Automorphism

수학(mathematics)에서, 자기-동형(automorphism)은 수학적 대상(mathematical object) 에서 자체로의 동형 사상(isomorphism)입니다. 그것은, 어떤 의미에서는, 대상의 대칭(symmetry)이고, 그것의 구조를 모두를 보존하면서 대상에서 자체로의 매핑(mapping)의 방법입니다. 대상의 모든 자기-동형의 집합(set)은, 자기-동형 그룹(automorphism group)이라고 불리는, 그룹(group)을 형성합니다. 그것은, 대략 말해서, 대상의 대칭 그룹(symmetry group)입니다.

Definition

추상 대수학(abstract algebra)의 맥락에서, 수학적 대상은 그룹(group), 링(ring), 또는 벡터 공간(vector space)과 같은 대수적 구조(algebraic structure)입니다. 자기-동형(automorphism)은 단순히 자신과 대상의 전단사(bijective) 준동형(homomorphism)입니다. (준동형의 정의는 대수적 구조의 유형에 따라 다릅니다; 예를 들어, 그룹 준동형(group homomorphism), 링 준동형(ring homomorphism), 및 선형 연산자(linear operator)를 참조하십시오.)

어떤 문맥에서 항등 사상(identity morphism) (항등 매핑(identity mapping))은 자명한 자기동형(trivial automorphism)이라고 불립니다. 각각, 다른 (비-항등) 자기-동형은 비-자명한 자기동형(nontrivial automorphisms)이라고 불립니다.

자기동형의 정확한 정의는 문제에서 "수학적 대상"의 유형과 정확히 그 대상의 "동형"을 구성하는 것이 무엇인지에 따라 다릅니다. 이들 단어가 의미를 가지는 가장 일반적인 설정은 카테고리 이론(category theory)이라고 불리는 수학의 추상적 가지입니다. 카테고리 이론은 추상적 대상과 그들 대상 사이의 사상(morphisms)을 다룹니다.

카테고리 이론에서, 자기동형(automorphism)은 자기-사상(endomorphism) (즉, 대상에서 자체로의 사상(morphism))이며 역시 동형(isomorphism)이기도 합니다 (여기서 동형의 카테고리적 의미에서, 오른쪽과 왼쪽의 역 자기-사상이 존재함을 의미합니다).

이것은 카테고리 이론에서 사상이 반드시 함수(functions)인 것은 아니고 대상이 반드시 집합일 필요는 없기 때문에 매우 추상적인 정의입니다. 대부분의 구체적인 설정에서, 어쨌든, 대상은 몇 가지 추가적인 구조와 함께 집합일 것이고 사상은 해당 구조를 보존하는 함수일 것입니다.

Automorphism group

만약 대상 X의 자기동형이 (적절한 클래스(class) 대신) 집합을 형성하면, 그것들은 사상(morphisms)의 합성(composition) 아래에서 그룹(group)을 형성합니다. 이 그룹은 X의 자기-동형 그룹(automorphism group)이라고 불립니다.

클로저(Closure): 두 개의 자기-동형의 합성은 또 다른 자기동형입니다.
결합성(Associativity): 사상의 합성이 결합적이라는 것은 카테고리(category) 정의의 일부입니다.
항등원(Identity): 항등원은 대상에서 자체로의 항등 사상이며, 이는 자기동형입니다.
역(Inverses): 정의에 의해 모든 각 동형은 역시 동형인 역을 가지며, 역도 같은 대상의 자기-사상이므로 자기동형입니다.

카테고리 C에 있는 대상 X의 자기동형 그룹은 Aut_C(X)로 표시되거나, 카테고리가 문맥에서 명확하면 간단히 Aut(X)로 표시됩니다.

Examples

집합 이론(set theory)에서, 집합 X의 원소의 임의적인 순열(permutation)은 자기동형입니다. X의 자기동형 그룹은 역시 X 위의 대칭 그룹이라고 불립니다.
기본 산술(elementary arithmetic)에서, 덧셈 아래에서 그룹으로 여겨지는 정수(integers)의 집합 Z는 고유한 비-자명한 자기동형: 부정을 가집니다. 링으로 여겨지지만, 어쨌든, 그것은 오직 자명한 자기동형을 가집니다. 일반적으로 말해서, 부정은 임의의 아벨 그룹(abelian group)의 자동형성이지만, 링이나 필드는 아닙니다.
그룹 자기동형은 그룹에서 자체로의 그룹 동형(group isomorphism)입니다. 비공식적으로, 그것은 구조가 변경되지 않은 상태로 유지됨을 만족하는 그룹 원소의 순열입니다. 모든 그룹 G에 대해, 그것의 이미지가 안의 자기동형(inner automorphisms)의 Inn(G)이고 그것의 커널(kernel)이 G의 중심(center)인 자연스러운 그룹 준동형 G → Aut(G)이 있습니다. 따라서, G가 자명한(trivial) 중심이면 그것은 자체의 자기동형 그룹으로 삽입될 수 있습니다.^[1]
선형 대수(linear algebra)에서, 벡터 공간(vector space) V의 자기-사상은 선형 연산자(linear operator) V → V입니다. 자가동형은 V 위에 역-가능 선형 연산자입니다. 벡터 공간이 유한-차원일 때, V의 자가동형 그룹은 일반 선형 그룹(general linear group), GL(V)와 같습니다. (V의 모든 자기사상의 대수적 구조는 그 자체가 V와 같은 기저 필드에 대한 대수이며, 그것의 역-가능 원소(invertible elements)는 정확히 GL(V)로 구성됩니다.)
필드 자동동형은 필드에서 자체로의 전단사(bijective) 링 준동형(ring homomorphism)입니다. 유리수 (Q)와 실수 (R)의 경우에서 비-자명한 필드 자동동형이 없습니다. R의 일부 부분-필드는 비-자명한 필드 자동동형을 가지며, 이는 어쨌든 모든 R로 확장되지는 않습니다 (왜냐하면 그것들이 R에서 제곱근을 가지는 숫자의 속성을 보존할 수 없기 때문입니다). 복소수 C의 경우에서, R을 R로 보내는 고유한 비-자명한 자가동형이 있습니다: 복소수 켤레, 그러나 무한하게 (셀-수-없게) 많은 "야생의(wild)" 자가동형 (선택 공리를 가정)이 있습니다.^[2]^[3] 필드 자기동형은 필드 확장(field extensions)의 이론, 특히 갈루아 확장(Galois extensions) 이론에 중요합니다. 갈루아 확장 L/K의 경우에서 점별 K를 고정하는 L의 모든 자기동형의 부분그룹은 그 확장의 갈루아 그룹이라고 합니다.
링으로의 쿼터니언(quaternions) (H)의 자가동형 그룹은 스콜렘–뇌터 정리(Skolem–Noether theorem)에 의한 안의 자기동형: a ↦ bab⁻¹ 형식의 맵입니다.^[4] 이 그룹은 3-차원 공간에서 회전 그룹, SO(3)과 동형(isomorphic)입니다.
옥토니언(octonions) (O)의 자기동형 그룹은 예외적인(exceptional) 리 그룹 G₂입니다.
그래프 이론(graph theory)에서, 그래프의 자동동형(automorphism of a graph)은 가장자리와 비-가장자리를 보존하는 노드의 순열입니다. 특히, 만약 두 노드가 가장자리에 의해 연결되면, 순열 아래에서 이미지도 연결됩니다.
기하학(geometry)에서, 자기동형은 공간의 운동(motion)이라고 부를 수 있습니다. 전문 용어도 사용됩니다:
- 메트릭 기하학(metric geometry)에서, 자기동형은 자기-등거리변환(isometry)입니다. 자기동형 그룹은 역시 등거리변환 그룹(isometry group)이라고 불립니다.
- 리만 표면(Riemann surfaces)의 카테고리에서, 자기동형은 하나의 표면에서 자체로의 이중-정칙(biholomorphic) 맵 (등각 맵(conformal map)이라고 불림)입니다. 예를 들어, 리만 구(Riemann sphere)의 자기동형은 뫼비우스 변환(Möbius transformations)입니다.
- 미분-가능 매니폴드(manifold) M의 자기동형은 M 에서 자체로의 미분동형(diffeomorphism)입니다. 자기동형 그룹은 때때로 Diff(M)로 표시됩니다.
- 토폴로지(topology)에서, 토폴로지적 공간 사이의 사상은 연속 맵(continuous maps)이라고 불리고, 토폴로지적 공간의 자기동형은 공간에서 자체로의 위상-동형(homeomorphism), 또는 자기-위상동형입니다 (위상동형 그룹(homeomorphism group)을 참조하십시오). 이 예제에서, 전단사가 되는 사상에 대해 동형인지 충분이 아닙니다.

History

최초의 그룹 자기동형 (단순히 점의 자동동형의 그룹이 아니라 그룹의 자동동형) 중 하나는 아일랜드 수학자 윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton)에 의해 1856년 그의 icosian calculus에서 제공했으며, 여기서 그는 차수 2 자기동형을 발견했으며,^[5] 다음과 같이 씁니다:

$\mu$ 가 완전한 상호성의 관계에 의해 이전의 다섯 번째 근 $\lambda$ 와 연결된 새로운 다섯 번째 단위의 근이 되도록.

Inner and outer automorphisms

일부 카테고리—특히 그룹, 링, 및 리 대수—에서, 자가동형을 "안의" 및 "밖" 자동동형이라고 불리는 두 가지 유형으로 자기동형을 분리하는 것이 가능합니다.

그룹의 경우에서, 안의 자기동형(inner automorphisms)은 그룹 자체의 원소에 의한 켤레화입니다. 그룹 G의 각 원소 a에 대해, a에 의한 켤레화는 φ_a(g) = aga⁻¹ (또는 a⁻¹ga, 사용법은 다양함)에 의해 주어진 연산 φ_a : G → G입니다. 우리는 a에 의한 켤레화가 그룹 자기동형임을 쉽게 확인할 수 있습니다. 안의 자기동형은 Aut(G)의 정규 부분-그룹(normal subgroup)을 형성하고, Inn(G)에 의해 표시됩니다; 이것은 구르사의 보조정리(Goursat's lemma)라고 불립니다.

다른 자기동형은 밖의 자기동형(outer automorphisms)이라고 불립니다. 몫 그룹(quotient group) Aut(G) / Inn(G)은 보통 Out(G)로 표시됩니다; 비-자명한 원소는 밖의 자기동형을 포함하는 코셋(cosets)입니다.

같은 정의는 임의의 단위(unital) 링(ring) 또는 대수(algebra)에 적용되며 여기서 a는 임의의 역-가능 원소(invertible element)입니다. 리 대수(Lie algebras)에 대해 그 정의가 약간 다릅니다.

References

^ PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorphisms". Mathematical foundations of computational engineering (Felix Pahl translation ed.). Springer. p. 376. ISBN 3-540-67995-2.
^ Yale, Paul B. (May 1966). "Automorphisms of the Complex Numbers" (PDF). Mathematics Magazine. 39 (3): 135–141. doi:10.2307/2689301. JSTOR 2689301.
^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 22–23, ISBN 0-521-00551-5
^ Handbook of algebra, vol. 3, Elsevier, 2003, p. 453
^ Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorandum respecting a new System of Roots of Unity" (PDF). Philosophical Magazine. 12: 446.

External links

[Pahl-1] PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorphisms". Mathematical foundations of computational engineering (Felix Pahl translation ed.). Springer. p. 376. ISBN 3-540-67995-2.

[2] Yale, Paul B. (May 1966). "Automorphisms of the Complex Numbers" (PDF). Mathematics Magazine. 39 (3): 135–141. doi:10.2307/2689301. JSTOR 2689301.

[3] Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 22–23, ISBN 0-521-00551-5

[4] Handbook of algebra, vol. 3, Elsevier, 2003, p. 453

[5] Sir William Rowan Hamilton (1856). "Memorandum respecting a new System of Roots of Unity" (PDF). Philosophical Magazine. 12: 446.

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