Connected space

Connected and disconnected subspaces of R²

From top to bottom: red space A, pink space B, yellow space C and orange space D are all connected spaces, whereas green space E (made of subsets E₁, E₂, E₃, and E₄) is disconnected. Furthermore, A and B are also simply connected (genus 0), while C and D are not: C has genus 1 and D has genus 4.

토폴로지(topology)와 수학(mathematics)의 관련된 가지에서, 연결된 공간(connected space)은 둘 이상의 서로소(disjoint) 비-빈(non-empty) 열린 부분집합(open subsets)의 합집합(union)으로 표현될 수 없는 토폴로지적 공간(topological space)입니다. 연결성은 토폴로지적 공간을 구별하기 위해 사용되는 주요 토폴로지적 속성(topological properties) 중 하나입니다.

토폴로지적 공간 $X$ 의 부분집합은 만약 그것이 $X$ 의 부분공간(subspace)으로 보일 때 연결된 공간이면 연결된 집합(connected set)입니다.

일부 관련되어 있지만 더 강력한 조건은 경로 연결된(path connected), 단순 연결된(simply connected), 및 $n$ -연결된( $n$ -connected) 것입니다. 또 다른 관련된 개념은 연결성을 암시하거나 따르지 않는 지역적으로 연결된(locally connected) 것입니다.

Formal definition

토폴로지적 공간 $X$ 는 만약 그것이 두 개의 서로소 비-빈 열린 집합의 합집합이면 비-연결된(disconnected) 것이라고 말합니다. 그렇지 않으면, $X$ 는 연결된(connected) 것이라고 말합니다. 토폴로지적 공간의 부분집합(subset)은 만약 그것이 그 부분공간 토폴로지 아래에 연결된 것이면 연결된 것이라고 말합니다. 일부 저자는 (그것의 고유한 토폴로지를 갖는) 빈 집합(empty set)을 연결된 공간으로 제외하지만, 이 기사는 그런 관행을 따르지 않습니다.

토폴로지적 공간 $X$ 에 대해, 다음 조건은 동등합니다:

$X$ 는 연결된 것입니다, 즉, 그것은 서로소 비-빈 열린 집합으로 나눌 수 없습니다.
열린 집합과 닫힌 집합 둘 다 (닫힌-열린 집합(clopen sets))인 $X$ 의 유일한 부분집합은 $X$ 와 빈 집합입니다.
빈 경계(boundary)를 갖는 $X$ 의 유일한 부분집합은 $X$ 와 빈 집합입니다.
$X$ 는 두 개의 비-빈 분리된 집합(separated sets), 각각이 나머지 다른 것의 클로저와 서로소인 집합)의 합집합으로 쓸 수 없습니다.
$X$ 에서 $\{0,1\}$ 로의 모든 연속(continuous) 함수는 상수이며, 여기서 $\{0,1\}$ 은 이산 토폴로지가 부여된 2-점 공간입니다.

역사적으로 ( $X$ 를 두 개의 분리된 집합으로 분할하지 않는다는 점에서) 연결성의 개념의 이 현대 형식화는 20세기 초에 N. J. Lennes, Frigyes Riesz, 및 Felix Hausdorff와 함께 (독립적으로) 처음 나타났습니다. 자세한 내용에 대해 ^[1]을 참조하십시오.

Connected components

토폴로지적 공간 $X$ 에서 일부 점 $x$ 가 주어지면, 각각이 $x$ 를 포함함을 만족하는 연결된 부분집합의 임의의 모음의 합집합은 다시 한 번 연결된 부분집합이 될 것입니다. $X$ 에 있는 점 $x$ 의 연결된 구성 요소는 $x$ 를 포함하는 $X$ 의 모든 연결된 부분집합의 합집합입니다; 그것은 $x$ 를 포함하는 $X$ 의 고유한 ( $\subseteq$ 에 관한) 가장 큰 연결된 부분집합입니다. 비-빈 토폴로지적 공간의 (포함 $\subseteq$ 으로 순서화된) 최대 연결된 부분집합은 그 공간의 연결된 구성 요소(connected components)라고 불립니다. 임의의 토폴로지적 공간 $X$ 의 구성 요소는 $X$ 의 분할(partition)을 형성합니다: 이것들은 서로소, 비-빈이고 그들의 합집합은 전체 공간입니다. 모든 각 구성 요소는 원래 공간의 닫힌 부분집합(closed subset)입니다. 따라서 그 숫자가 유한한 경우에서, 각 구성 요소도 열린 부분집합입니다. 어쨌든, 그 수가 무한하면, 그 경우가 아닐 수 있습니다; 예를 들어, 유리수의 집합의 연결된 구성 요소는 열려 있지 않은 일-점 집합 (한원소)입니다. 증명: 임의의 두 개의 구별되는 유리수 $q_{1}<q_{2}$ 는 서로 다른 성분에 있습니다. 무리수 $q_{1}<r<q_{2}$ 를 취하고, 그런-다음 $A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}$ 와 $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}$ 로 설정합니다. 그런-다음 $(A,B)$ 는 $\mathbb {Q} ,$ 및 $q_{1}\in A,q_{2}\in B$ 의 분리입니다. 따라서 각 구성 요소는 일-점 집합입니다.

$\Gamma _{x}$ 를 토폴로지적 공간 $X$ 에서 $x$ 의 연결된 구성 요소라고 놓고, $\Gamma _{x}'$ 를 $x$ 를 포함하는 모든 닫힌-열린 집합의 교집합이라고 놓습니다 ( $x$ 의 준-구성 요소(quasi-component)라고 불립니다.) 그런-다음 $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ 여기서 $X$ 가 컴팩트 하우스도르프이거나 지역적으로 연결된 것이면 상등을 유지합니다.^[2]

Disconnected spaces

모든 구성 요소가 일-점 집합인 공간은 전체적으로 비-연결된(totally disconnected) 것이라고 불립니다. 이 속성과 관련하여, 공간 $X$ 는 만약, $X$ 의 임의의 두 구별되는 원소 $x$ 와 $y$ 에 대해, $X$ 가 $U$ 와 $V$ 의 합집합임을 만족하는 $x$ 를 포함하는 열린 집합 $U$ 와 $y$ 를 포함하는 서로소 열린 집합 $V$ 가 존재하면 전체적으로 분리된(totally separated) 것이라고 불립니다. 분명히, 전체적으로 분리된 공간은 전체적으로 비-연결된 것이지만, 그 전환은 유지되지 않습니다. 예를 들어, 유리수 $\mathbb {Q}$ 의 두 개의 복사본을 취하고, 영을 제외한 모든 각 점에서 식별합니다. 몫 토폴로지(quotient topology)를 갖는 결과 공간은 전체적으로 분리된 것입니다. 어쨌든, 영의 두 복사본을 고려함으로써, 그 공간이 전체적으로 분리되어 있지 않음을 알 수 있습니다. 사실, 그것은 하우스도르프(Hausdorff)도 아니고, 전체적으로 분리된 것의 조건은 하우스도르프라는 조건보다 엄격하게 강합니다.

Examples

표준 부분공간 토폴로지(subspace topology)에서 닫힌 구간 $[0,2)$ 은 연결된 것입니다; 비록 그것이, 예를 들어, $[0,1)$ 와 $[1,2)$ 의 합집합으로 쓸 수 있을지라도, 두 번째 집합은 $[0,2)$ 의 선택된 토폴로지에서 열린 것이 아닙니다.
$[0,1)$ 와 $(1,2]$ 의 합집합은 비-연결된 것입니다; 이들 구간 둘 다는 표준 토폴로지 공간 $[0,1)\cup (1,2]$ 에서 열린 것입니다.
$(0,1)\cup \{3\}$ 는 비-연결된 것입니다.
$\mathbb {R} ^{n}$ 의 볼록 부분집합(convex subset)은 연결된 것입니다; 그것은 실제로 단순 연결된(simply connected) 것입니다.
원점, $(0,0)$ 을 제외한 유클리드 평면(Euclidean plane)은 연결된 것이지만, 단순 연결된 것은 아닙니다. 원점 없이 삼-차원 유클리드 공간은 연결된 것이고, 심지어 단순 연결된 것입니다. 반대로, 원점 없이 일-차원 유클리드 공간은 연결된 것이 아닙니다.
직선이 제거된 유클리드 평면은 두 개의 절반-평면으로 구성되기 때문에 연결된 것이 아닙니다.
$\mathbb {R}$ , 보통의 토폴로지를 갖는 실수(real numbers)의 공간은 연결된 것입니다.
소르겐프리 직선(Sorgenfrey line)은 비-연결된 것입니다.^[3]
만약 $\mathbb {R}$ 에서 한 점이라도 제거되면, 남아있는 부분은 비-연결된 것입니다. 어쨌든, 만약 $n\geq 2$ 인, $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 심지어 점의 셀-수-있는 무한대를 제거하면, 남아있는 부분은 연결된 것입니다. 만약 $n\geq 3$ 이면, $\mathbb {R} ^{n}$ 은 셀-수-없이 많은 점의 제거 후에 단순 연결된 것으로 남습니다.
연결된 필드 (예를 들어, $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$ )에 걸쳐 임의의 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space), 예를 들어, 임의의 힐베르트 공간(Hilbert space) 또는 바나흐 공간(Banach space)은 단순 연결된 것입니다.
적어도 두 개의 원소를 갖는 모든 각 이산 토폴로지적 공간(discrete topological space)은 비-연결된 것이며, 사실 그러한 공간은 전체적으로 비-연결된(totally disconnected) 것입니다. 가장 간단한 예제는 이산 두-점 공간(discrete two-point space)입니다.^[4]
다른 한편으로, 유한 집합은 연결된 것일 수 있습니다. 예를 들어, 이산 평가 링(discrete valuation ring)의 스펙트럼은 두 점으로 구성되고 연결된 것입니다. 그것은 시에르핀스키 공간(Sierpiński space)의 예제입니다.
칸토어 집합(Cantor set)은 전체적으로 비-연결된 것입니다; 그 집합이 셀-수-없이 많은 점을 포함하기 때문에, 그것은 셀-수-없이 많은 구성 요소를 가집니다.
만약 공간 $X$ 가 연결된 공간에 동등한 호모토피(homotopy)이면, $X$ 는 자체 연결된 것입니다.
토폴로지의 사인 곡선은 연결되었지만 경로 연결도 로컬 연결도 아닌 세트의 예입니다.
토폴로지스트의 사인 곡선(topologist's sine curve)은 연결된 것이지만 경로 연결된 것도 아니고 지역적으로 연결된 것도 아닌 집합의 예제입니다.
일반 선형 그룹(general linear group) $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ (즉, $n$ x $n$ 실수, 역-가능 행렬의 그룹)은 두 개의 연결된 구성 요소로 구성됩니다: 하나는 양의 행렬식을 갖는 것이고 다른 하나는 음의 행렬식을 갖는 것입니다. 특히, 그것은 비-연결된 것입니다. 반대로, $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ 는 연결된 것입니다. 보다 일반적으로, 복소 힐베르트 공간 위에 역-가능 경계진 연산자의 집합은 연결된 것입니다.
교환 지역 링(local ring)과 정수 도메인의 스펙트럼은 연결된 것입니다. 보다 일반적으로, 다음은 동등합니다:^[5]
1. 교환 링 $\mathbb {R}$ 의 스펙트럼은 연결된 것입니다
2. $\mathbb {R}$ 에 걸쳐 모든 각 유한하게 생성된 투영 모듈(finitely generated projective module)은 상수 랭크를 가집니다.
3. $\mathbb {R}$ 은 거듭상등(idempotent) $\neq 0,1$ 을 가지지 않습니다 (즉, $\mathbb {R}$ 은 비-자명한 방법에서 두 개의 링의 곱이 아닙니다).

연결된 것이 아닌 공간의 예제는 평면에서 삭제된 무한 직선을 갖는 평면입니다. 비-연결된 공간 (즉, 연결되지 않은 공간)의 다른 예제는 제거된 원-고리(annulus)를 갖는 평면과 두 개의 서로소 닫힌 디스크(disks)의 합집합을 포함하며, 여기서 이 단락의 모든 예제는 이-차원 유클리드 공간에 의해 유도된 부분공간 토폴로지(subspace topology)를 포함합니다.

Path connectedness

경로-연결된 공간(path-connected space)은 경로의 구조를 요구하는 더 강력한 연결성의 개념입니다. 토폴로지적 공간(topological space) $X$ 에서 점 $x$ 에서 점 $y$ 로의 경로(path)는 $f(0)=x$ 와 $f(1)=y$ 을 갖는 단위 구간(unit interval) $[0,1]$ 에서 $X$ 로의 연속 함수 $f$ 입니다. $X$ 의 경로 구성 요소(path-component)는 만약 $x$ 에서 $y$ 로의 경로가 있으면 $x$ 를 $y$ 와 동등하게 만드는 동치 관계(equivalence relation) 아래에서 $X$ 의 동치 클래스(equivalence class)입니다. 공간 $X$ 는 만약 정확하게 하나의 경로-구성 요소가 있으면, 즉 만약 $X$ 에서 임의의 두 점을 연결하는 경로가 있으면 경로-연결된(path-connected 또는 경로-별 연결된 또는 0-연결된)이라고 말합니다. 다시 말하지만, 많은 저자는 빈 공간을 제외합니다 (이 정의에 의해, 어쨌든, 빈 공간은 경로-연결된 것은 아닌데 왜냐하면 그것은 영 경로-구성 요소를 가지기 때문입니다; 영 동치 클래스를 가진 빈 집합 위에 고유한 동치 관계가 있습니다).

모든 각 경로-연결된 공간은 연결된 것입니다. 그 전환은 항상 참인 것은 아닙니다: 경로-연결된 것이 아닌 연결된 공간의 예제는 연장된 긴 직선(long line) $L^{*}$ 과 토폴로지스트의 사인 곡선(topologist's sine curve)을 포함합니다.

실수 직선(real line) $\mathbb {R}$ 의 부분집합이 연결된 것과 그것들이 경로-연결된 것은 필요충분(iff) 조건입니다; 이들 부분집합은 $R$ 의 구간(intervals)입니다. 역시, $\mathbb {R} ^{n}$ 또는 $\mathbb {C} ^{n}$ 의 열린 부분집합이 연결된 것과 그것들이 경로-연결된 것은 필요충분 조건입니다. 추가적으로, 연결성과 경로-연결성은 유한한 토폴로지적 공간(finite topological spaces)에 대해 같습니다.

Arc connectedness

공간 $X$ 는 만약 임의의 두 개의 토폴로지적 구별-가능(topologically distinguishable) 점이 삽입(embedding) $f:[0,1]\to X$ 인 호(arc)에 의해 결합될 수 있으면 호-연결된(arc-connected) 또는 호-별 연결된(arcwise connected) 것이라고 말합니다. $X$ 의 호-구성 요소(arc-component)는 $X$ 의 최대 호-연결된 부분집합입니다; 또는 동등하게 두 점이 호에 의해 결합될 수 있는지 또는 점이 토폴로지적으로 비-구별가능인 경로에 의해 결합될 수 있는지에 대한 동치 관계의 동치 클래스입니다.

경로-연결된 것인 모든 각 하우스도르프 공간(Hausdorff space)은 역시 호-연결된 것입니다; 보다 일반적으로 이것은 경로(path)의 각 이미지가 닫힌 공간인 $\Delta$ -하우스도르프 공간( $\Delta$ -Hausdorff space)에 대해 참입니다. 경로-연결된 것이지만 호-연결된 것이 아닌 공간의 예제는 두 원점을 갖는 직선(line with two origins)에 의해 제공됩니다; $0$ 의 두 복사본은 호가 아닌 경로에 의해 연결될 수 있습니다.

경로-연결된 공간에 대한 직관은 호-연결된 공간으로 쉽게 전달되지 않습니다. $X$ 를 두 원점을 갖는 직선(line with two origins)이라고 놓습니다. 다음은 경로-연결된 공간에 대한 아날로그가 유지되지만, 호-연결된 공간에 대해 유지되지 않는 사실입니다.

호-연결된 공간의 연속 이미지는 호-연결된 것이 아닐 수 있습니다: 예를 들어, 호-연결된 공간에서 셀-수-있게 많은 (적어도 2) 토폴로지적으로 구별-가능 점을 갖는 그것의 몫으로의 몫 맵은 너무 작은 카디널리티로 인해 호-연결된 것일 수 없습니다.
호-구성 요소는 서로소일 수 없습니다. 예를 들어, $X$ 는 두 개의 겹치는 호-구성 요소를 가집니다.
호-연결된 곱 공간은 호-연결된 공간의 곱이 아닐 수 있습니다. 예를 들어, $X\times \mathbb {R}$ 은 호-연결된 것이지만, $X$ 는 그렇지 않습니다.
곱 공간의 호-구성 요소는 주변 공간의 호-구성 요소의 곱이 아닐 수 있습니다. 예를 들어, $X\times \mathbb {R}$ 은 단일 호-구성 요소를 가지지만, $X$ 는 두 개의 호-구성 요소를 가집니다.
만약 호-연결된 부분집합이 비-빈 교집합을 가지면, 그것들의 합집합은 호-연결된 것이 아닐 수 있습니다. 예를 들어, $X$ 의 호-구성 요소는 교차하지만, 그것들의 합집합은 호-연결된 것이 아닙니다.

Local connectedness

토폴로지적 공간은 만약 $x$ 의 모든 각 이웃이 연결된 열린 이웃을 포함하면 점 $x$ 에서 지역적 연결된(locally connected) 것이라고 말합니다. 그것은 만약 그것이 연결된 집합의 기저(base)를 가지면 지역적 연결된(locally connected) 것입니다. 공간 $X$ 는 지역적 연결된 것과 $X$ 의 모든 각 열린 집합의 모든 각 구성 요소가 열린 것은 필요충분 조건임을 나타낼 수 있습니다.

유사하게, 토폴로지적 공간은 만약 그것이 경로-연결된 집합의 기저를 가지면 지역적 경로-연결된(locally path-connected) 것이라고 말합니다. 지역적 경로-연결된 공간의 열린 부분집합이 연결된 것과 그것이 경로-연결된 것은 필요충분 조건입니다. 이것은 $\mathbb {R} ^{n}$ 과 $\mathbb {C} ^{n}$ 에 대한 이전 명제를 일반화하며, 그것의 각각은 지역적 경로-연결된 것입니다. 보다 일반적으로, 임의의 토폴로지적 매니폴드(topological manifold)는 지역적 경로-연결된 것입니다.

지역적 연결된 것은 연결된 것을 의미하지 않고, 마찬가지로 지역적 경로-연결된 것은 경로-연결된 것을 의미하지 않습니다. 연결된 (또는 경로-연결된) 것이 아닌 지역적 연결된 (및 지역적 경로-연결된) 공간의 간단한 예제는 $(0,1)\cup (2,3)$ 와 같이 $\mathbb {R}$ 에서 두 개의 분리된(separated) 구간의 합집합입니다.

지역적 연결된 것이 아닌 연결된 공간의 고전적인 예제는 $\mathbb {R} ^{2}$ 에서 포함에 의해 유도된(induced) 유클리드 토폴로지(Euclidean topology)를 갖는 $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$ 으로 정의되는 소위 토폴로지스트의 사인 곡선(topologist's sine curve)입니다.

Set operations

연결된 집합의 교집합(intersection)이 반드시 연결된 것은 아닙니다.

연결된 집합의 합집합(union)은 $X=(0,1)\cup (1,2)$ 를 고려함으로써 볼 수 있는 것처럼 반드시 연결된 것은 아닙니다.

각 타원은 연결된 집합이지만, 그 합집합은 연결된 것이 아닌데, 왜냐하면 그것은 두 개의 서로소 열린 집합 $U$ 와 $V$ 로 분할될 수 있기 때문입니다.

이것은, 만약 합집합 $X$ 가 비-연결된 것이면, 모음 $\{X_{i}\}$ 는 부분-모음의 합집합이 $X$ 에서 서로소이고 열린 것임을 만족하는 두 개의 부분-모음으로 분할될 수 있음을 의미합니다 (그림 참조). 이것은 여러 경우에서, 연결된 집합의 합집합이 반드시 연결된 것임 있음을 의미합니다. 특히:

만약 모든 집합의 공통 교집합이 빈 것이 아니면 ( ${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$ 이면), 분명히 그것들은 서로소 합집합(disjoint unions)을 갖는 모음으로 분할될 수 없습니다. 그러므로 비-빈 교집합을 갖는 연결된 집합의 합집합은 연결된 것입니다.
만약 각 쌍의 집합의 교집합이 빈 것이 아니면 ( $\forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset$ 이면) 다시 한 번 그것들은 분리된 합집합을 갖는 모음으로 분할될 수 없으므로, 그것들의 합집합은 연결된 것이어야 합니다.
만약 집합이 "연결된 체인"으로 순서화될 수 있으면, 즉, 정수 인덱스에 의해 인덱스되고 $\forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset$ 이면, 다시 한 번 그것들의 합집합은 연결된 것이어야 합니다.
만약 집합이 쌍별-서로소이고 몫 공간(quotient space) $X/\{X_{i}\}$ 가 연결된 것이면, $X$ 는 연결된 것이어야 합니다. 그렇지 않고, 만약 $X$ 가 $X$ 의 분리이면, $q(U)\cup q(V)$ 는 몫 공간의 분리입니다 (왜냐하면 $q(U),q(V)$ 는 몫 공간에서 서로소이고 열려 있기 때문입니다).^[6]

연결된 집합의 집합 차이(set difference)는 반드시 연결된 것은 아닙니다. 어쨌든, 만약 $X\supseteq Y$ 와 그 차이 $X\setminus Y$ 가 비-연결된 것이면 (및 따라서 두 개의 열린 집합 $X_{1}$ 과 $X_{2}$ 의 합집합으로 쓸 수 있으면), $Y$ 와 그러한 각 구성 요소의 합집합은 연결된 것입니다 (즉, $Y\cup X_{i}$ 는 모든 $i$ 에 대해 연결된 것입니다).

Proof^[7]

모순에 의해, $Y\cup X_{1}$ 이 연결된 것이 아니라고 가정합니다. 그래서 그것은 두 개의 서로소 열린 집합의 합집합, 예를 들어, $Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}$ 으로 쓸 수 있습니다. $Y$ 는 연결된 것이기 때문에, 그것은 이들 구성 요소 중 하나, 말하자면 $Z_{1}$ 에서 전체적으로 포함되어야 하고, 따라서 $Z_{2}$ 는 $X_{1}$ 에 포함됩니다. 이제, 우리는 다음임을 알고 있습니다: $X=\left(Y\cup X_{1}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup Z_{2}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup X_{2}\right)\cup \left(Z_{2}\cap X_{1}\right)$ 마지막 합집합에서 두 개의 집합은 $X$ 에서 서로소이고 열려 있으므로, $X$ 가 연결된 것이라는 사실에 모순되는 $X$ 의 분리가 있습니다.

Two connected sets whose difference is not connected

Theorems

연결성의 주요 정리(Main theorem of connectedness): $X$ 와 $Y$ 를 토폴로지적 공간으로 놓고 $f:X\rightarrow Y$ 를 연속 함수로 놓습니다. 만약 $X$ 가 (경로-)연결된 것이면, 이미지 $f(X)$ 는 (경로-)연결된 것입니다. 이 결과는 사잇값 정리(intermediate value theorem)의 일반화로 고려될 수 있습니다.
모든 각 경로-연결된 공간은 연결된 것입니다.
모든 각 지역적 경로-연결된 공간은 지역적 연결된 것입니다.
지역적 경로-연결된 공간이 경로-연결된 것과 그것이 연결된 것은 필요충분 조건입니다.
연결된 부분집합의 클로저(closure)는 연결된 것입니다. 게다가, 연결된 부분집합과 그것의 클로저 사이의 임의의 부분집합은 연결된 것입니다.
연결된 구성 요소는 항상 닫힌(closed) 것입니다 (그러나 일반적으로 열린 것입니다)
지역적 연결된 공간의 연결된 구성 요소는 역시 열린 것입니다.
공간의 연결된 구성 요소는 경로-연결된 구성 요소의 서로소 합집합입니다 (이는 일반적으로 열린 것도 아니고 닫힌 것도 아닙니다).
연결된 (각각, 지역적 연결된, 경로-연결된, 지역적 경로-연결된) 것의 모든 각 몫(quotient)은 연결된 (각각, 지역적 연결된, 경로-연결된, 지역적 경로-연결된) 것입니다.
연결된 (각각, 경로-연결된) 공간의 가족의 모든 각 곱(product)은 연결된 (각각, 경로-연결된) 것입니다.
지역적 연결된 (각각, 지역적 경로-연결된) 공간의 모든 각 열린 부분집합은 지역적 연결된 (각각, 지역적 경로-연결된) 것입니다.
모든 각 매니폴드(manifold)는 지역적 경로-연결된 것입니다.
호-별 연결된 공간은 경로 연결된 것이지만, 경로-별 연결된 공간은 호-별 연결된 것이 아닐 수 있습니다.
호-별 연결된 집합의 연속 이미지는 호-별 연결된 것입니다.

Graphs

그래프(Graphs)는 경로 연결된 부분집합, 즉 모든 각 점 쌍이 그것들을 연결하는 가장자리의 경로를 가지는 그것들 부분집합을 가집니다. 그러나 같은 연결된 집합을 유도하는 점의 집합에서 토폴로지를 찾는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 5-주기(5-cycle) 그래프 (및 $n>3$ 홀수를 갖는 $n$ -주기)가 그러한 예제 중 하나입니다.

결과로써, 연결성의 개념은 공간 위에 토폴로지와 독립적으로 형식화될 수 있습니다. 다시 말해, 연결성 공리를 만족시키는 연결된 부분집합의 모음을 갖는 집합으로 구성된 연결된 공간의 카테고리가 있습니다; 그것들의 사상은 연결된 집합을 연결된 집합으로 매핑하는 함수입니다 (Muscat & Buhagiar 2006). 토폴로지적 공간과 그래프는 연결된 공간의 특별한 경우입니다; 실제로, 유한 연결 공간은 정확히 유한 그래프입니다.

어쨌든, 모든 각 그래프는 꼭짓점을 점으로 취급하고 가장자리를 단위 구간의 복사본으로 취급함으로써 정식적으로 토폴로지적 공간으로 만들 수 있습니다 (topological graph theory#Graphs as topological spaces를 참조). 그런-다음 그래프가 (그래프 이론적 의미에서) 연결된 것과 그것이 토폴로지적 공간으로 연결된 것은 필요충분 조건임을 보여줄 수 있습니다.

Stronger forms of connectedness

예를 들어 다음과 같은 토폴로지적 공간(topological spaces)에 대해 더 강력한 형식의 연결성이 있습니다:

만약 토폴로지적 공간 $X$ 에서 두 개의 서로소 비-빈 열린 집합이 존재하면, $X$ 는 연결된 것이어야 하고, 따라서 초-연결된 공간(hyperconnected spaces)도 연결된 것입니다.
단순 연결된 공간(simply connected space)은, 정의에 의해, 경로 연결된 것임을 요구하기 때문에, 임의의 단순 연결된 모든 공간도 연결된 것입니다. 만약 "경로 연결된-상태" 요구 사항이 단순 연결성의 정의에서 버려지면, 단순 연결된 공간은 연결된 것일 필요가 없습니다.
여전히 더 강력한 연결성의 버전은 수축-가능 공간(contractible space)의 개념을 포함합니다. 모든 각 수축-가능 공간은 경로 연결된 것이고 따라서 역시 연결된 것입니다.

일반적으로, 임의의 경로 연결된 공간은 연결된 것이어야 하지만 경로 연결된 것이 아닌 연결된 공간도 존재합니다. 삭제된 빗 공간(deleted comb space)은 위에서-언급된 토폴로지스트의 사인 곡선(topologist's sine curve)과 같은 그러한 예제를 제공합니다.

References

^ Wilder, R.L. (1978). "Evolution of the Topological Concept of "Connected"". American Mathematical Monthly. 85 (9): 720–726. doi:10.2307/2321676. JSTOR 2321676.
^ "General topology - Components of the set of rational numbers".
^ Stephen Willard (1970). General Topology. Dover. p. 191. ISBN 0-486-43479-6.
^ George F. Simmons (1968). Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw Hill Book Company. p. 144. ISBN 0-89874-551-9.
^ Charles Weibel, The K-book: An introduction to algebraic K-theory
^ Brandsma, Henno (February 13, 2013). "How to prove this result involving the quotient maps and connectedness?". Stack Exchange.
^ Marek (February 13, 2013). "How to prove this result about connectedness?". Stack Exchange.