단사이면 $a$ 는 $M$ -정규이고, 그렇지 않으면 $a$ 는 $M$ 에 대한 영제수라고 말합니다.^[4] $M$ -정규 원소의 집합은 $R$ 에서 곱셈 집합(multiplicative set)입니다.^[4]

" $M$ -정규"와 " $M$ 에 대한 영제수"의 정의를 $M = R$ 의 경우로 전문화하면 이 기사에서 앞부분에서 제공된 "정규"와 "영제수"의 정의를 복구합니다.

Notes

^ Since the map is not injective, we have $ax = ay$ , in which $x$ differs from $y$ , and thus $a (x - y) = 0$ .

References

^ N. Bourbaki (1989), Algebra I, Chapters 1–3, Springer-Verlag, p. 98
^ Charles Lanski (2005), Concepts in Abstract Algebra, American Mathematical Soc., p. 342
^ Nicolas Bourbaki (1998). Algebra I. Springer Science+Business Media. p. 15.
^ ^a ^b Hideyuki Matsumura (1980), Commutative algebra, 2nd edition, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., p. 12