Zero divisor
추상 대수학(abstract algebra)에서, 링(ring) R의 원소(element) a는, 만약 ax = 0을 만족하는 영이 아닌 x가 존재하면 왼쪽 영제수(left zero divisor)라고 불리거나,[1] 또는 만약 x에서 ax로 보내는 R에서 R로의 맵이 단사가 아니면 마찬가지입니다.[a] 비슷하게, 링의 원소(element) a는 만약 ya = 0을 만족하는 비-영 y가 존재하면 오른쪽 영제수(right zero divisor)라고 불립니다. 이것은 링에서 나눔 가능도(divisibility)의 부분적인 경우입니다. 왼쪽 또는 오른쪽 영제수인 원소는 간단히 영제수(zero divisor)라고 불립니다.[2] 왼쪽 및 오른쪽 영제수 둘 다인 원소 a는 양-측 영제수(two-sided zero divisor)라고 불립니다 (ax = 0을 만족하는 비-영 x는 ya = 0을 만족하는 비-영 y와 다를 수 있습니다). 만약 링이 교환 가능이면(ring is commutative), 왼쪽 및 오른쪽 영제수는 같습니다.
왼쪽 영제수가 아닌 링의 원소는 왼쪽 정규(left regular) 또는 왼쪽 취소-가능(left cancellable)이라고 불립니다. 비슷하게, 오른쪽 영제수가 아닌 링의 원소는 오른쪽 정규(right regular) 또는 오른쪽 취소-가능(right cancellable)이라고 불립니다. 왼쪽 및 오른쪽 취소-가능이고 따라서 영제수가 아닌 링의 원소는 정규(regular) 또는 취소-가능(cancellable),[3] 또는 비-영-제수(non-zero-divisor)라고 불립니다. 비-영인 영제수는 비-영 영제수(nonzero zero divisor) 또는 비-자명한 영제수(nontrivial zero divisor)라고 불립니다. 비-자명한 영제수를 갖지 않는 비-영 링은 도메인(domain)이라고 불립니다.
Examples
- 링(ring) 에서, 잔여 클래스 는 영제수인데 왜냐하면 이기 때문입니다.
- 정수의 링 의 오직 영제수는 입니다.
- 비-영 링의 거듭제곱영(nilpotent) 원소는 항상 양-측 영제수입니다.
- 링의 거듭상등 원소(idempotent element) 는 항상 양-측 영제수인데, 왜냐하면 이기 때문입니다.
- 필드(field)에 걸쳐 행렬의 링은 만약 이면 비-영 영제수를 가집니다. (임의의 비-영 링(nonzero ring)에 걸쳐) 행렬의 링에서 영제수의 예제는 다음에 제시합니다:
- 둘 이상의 비-영 링(nonzero rings)의 직접 곱(direct product)은 항상 비-영 영제수를 가집니다. 예를 들어, 각 비-영 를 갖는 에서, 이므로, 은 영제수입니다.
- 를 필드(field)로 놓고 를 그룹(group)으로 놓습니다. 가 유한 차수(order) 의 원소 를 가진다고 가정합니다. 그런-다음 그룹 링(group ring) 에서 우리는 인수의 어떤 것도 영이 아닌 를 가지므로, 는 에서 비-영 영제수입니다.
One-sided zero-divisor
- (형식적) 행렬 의 링과 함께 와 를 생각해 보십시오. 그런-다음 및 . 만약 이면, 가 왼쪽 영제수인 것과 가 짝수인 것은 필요충분(iff) 조건인데, 왜냐하면 이기 때문이고, 그것이 오른쪽 영제수인 것과 가 유사한 이유로 짝수인 것은 필요충분 조건입니다. 만약 중 하나가 이면, 그것은 양-측 영제수입니다.
- 다음은 오직 한쪽에 대한 영제수인 원소를 갖는 링의 또 다른 예제입니다. 를 모든 정수의 수열(sequences)의 집합 으로 놓습니다. 링에 대해 에서 로의 모든 덧셈 맵(additive map)을 취하고, 링 연산으로 점별(pointwise) 덧셈과 합성(composition)을 사용합니다. (즉, 우리의 링은 , 덧셈 링 의 자기-사상 링(endomorphism ring)입니다.) 이 링의 원소의 셋의 예제는 오른쪽 쉬프트 , 왼쪽 쉬프트 , 및 첫 번째 인자 위로의 투영 맵입니다. 이들 덧셈 맵(additive map)의 셋 모두는 영이 아니고, 합성 과 은 둘 다 0이므로, 에서 로의 덧셈 맵 링에서 은 왼쪽 영제수이고 은 오른쪽 영제수입니다. 어쨌든, 은 오른쪽 영제수가 아니고 은 왼쪽 영제수가 아닙니다: 합성 은 항등식입니다. 은 양-측 영제수인데 왜냐하면 이고, 반면에 은 임의의 방향에서 없습니다.
Non-examples
- 정수 모듈로(modulo) 소수(prime number)의 링은 0 이외의 영제수를 가지지 않습니다. 왜냐하면 모든 각 비-영 원소는 단위(unit)이므로, 이 링은 유한 필드(finite field)입니다.
- 보다 일반적으로, 나눗셈 링(division ring)은 0을 제외하고 영제수를 가지지 않습니다.
- 오직 영제수가 O인 비-영(nonzero) 교환 링은 정수 도메인(integral domain)이라고 불립니다.
Properties
- 필드(field)에 걸쳐 n-×-n 행렬의 링에서, 왼쪽과 오른쪽 영제수는 일치합니다; 그것들은 정확히 특이 행렬(singular matrices)입니다. 정수 도메인에 걸쳐 n-×-n 행렬의 링에서, 영제수는 정확히 행렬식(determinant) 영(zero)을 갖는 행렬입니다.
- 왼쪽 또는 영제수는 결코 단위(unit)일 수 없는데, 왜냐하면 만약 a가 역-가능이고 일부 비-영 x에 대해 ax = 0이면, 0 = a−10 = a−1ax = x, 모순이기 때문입니다.
- 원소는 그것이 정규인 변에 취소-가능(cancellable)입니다. 즉, 만약 a가 왼쪽 정규이면, ax = ay가 x = y임을 의미하고, 유사하게 오른쪽 정규에도 그렇습니다.
Zero as a zero divisor
정의가 이 경우에도 적용되기 때문에, 경우 a = 0에 대해 별도의 규칙이 필요하지 않습니다:
- 만약 R이 영 링(zero ring) 이외의 링이면, 0은 (양-측) 영제수인데, 왜냐하면 임의의 비-영 원소 x는 0x = 0 = x0를 만족시키기 때문입니다.
- 만약 R이 0 = 1인 영 링(zero ring)이면, 0은 영제수가 아닌데, 왜냐하면 0에 곱해질 때 0을 산출하는 비-영 원소가 없기 때문입니다.
일부 참조는 관례에 따라 모든 링에서 영제수로 0을 포함하거나 제외하지만, 그들은 그때에 다음과 같은 명제에서 예외를 도입해야 하는 어려움을 겪습니다:
- 교환 링 R에서, 비-영제수의 집합은 R에서 곱셈 집합(multiplicative set)입니다. (이것은, 차례로, 전체 몫 링(total quotient ring)의 정의에 대해 중요합니다.) 같은 것은 교환적이든 아니든 임의의 링에서 비-왼쪽-영제수의 집합과 비-오른쪽-영제수의 집합에 대해 참입니다.
- 교환 뇌터 링(Noetherian ring) R에서, 영제수의 집합은 R의 결합된 소수 아이디얼(associated prime ideals)의 합집합입니다.
Zero divisor on a module
R을 교환 링이라고 놓고, M을 R-모듈로, a를 R의 원소로 놓습니다. 우리는 만약 "a에 의한 곱셈" 맵 이 단사이면 a는 M-정규이고, 그렇지 않으면 a는 M에 대한 영제수라고 말합니다.[4] M-정규 원소의 집합은 R에서 곱셈 집합(multiplicative set)입니다.[4]
"M-정규"와 "M에 대한 영제수"의 정의를 M = R의 경우로 전문화하면 이 기사에서 앞부분에서 제공된 "정규"와 "영제수"의 정의를 복구합니다.
See also
- Zero-product property
- Glossary of commutative algebra (Exact zero divisor)
- Zero-divisor graph
Notes
- ^ Since the map is not injective, we have ax = ay, in which x differs from y, and thus a(x − y) = 0.
References
- ^ N. Bourbaki (1989), Algebra I, Chapters 1–3, Springer-Verlag, p. 98
- ^ Charles Lanski (2005), Concepts in Abstract Algebra, American Mathematical Soc., p. 342
- ^ Nicolas Bourbaki (1998). Algebra I. Springer Science+Business Media. p. 15.
- ^ a b Hideyuki Matsumura (1980), Commutative algebra, 2nd edition, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., p. 12
Further reading
- "Zero divisor", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Michiel Hazewinkel; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004), Algebras, rings and modules, vol. Vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
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:|volume=
has extra text (help) - Weisstein, Eric W. "Zero Divisor". MathWorld.