Diffeomorphism

Original article: w:Diffeomorphism

"Diffeo" redirects here. For the company, see Diffeo (company).

수학(mathematics)에서, 미분-동형(diffeomorphism)은 매끄러운 매니폴드(smooth manifolds)의 동형(isomorphism)입니다. 그것은 함수와 그것의 역(inverse) 둘 다가 미분-가능(differentiable)임을 만족하는 하나의 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)를 또 다른 매니폴드에 매핑하는 역-가능 함수(invertible function)입니다.

The image of a rectangular grid on a square under a diffeomorphism from the square onto itself.

Definition

두 개의 매니폴드(manifolds) $M$과 $N$이 주어졌을 때, 미분-가능(differentiable) 맵 $f\colon M\rightarrow N$은 만약 그것이 전단사(bijection)이고 그것의 역 $f^{-1}\colon N\rightarrow M$가 마찬가지로 미분-가능이면 미분-동형(diffeomorphism)이라고 불립니다. 만약 이들 함수가 $r$번 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)이면, $f$는 $C^{r}$-미분동형이라고 불립니다.

두 개의 매니폴드 $M$과 $N$은 만약 $M$에서 $N$으로의 미분-동형이 있으면 미분-동형적(diffeomorphi)입니다 (보통 $M\simeq N$로 표시됩니다). 그것들은 만약 그들 사이에 $r$번 연속적으로 미분가능 전단사 맵이 있고 그 역도 역시 $r$번 연속적으로 미분가능이면 $C^{r}$-미분동형적(diffeomorphic)입니다.

Diffeomorphisms of subsets of manifolds

매니폴드 $M$의 부분집합(subset) $X$와 매니폴드 $N$의 부분집합 $Y$가 주어지면, 함수 $f:X\to Y$는 만약 $X$에서 모든 $p$에 대해 제한(restrictions)이 일치함: $g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}$을 만족하는 $p$의 이웃(neighborhood) $U\subset M$과 매끄러운 함수 $g:U\to N$가 있으면 매끄러운 것이라고 말합니다 ($g$가 $f$의 확장임에 주목하십시오). 함수 $f$는 만약 그것이 전단사, 매끄러운 것이고 그것의 역이 매끄러운 것이면 미분-동형이라고 말합니다.

Local description

Hadamard-Caccioppoli Theorem

만약 $U$, $V$가 $V$가 단순 연결된(simply connected) 것임을 만족하는 $\mathbb {R} ^{n}$의 연결된(connected) 열린 집합(open subsets)이면, 마분-가능(differentiable) 맵 $f:U\to V$은 만약 그것이 적절(proper)하고 미분(differential) $Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$가 $U$에 있는 모든 각 점 $x$에서 전단사 (및 따라서 선형 동형)이면 미분-동형(diffeomorphism)입니다.

First remark

함수 $f$가 (그 도함수가 각 점에서 전단사 맵이라는 유일한 조건 아래에서) 전역적으로 역-가능이 되려면 $V$가 단순 연결되는 것이 필수적입니다. 예를 들어, 복소(complex) 제곱 함수의 "실현"을 생각해 보십시오:

${\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}$

그런-다음 $f$는 전사(surjective)이고 그것은 다음을 만족시킵니다:

$\det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.$

따라서, $Df_{x}$는 각 점에서 전단사이지만, $f$는 역-가능이 아닌데 왜냐하면 그것이 단사적(injective)임에 실패하기 때문입니다 (예를 들어,$f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)$).

Second remark

(미분-가능 함수에 대해) 점에서 미분은

$Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V$

선형 맵(linear map)이기 때문에, 그것이 잘-정의된 역을 가지는 것과 $Df_{x}$가 전단사인 것은 필요충분 조건입니다. $Df_{x}$의 행렬(matrix) 표현은 $i$-번째 행과 $j$-번째 열에서 엔트리가 $\partial f_{i}/\partial x_{j}$인 일-차 부분 도함수(partial derivatives)의 $n\times n$ 행렬입니다. 소위 야코비 행렬(Jacobian matrix)은 종종 명시적 계산에 대해 사용됩니다.

Third remark

미분-동형은 반드시 같은 차원(dimension)의 매니폴드 사이에 있습니다. $f$가 차원 $n$에서 차원 $k$로 간다고 상상해 보십시오. 만약 $n<k$이면, $Df_{x}$는 전사적일 수 없고, $n>k$이면 $Df_{x}$는 단사적일 수 없습니다. 따라서, 둘 다 경우에서, $Df_{x}$는 전단사가 됨에 실패합니다.

Fourth remark

만약 $Df_{x}$가 $x$에서 전단사이면 $f$는 지역적 미분-동형(local diffeomorphism)이라고 말합니다 (왜냐하면, 연속성에 의해, $Df_{y}$는 역시 $x$에 충분하게 가까운 모든 $y$에 대해 전단사일 것입니다).

Fifth remark

차원 $n$에서 차원 $k$로의 매끄러운 맵이 주어지면, 만약 $Df$ (또는 지역적으로, $Df_{x}$)가 전사적이면, $f$는 침몰(submersion) (또는, 지역적으로, "지역적 침몰")이라고 말합니다; 그리고 만약 $Df$ (또는, 지역적으로, $Df_{x}$)가 단사적이면, $f$는 몰입(immersion) (또는, 지역적으로, "지역적 몰입")이라고 말합니다.

Sixth remark

미분-가능 전단사가 반드시 미분-동형인 것은 아닙니다. 예를 들어, $f(x)=x^{3}$은 $\mathbb {R}$에서 자체로의 미분-동형이 아닌데 왜냐하면 그것의 도함수가 0에서 사라지기 때문입니다 (그리고 따라서 그것의 역은 0에서 미분-가능이 아닙니다). 이것은 미분-동형이 아닌 위상-동형(homeomorphism)의 예제입니다.

Seventh remark

$f$가 미분-가능 매니폴드 사이의 맵일 때, 미분동형적 $f$는 위상동형적 $f$보다 더 강한 조건입니다. 미분-동형에 대해, $f$와 그것의 역은 미분-가능해야 합니다; 위상동형에 대해, $f$와 그것의 역은 오직 연속적(continuous)이어야 합니다. 모든 각 미분-동형이 위상동형이지만, 모든 각 위상동형이 미분-동형은 아닙니다.

$f:M\to N$는 만약, 좌표 차트(coordinate charts)에서, 그것이 위의 정의를 만족시키면 미분-동형(diffeomorphism)이라고 불립니다. 보다 정확하게: 호환-가능 좌표 차트에 의해 $M$의 임의의 덮개를 선택하고 $N$에 대해 같은 작업을 수행합니다. $\phi$와 $\psi$를, 각각, $M$과 $N$의 차트라고 놓고 $U$와 $V$를, 각각, $\phi$와 $\psi$의 이미지라고 놓습니다. 그런-다음 맵 $\psi f\phi ^{-1}:U\to V$는 $\psi f\phi ^{-1}:U\to V$일 때마다 위의 정의에서와 같은 미분동형입니다.

Examples

임의의 매니폴드는 지역적으로 매개변수화될 수 있기 때문에, $\mathbb {R} ^{2}$에서 $\mathbb {R} ^{2}$로의 일부 명시적 매핑을 고려할 수 있습니다.

• 다음이라고 놓습니다

$f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).$

우리는 야코비 행렬을 계산할 수 있습니다:

$J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.$

야코비 행렬이 영 행렬식(determinant)을 가지는 것과 $xy=0$인 것은 필요충분 조건입니다. 우리는 $f$가 오직 $x$-축과 $y$-축에서 떨어진 미분동형일 수 있음을 합니다. 어쨌든, $f$는 $f(x,y)=f(-x,y)$이므로 전단사가 아니고, 따라서 그것은 미분-동형이 될 수 없습니다.

• 다음이라고 놓습니다:

$g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)$

여기서 $a_{i,j}$와 $b_{i,j}$는 임의적인 실수(real numbers)이고, 생략된 항은 x와 y에서 적어도 2차입니다. 우리는 0에서 야코비 행렬을 계산할 수 있습니다:

$J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.$

우리는 g가 0에서 지역적 미분동형인 것과 다음인 것이 필요충분 조건임을 압니다:

$a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,$

즉, g의 성분에서 선형 항은 다항식(polynomials)으로 선형적으로 독립(linearly independent)입니다.

• 다음이라고 놓습니다:

$h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).$

우리는 야코비 행렬을 계산할 수 있습니다:

$J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.$

야코비 행렬은 모든 곳에서 영 행렬식을 가집니다! 실제로 우리는 h의 이미지가 단위 원(unit circle)임을 압니다.

Surface deformations

역학(mechanics)에서, 응력-유도된 변환은 변형(deformation)이라고 불리고 미분동형에 의해 설명될 수 있습니다. 두 표면(surfaces) $U$와 $V$ 사이의 미분동형 $f:U\to V$는 역-가능 행렬(invertible matrix)인 야코비 행렬 $Df$를 가집니다. 사실, $U$에서 $p$에 대해 야코비 $Df$가 비-특이(non-singular) 상태로 유지되는 $p$의 이웃(neighborhood)이 있어야 함을 요구합니다. 표면의 차트에서 $f(x,y)=(u,v)$라고 가정합니다.

u의 전체 미분(total differential)은 다음과 같습니다:

$du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy$, 그리고 v에 대해 유사합니다.

그런-다음 이미지 $(du,dv)=(dx,dy)Df$는 원점을 고정하는 선형 변환(linear transformation)이고, 특정 유형의 복소수의 동작으로 표현할 수 있습니다. (dx, dy)도 해당 유형의 복소수로 해석될 때, 그 동작은 적절한 복소수 평면에서 복소수 곱셈입니다. 이를테면, 그러한 곱셈에서 보존되는 각도의 유형 (유클리드, 쌍곡선, 또는 기울기)이 있습니다. Df가 역-가능이기 때문에, 복소수의 유형은 표면 전체에서 균등합니다. 결과적으로, 표면의 표면 변형 또는 미분동형은 (적절한 유형의) 각도를 보존하는 등각 속성(conformal property)을 가집니다.

Diffeomorphism group

$M$을 두 번째-셀-수-있는 및 하우스도르프인 미분-가능 매니폴드라고 놓습니다. $M$의 미분동형 그룹(diffeomorphism group)은 ${\text{Diff}}^{r}(M)$ 또는, $r$이 이해될 때, ${\text{Diff}}(M)$로 표시되는, 자체에 대한 $M$의 모든 $C^{r}$ 미분동형의 그룹(group)입니다. 이것은 $M$이 영-차원이 아니라는 조건으로 하여 그것이 지역적으로 컴팩트(locally compact)하지 않다는 의미에서 "큰" 그룹입니다.

Topology

미분동형 그룹은 두 개의 자연스러운 토폴로지(topologies): 약한 토폴로지와 강한 토폴로지를 가지고 있습니다 (Hirsch 1997). 매니폴드가 컴팩트할 때, 이들 두 토폴로지가 일치합니다. 약한 토폴로지는 항상 메트릭-가능(metrizable)입니다. 매니폴드가 컴팩트하지 않을 때, 강한 토폴로지는 "무한대에서" 함수의 행동을 포획하고 메트릭-가능이 아닙니다. 그것은, 어쨌든, 여전히 베르(Baire)입니다.

$M$ 위에 리만 메트릭(Riemannian metric)을 고정하여, 약한 토폴로지는 $K$가 $M$의 컴팩트 부분집합에 걸쳐 변할 때 다음 메트릭의 가족에 의해 유도된 토폴로지입니다:

$d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|$

실제로, $M$은 $\sigma$-컴팩트이기 때문에, 그 합집합(union)이 $M$인 컴팩트 부분집합 $K_{n}$의 수열이 있습니다. 그런-다음:

$d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.$

약한 토폴로지를 갖춘 미분동형 그룹은 $C^{r}$ 벡터 필드의 공간에 지역적으로 위상동형적입니다 (Leslie 1967). $M$의 컴팩트 부분집합에 걸쳐, 이것은 $M$ 위에 리만 메트릭을 고정하고 해당 메트릭에 대해 지수 맵(exponential map)을 사용함으로써 따릅니다. 만약 $r$이 유한하고 매니폴드가 컴팩트하면, 벡터 필드의 공간은 바나흐 공간(Banach space)입니다. 더욱이, 이 아틀라스의 한 차트에서 또 다른 차트로의 전이 맵은 매끄러운 것이며, 미분동형 그룹을 매끄러운 오른쪽 평행이동을 갖는 바나흐 매니폴드(Banach manifold)로 만듭니다; 왼쪽 평행이동과 반전은 오직 연속적입니다. 만약 $r=\infty$이면, 벡터 필드의 공간은 프레셰 공간(Fréchet space)입니다. 게다가, 전이 맵이 매끄러운 것이며, 미분동형 그룹을 프레셰 매니폴드(Fréchet manifold)로 및 정규 프레셰 리 그룹(regular Fréchet Lie group)으로 만듭니다. 만약 매니폴드가 $\sigma$-컴팩트이고 컴팩트가 아니면, 전체 미분동형 그룹은 두 토폴로지 중 어느 것에 대해서도 지역적 축약-가능이 아닙니다. 매니폴드인 미분동형 그룹을 얻기 위해 무한대에 가까운 항등식으로부터의 편차를 제어함으로써 그룹을 제한해야 합니다; (Michor & Mumford 2013)를 참조.

Lie algebra

$M$의 미분동형 그룹의 리 대수(Lie algebra)는 벡터 필드의 리 괄호가 장착된 $M$ 위의 모든 벡터 필드(vector fields)로 구성됩니다. 다소 형식적으로, 이것은 공간에 있는 각 점에서 좌표 $x$를 약간 변경함으로써 볼 수 있습니다.

$x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)$

따라서 무한소 생성기는 다음 벡터 필드입니다:

$L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.$

Examples

• $M=G$가 리 그룹(Lie group)일 때, 왼쪽-평행이동을 통해 자체 미분동형 그룹에 $G$의 자연스러운 포함입니다. ${\text{Diff}}(G)$가 $G$의 미분동형 그룹을 나타낸다고 놓으면, 분할 ${\text{Diff}}(G)\simeq G\times {\text{Diff}}(G,e)$가 있으며, 여기서 ${\text{Diff}}(G,e)$는 그룹의 항등 원소(identity element)를 고정하는 ${\text{Diff}}(G)$의 부분그룹(subgroup)입니다.
• 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 미분동형 그룹은 방향-보존하는 및 방향-반전하는 미분동형으로 구성된 두 가지 구성 요소로 구성됩니다. 사실, 일반적인 선형 그룹(general linear group)은 맵 $f(x)\to f(tx)/t,t\in (0,1]$ 아래에서 원점을 고정하는 미분동형의 부분그룹 ${\text{Diff}}(\mathbb {R} ^{n},0)$의 변형 수축(deformation retract)입니다. 특히, 일반적인 선형 그룹은 역시 전체 미분동형 그룹의 변형 수축입니다.
• 점의 유한 집합에 대해, 미분동형 그룹은 단순히 대칭 그룹(symmetric group)입니다. 유사하게, 만약 $M$이 임의의 매니폴드이면, 그룹 확장(group extension) $0\to {\text{Diff}}_{0}(M)\to {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))$이 있습니다. 여기서 ${\text{Diff}}_{0}(M)$은 $M$의 모든 구성 요소를 보존하는 ${\text{Diff}}(M)$의 부분그룹이고, $\Sigma (\pi _{0}(M))$은 집합 $\pi _{0}(M)$ ($M$의 구성 요소)의 순열 그룹입니다. 더욱이, 맵 ${\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))$의 이미지는 미분동형 클래스를 보존하는 $\pi _{0}(M)$의 전단사입니다.

Transitivity

연결된 매니폴드 $M$에 대해, 미분동형 그룹은 $M$ 위에 전이적으로 동작합니다. 보다 일반적으로, 미분동형 그룹은 구성 공간(configuration space) $C_{k}M$ 위에 전이적으로 동작합니다. 만약 $M$이 적어도 이-차원이면, 미분동형 그룹은 구성 공간 $F_{k}M$ 위에 전이적으로 동작하고 $M$ 위에 동작은 다중 전이적(multiply transitive)입니다 (Banyaga 1997, p. 29).

Extensions of diffeomorphisms

1926년에, 티보르 라도(Tibor Radó)는 단위 디스크(unit disc)에 대한 단위 원의 임의의 위상동형 또는 미분동형의 조화 확장(harmonic extension)이 열린 디스크 위에 미분동형을 생성하는지 여부를 질문했습니다. 우아한 증명은 얼마 지나지 않아 헬무트 크네저(Hellmuth Kneser)에 의해 제공되었습니다. 1945년에, 귀스타브 쇼케(Gustave Choquet)는, 분명하게 이 결과를 인식하지 못한 채, 완전하게 다른 증명을 내놓았습니다.

원의 (방향-유지하는) 미분동형 그룹은 경로-별로 연결됩니다. 이것은 임의의 그러한 미분동형이 $[f(x+1)=f(x)+1]$을 만족시키는 실수의 미분동형 $f$로 들어 올릴 수 있음을 주목함으로써 볼 수 있습니다; 이 공간은 볼록이고 따라서 경로-연결된 것입니다. 항등식에 대한 매끄럽고, 결국 일정한 경로는 원에서 열린 단위 디스크 (알렉산더 트릭의 특수한 경우)로 미분동형을 확장하는 두 번째 더 기본적인 방법을 제공합니다. 게다가, 원의 미분동형 그룹은 직교 그룹(orthogonal group) $O(2)$의 호모토피-유형을 가집니다.

고차원 구 $S^{n-1}$의 미분동형에 대한 해당하는 확장 문제는 르네 톰(René Thom), 존 밀너(John Milnor), 및 스티븐 스메일(Stephen Smale)의 주목할만한 기여로 1950년대와 1960년대에 많이 연구되었습니다. 그러한 확장에 대한 방해물은 공 $B^{n}$의 미분동형으로 확장하는 클래스의 부분그룹에 의해 미분동형 그룹의 아벨 구성 요소 그룹(component group)의 몫(quotient)으로 정의되는 "꼬인 그룹의 구(group of twisted spheres)"인 유한 아벨 그룹(abelian group) $\Gamma _{n}$에 의해 제공됩니다.

Connectedness

매니폴드에 대해, 미분동형 그룹은 보통 연결된 것이 아닙니다. 그것의 구성 요소 그룹은 매핑 클래스 그룹(mapping class group)이라고 불립니다. 차원 2 (즉, 표면)에서, 매핑 클래스 그룹은 덴 나선-모양(Dehn twists, 덴, 리커리시, 해처)에 의해 생성된 유한하게 제시된 그룹(finitely presented group)입니다. 막스 덴(Max Dehn)과 제이콥 닐슨(Jakob Nielsen)은 그것이 표면의 기본 그룹(fundamental group)의 밖의 자기동형 그룹(outer automorphism group)으로 식별될 수 있음을 보여주었습니다.

윌리엄 서스턴(William Thurston)은 세 가지 유형: 주기적 미분동형에 동등한 것들; 단순 닫힌 곡선 불변을 남기는 미분동형과 동등한 것들; 및 유사-아노소프 미분동형(pseudo-Anosov diffeomorphisms)에 동등한 것들로 매핑 클래스 그룹의 원소를 분류함으로써 이 분석을 개선했습니다. 토러스(torus) $S^{1}\times S^{1}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$의 경우에서, 매핑 클래스 그룹은 단순히 모듈러 그룹(modular group) ${\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )$이고 분류는 타원, 포물선, 및 쌍곡선 행렬의 관점에서 고전적이 됩니다. 서스턴은 매핑 클래스 그룹이 타이히뮐러 공간(Teichmüller space)의 컴팩트화(compactification) 위에 자연스럽게 동작되는 것을 관찰함으로써 그의 분류를 달성했습니다; 이 확대된 공간이 닫힌 공과 위상동형적이기 때문에, 브라우어르 고정된-점 정리(Brouwer fixed-point theorem)가 적용-가능하게 되었습니다. 스메일은 만약 $M$이 방향화된 매끄러운 닫힌 매니폴드이면, 방향-유지하는 미분동형의 그룹의 항등 구성 요소(identity component)는 단순한(simple) 것이라고 추측했습니다. 이것은 미셸 헤르만(Michel Herman)에 의해 원의 곱에 대해 처음으로 증명되었습니다; 그것은 서스턴에 의해 완전한 일반성에서 입증되었습니다.

Homotopy types

• $S^{2}$의 미분동형 그룹은 부분그룹 $O(3)$의 호모토피-유형을 가집니다. 이것은 스티브 스메일(Steve Smale)에 의해 입증되었습니다.
• 토러스의 미분동형 그룹은 그것의 선형 자기 동형(automorphisms)의 호모토피-유형: $S^{1}\times S^{1}\times {\text{GL}}(2,\mathbb {Z} )$을 가집니다.
• 지너스(genus) $g>1$의 방향-가능 표면의 미분동형 그룹은 그것들의 매핑 클래스 그룹의 호모토피-유형을 가집니다 (즉, 구성 요소가 축약-가능입니다).
• 3-매니폴드의 미분동형 그룹의 호모토피-유형은 Ivanov, Hatcher, Gabai, 및 Rubinstein의 연구를 통해 상당히 잘 이해되었지만, 몇 가지 뛰어난 열린 사례 (주로 유한 기본 그룹을 갖는 3-매니폴드)가 있습니다.
• $n>3$에 대해 $n$-매니폴드의 미분동형 그룹의 호모토피-유형은 잘 이해되지 않습니다. 예를 들어, ${\text{Diff}}(S^{4})$가 두 개보다 많은 구성 요소를 가지는지 여부는 열린 문제입니다. Milnor, Kahn, 및 Antonelli를 통해, 어쨌든, $n>6$을 조건으로, ${\text{Diff}}(S^{n})$는 유한 CW-복합체(CW-complex)의 호모토피-유형을 가지지 않는 것으로 알려져 있습니다.

Homeomorphism and diffeomorphism

모든 각 미분동형은 위상동형이기 때문에, 서로에 대해 미분동형적인 한 쌍의 매니폴드가 주어지면, 그것들은 특히 서로에 대해 위상동형적(homeomorphic)입니다. 그 전환은 일반적으로 참이 아닙니다.

미분동형이 아닌 위상동형을 찾는 것은 쉽지만, 미분동형이 아닌 위상동형 매니폴드의 쌍을 찾는 것은 더 어렵습니다. 차원 1, 2, 및 3에서, 위상동형적 매끄러운 매니폴드의 임의의 쌍은 미분동형적입니다. 차원 4 이상에서, 위상동형적이지만 미분동형적이 아닌 쌍의 예제가 존재합니다. 첫 번째 그러한 예제는 7차원에서 존 밀너(John Milnor)에 의해 구성되었습니다. 그는 표준 7-구와 위상동형적이지만 미분동형적은 아닌 매끄러운 7-차원 매니폴드 (지금은 밀너의 구라고 함)를 구성했습니다. 사실, 7-구에 대해 위상동형적인 매니폴드의 28가지 방향화된 미분동형 클래스가 있습니다 (그것들 각각은 섬유로 3-구를 갖는 4-구에 걸친 섬유 다발(fiber bundle)의 전체 공간입니다).

4-매니폴드에 대해 더 특이한 현상이 발생합니다. 1980년대 초, 사이먼 도널드슨(Simon Donaldson)과 마이클 프리드먼(Michael Freedman)에 기인한 결과의 조합은 이국적인(exotic) $\mathbb {R} ^{4}$의 발견으로 이어졌습니다: $\mathbb {R} ^{4}$의 셀-수-없이 많은 쌍-별 비-미분동형적 열린 부분집합이 있으며, 그것의 각각은 $\mathbb {R} ^{4}$에 위상동형입니다; 그리고 $\mathbb {R} ^{4}$에 매끄럽게 삽입되지 않는 $\mathbb {R} ^{4}$에 위상동형적인 셀-수-없이 많은 쌍-별 비-미분동형적 미분-가능 매니폴드가 있습니다.

See also

• Anosov diffeomorphism such as Arnold's cat map
• Diffeo anomaly also known as a gravitational anomaly, a type anomaly in quantum mechanics
• Diffeology, smooth parameterizations on a set, which makes a diffeological space
• Diffeomorphometry, metric study of shape and form in computational anatomy
• Étale morphism
• Large diffeomorphism
• Local diffeomorphism
• Superdiffeomorphism

References

• Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2013). The implicit function theorem: history, theory, and applications. Modern Birkhäuser classics. Boston. ISBN 978-1-4614-5980-4.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Chaudhuri, Shyamoli; Kawai, Hikaru; Tye, S.-H. Henry (1987-08-15). "Path-integral formulation of closed strings" (PDF). Physical Review D. 36 (4): 1148–1168. Bibcode:1987PhRvD..36.1148C. doi:10.1103/physrevd.36.1148. ISSN 0556-2821. PMID 9958280. S2CID 41709882. Archived (PDF) from the original on 2018-07-21.
• Banyaga, Augustin (1997), The structure of classical diffeomorphism groups, Mathematics and its Applications, vol. 400, Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8
• Duren, Peter L. (2004), Harmonic Mappings in the Plane, Cambridge Mathematical Tracts, vol. 156, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64121-7
• "Diffeomorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Hirsch, Morris (1997), Differential Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90148-0
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter (1997), The convenient setting of global analysis, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 53, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0780-3
• Leslie, J. A. (1967), "On a differential structure for the group of diffeomorphisms", Topology, 6 (2): 263–271, doi:10.1016/0040-9383(67)90038-9, ISSN 0040-9383, MR 0210147
• Michor, Peter W.; Mumford, David (2013), "A zoo of diffeomorphism groups on Rⁿ.", Annals of Global Analysis and Geometry, 44 (4): 529–540, arXiv:1211.5704, doi:10.1007/s10455-013-9380-2, S2CID 118624866
• Milnor, John W. (2007), Collected Works Vol. III, Differential Topology, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4230-0
• Omori, Hideki (1997), Infinite-dimensional Lie groups, Translations of Mathematical Monographs, vol. 158, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4575-6
• Kneser, Hellmuth (1926), "Lösung der Aufgabe 41.", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (in German), 35 (2): 123