Closed set

기하학(geometry), 토폴로지(topology), 및 수학(mathematics)의 관련된 가지에서, 닫힌 집합(closed set)은 그것의 여집합(complement)이 열린 집합(open set)인 집합입니다.^[1]^[2] 토폴로지적 공간(topological space)에서, 닫힌 집합은 모든 그것의 극한 점(limit points)을 포함하는 집합으로 정의될 수 있습니다. 완비 메트릭 공간(complete metric space)에서, 닫힌 집합은 극한(limit) 연산 아래에서 닫혀 있는(closed) 집합입니다. 이것은 닫힌 매니폴드(closed manifold)와 혼동되어서는 안됩니다.

Equivalent definitions

정의에 의해, 토폴로지적 공간(topological space) $(X,\tau )$ 의 부분집합 $A$ 는 그것의 여집합 $X\setminus A$ 가 $X\setminus A$ ; 즉, $X\setminus A\in \tau$ 이면 닫힌(closed) 것이라고 불립니다. 집합이 닫혀 있는 것과 그것이 $X$ 에 클로저(closure)인 것은 필요충분 조건입니다. 동등하게, 집합이 닫혀 있는 것과 그것이 모든 극한 점(limit points)을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다. 여전히 또 다른 동등한 정의는 집합이 닫혀 있는 것과 그것이 모든 경계 점(boundary points)을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다. 모든 각 부분집합 $A\subseteq X$ 은 항상 $X$ 에서 (토폴로지적) 클로저에 포함되며, 이는 $\operatorname {cl} _{X}A$ 로 표시됩니다; 즉, $A\subseteq X$ 이면 $A\subseteq \operatorname {cl} _{X}A$ 입니다. 게다가, $A$ 가 $A$ 의 닫힌 부분집합인 것과 $A=\operatorname {cl} _{X}A$ 인 것은 필요충분 조건입니다.

닫힌 집합의 대안적인 특성화는 수열(sequences)과 네트(nets)를 통해 사용할 수 있습니다. 토폴로지적 공간 $X$ 의 부분집합 $A$ 는 $X$ 에서 닫혀 있는 것과 $A$ 의 원소의 모든 각 네트의 모든 각 극한(limit)이 역시 $A$ 에 속하는 것은 필요충분 조건입니다. 첫 번째-셀-수-있는 공간(first-countable space) (예를 들어 메트릭 공간)에서, 모든 네트가 아닌 수렴 수열(sequences)만 고려하는 것으로 충분합니다. 이 특성화의 한 가지 가치는 토폴로지적 공간보다 더 일반적인 수렴 공간(convergence spaces)의 맥락에서 하나의 정의로 사용될 수 있다는 것입니다. 이 특성화는 역시 둘러싸는 공간 $X$ 에 따라 달라지는데, 왜냐하면 수열 또는 네트가 $X$ 에 수렴하는지 여부는 $X$ 에 어떤 점이 있는지에 달려 있기 때문임을 주목하십시오. $X$ 에서 점 $x$ 는 $x\in \operatorname {cl} _{X}A$ 이면 부분집합 $A\subseteq X$ 에 가까운 것이라고 말합니다 (또는 동등하게, $x$ 는 토폴로지적 부분공간(topological subspace) $A\cup \{x\}$ 에서 $A$ 의 클로저에 속하면, $x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A$ 임을 의미하며, 여기서 $A\cup \{x\}$ 는 $X$ 에 의해 그것 위에 유도된 부분공간 토폴로지(subspace topology)가 부여됩니다^{[note 1]}). 따라서 $X$ 에서 $A$ 의 클로저가 따라서 $A$ 에 가까운 $X$ 에서 모든 점의 집합이기 때문에, 이 용어는 닫힌 부분집합의 일반 영어 설명을 허용합니다.

부분집합이 닫혀 있는 것과 그것이 부분집합에 가까운 모든 각 점을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다.

네트 수렴의 관점에서, 점 $x\in X$ 가 부분집합 $A$ 에 가까운 것과 $x$ 에 수렴하는 $A$ 에 (평가된) 어떤 네트가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다. 만약 $X$ 가 어떤 다른 토폴로지적 공간 $Y$ 의 토폴로지적 부분공간(topological subspace)이면, 이 경우에서 $Y$ 는 $X$ 의 토폴로지적 초월-공간(topological super-space)이라고 불리며, (비록 $X$ 의 원소는 아니지만) $A$ 에서 가까운 $Y\setminus X$ 에서 일부 점이 존재했을 수 있으며, 이것은 부분집합 $A\subseteq X$ 가 $X$ 에서 닫혀 있지만 "더 큰" 둘러싸는 초월-공간 $Y$ 에서는 닫히지 않을 수 있는 방법입니다. 만약 $A\subseteq X$ 이고 $Y$ 가 $X$ 의 임의의 토폴로지적 초월-공간이면 $A$ 는 $Y$ 에서 $A$ 의 클로저를 나타내는 $\operatorname {cl} _{Y}A$ 의 (잠재적으로 적절한) 부분-집합입니다; 사실, 심지어 $A$ 가 $X$ 의 닫힌 부분집합이면 (이것이 발생하는 것과 $A=\operatorname {cl} _{X}A$ 인 것은 필요충분 조건), 그럼에도 불구하고 $A$ 가 $\operatorname {cl} _{Y}A$ 의 적절한 부분집합이 되는 것은 여전히 가능합니다. 어쨌든, $A$ 가 $X$ 의 닫힌 부분집합인 것과 $X$ 의 일부 (또는 동등하게, 모든 각) 토폴로지적 초월-공간 $Y$ 에 대해 $A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A$ 인 것은 필요충분 조건입니다.

닫힌 집합은 역시 연속 함수(continuous functions)를 특성화하기 위해 사용될 수 있습니다: 맵 $f:X\to Y$ 가 연속인 것과 모든 각 부분집합 $A\subseteq X$ 에 대해 $f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))$ 인 것은 필요충분 조건입니다; 이것은 일반적인 말투에서 다시 쓸 수 있습니다: $f$ 가 연속인 것과 모든 각 부분집합 $A\subseteq X$ 에 대해, $f$ 는 $A$ 에 가까운 점을 $f(A)$ 에 가까운 점에 매핑하는 것은 필요충분 조건입니다. 유사하게, $f$ 가 고정된 주어진 점 $x\in X$ 에서 연속인 것과 $x$ 가 부분집합 $A\subseteq X$ 에 가까울 때마다, $f(x)$ 가 $f(A)$ 에 가까운 것은 필요충분 조건입니다.

More about closed sets

닫힌 집합의 개념은 위에서 토폴로지적 공간(topological spaces)뿐만 아니라 메트릭 공간(metric spaces), 미분-가능 매니폴드(differentiable manifolds), 균등 공간(uniform spaces), 및 게이지 공간(gauge spaces)과 같은 토폴로지적 구조를 전달하는 다른 공간에 대해 의미가 있는 개념, 열린 집합(open sets)의 관점에서 정의됩니다.

집합이 닫혀 있는지 여부는 집합이 삽입된 공간에 따라 다릅니다. 어쨌든, 컴팩트 하우스도르프 공간(compact Hausdorff spaces)은 만약 임의적인 하우스도르프 공간 $X$ 에서 컴팩트 하우스도르프 공간 $D$ 를 삽입하면, $D$ 는 항상 $X$ 의 닫힌 부분집합일 것이라는 의미에서 "절대적으로 닫힌(absolutely closed)" 것입니다; 여기서 "둘러싸는 공간"은 여기서 문제가 되지 않습니다. 완전하게 정규(completely regular) 하우스도르프 공간을 컴팩트 하우스도르프 공간으로 바꾸는 과정, 스톤–체흐 컴팩트화(Stone–Čech compactification)는 특정 비-수렴 네트을 공간에 인접하는 극한으로 설명될 수 있습니다.

게다가, 컴팩트 공간의 모든 각 닫힌 부분집합은 콤팩트하고, 하우스도르프 공간의 모든 각 컴팩트 부분공간은 닫혀 있습니다.

닫힌 집합은 역시 컴팩트화의 유용한 특성을 제공합니다: 토폴로지적 공간 $X$ 가 컴팩트인 것과 빈 교집합을 갖는 $X$ 의 비-빈 닫힌 부분집합의 모든 각 모음이 빈 교집합을 갖는 유한 부분모음을 허용하는 것은 필요충분 조건입니다.

토폴로지적 공간 $X$ 는 만약 그것의 합집합이 $X$ 인 $X$ 의 서로소, 비-빈, 열린 부분집합 $A$ 와 $B$ 가 존재하면 분리된(disconnected) 것입니다. 게다가, $X$ 는 만약 그것이 닫힌 집합으로 구성된 열린 기저(open basis)를 가지면 전체적으로 분리된(totally disconnected) 것입니다.

Properties

닫힌 집합은 그것 자체의 경계(boundary)를 포함합니다. 다시 말해서, 만약 닫힌 집합 "외부"에 있으면, 어떤 방향으로든 작은 총양을 이동할 수 있고 여전히 그 집합 외부에 머무를 수 있습니다. 이것은 만약 그 경계가 빈 집합, 예를 들어, 유리수의 메트릭 공간에서, 제곱이 2보다 작은 숫자의 집합에 대해 역시 참임을 주목하십시오.

닫힌 집합의 임의의 가족의 임의의 교집합(intersection)은 닫혀 있습니다 (이것은 무한하게 많은 닫힌 집합의 교집합을 포함합니다).
유한하게 많은 닫힌 집합의 합집합(union)은 닫혀 있습니다.
빈 집합(empty set)은 닫혀 있습니다.
전체 집합은 닫혀 있습니다.

사실, 만약 집합 $X$ 와 $\mathbb {F}$ 의 원소가 위에 목록화된 속성을 가짐을 만족하는 $X$ 의 부분집합의 모음 $\mathbb {F} \neq \varnothing$ 가 주어지면, $(X,\tau )$ 의 닫힌 부분집합이 $\mathbb {F}$ 에 속하는 정확하게 그들 집합임을 만족하는 $X$ 에 고유한 토폴로지 $\tau$ 가 존재합니다. 교집합 속성은 $A$ 의 초월집합(superset)인 $X$ 의 가장 작은 닫힌 부분집합으로 정의되는 공간 $X$ 에서 집합 $A$ 의 클로저(closure)를 정의하는 것도 허용합니다. 구체적으로 특별히, $X$ 의 클로저는 모든 이들 닫힌 초월집합의 교집합으로 구성될 수 있습니다.

셀-수-있게(countably) 많은 닫힌 집합의 합집합으로 구성될 수 있는 집합은 F_σ 집합으로 표시됩니다. 이들 집합은 닫혀 있을 필요는 없습니다.

Examples

실수(real numbers)의 닫힌 구간(interval) $[a,b]$ 는 닫혀 있습니다. (괄호와 괄호 집합 표기법의 설명에 대해 구간(Interval)을 참조하십시오.)
단위 구간(unit interval) $[0,1]$ 은 실수의 메트릭 공간에서 닫혀 있고, $0$ 과 $1$ (포함) 사이의 실수(rational numbers)의 집합 $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ 은 유리수의 공간에서 닫혀 있지만, $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ 는 실수의 집합에서 닫혀 있지 않습니다.
일부 집합은 열린 것도 아니고 닫힌 것도 아닙니다. 예를 들어, 실수에서 반-열린 구간(interval) $[0,1)$ 이 그렇습니다.
일부 집합은 열린 것이기도 하고 닫힌 것이기도 합니다. 이것은 닫힌-열린 집합(clopen sets)이라고 불립니다.
반직선(ray) $[1,+\infty )$ 은 닫혀 있습니다.
칸토어 집합(Cantor set)은 전체적으로 경계 점으로 구성되고 어디에도 조밀하지 않다는 의미에서 특이한 닫힌 집합입니다.
한원소 점들 (및 따라서 유한 집합)은 T₁ 공간(T₁ spaces)과 하우스도르프 공간(Hausdorff spaces)에서 닫혀 있습니다.
정수(integers) $\mathbb {Z}$ 의 집합은 실수에서 무한이고 경계지지 않은 닫힌 집합입니다.
만약 $f:X\to Y$ 가 토폴로지적 공간 사이의 함수이면, $f$ 가 연속인 것과 $Y$ 에서 닫힌 집합의 이전이미지가 $X$ 에서 닫혀 있는 것은 필요충분 조건입니다.

Notes

^ In particular, whether or not $x$ is close to $A$ depends only on the subspace $A\cup \{x\}$ and not on the whole surrounding space (e.g. $X,$ or any other space containing $A\cup \{x\}$ as a topological subspace).

References

^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
^ Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

[3] In particular, whether or not $x$ is close to $A$ depends only on the subspace $A\cup \{x\}$ and not on the whole surrounding space (e.g. $X,$ or any other space containing $A\cup \{x\}$ as a topological subspace).

[1] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.

[2] Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[1]

[2]

[note 1]