Dot product

Original article: w:Dot product

"Scalar product" redirects here. For the abstract scalar product, see Inner product space. For the product of a vector and a scalar, see Scalar multiplication.

수학(mathematics)에서, 점 곱(dot product) 또는 스칼라 곱(scalar product)은 숫자의 두 개의 같은-길이 수열 (보통 좌표 벡터(coordinate vector))을 취하고 단일 숫자를 반환하는 대수적 연산(algebraic operation)입니다. 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 두 벡터(vectors)의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)의 점 곱은 널리 사용되고, 비록 그것이 유클리드 공간 위에 정의될 수 있는 유일한 안의 곱이 아닐지라도, 유클리드 공간의 안의 곱(inner product) (또는 드물게 투영 곱(projection product))이라고 종종 불립니다; 안의 곱 공간(inner product space)을 역시 참조하십시오.

대수적으로, 점 곱은 숫자의 두 수열의 해당하는 엔트리의 곱(products)의 합입니다. 기하학적으로, 그것은 두 벡터의 유클리드 크기(Euclidean magnitude)와 그들 사이의 각의 코사인(cosine)의 곱입니다. 이들 정의는 데카르트 좌표를 사용할 때 동등합니다. 현대 기하학(geometry)에서, 유클리드 공간(Euclidean space)은 벡터 공간(vector space)을 사용하여 종종 정의됩니다. 이런 경우에서, 점 곱은 길이와 각도가 정의된 것에 대해 사용됩니다 (벡터의 길이는 자체에 의해 벡터의 점 곱의 제곱근(square root)이고, 두 벡터의 각도의 코사인은 그들 길이의 곱에 의한 그들 점 곱의 몫입니다).

이름 "점 곱"은 이 연산을 나타내기 위해서 종종 사용되는 가운데 점(centered dot) " · "으로부터 파생됩니다; 대안적인 이름 "스칼라 곱"은 결과가, 삼-차원 공간의 벡터 곱(vector product)에 대한 경우의 결과로 나타나는 벡터(vector)가 아닌, 스칼라(scalar)임을 강조합니다.

Definition

점 곱은 대수적으로 또는 기하학적으로 정의될 수 있습니다. 기하학적 정의는 각도와 거리(벡터의 크기)의 개념을 기초로 합니다. 이들 두 정의의 동등성은 유클리드 공간에 대해 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)을 갖는 것에 의존합니다.

유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 현대 표시에서, 공간의 점은 그들의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)의 관점에서 정의되고, 유클리드 공간(Euclidean space) 자체는 공통적으로 실수 좌표 공간(real coordinate space) Rⁿ으로 식별됩니다. 그러한 표시에서, 길이와 각도의 개념은 점 곱을 수단으로 정의됩니다. 벡터의 길이는 그 자체로 벡터의 점 곱의 제곱근(square root)으로 정의되고, 두 벡터의 (비 방향된) 각도의 코사인(cosine)은 길이가 1인 벡터의 점 곱으로 정의됩니다. 따라서 점 곱의 두 정의의 동등성은 유클리드 기하학의 고전과 현대 공식의 동등성의 일부입니다.

Algebraic definition

두 벡터 a = [a₁, a₂, …, a_n]와 b = [b₁, b₂, …, b_n]의 점 곱은 다음으로 정의됩니다:

$\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\sum _{i=1}^{n}{\color {red}a}_{i}{\color {blue}b}_{i}={\color {red}a}_{1}{\color {blue}b}_{1}+{\color {red}a}_{2}{\color {blue}b}_{2}+\cdots +{\color {red}a}_{n}{\color {blue}b}_{n}$

여기서 Σ는 합계(summation)를 나타내고 n은 벡터 공간(vector space)의 차원입니다. 예를 들어, 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서, 벡터 [1, 3, −5]와 [4, −2, −1]의 점 곱은 다음입니다:

${\begin{aligned}\ [{\color {red}1,3,-5}]\cdot [{\color {blue}4,-2,-1}]&=({\color {red}1}\times {\color {blue}4})+({\color {red}3}\times {\color {blue}-2})+({\color {red}-5}\times {\color {blue}-1})\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}$

만약 벡터가 행 행렬(row matrices)로 식별되면, 점 곱은 행렬 곱(matrix product)으로 역시 쓸 수 있습니다:

$\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} =\mathbf {\color {red}a} \mathbf {\color {blue}b} ^{\top },$

여기서 $\mathbf {\color {blue}b} ^{\top }$는 $\mathbf {\color {blue}b}$의 전치(transpose)를 나타냅니다.

위의 예제를 이런 방법으로 표현하면, 1 × 3 행렬 (행 벡터(row vector))에 3 × 1 행렬 (열 벡터(column vector))을 곱하여 유일한 엔트리로 식별되는 1 × 1 행렬을 얻습니다:

${\begin{bmatrix}\color {red}1&\color {red}3&\color {red}-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\color {blue}4\\\color {blue}-2\\\color {blue}-1\end{bmatrix}}=\color {purple}3$.

Geometric definition

Illustration showing how to find the angle between vectors using the dot product

Calculating bond angles of a symmetrical tetrahedral molecular geometry using a dot product

유클리드 공간(Euclidean space)에서, 유클리드 벡터(Euclidean vector)는 크기와 방향을 모두 갖는 기하학적 대상입니다. 벡터는 화살표로 그려질 수 있습니다. 그의 크기는 그의 길이이고, 그의 방향은 화살표가 가리키는 방향입니다. 벡터 a의 크기는 $\left\|\mathbf {a} \right\|$로 표시됩니다. 두 유클리드 벡터 a와 b의 점 곱은 다음과 같이 정의됩니다:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\ \|\mathbf {b} \|\cos \theta ,$

여기서 θ는 a와 b 사이의 각도(angle)입니다.

특히, 만약 벡터 a와 b가 수직(orthogonal)이면 (그들의 각도가 π / 2 또는 90°이면), $\cos {\frac {\pi }{2}}=0$는 다음을 의미합니다:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.$

다른 극단적인 경우에서, 만약 그들이 같은 방향이면, 그들 사이의 각도는 영이고 다음입니다:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|$

이것은 벡터 a와 자신의 점 곱이 다음임을 의미합니다:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},$

이것으로부터 벡터의 유클리드 길이(Euclidean length)에 대한 다음 공식을 제공합니다:

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$.

Scalar projection and first properties

Scalar projection

유클리드 벡터 b의 방향으로 유클리드 벡터 a의 스칼라 투영(scalar projection) (또는 스칼라 성분)은 다음에 의해 주어집니다:

$a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,$

여기서 θ는 a와 b 사이의 각도입니다.

점 곱의 기하학적 정의의 관점에서, 이것은 다시-쓸 수 있습니다:

$a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},$

여기서 ${\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|$는 b의 방향으로 단위 벡터(unit vector)입니다.

Distributive law for the dot product

점 곱은 따라서 다음에 의해 기하학적으로 특성화됩니다:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.$

이 방법으로 정의된, 점 곱은 각 변수에서 스케일링 아래에서 동차이며, 임의의 스칼라 α에 대해 다음임을 의미합니다:

$(\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).$

그것은 역시 분배 법칙(distributive law)을 만족시키며, 다음임을 의미합니다:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .$

이들 속성은 점 곱이 쌍선형 형식(bilinear form)을 말함으로써 요약될 수 있습니다. 게다가, 이 쌍선형 형식은 양의 한정(positive definite)이며, 이것은 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a}$가 절대 음수가 아니고 영인 것과 $\mathbf {a} =\mathbf {0}$, 영벡터인 것은 필요충분 조건임을 의미합니다.

Equivalence of the definitions

만약 e₁, ..., e_n가 Rⁿ에서 표준 기저 벡터(standard basis vectors)이면, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:

${\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}$

벡터 e_i는 직교-정규 기저(orthonormal basis)이며, 이것은 그들이 단위 길이를 갖고 서로 수직임을 의미합니다. 그러므로, 이들 벡터가 단위 길이를 가지고

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1$

그들이, 만약 i ≠ j이면, 서로 수직을 형성하므로,

따라서 일반적으로 우리는 다음임을 말할 수 있습니다:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}.$

여기서 δ _ij 는 크로네커 델타(Kronecker delta)입니다.

Vector components in an orthonormal basis

역시, 기하학적 정의에 의해, 임의의 벡터 e_i와 한 벡터 a에 대해, 우리는 다음임을 주목합니다:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},$

여기서 a_i는 e_i의 방향에서 벡터 a의 성분입니다. 상등에서 마지막 단계는 그림에서 볼 수 있습니다.

이제 점 곱의 기하학적 버전의 분배성을 적용하면 다음을 제공합니다:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},$

이것은 점 곱의 정확히 대수적 정의입니다. 따라서 기하학적 점 곱은 대수적 점 곱과 같습니다.

Properties

점 곱은 만약 a, b, 및 c가 실수 벡터(vectors)이고 r이 스칼라(scalar)이면 다음 속성을 만족시킵니다.

1. 교환 속성(Commutative):

   $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,$

   이것은 정의로부터 따릅니다 (θ는 a와 b 사이의 각도입니다):

   $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .$

2. 벡터 덧셈에 걸쳐 분배 속성(Distributive):

   $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .$

3. 쌍선형(Bilinear):

   $\mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).$

4. 스칼라 곱셈(scalar multiplication):

   $(c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).$

5. 결합적(associative)이 아닌데 왜냐하면 스칼라 (a ⋅ b)와 벡터 (c) 사이의 점 곱은 정의되지 않기 때문이며, 이것은 결합 속성에서 포함된 표현, (a ⋅ b) ⋅ c or a ⋅ (b ⋅ c)은 둘 다 잘못-정의된 것임을 의미합니다. 어쨌든 앞에서 언급된 스칼라 곱셈 속성은 때때로 "스칼라와 점 곱에 대해 결합 법칙"으로 불리거나 또는 우리가 "점 곱은 스칼라 곱셈에 관해 결합적"임을 말할 수 있는데 왜냐하면 c (a ⋅ b) = (c a) ⋅ b = a ⋅ (c b)이기 때문임을 주목하십시오.
6. 직교(Orthogonal):

   두 비-영 벡터 a와 b가 직교인 것과 a ⋅ b = 0인 것은 필요충분(iff) 조건입니다:

7. 취소(cancellation)가 아닙니다:

   보통의 숫자의 곱셈과 다르게, 여기서 만약 ab = ac이면, b는 만약 a가 영이 아니면 항상 c와 같으며, 점 곱은 취소 법칙(cancellation law)을 준수하지 않습니다.

   만약 a ⋅ b = a ⋅ c 및 a ≠ 0이면, 우리는 분배 법칙(distributive law)에 의해 a ⋅ (b − c) = 0를 쓸 수 있습니다; 위의 결과는 이것이 단지 a가 (b − c)이며, 여전히 (b − c) ≠ 0를 허용하고, 따라서 b ≠ c임을 의미한다고 말합니다.

8. 곱 규칙(Product Rule):

   만약 a와 b가 함수(functions)이면, a ⋅ b의 ((′ 프라임에 의해 표시된) 도함수는 a′ ⋅ b + a ⋅ b′입니다.

Application to the law of cosines

Triangle with vector edges a and b, separated by angle θ.

Main article: Law of cosines

각도 θ로 분리된 두 벡터 a와 b가 주어지면 (오른쪽 이미지 참조하십시오), 그들은 세 번째 변 c = a − b을 갖는 삼각형을 형성합니다. 이것과 그 자체와 함께 점 곱은 다음입니다:

${\begin{aligned}\mathbf {\color {gold}c} \cdot \mathbf {\color {gold}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {gold}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos {\color {purple}\theta }\\\end{aligned}}$

이것은 코사인의 법칙(law of cosines)입니다.

Triple product

Main article: Triple product

점 곱과 교차 곱(cross product)을 포함하는 두 가지 삼항 연산(ternary operation)이 있습니다.

세 벡터의 스칼라 삼항 곱(scalar triple product)은 다음으로 정의됩니다:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$

그것의 값은 그의 열이 세 벡터의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)인 행렬의 행렬식(determinant)입니다. 그것은 세 벡터에 의해 정의된 평행육면체(Parallelepiped)의 부호화된 부피(volume)입니다.

벡터 삼항 곱은 다음에 의해 정의됩니다:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).$

라그랑주의 공식으로 역시 알려진 이 항등식은 "BAC 뻬기 CAB"로 기억될 수 있으며, 어떤 벡터가 함께 점을 찍혔는지 염두에 두어야 합니다. 이 공식은 물리학(physics)에서 벡터 계산을 단순화하는 것에서 응용을 찾습니다.

Physics

물리학(physics)에서, 벡터 크기는 물리적 의미에서 스칼라(scalar), 즉 좌표 시스템과 무관한 물리량(physical quantity)이며, 단지 숫자가 아니라 수치적 값(numerical value)과 물리적 단위(physical unit)의 곱(product)으로 표현됩니다. 점 곱은 이 의미에서, 좌표 시스템과 무관하게, 공식에 의해 주어진, 역시 스칼라입니다. 예제는 다음을 포함합니다:

• 기계적 일(mechanical work)은 힘(force)과 변위(displacement) 벡터의 점 곱입니다.
• 일률(Power)은 힘(force)과 속도(velocity)의 점 곱입니다.

Generalizations

Complex vectors

복소(complex) 엔트리를 갖는 벡터에 대해, 점 곱의 주어진 정의를 사용하면 꽤 다른 속성으로 이어집니다. 예를 들어, 벡터 자체를 가진 벡터의 점 곱은 임의의 복소수이고, 영 벡터인 벡터없이 영일 수 있습니다 (그러한 벡터는 등방성(isotropic)으로 불립니다); 이것은 차례로 길이와 각도와 같은 개념에 영향을 미칩니다. 양의-한정 노름과 같은 속성은 대안적인 정의를 통해 스칼라 곱의 대칭 및 쌍선형 속성을 포기하는 비용에서 구출될 수 있습니다

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {a_{i}{\overline {b_{i}}}},$

여기서 b_i는 b_i의 복소 켤레(complex conjugate)입니다. 그런-다음 임의의 벡터와 자체의 스칼라 곱은 비-음의 실수이고, 그것은 영 벡터를 제외하고 비-영입니다. 어쨌든, 이 스칼라 곱은 따라서 쌍선형이라고 보다는 반쌍선형(sesquilinear)입니다; 그것은 켤레 선형(conjugate linear)이고 a에서 선형이 아니고, 스칼라 곱은 대칭이 아닌데, 왜냐하면

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.$

두 켤레 벡터 사이의 각도는 그런-다음 다음에 의해 제공됩니다:

$\cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$

스칼라 곱의 이 유형은 그럼에도 불구하고 유용하고, 에르미트 형식(Hermitian form) 및 일반적인 안의 곱 공간(inner product space)의 개념으로 이어집니다.

Inner product

Main article: Inner product space

안의 곱은 실수(real number)의 필드 $\mathbb {R}$ 또는 복소수(complex number)의 필드 $\mathbb {C}$인 스칼라(scalars)의 필드(field)에 걸쳐 추상 벡터 공간(abstract vector spaces)으로 점 곱을 일반화합니다. 그것은 보통 각도 괄호(angular brackets)를 사용하여 $\left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle$에 의해 표시됩니다.

복소수의 필드에 걸쳐 두 벡터의 안의 곱은, 일반적으로, 복소수이고, 쌍선형 대신에 반쌍선형(sesquilinear)입니다. 안의 곱 공간은 노름 벡터 공간(normed vector space)이고 벡터와 그 자체의 안의 곱은 실수이고 양의-한정입니다.

Functions

점 곱은 엔트리(entries)의 유한 숫자를 가지는 벡터에 의해 정의됩니다. 따라서 이들 벡터는 이산 함수(discrete function)로 여길 수 있습니다: 길이-n 벡터 u는, 그런-다음, 도메인(domain) {k ∈ ℕ ∣ 1 ≤ k ≤ n}를 갖는 함수이고, u_i는 함수/벡터 u에 의해 i의 이미지에 대해 표기법입니다.

이 개념은 연속 함수(continuous function)로 일반화될 수 있습니다: 벡터에 대한 안의 곱이 해당하는 성분에 걸쳐 합을 사용하는 것처럼, 함수에 대한 안의 곱은 일부 구간(interval) a ≤ x ≤ b (역시 [a, b]로 표시됨)에 걸쳐 적분으로 정의됩니다:

$\left\langle u,v\right\rangle =\int _{a}^{b}u(x)v(x)dx$

복소 함수(complex function) ψ(x) 및 χ(x)로 더 일반화하면, 위의 복소 안의 곱과 아날로그에 의해, 다음을 제공합니다:

$\left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{a}^{b}\psi (x){\overline {\chi (x)}}dx.$

Weight function

안의 곱은 가중 함수(weight function), 즉, 안의 곱의 각 항에 갑을 가중시키는 함수를 가질 수 있습니다. 명시적으로, 가중 함수 $r(x)>0$에 관한 함수 $u(x)$와 $v(x)$의 안의 곱은 다음입니다:

$\left\langle u,v\right\rangle =\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)dx.$

Dyadics and matrices

행렬(Matrices)은 프로베니우스 안의 곱(Frobenius inner product)을 가지며, 이것은 벡터 안의 곱과 유사합니다. 그것은 같은 크기를 가지는 두 행렬 A와 B의 대응하는 성분의 곱의 합으로 정의됩니다:

$\mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {H} }).$

$\mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} })=\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }).$ (For real matrices)

다이애딕(dyadics)은 점 곱을 가지고 "이중" 점 곱은 그들 위에 정의되며, 그들의 정의에 대해 다이애딕 (다이애딕과 다이애딕의 곱)을 참조하십시오.

Tensors

차수 n의 텐서(tensor)와 차수 m의 텐서 사이의 안의 곱은 차수 n + m − 2의 텐서이며, 자세한 내용에 대해 텐서 수축(tensor contraction)을 참조하십시오.

Computation

Algorithms

벡터의 부동-소수점 점 곱을 계산하는 간단한 알고리듬은 치명적 취소(catastrophic cancellation)를 겪을 수 있습니다. 이를 피하기 위해, 카한 합계 알고리듬(Kahan summation algorithm)과 같은 접근법이 사용됩니다.

Libraries

점 곱 함수는 BLAS 레벨 1에 포함되어 있습니다.

See also

• Cauchy–Schwarz inequality
• Cross product
• Matrix multiplication
• Metric tensor

External links

• "Inner product", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Dot product". MathWorld.
• Explanation of dot product including with complex vectors
• "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.