Cube

Cubical graph
Cubical graph
Named after	Q3
Vertices	8
Edges	12
Radius	3
Diameter	3
Girth	4
Automorphisms	48
Chromatic number	2
Properties	Hamiltonian, regular, symmetric, distance-regular, distance-transitive, 3-vertex-connected, bipartite, planar graph
	Table of graphs and parameters

Regular hexahedron
(Click here for rotating model)
Type	Platonic solid
Elements	F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2)
Faces by sides	6{4}
Conway notation	C
Schläfli symbols	{4,3}
Schläfli symbols	t{2,4} or {4}×{} tr{2,2} {}×{}×{} = {}³
Face configuration	V3.3.3.3
Wythoff symbol	3 \| 2 4
Coxeter diagram
Symmetry	O_h, B₃, [4,3], (*432)
Rotation group	O, [4,3]⁺, (432)
References	U₀₆, C₁₈, W₃
Properties	regular, convex zonohedron, Hanner polytope
Dihedral angle	90°
4.4.4 (Vertex figure)	Octahedron (dual polyhedron)
Net

기하학(geometry)에서, 입방체(cube)는 각 꼭짓점(vertex)에서 만나는 세 개의 변을 갖는 6개의 정사각형(square) 면, 패싯(facets) 또는 측면에 의해 둘러싸인 삼-차원 고체 대상입니다.^[1] 모서리에서 보면, 그것은 육각형(hexagon)이고 그것의 네트(net)는 보통 십자형(cross)으로 묘사됩니다.^[2]

입방체는 유일한 정규 육면체(hexahedron)이고 5개의 플라톤 고체(Platonic solids) 중 하나입니다. 그것은 6개의 면, 12개의 가장자리, 및 8개의 꼭짓점을 가지고 있습니다.

입방체는 역시 정사각형 평행-육면체, 등변 직육면체(cuboid) 및 직각 마름모면체(rhombohedron) 3-조노히드론(zonohedron)입니다. 그것은 세 방향에서 정규 정사각형 각기둥(prism)과 네 방향에서 삼각 트레프조히드론(trigonal trapezohedron)입니다.

입방체는 팔면체(octahedron)에 대해 이중(dual)입니다. 그것은 입방체적 또는 팔면체적 대칭(octahedral symmetry)을 가지고 있습니다.

입방체는 그 면이 모두 정사각형(squares)인 유일한 볼록 다면체입니다.

Orthogonal projections

입방체(cube)는 꼭짓점, 가장자리, 면에 중심을 두고 꼭짓점 도형(vertex figure)에 수직인 4개의 특수 직각 투영(orthogonal projections)을 가집니다. 첫 번째와 세 번째는 A₂와 B₂ 콕서터 평면(Coxeter planes)에 해당합니다.

Orthogonal projections
Centered by	Face	Vertex
Coxeter planes	B₂	A₂
Projective symmetry	[4]	[6]
Tilted views

Spherical tiling

입방체는 구형 타일링(spherical tiling)으로 표현될 수도 있고, 입체 투영(stereographic projection)을 통해 평면 위로 투영될 수도 있습니다. 이 투영은 각도를 보존하지만 넓이 또는 길이는 보존하지 않는 등각(conformal) 투영입니다. 구 위에 직선은 평면 위에 원형 호로 투영됩니다.

Orthographic projection	Stereographic projection

Cartesian coordinates

원점에 중심을 둔, 축에 평행한 가장자리와 2의 가장자리 길이를 갖는 입방체에 대해, 꼭짓점의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)는 다음과 같습니다:

(±1, ±1, ±1)

반면에 내부는 모든 i에 대해 −1 < x_i < 1를 갖는 모든 점 (x₀, x₁, x₂)으로 구성됩니다.

Equation in three dimensional space

해석적 기하학(analytic geometry)에서, 중심 (x₀, y₀, z₀)과 2a의 가장자리 길이를 갖는 입방체의 표면은 다음을 만족하는 모든 점 (x, y, z)의 궤적(locus)입니다:

\max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.

입방체는 세 지수 모두 무한대에 접근할 때 3D 초-타원면체(superellipsoid)의 극한하는 사례로 고려될 수도 있습니다.

Formulas

가장자리 길이 $a$ 를 갖는 정육면체에 대해:

surface area	$6a^{2}\,$	volume	$a^{3}\,$
face diagonal	${\sqrt {2}}a$	space diagonal	${\textstyle {\sqrt {3}}a}$
radius of circumscribed sphere	${\frac {\sqrt {3}}{2}}a$	radius of sphere tangent to edges	${\frac {a}{\sqrt {2}}}$
radius of inscribed sphere	${\frac {a}{2}}$	angles between faces (in radians)	${\frac {\pi }{2}}$

정육면체의 부피는 변의 세 번째 거듭제곱 $a\times a\times a$ 이므로, 두 번째 거듭제곱과 squares과 유사하게 세 번째 거듭제곱은 cubes라고 불립니다.

정육면체는 주어진 표면 넓이(surface area)를 갖는 직육면체(cuboids, 직사각형 상자) 중에서 가장 큰 부피를 가집니다. 역시, 정육면체는 같은 전체 선형 크기 (길이+너비+높이)를 갖는 직육면체 중에서 가장 큰 부피를 가집니다.

Point in space

둘레접하는 구의 반지름 R을 갖는 정육면체와 정육면체의 8개 꼭짓점에서 거리 d_i를 갖는 3-차원 공간에서 주어진 점에 대해, 다음을 얻습니다:^[3]

{\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{4}}{8}}+{\frac {16R^{4}}{9}}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{8}d_{i}^{2}}{8}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2}.

Doubling the cube

정육면체를 두 배(Doubling the cube), 또는 델리안 문제(Delian problem)는 고대 그리스 수학자들에 의해 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge)만 사용하여 주어진 정육면체의 가장자리 길이에서 시작하여 원래 정육면체의 부피의 두 배를 갖는 정육면체의 가장자리의 길이를 구성하기 위해 제기된 문제였습니다. 그들은 이 문제를 푸는 것이 불가능했으며, 1837년 피에르 완젤(Pierre Wantzel)은 2의 세제곱 근(cube root)이 구성-가능 숫자(constructible number)가 아니기 때문에 그것이 불가능하다는 것을 입증했습니다.

Uniform colorings and symmetry

정육면체는 각 꼭짓점 주변의 정사각형 면의 고유한 색상: 111, 112, 123에 의해 이름-지정된 세 가지 균등 색상화를 가집니다.

정육면체는 4가지 대칭의 클래스를 가지며, 면을 꼭짓점-전이(vertex-transitive) 색칠함으로써 표시될 수 있습니다. 가장 높은 팔면체 대칭 O_h는 모든 면이 같은 색깔을 가집니다. 이면체 대칭(dihedral symmetry) D_4h는 정육면체가 고체이고, 6면이 모두 다른 색을 띤 것에서 나옵니다. 각기둥 부분집합 D_2d는 이전 것과 같은 색상화를 가지고 D_2h는 반대 면과 쌍을 이루는 총 세 가지 색상에 대해 그 측면에 대해 번갈아 색상을 가집니다. 각 대칭 형식은 서로 다른 위포트 기호(Wythoff symbol)를 가집니다.

Name	Regular hexahedron	Square prism	Rectangular trapezoprism	Rectangular cuboid	Rhombic prism	Trigonal trapezohedron
Coxeter diagram
Schläfli symbol	{4,3}	{4}×{ } rr{4,2}	s₂{2,4}	{ }³ tr{2,2}	{ }×2{ }
Wythoff symbol	3 \| 4 2	4 2 \| 2		2 2 2 \|
Symmetry	O_h [4,3] (*432)	D_4h [4,2] (*422)	D_2d [4,2⁺] (2*2)	D_2h [2,2] (*222)		D_3d [6,2⁺] (2*3)
Symmetry order	24	16	8	8		12
Image (uniform coloring)	(111)	(112)	(112)	(123)	(112)	(111), (112)

Geometric relations

정육면체는 11개의 네트(nets)를 가집니다 (위에 표시된 것 중 하나): 즉, 7개의 가장자리를 절단함으로써 속이 빈 정육면체를 평평하게 만드는 11가지 방법이 있습니다.^[4] 인접한 두 면이 같은 색을 가지지 않도록 정육면체에 색칠하기 위해, 적어도 세 가지 색깔이 필요합니다.

정육면체는 삼-차원 유클리드 공간의 유일한 규칙 타일링의 셀입니다. 그것은 역시 짝수의 변을 갖는 면을 가지고 있다는 점에서 플라톤 고체 중에서 독특하고, 결과적으로, 조노히드론(zonohedron)인 해당 그룹의 유일한 구성원입니다 (모든 각 면은 점 대칭을 가집니다).

정육면체는 6개의 동일한 정사각 각기둥(square pyramids)으로 절단될 수 있습니다. 만약 이들 정사각 각기둥이 그런-다음 두 번째 정육면체의 면에 부착되면, 마름모꼴 십이면체(rhombic dodecahedron)가 얻습니다 (공통-평면에 있는 삼각형 쌍이 마름모꼴 면으로 결합됩니다).

In Theology

정육면체는 아브라함 종교(abrahamic religions)에 나타납니다. 메카에서 카바(Kaaba)는 아랍어로 "정육면체"를 의미하는 한 예제입니다. 그들은 역시 테플린(Teffilin)으로 유대교에 나타나고 신약 성서에서 새 예루살렘(New Jerusalem)도 정육면체(Cube)로 묘사됩니다.^[5]

Other dimensions

사-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 정육면체의 유사체는 테서랙트(tesseract) 또는 초-입방체(hypercube)라는 특별한 이름을 가지고 있습니다. 보다 적절하게, 초-입방체 (또는 n-차원 입방체 또는 간단히 n-입방체)는 n-차원 유클리드 공간에서 입방체와 유사하고 테서랙트는 차원-4 초입방체입니다. 초입방체는 측정 폴리토프(measure polytope)라고도 불립니다.

더 낮은 차원에서도 입방체의 유사체가 있습니다: 차원 0에서 점(point), 일-차원에서 선분(line segment) 및 이-차원에서 정사각형이 있습니다.

Related polyhedra

The hemicube is the 2-to-1 quotient of the cube.

정반대(antipodal) 맵에 의한 정육면체의 몫은 투영 다면체(projective polyhedron), 헤미큐브(hemicube)를 산출합니다.

만약 원래 정육면체가 길이 1 가장자리를 가지면, 그것의 이중 다면체 (팔면체)는 길이 $\scriptstyle {\sqrt {2}}/2$ 가장자리를 가집니다.

정육면체는 다양한 종류의 일반 다면체에서 특수한 경우입니다:

Name	Equal edge-lengths?	Equal angles?	Right angles?
Cube	Yes	Yes	Yes
Rhombohedron	Yes	Yes	No
Cuboid	No	Yes	Yes
Parallelepiped	No	Yes	No
quadrilaterally faced hexahedron	No	No	No

정육면체의 꼭짓점은 각각 정규 사면체를 형성하는 4개씩 2개의 그룹으로 그룹화될 수 있습니다; 보다 일반적으로 이것은 데미큐브(demicube)라고 불립니다. 이들 둘은 함께 정규 혼합물(compound), 팔면체 별(stella octangula)를 형성합니다. 이 둘의 교차점은 정규 팔면체를 형성합니다. 정규 사면체의 대칭은 각 사면체를 자신에게 매핑하는 정육면체의 대칭에 해당합니다; 정육면체의 다른 대칭은 둘을 서로 매핑합니다.

그러한 정규 사면체 중 하나의 부피는 정육면체의 1/3입니다. 남아있는 공간은 각각 정육면체 부피의 1/6의 부피를 갖는 4개의 같은 비-정규 사면체로 구성됩니다.

정류된(rectified) 정육면체는 육팔면체(cuboctahedron)입니다. 만약 더 작은 모서리가 잘리면, 6개의 팔각형(octagonal) 면과 8개의 삼각형 면을 갖는 다면체를 얻을 수 있습니다. 특히 정규 팔각형 (잘린 정육면체)을 얻을 수 있습니다. 마름모꼴육팔면체(rhombicuboctahedron)는 양쪽 모서리와 가장자리를 정확한 양으로 잘라서 얻습니다.

정육면체는 정육면체의 각 꼭짓점이 십이면체의 꼭짓점이고 각 가장자리는 십이면체의 면 중 하나의 대각선이 되도록 십이면체(dodecahedron)에 내접될 수 있습니다; 그러한 정육면체를 모두 가져오면 5개의 정육면체의 정규 혼합물을 야기합니다.

만약 정육면체의 두 개의 마주보는 모서리가 그것들에 직접 연결된 세 꼭짓점의 깊이에서 잘리면, 비-정규 팔면체가 얻습니다. 이들 비-정규 팔면체 중 8개는 정규 팔면체의 삼각형 면에 붙여서 육팔면체를 얻을 수 있습니다.

정육면체는 토폴로지적으로 일련의 구형 다면체와 차수-3 꼭짓점 도형(vertex figures)을 갖는 타일링과 관련되어 있습니다.

*n32 symmetry mutation of regular tilings: {n,3} v t e
Spherical				Euclidean	Compact hyperb.		Paraco.	Noncompact hyperbolic

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

육팔면체는 정육면체와 정규 팔면체와 관련된 균등 다면체의 가족 중 하나입니다.

Uniform octahedral polyhedra
Symmetry: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= or	= or	=

Duals to uniform polyhedra
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

정육면체는 정규 타일링의 순서열의 일부로 토폴로지적으로 관련되어, 쌍곡 평면(hyperbolic plane)으로 확장됩니다: {4,p}, p=3,4,5...

*n42 symmetry mutation of regular tilings: {4,n} v t e
Spherical	Euclidean	Compact hyperbolic				Paracompact
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

이면체 대칭(dihedral symmetry), Dih₄와 함께, 정육면체는 쌍곡 평면으로 확장되는 일련의 균등 다면체와 타일링 4.2n.2n에서 토폴로지적으로 관련됩니다:

*n42 symmetry mutation of truncated tilings: 4.2n.2n v t e
Symmetry *n42 [n,4]	Spherical		Euclidean	Compact hyperbolic				Paracomp.
Symmetry *n42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Truncated figures
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
n-kis figures
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

모든 이들 도형은 팔면체 대칭(octahedral symmetry)을 가집니다.

정육면체는 [n,3] 콕서터 그룹(Coxeter group) 대칭을 갖는 마름모꼴 다면체와 타일링의 순서열의 일부입니다. 정육면체는 마름모가 정사각형인 마름모꼴 육면체로 볼 수 있습니다.

Symmetry mutations of dual quasiregular tilings: V(3.n)²
*n32	Spherical			Euclidean	Hyperbolic
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Tiling
Conf.	V(3.3)²	V(3.4)²	V(3.5)²	V(3.6)²	V(3.7)²	V(3.8)²	V(3.∞)²

정육면체는 정사각 각기둥(square prism)입니다:

Family of uniform n-gonal prisms v t e
Prism name	Digonal prism	(Trigonal) Triangular prism	(Tetragonal) Square prism	Pentagonal prism	Hexagonal prism	Heptagonal prism	Octagonal prism	Enneagonal prism	Decagonal prism	Hendecagonal prism	Dodecagonal prism	...	Apeirogonal prism
Polyhedron image												...
Spherical tiling image												Plane tiling image
Vertex config.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Coxeter diagram												...

삼각 트레프조히드론(trigonal trapezohedron)로서, 정육면체는 육각형 이면체 대칭 가족과 관련이 있습니다.

Uniform hexagonal dihedral spherical polyhedra
Symmetry: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Duals to uniforms

V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Regular and uniform compounds of cubes
Compound of three cubes	Compound of five cubes

In uniform honeycombs and polychora

그것은 28개의 볼록 균등 벌집(convex uniform honeycombs) 중 9개의 원소입니다:

Cubic honeycomb	Truncated square prismatic honeycomb	Snub square prismatic honeycomb	Elongated triangular prismatic honeycomb	Gyroelongated triangular prismatic honeycomb

Cantellated cubic honeycomb	Cantitruncated cubic honeycomb	Runcitruncated cubic honeycomb	Runcinated alternated cubic honeycomb

그것은 역시 5개의 사-차원 균등 폴리코라(uniform polychora)의 원소입니다:

Tesseract	Cantellated 16-cell	Runcinated tesseract	Cantitruncated 16-cell	Runcitruncated 16-cell

Cubical graph

정육면체의 뼈대(skeleton) (꼭짓점과 가장자리)는 정육면체 그래프(cube graph)라고 불리는 8개의 꼭짓점과 12개의 가장자리를 갖는 그래프(graph)를 형성합니다. 그것은 초입방체 그래프(hypercube graph)의 특수한 경우입니다.^[6] 그것은 5개의 플라톤 그래프(Platonic graphs) 중 하나이며, 각각은 플라톤 고체(Platonic solid)의 뼈대입니다.

확장은 삼-차원 k-ARY 해밍 그래프(Hamming graph)이며, 이는 k = 2에 대해 정육면체 그래프입니다. 이러한 종류의 그래프는 컴퓨터에서 병렬 처리(parallel processing)의 이론에서 발생합니다.

References

^ English cube from Old French < Latin cubus < Greek κύβος (kubos) meaning "a cube, a die, vertebra". In turn from PIE *keu(b)-, "to bend, turn".
^ "Nets of a Solids | Geometry |Nets of a Cube |Nets of a Cone & Cylinder".
^ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Archived 2016-10-10 at the Wayback Machine
^ Uehara, Ryuhei (2020). "Figure 1.1". Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry. Singapore: Springer. p. 4. doi:10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4469-9. MR 4215620. S2CID 220150682.
^ "Symbolism of the Cube • Eve Out of the Garden". 30 October 2020.
^ Harary, Frank; Hayes, John P.; Wu, Horng-Jyh (1988). "A survey of the theory of hypercube graphs" (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 15 (4): 277–289. doi:10.1016/0898-1221(88)90213-1. hdl:2027.42/27522. MR 0949280.

External links

Weisstein, Eric W. "Cube". MathWorld.
Cube: Interactive Polyhedron Model*
Volume of a cube, with interactive animation
Cube (Robert Webb's site)

[1] English cube from Old French < Latin cubus < Greek κύβος (kubos) meaning "a cube, a die, vertebra". In turn from PIE *keu(b)-, "to bend, turn".

[2] "Nets of a Solids | Geometry |Nets of a Cube |Nets of a Cone & Cylinder".

[3] Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Archived 2016-10-10 at the Wayback Machine

[4] Uehara, Ryuhei (2020). "Figure 1.1". Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry. Singapore: Springer. p. 4. doi:10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4469-9. MR 4215620. S2CID 220150682.

[5] "Symbolism of the Cube • Eve Out of the Garden". 30 October 2020.

[6] Harary, Frank; Hayes, John P.; Wu, Horng-Jyh (1988). "A survey of the theory of hypercube graphs" (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 15 (4): 277–289. doi:10.1016/0898-1221(88)90213-1. hdl:2027.42/27522. MR 0949280.

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