Cylinder

Cylinder
Cylinder
	A circular right cylinder of height h and diameter d=2r
Type	Smooth surface; Algebraic surface
Euler char.	2
Symmetry group	O(2)×O(1)
Surface area	2πr(r + h)
Volume	πr2h

원기둥(cylinder, from grc κύλινδρος (kúlindros), meaning 'roller, tumbler')은^[1] 전통적으로 가장 기본적인 곡선형 기하학적 모양 중 하나인 삼-차원 고체였습니다. 기본 기하학(elementary geometry)에서, 그것은 원(circle)을 밑면으로 갖는 각기둥(prism)으로 고려됩니다.

원기둥은 기하학과 토폴로지(topology)의 다양한 현대 가지에서 무한(infinite) 곡선형 표면(surface)으로 정의될 수도 있습니다. 기본 의미—(공과 구에서와 같이) 고체 대 표면—의 변화로 인해 용어가 약간 모호해졌습니다. 두 개념은 고체 원기둥(solid cylinders)과 원통형 표면(cylindrical surfaces)을 참조함으로써 구분될 수 있습니다. 문헌에서 꾸밈없는 원기둥이라는 용어는 이들 중 하나 또는 훨씬 더 특수화된 대상, 직각 원형 원기둥(right circular cylinder)을 가리킬 수 있습니다.

Types

이 섹션의 정의와 결과는 George Wentworth와 David Eugene Smith (Wentworth & Smith 1913)에 의한 1913년 텍스트 Plane and Solid Geometry에서 가져왔습니다.

원통형 표면(cylindrical surface)은 주어진 직선에 평행하고 주어진 직선에 평행하지 않은 평면에서 고정된 평면 곡선(plane curve)을 통과하는 모든 직선 위의 모든 점으로 구성하는 표면(surface)입니다. 이 평행 직선 가족에 있는 임의의 직선은 원통형 표면의 원소(element)라고 불립니다. 운동학(kinematics)의 관점에서, 방향선(directrix)이라고 불리는 평면 곡선이 주어지면, 원통형 표면은 방향선의 평면에 있는 않는 생성선(generatrix)이라고 불리는 직선에 의해 추적되는 표면이며, 자체에 평행하게 이동하고 항상 방향선을 통과합니다. 생성선의 임의의 특정 위치는 원통형 표면의 원소입니다.

A right and an oblique circular cylinder

원통형 표면과 두 개의 평행 평면으로 둘러싸인 고체는 (고체) 원기둥(cylinder)이라고 불립니다. 두 개의 평행한 평면 사이의 원통형 표면의 원소에 의해 결정되는 선분은 원기둥의 원소(element of the cylinder)라고 불립니다. 원기둥의 모든 원소는 같은 길이를 가집니다. 평행한 평면 중 하나에서 원통형 표면으로 둘러싸인 영역은 원기둥의 밑면(base)이라고 불립니다. 원기둥의 두 밑면은 합동(congruent) 도형입니다. 만약 원기둥의 원소가 밑면을 포함하는 평면에 수직이면, 그 원기둥은 직각 원기둥(right cylinder)이고 그렇지 않으면 경사 원기둥(oblique cylinder)이라고 불립니다. 만약 밑면이 디스크 (경계가 원인 영역)이면, 그 원기둥은 원형 원기둥(circular cylinder)이라고 불립니다. 일부 기본 취급에서, 원기둥은 항상 원형 원기둥을 의미합니다.^[2]

원기둥의 높이(height, 또는 고도)는 밑면 사이의 수직(perpendicular) 거리입니다.

선분과 평행한 고정된 직선을 중심으로 선분을 회전함으로써 얻은 원기둥은 회전의 원기둥(cylinder of revolution)입니다. 회전의 원기둥은 직각 원형 원기둥입니다. 회전 원기둥의 높이는 생성하는 선분의 길이입니다. 선분이 회전하는 직선은 원기둥의 축(axis)이라고 불리고 두 밑면의 중심을 통과합니다.

Right circular cylinders

용어 cylinder는 종종 그림에 표시된 것처럼 축에 수직인 원형 끝을 갖는 고체 원기둥, 즉, 직각 원형 원기둥을 나타냅니다. 끝이 없는 원통형 표면은 열린 원기둥(open cylinder)이라고 불립니다. 직각 원형 원기둥의 표면 넓이와 부피에 대한 공식은 고대 초기부터 알려져 왔습니다.

직각 원형 원기둥은 직사각형의 한 변을 중심으로 회전함으로써 생성되는 회전의 고체(solid of revolution)라고 생각될 수도 있습니다. 이들 원기둥은 회전의 고체의 부피를 얻기 위한 적분 기술 ("디스크 방법")에 사용됩니다.^[3]

길고 얇은 바늘 원기둥(needle cylinder)은 지름보다 높이가 훨씬 크고, 반면에 짧고 넓은 디스크 원기둥(disk cylinder)은 높이보다 지름이 훨씬 큽니다.

Properties

Cylindric sections

원기둥 단면은 원기둥의 표면과 평면(plane)의 교차점입니다. 그것들은, 일반적으로, 곡선이고 특수한 유형의 평면 단면(plane sections)입니다. 원기둥의 두 원소를 포함하는 평면에 의한 원기둥 단면은 평행사변형(parallelogram)입니다.^[4] 직각 원기둥의 그러한 원기둥 단면은 직사각형(rectangle)입니다.^[4]

교차하는 평면이 원기둥의 모든 원소와 교차하고 수직인 원기둥 단면은 직각 단면(right section)이라고 불립니다.^[5] 만약 원기둥의 직각 단면이 원이면 원기둥은 원형 원기둥입니다. 보다 일반적으로, 만약 원기둥의 직각 단면이 원뿔 단면 (포물선, 타원, 쌍곡선)이면, 고체 원기둥은 각각 포물선형, 타원형, 및 쌍곡선형이라고 말합니다.

직각 원기둥에 대해, 평면이 원기둥과 만날 수 있는 여러 가지 방법이 있습니다. 첫째, 기껏해야 한 지점에서 밑면과 교차하는 평면입니다. 평면은 만약 그것이 단일 원소에서 원기둥과 만나면 원기둥에 접합니다. 직각 단면은 원이고 모든 다른 평면은 타원(ellipse)에서 원통형 표면과 교차합니다.^[6] 만약 평면이 정확히 두 점에서 원기둥의 밑면과 교차하면 이들 점을 연결하는 선분은 원기둥 단면의 일부입니다. 만약 그러한 평면이 두 개의 원소를 포함하면, 그것은 원통형 단면으로 직사각형을 가지며, 그렇지 않으면 원통형 단면의 변이 타원의 일부입니다. 마지막으로, 만약 평면이 밑면의 두 개보다 많은 점을 포함하면, 그것은 전체 밑면을 포함하고 원통형 단면은 원입니다.

원통형 단면이 타원인 직각 원형 원기둥의 경우에서, 원통형 단면의 이심률(eccentricity) $e$ 와 원통형 단면의 반-주요 축(semi-major axis) $a$ 는 원기둥의 반지름 $r$ 과 할선 평면과 원기둥 축 사이의 각도 $α$ 에 따라 달라지며, 다음과 같은 방법으로:

e=\cos \alpha ,

a={\frac {r}{\sin \alpha }}.

Volume

만약 원형 원기둥의 밑면이 반지름 $r$ 을 가지고 원기둥이 높이 $h$ 를 가지면, 그것의 부피(volume)는 다음에 의해 제공됩니다:

V = π r 2 h

.

이 공식은 원기둥이 직각 원기둥인지 여부를 유지합니다.^[7]

이 공식은 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)를 사용함으로써 설정될 수 있습니다.

더 일반적으로, 같은 원리에 의해, 임의의 원기둥의 부피는 밑면의 넓이와 높이의 곱입니다. 예를 들어, 반-주요 축 $a$ , 반-보조 축 $b$ , 및 높이 $h$ 를 가지는 밑면을 갖는 타원형 원기둥의 부피는 $V = Ah$ 이며, 여기서 $A$ 는 밑면 타원의 넓이 (= $π ab$ )입니다. 직각 타원형 원기둥에 대한 이 결과는 원기둥의 축을 양의 $x$ -축으로 취하고 $A (x) = A$ 을 각 타원 교차-단면의 넓이를 적분함으로써 얻을 수도 있습니다:

V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.

원통형 좌표(cylindrical coordinates)를 사용하여, 직각 원형 원기둥의 부피는 다음에 걸쳐 적분에 의해 계산될 수 있습니다:

=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz

=\pi \,r^{2}\,h.

Surface area

반지름 $r$ 과 고도 (높이) $h$ 를 가지는, 직각 원형 원기둥의 표면 넓이(surface area)는, 축이 수직이 되도록 방향이 맞춰져 있으며, 세 부분으로 구성됩니다:

꼭대기 면의 넓이: $π r 2$
바닥 면의 넓이: $π r 2$
옆쪽 면의 넓이: $2π rh$

꼭대기 면과 바닥 면의 넓이는 같고, 밑면 넓이(base area), $B$ 라고 불립니다. 옆쪽 면의 넓이는 측면 넓이(lateral area), $L$ 이라고 알려져 있습니다.

열린 원기둥(open cylinder)은 꼭대기 또는 바닥 원소를 포함하지 않고, 따라서 다음 표면 넓이 (측면 넓이)를 가집니다:

L = 2π rh

.

고체 직각 원형 실린더의 표면 넓이는 꼭대기, 바닥, 및 측면의 세 가지 구성 요소 모두의 합으로 구성됩니다. 따라서 그것의 표면 넓이는 다음과 같습니다:

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r 2 = 2π r (h + r) = π d (r + h)

,

여기서 $d = 2 r$ 는 원형 꼭대기와 바닥의 지름(diameter)입니다.

주어진 부피에 대해, 가장 작은 표면 넓이를 갖는 직각 원형 원기둥은 $h = 2 r$ 를 가집니다. 동등하게, 주어진 표면 넓이에 대해, 가장 큰 부피를 갖는 직각 원형 원기둥은 $h = 2 r$ 를 가지며, 즉, 원기둥은 측면 길이 = 고도 (= 밑면 원의 지름)의 정육면체에 꼭 맞습니다.^[8]

직각 원기둥일 필요는 없는 원형 원기둥의 측면 넓이 $L$ 은 보다 일반적으로 다음에 의해 제공됩니다:

L = e \times p

,

여기서 $e$ 는 원소의 길이이고 $p$ 는 원기둥의 직각 단면의 둘레입니다.^[9] 이것은 원기둥이 직각 원형 원기둥일 때 측면 넓이에 대한 이전 공식을 생성합니다.

Right circular hollow cylinder (cylindrical shell)

직각 원형 텅빈 원기둥 (또는 원통형 껍질)는 다이어그램에서와 같이 같은 축을 가지는 두 개의 직각 원형 원기둥과 원기둥의 공통 축에 수직인 두 개의 평행한 고리-모양(annular)의 밑면에 의해 경계진 삼-차원 영역입니다.

높이를 $h$ , 내부 반지름 $r$ , 및 외부 반지름 $R$ 이라고 놓습니다. 부피는 다음에 의해 제공됩니다:

V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).

.

따라서, 원통형 껍질의 부피는 2 $π$ (평균 반지름)(고도)(두께)와 같습니다.^[10]

꼭대기와 바닥을 포함한 표면 넓이는 다음에 의해 제공됩니다:

A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).

원통형 껍질은 회전의 고체의 부피를 찾기 위한 공통적인 적분 기술에서 사용됩니다.^[11]

On the Sphere and Cylinder

이 이름의 논문에서, 약 기원전 225년에 쓰인, 아르키메데스는 같은 높이와 지름을 갖는 구와 둘레-접하는 직각 원형 원기둥 사이의 관계를 이용함으로써 구의 부피와 표면 넓이에 대한 공식을 얻은 가장 자랑스러운 결과를 얻었습니다. 그 구는 둘레-접하는 원기둥의 2/3의 부피와 원기둥 (밑면 포함)의 2/3의 표면 넓이를 가지고 있습니다. 원기둥에 대한 값이 이미 알려져 있었기 때문에, 그는 처음으로 구에 대해 해당하는 값을 얻었습니다. 반지름 $r$ 의 구의 부피는 $4 / 3 π r 3 = 2 / 3 (2 π r 3)$ 입니다. 이 구의 표면 넓이는 $4 π r 2 = 2 / 3 (6 π r 2)$ 입니다. 그의 요청에 따라 조각된 구와 원기둥이 아르키메데스의 무덤에 놓였습니다.

Cylindrical surfaces

기하학과 토폴로지의 일부 영역에서, 용어 cylinder는 원통형 표면(cylindrical surface)이라고 불리는 것을 참조되어 왔습니다. 원기둥은 주어진 직선에 평행하고 주어진 직선에 평행하지 않은 평면에서 고정된 평면 곡선을 통과하는 모든 직선 위의 모든 점으로 구성된 표면으로 정의됩니다.^[12] 그러한 원기둥은 때때로 일반화된 원기둥(generalized cylinders)이라고 참조되어 왔습니다. 일반화된 원기둥의 각 점을 통해, 원기둥에 포함된 고유한 직선이 통과합니다.^[13] 따라서, 이 정의는 원기둥이 평행 직선의 일-매개변수 가족에 의해 스팬된 임의의 자로-그은 표면(ruled surface)이라고 다시 말할 수 있습니다.

직각 단면이 타원, 포물선, 또는 쌍곡선인 원기둥은 각각 타원형 원기둥(elliptic cylinder), 포물형 원기둥(parabolic cylinder), 및 쌍곡형 원기둥(hyperbolic cylinder)이라고 불립니다. 이들은 퇴화 이차 곡면(quadric surfaces)입니다.^[14]

이차-초곡면(quadric)의 주요 축이 참조 프레임과 정렬될 때 (이차-초곡면에 대해 항상 가능), 삼-차원에서 이차-초곡면의 일반적인 방정식은 다음과 같이 제공됩니다:

f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,

이때 계수는 실수이고 $A$ , $B$ , 및 $C$ 모두가 0은 아닙니다. 만약 적어도 하나의 변수가 방정식에 나타나지 않으면 이차-초곡면은 퇴화됩니다. 만약 하나의 변수가 누락되면, 적절한 축의 회전(rotation of axes)으로 변수 $z$ 가 나타나지 않는다고 가정할 수 있고 이러한 유형의 퇴화 이차-초곡면의 일반적인 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:^[15]

A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}=\rho ,

여기서

\rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.

Elliptic cylinder

만약 $AB > 0$ 이면, 이것은 타원형 원기둥(elliptic cylinder)의 방정식입니다.^[15] 나아가서 단순화는 축의 평행이동(translation of axes)과 스칼라 곱셈에 의해 얻을 수 있습니다. 만약 $\rho$ 가 계수 $A$ 와 $B$ 와 동일한 부호를 가지면, 타원형 원기둥의 방정식은 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)로 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.

이 타원형 원기둥의 방정식은 보통의 원형 원기둥 ( $a = b$ )의 방정식의 일반화입니다. 타원형 원기둥은 cylindroids라고도 알려져 있지만, 플뤼커 코노이드(Plücker conoid)를 참조할 수도 있으므로 그 이름은 모호합니다.

만약 $\rho$ 가 계수와 다른 부호를 가지면, 허수의 타원형 원기둥(imaginary elliptic cylinders)을 얻습니다:

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,

이는 그것들 위에 실수 점을 가지지 않습니다. ( $\rho =0$ 은 단일 실수 점을 제공합니다.)

Hyperbolic cylinder

만약 $A$ 와 $B$ 가 다른 부호를 가지고 $\rho \neq 0$ 이면, 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있는 쌍곡형 원기둥(hyperbolic cylinders)을 얻습니다:

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.

Parabolic cylinder

마지막으로, 만약 $AB = 0$ 이면, 일반성의 손실 없이(without loss of generality), $B = 0$ 과 $A = 1$ 이라고 가정하여 다음과 같이 쓸 수 있는 방정식을 갖는 포물형 원기둥(parabolic cylinders)을 얻습니다:^[16]

{x}^{2}+2a{y}=0.

Projective geometry

투영 기하학(projective geometry)에서, 원기둥은 단순히 꼭대기 (꼭짓점)이 무한대에서 평면(plane at infinity)에 놓이는 원뿔(cone)입니다. 만약 원뿔이 이차 원뿔이면, 무한대에서 평면 (이는 꼭짓점을 통과함)은 두 개의 실수 직선, 단일 실수 직선 (실제로 일치하는 한 쌍의 직선), 또는 꼭짓점에서만 원뿔과 교차할 수 있습니다. 이들 경우는 각각 쌍곡형, 포물형 또는 타원형 원기둥을 발생시킵니다.^[17]

이 개념은 원기둥 원뿔을 포함할 수 있는 퇴화 원뿔(degenerate conics)을 고려할 때 유용합니다.

Prisms

Tycho Brahe Planetarium building, Copenhagen, is an example of a truncated cylinder

고체 원형 원기둥(solid circular cylinder)은 $n$ 이 무한대(infinity)에 접근하는 $n$ -각형 각기둥(prism)의 극한하는 경우로 볼 수 있습니다. 연결은 매우 강력하고 많은 오래된 텍스트는 각기둥과 원기둥을 동시에 취급합니다. 표면 넓이와 부피에 대한 공식은 내접된 각기둥과 둘레-접된 각기둥을 사용하고 그런-다음 각기둥의 변의 개수를 제한 없이 증가시키면 각기둥에 해당하는 공식에서 유도됩니다.^[18] 원형 원기둥에 대한 초기 강조 (그리고 때로는 배타적 취급)의 한 가지 이유는 원형 밑면이 기본 고려 사항 (미적분 또는 고급 수학에 대한 호소 없음)만 사용하여 이 기술이 작동하는 유일한 유형의 기하학적 도형이기 때문입니다. 각기둥과 원기둥에 대한 용어는 동일합니다. 따라서, 예를 들어, 잘린 각기둥(truncated prism)은 밑면이 평행 평면에 있지 않은 각기둥이므로, 밑면이 평행 평면에 놓이지 않은 고체 원기둥은 잘린 원기둥(truncated cylinder)이라고 불립니다.

다면체의 관점에서, 원기둥은 무한-면 쌍각뿔(bipyramid)로 이중-원뿔(bicone)의 이중이라고도 볼 수 있습니다.

Family of uniform n-gonal prisms v t e
Prism name	Digonal prism	(Trigonal) Triangular prism	(Tetragonal) Square prism	Pentagonal prism	Hexagonal prism	Heptagonal prism	Octagonal prism	Enneagonal prism	Decagonal prism	Hendecagonal prism	Dodecagonal prism	...	Apeirogonal prism
Polyhedron image												...
Spherical tiling image												Plane tiling image
Vertex config.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Coxeter diagram												...

Notes

^ κύλινδρος Archived 2013-07-30 at the Wayback Machine, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
^ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman and Co., p. 607, ISBN 0-7167-0456-0
^ Swokowski 1983, p. 283
^ ^a ^b Wentworth & Smith 1913, p. 354
^ Wentworth & Smith 1913, p. 357
^ "MathWorld: Cylindric section". Archived from the original on 2008-04-23.
^ Wentworth & Smith 1913, p. 359
^ Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2013), Calculus With Applications, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 178, ISBN 9781461479468, archived from the original on 2018-02-06.
^ Wentworth & Smith 1913, p. 358
^ Swokowski 1983, p. 292
^ Swokowski 1983, p. 291
^ Albert 2016, p. 43
^ Albert 2016, p. 49
^ Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, p. 34, ISBN 978-0-521-59787-6
^ ^a ^b Albert 2016, p. 74
^ Albert 2016, p. 75
^ Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry a Comprehensive Course, Dover, p. 398, ISBN 0-486-65812-0
^ Slaught, H.E.; Lennes, N.J. (1919), Solid Geometry with Problems and Applications (PDF) (Revised ed.), Allyn and Bacon, pp. 79–81, archived (PDF) from the original on 2013-03-06

References

Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
Wentworth, George; Smith, David Eugene (1913), Plane and Solid Geometry, Ginn and Co.

External links

Weisstein, Eric W. "Cylinder". MathWorld.
Surface area of a cylinder at MATHguide
Volume of a cylinder at MATHguide

[1] κύλινδρος Archived 2013-07-30 at the Wayback Machine, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus

[2] Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman and Co., p. 607, ISBN 0-7167-0456-0

[3] Swokowski 1983, p. 283

[WS354-4] Wentworth & Smith 1913, p. 354

[5] Wentworth & Smith 1913, p. 357

[6] "MathWorld: Cylindric section". Archived from the original on 2008-04-23.

[7] Wentworth & Smith 1913, p. 359

[8] Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2013), Calculus With Applications, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 178, ISBN 9781461479468, archived from the original on 2018-02-06.

[9] Wentworth & Smith 1913, p. 358

[10] Swokowski 1983, p. 292

[11] Swokowski 1983, p. 291

[12] Albert 2016, p. 43

[13] Albert 2016, p. 49

[14] Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, p. 34, ISBN 978-0-521-59787-6

[Albert74-15] Albert 2016, p. 74

[16] Albert 2016, p. 75

[17] Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry a Comprehensive Course, Dover, p. 398, ISBN 0-486-65812-0

[18] Slaught, H.E.; Lennes, N.J. (1919), Solid Geometry with Problems and Applications (PDF) (Revised ed.), Allyn and Bacon, pp. 79–81, archived (PDF) from the original on 2013-03-06

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