Direct sum

직접 합(direct sum)은 수학(mathematics)의 한 가지, 추상 대수학(abstract algebra)에서 구조(structures) 사이의 연산(operation)입니다. 그것은 다른 종류의 구조에 대해 다르게 정의되지만, 유사하게 정의됩니다. 직접 합이 추상 대수학에서 어떻게 사용되는지 알아보기 위해, 보다 기초적인 구조의 종류, 아벨 그룹(abelian group)을 생각해 보십시오. 두 아벨 그룹 $A$ 와 $B$ 의 직접 합은 순서화된 쌍 $(a,b)$ 으로 구성된 또 다른 아벨 그룹 $A\oplus B$ 이며, 여기서 $a\in A$ 이고 $b\in B$ 입니다. 순서화된 쌍을 더하기 위해, 우리는 합 $(a,b)+(c,d)$ 를 $(a+c,b+d)$ 로 정의합니다: 다시 말해서, 덧셈은 좌표-별로 정의됩니다. 예를 들어, 직접 합 $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ 은, 여기서 $\mathbb {R}$ 은 실수 좌표 공간(real coordinate space)이며, 데카르트 평면(Cartesian plane), $\mathbb {R} ^{2}$ 입니다. 유사한 과정은 두 벡터 공간(vector spaces) 또는 두 모듈(modules)의 직접 합을 형성하기 위해 사용될 수 있습니다.

우리는 역시 임의의 유한 숫자의 피함수, 예를 들어 $A\oplus B\oplus C$ 를 갖는 직접 합을 형성할 수 있으며, $A,B,$ 및 $C$ 가 같은 종류의 대수적 구조 (예를 들어, 모든 아벨 그룹, 또는 모든 벡터 공간)이라는 조건으로 합니다. 이것은 직접 합이 동형 까지 결합적(associative)이라는 사실에 의존합니다. 즉, 임의의 같은 종류의 대수적 구조 $A$ , $B$ , 및 $C$ 에 대해, $(A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)$ 입니다. 직접 합은 역시 동형까지 교환적(commutative)입니다. 즉, 같은 종류의 임의의 대수적 구조 $A$ 와 $B$ 에 대해, $A\oplus B\cong B\oplus A$ 입니다.

유한하게 많은 아벨 그룹, 벡터 공간, 또는 모듈의 직접 합은 해당하는 직접 곱(direct product)에 정식으로 동형적입니다. 이것은, 어쨌든, 비-아벨 그룹과 같은 일부 대수적 대상에 대해 거짓입니다.

무한하게 많은 대상이 조합되는 경우에서, 직접 합과 직접 곱은 심지어 아벨 그룹, 벡터 공간, 또는 모듈에 대해 동형적이 아닙니다. 예제로서, 정수의 (셀-수-있게) 무한하게 많은 복사본의 직접 합과 직접 곱을 생각해 보십시오. 직접 곱에서 원소는 (1,2,3,...)과 같은 무한 수열이지만 직접 합에서, 유한하게 많은 좌표를 제외한 모두는 영이어야 한다는 요구 사항이 있으므로, 수열 (1,2 ,3,...)은 직접 곱의 원소이지만 직접 합은 아니고, 반면에 (1,2,0,0,0,...)은 둘 다의 원소입니다. 종종, 만약 + 기호가 사용되면, 유한하게 많은 좌표를 제외한 모두는 영이어야 하고, 반면에 만약 어떤 형태의 곱셈이 사용되면, 유한하게 많은 좌표를 제외한 모두는 1이어야 합니다. 보다 기술적인 언어에서, 만약 피합수가 $(A_{i})_{i\in I}$ 이면, 다음 직접 합은 $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ 유한하게 많은 $i$ 를 제외한 모두에 대해 $a_{i}=0$ 를 만족하는 $a_{i}\in A_{i}$ 를 갖는 튜플 $(a_{i})_{i\in I}$ 의 집합으로 정의됩니다. 직접 합 ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ 은 직접 곱(direct product) ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ 에 포함되지만, 인덱스 집합(index set) $I$ 가 무한일 때 엄격하게 더 작은데, 왜냐하면 직접 곱의 원소는 무한하게 많은 비-영 좌표를 가질 수 있기 때문입니다.^[1]

Examples

이-차원 벡터 공간(vector space), xy-평면은 두 개의 일차원 벡터 공간, 즉 x-축과 y-축의 직접 합으로 생각될 수 있습니다. 이 직접 합에서, x-축과 y-축은 원점 (영 벡터)에서만 교차합니다. 덧셈은 좌표-별로 정의되며, 즉, $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ 이며, 이는 벡터 덧셈과 같습니다.

두 구조 $A$ 와 $B$ 가 주어지면, 그것들의 직접 합은 $A\oplus B$ 로 씁니다. $i\in I$ 로 인덱스된, 구조 $A_{i}$ 의 인덱스된 가족(indexed family)이 주어지면, 직접 합은 ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ 로 쓸 수 있습니다. 각 A_i는 A의 직접 피합수(direct summand)라고 불립니다. 만약 인덱스 집합이 유한이면, 직접 합은 직접 곱과 같습니다. 그룹의 경우에서, 만약 그룹 연산이 $+$ 로 쓰이면, 문구 "직접 합"이 사용되고, 반면에 만약 그룹 연산이 $*$ 로 쓰이면, 문구 "직접 곱"이 사용됩니다. 인덱스 집합이 무한일 때, 직접 합은 유한하게 많은 좌표를 제외한 모두가 영이어야 한다는 여분의 요구 사항을 가지기 때문에 직접 합은 직접 곱과 같지 않습니다.

Internal and external direct sums

구별은 내부 직접 합과 외부 직접 합 사이에서 만들어지지만, 그 둘은 동형적입니다. 만약 피합수가 먼저 정의되고, 그런-다음 직접 합이 피합수의 관점에서 정의되면, 우리는 외부 직접 합을 가집니다. 예를 들어, 만약 우리가 실수 $\mathbb {R}$ 을 정의하고 그런-다음 $\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ 을 정의하면, 직접 합은 외부라고 말합니다.

만약, 다른 한편으로, 우리가 먼저 어떤 대수적 구조 $S$ 를 정의하고 그런-다음 $S$ 를 두 부분-구조 $V$ 와 $W$ 의 직접 합으로 쓰면, 직접 합은 내부라고 말합니다. 이 경우에서, $S$ 의 각 원소는 $V$ 의 원소와 $W$ 의 원소의 대수적 조합으로 고유하게 표현될 수 있습니다. 내부 직접 합의 예제에 대해, 원소가 $\{0,1,2,3,4,5\}$ 인 $\mathbb {Z} _{6}$ (정수 모듈로 육)을 생각해 보십시오. 이것은 내부 직접 합 $\mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}$ 로 표현할 수 있습니다.

Types of direct sum

Direct sum of abelian groups

아벨 그룹(abelian groups)의 직접 합은 직접 합의 원형적 예제입니다. 두 그러한 그룹 $(A,\circ )$ 와 $(B,\bullet )$ 가 주어지면, 그것들의 직접 합 $A\oplus B$ 은 그것들의 직접 곱(direct product)과 같습니다. 즉, 놓여있는 집합은 데카르트 곱(Cartesian product) $A\times B$ 이고 그룹 연산 $\,\cdot \,$ 은 성분-별로 정의됩니다: $\left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).$ 이 정의는 유한하게 많은 아벨 그룹의 직접 합으로 일반화됩니다.

$i\in I$ 에 의해 인덱스되는 그룹 $A_{i}$ 의 임의적인 가족 대해, 다음과 같은 그것들의 직접 합은^[2] $\bigoplus _{i\in I}A_{i}$ 유한 지원(support)을 가지는 원소 ${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$ 로 구성되는 직접 곱의 부분-그룹(subgroup)이며, 여기서 정의에 의해, $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ 는 만약 $a_{i}$ 가 유한하게 많은 $i$ 를 제외한 모두에 대해 $A_{i}$ 의 항등 원소이면 유한 지원(finite support)을 가진다고 말합니다.^[3] 비-자명한 그룹의 무한 가족 $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ 의 직접 합은 곱 그룹 ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ 의 적절한 부분-그룹(proper subgroup)입니다.

Direct sum of modules

모듈의 직접 합(direct sum of modules)은 여러 모듈(modules)을 새로운 모듈로 결합하는 구성입니다.

이 구성의 가장 친숙한 예제는 필드(field)에 걸쳐 모듈인 벡터 공간(vector spaces)을 고려할 때 발생합니다. 그 구성은 역시 바나흐 공간(Banach spaces)과 힐베르트 공간(Hilbert spaces)으로 확장될 수 있습니다.

Direct sum in categories

덧셈의 카테고리(additive category)는 모듈의 카테고리의 속성의 추상화입니다.^[4]^[5] 그러한 카테고리에서, 유한 곱과 공동-곱(coproducts)은 일치하고 직접 합은 둘 중 하나입니다. 참조. 이중-곱(biproduct).

일반적인 경우:^[2] 카테고리 이론(category theory)에서, 직접 합은 항상 그런 것은 아니지만 종종 문제에서 수학적 대상의 카테고리(category)의 공동-곱(coproduct)입니다. 예를 들어, 아벨 그룹의 카테고리에서, 직접 합은 공동-곱입니다. 이것은 역시 모듈의 카테고리에서 참입니다.

Direct sums versus coproducts in category of groups

어쨌든, 직접 합 $S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ (아벨 그룹의 직접 합과 동일하게 정의됨)는 그룹의 카테고리(category of groups)에서 그룹 $S_{3}$ 와 $\mathbb {Z} _{2}$ 의 공동-곱이 아닙니다.^[6] 따라서 이 카테고리에 대해, 카테고리적 직접 합은 종종 임의의 가능한 혼동을 피하기 위해 단순히 공동-곱이라고 불립니다.

Direct sum of group representations

그룹 표현의 직접 합(direct sum of group representations)은 그룹 동작(group action)을 그것에 더하여 놓여있는 모듈(modules)의 직접 합(direct sum)을 일반화합니다. 구체적으로, 그룹 $G$ 와 $G$ 의 두 표현(representations) $V$ 와 $W$ (또는, 더 일반적으로, 두 $G$ -모듈)가 주어지면, 표현의 직접 합은 성분-별로 주어진 $g\in G$ 의 동작과 함께 $V\oplus W$ 입니다. 즉, $g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).$ 직접 합을 정의하는 또 다른 동등한 방법은 다음과 같습니다:

두 가지 표현 $(V,\rho _{V})$ 와 $(W,\rho _{W})$ 가 주어지면, 직접 합의 벡터 공간은 $V\oplus W$ 이고 준동형 $\rho _{V\oplus W}$ 은 $\alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W})$ 로 지정되며, 여기서 $\alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)$ 는 위에서 처럼 좌표-별 동작에 의해 얻어지는 자연스러운 맵입니다.

더욱이, 만약 $V,\,W$ 가 유한 차원이면, $V,\,W$ 의 기저가 주어질 때, $\rho _{V}$ 와 $\rho _{W}$ 는 행렬-값입니다. 이 경우에서, $\rho _{V\oplus W}$ 는 다음과 같이 주어집니다: $g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.$

게다가, 만약 우리가 $V$ 와 $W$ 를 그룹 링(group ring) $kG$ 에 걸쳐 모듈로 취급하면–여기서 $k$ 는 필드입니다–표현 $V$ 와 $W$ 의 직접 합은 $kG$ 모듈로 그것들의 직접 합과 같습니다.

Direct sum of rings

일부 저자는 직접 곱(direct product) $R\times S$ 를 의미할 때 두 링의 직접 합 $R\oplus S$ 에 대해 말할 것이지만, 이것은 피해야 하는데, 왜냐하면 $R\times S$ 는 $R$ 과 $S$ 로부터 자연스러운 링 준동형을 받지 않기 때문입니다: 특히, $r$ 을 → r을 $(r,0)$ 로 보내는 맵 $R\to R\times S$ 는 링 준동형이 아닌데, 그것은 왜냐하면 1을 $(1,1)$ 로 보내는 데 실패하기 때문입니다 ( $S$ 에서 $0\neq 1$ 라고 가정합니다). 따라서 $R\times S$ 는 링의 카테고리(category of rings)의 공동-곱이 아니고, 직접 합으로 쓰여서는 안 됩니다. (교환 링의 카테고리(category of commutative rings)에서 공동-곱은 링의 텐서 곱(tensor product of rings)입니다.^[7] 링의 카테고리에서, 공동-곱은 그룹의 자유 곱(free product)과 유사한 구성으로 제공됩니다.)

직접 합 용어집과 표기법을 사용하는 것은 특히 링의 무한 가족을 다룰 때 문제가 됩니다: 만약 $(R_{i})_{i\in I}$ 가 비-자명한 링의 무한 모음이면, 놓여있는 덧셈 그룹의 직접 합은 항-별 곱셈을 갖출 수 있지만, 이것은 렁(rng), 즉, 곱셈 항등식 없이 링을 생성합니다.

Direct sum of matrices

임의의 행렬 $\mathbf {A}$ 와 $\mathbf {B}$ 에 대해, 직접 합 $\mathbf {A} \oplus \mathbf {B}$ 은 만약 둘 다가 정사각 행렬이면 (그렇지 않으면, 유사하게 블록 행렬(block matrix)이면), $\mathbf {A}$ 와 $\mathbf {B}$ 의 블록 대각 행렬(block diagonal matrix)로 정의됩니다. $\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.$

Direct sum of topological vector spaces

바나흐 공간(Banach space)과 같은 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space, TVS) $X$ 는 만약 다음 덧셈 맵이 토폴로지적 벡터 공간의 동형이면 두 벡터 부분-공간 $M$ 과 $N$ 의 토폴로지적 직접 합(topological direct sum)이라고 말합니다: ${\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}$ (이 선형 맵(linear map)은 전단사 위상-동형(homeomorphism)임을 의미합니다), 이 경우에서, $M$ 과 $N$ 은 $X$ 에 토폴로지적 여(topological complements)라고 말합니다. 이것이 참인 것과 덧셈의 토폴로지적 그룹으로 고려될 때 (따라서 스칼라 곱셈은 무시됩니다), $X$ 가 토폴로지적 부분-그룹 $M$ 과 $N$ 의 토폴로지적 직접 합인 것은 필요충분 조건입니다. 만약 이것이 그 경우이고 $X$ 가 하우스도르프(Hausdorff)이면, $M$ 과 $N$ 은 반드시 $X$ 의 닫힌(closed) 부분-공간입니다.

만약 $M$ 이 실수 또는 복소수 벡터 공간 $X$ 의 벡터 부분-공간이면, $X$ 가 $M$ 과 $N$ 의 대수적 직접 합(algebraic direct sum)임을 만족하는 (이것이 발생하는 것과 덧셈 맵 $M\times N\to X$ 이 벡터 공간 동형(vector space isomorphism)인 것은 필요충분 조건임), $X$ 에서 $M$ 의 대수적 여(algebraic complement of $M$ in $X$ )라고 불리는 $X$ 의 또 다른 벡터 부분-공간이 항상 존재합니다. 대수적 직접 합과 달리, 그러한 여의 존재는 토폴로지적 직접 합에 대해 더 이상 보장되지 않습니다.

$X$ 의 벡터 부분공간 $M$ 은 $X$ 가 $M$ 과 $N$ 의 토폴로지적 직접 합임을 만족하는 $X$ 의 일부 벡터 부분공간 $N$ 이 존재하면 $X$ 의 (토폴로지적으로) 여된 부분공간(complemented subspace)이라고 말합니다. 벡터 부분공간은 만약 그것이 여된 부분-공간이 아니면 여-되지-않은(uncomplemented) 것이라고 불립니다. 예를 들어 닫힌 부분-집합이 아닌 하우스도르프 TVS의 모든 각 벡터 부분-공간은 반드시 여-되지-않은 것입니다. 힐베르트 공간(Hilbert space)의 모든 각 닫힌 벡터 부분-공간은 여된 것입니다. 그러나 힐베르트 공간이 아닌 모든 각 바나흐 공간(Banach space)은 반드시 일부 여-되지-않은 닫힌 벡터 부분-공간을 가지고 있습니다.

Homomorphisms

직접 합 ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ 은 $I$ 에서 각 $j$ 에 대해 투영(projection) 준동형 ${\textstyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ 와 $I$ 에서 각 $j$ 에 대해 공동-투영(coprojection) ${\textstyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ 을 갖추고 있습니다.^[8] 또 다른 대수적 구조 $B$ (같은 덧셈의 구조를 가짐)와 $I$ 에서 모든 각 $j$ 에 대해 준동형이 주어지면, 모든 $j$ 에 대해 $g\alpha _{j}=g_{j}$ 를 만족하는 g_j의 합이라고 불리는 고유한 준동형 ${\textstyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$ 가 있습니다. 따라서 직접 합은 그 적절한 카테고리(category)의 공동곱(coproduct)입니다.

Notes

^ Thomas W. Hungerford, Algebra, p.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189
^ ^a ^b Direct Sum in nLab
^ Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 177, Allyn and Bacon, 1965
^ "p.45"
^ "Appendix" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2006-09-17. Retrieved 2014-01-14.
^ "Counterexamples for products and coproduct". Planetmath. Retrieved 2021-07-23.
^ Lang 2002, section I.11
^ Heunen, Chris (2009). Categorical Quantum Models and Logics. Pallas Proefschriften. Amsterdam University Press. p. 26. ISBN 978-9085550242.

References

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

[1] Thomas W. Hungerford, Algebra, p.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189

[nLabDirectSum-2] Direct Sum in nLab

[3] Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 177, Allyn and Bacon, 1965

[4] "p.45"

[5] "Appendix" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2006-09-17. Retrieved 2014-01-14.

[6] "Counterexamples for products and coproduct". Planetmath. Retrieved 2021-07-23.

[7] Lang 2002, section I.11

[Heu26-8] Heunen, Chris (2009). Categorical Quantum Models and Logics. Pallas Proefschriften. Amsterdam University Press. p. 26. ISBN 978-9085550242.

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