Division by zero

수학(mathematics)에서, 영에 의한 나눗셈(division by zero)은 제수 (분모)가 영(zero)인 나눗셈(division)입니다. 그러한 나눗셈은 형식적으로 ${\textstyle {\tfrac {a}{0}}}$ 으로 표현(expression)될 수 있으며, 여기서 $a$ 는 피제수 (분자)입니다. 보통의 산술에서, 그 표현은 의미를 가지지 않는데, 왜냐하면 $0$ 에 곱해질 때, $a$ ( ${\textstyle a\neq 0}$ 을 가정)을 제공하는 숫자는 없기 때문입니다; 따라서, 영에 의한 나눗셈은 정의되지 않습니다(undefined). 영에 의해 곱해진 임의의 숫자는 영이기 때문에, 표현 ${\tfrac {0}{0}}$ 도 역시 정의되지 않습니다; 그것이 극한(limit)의 형식일 때, 그것은 불확정 형식(indeterminate form)입니다. 역사적으로, ${\textstyle {\tfrac {a}{0}}}$ 에 값을 할당하는 것의 수학적 불가능에 대한 가장 최초의 기록된 참조 중 하나는 1734년에 출판한 The Analyst ("사라진 양들의 유령(ghosts of departed quantities)")에서 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)의 Anglo-Irish의 철학자 조지 버클리(George Berkeley)의 비평에 담겨 있습니다.^[1]

${\textstyle {\tfrac {a}{0}}}$ 는 리만 구(Riemann sphere) (확장된 복소 평면의 모델)와 투영적으로 확장된 실수 직선과 같은 일부 $a$ 에 대해 정의된 수학적 구조가 있습니다; 어쨌든, 그러한 구조는 산술의 모든 각 보통의 규칙 (필드 공리(field axioms)를 절대 만족시키지 않습니다.

컴퓨팅(computing)에서, 프로그램 오류(program error)는 영에 의한 나누기 시도로부터 발생할 수 있습니다. 프로그래밍 환경과 영에 의해 나누어지는 숫자의 유형 (예를 들어, 부동 점(floating point), 정수(integer))에 따라, 그것은 IEEE 754 부동-점 표준에 의해 양의 또는 음의 무한대(positive or negative infinity)를 생성, 예외(exception)를 생성, 오류 메시지(error message)를 생성, 프로그램을 종료하기 위한 원인이 되고, 결과로 특별한 숫자가-아님(not-a-number) 값을 초래,^[2] 또는 고장(crash)날 수 있습니다.

Elementary arithmetic

나눗셈이 기본 산술(elementary arithmetic) 수준에서 설명될 때, 그것은 종종 대상의 집합(set)을 같은 부분으로 나누는 것으로 고려됩니다. 예로서, 10개의 쿠키를 가지고 있고, 이들 쿠키는 테이블에 있는 5명에게 균등하게 분배되는 것을 생각해 보십시오. 각 사람은 ${\tfrac {10}{5}}=2$ 쿠키를 받을 것입니다. 유사하게, 만약 10개의 쿠키가 있고, 테이블에 단지 한 사람이 있으면, 그 사람은 ${\tfrac {10}{1}}=10$ 쿠키를 받을 것입니다.

따라서, 영에 의한 나눗셈에 대해, 10개의 쿠키가 테이블에 있는 0명의 사람들에게 균등하게 분배될 때 각 사람이 받는 쿠키의 수는 얼마입니까? 문제를 강조하기 위해 질문에서 특정 단어를 찾아낼 수 있습니다. 이 질문과 함께 그 문제는 "될 때"입니다. 10개의 쿠키를 존재하지 않는 사람에게 분배할 수 있는 방법은 없습니다. 그러므로, ${\tfrac {10}{0}}$ 는–적어도 기본 산술에서–의미가 없거나 정의되지 않은 것으로 말합니다.

만약, 말하자면, 5개 쿠키와 2명의 사람이 있으면, 그 문제는 "고르게 분배"하는 것입니다. 5개의 항목을 2개의 부분으로 나누는 임의의 정수 분할에서, 분할의 일부 중 어느 하나는 다른 것보다 더 많은 원소를 가지거나 나머지(remainder)가 있을 것입니다 (5/2 = 2 r1로 쓰입니다). 또는, 쿠키 5개와 사람 2명을 갖는 문제는 쿠키 1개를 반으로 자르면 해결될 수 있으며, 분수(fractions)의 아이디어를 도입합니다 (5/2 = 2+1/2). 5개의 쿠키와 0명의 사람을 갖는 문제는, 다른 한편으로, "나누다"의 의미를 보존하는 임의의 방법으로 결코 해결될 수 없습니다.

기본 대수학(elementary algebra)에서, 영에 의한 나눗셈을 바라보는 또 다른 방법은 나눗셈이 항상 곱셈을 사용하여 확인될 수 있다는 것입니다. 위의 10/0 예제를 고려할 때, x = 10/0으로 설정하면, 만약 x가 십을 영으로 나눈 값과 같으면, x 곱하기 영은 십과 같지만, 영을 곱하여 십 (또는 영 이외의 임의의 숫자)이 되는 x는 없습니다. 만약, x = 10/0 대신, x = 0/0이면, 모든 각 x가 "어떤 숫자 x에 영을 곱하면 영이 되는가?"라는 질문을 만족시킵니다.

Early attempts

브라마굽타(Brahmagupta) (약 598–668년)의 Brāhmasphuṭasiddhānta는 영(zero)을 그 자체로 숫자로 취급하고 영과 관련된 연산을 정의한 최초의 텍스트입니다.^[3] 그 저자는 자신의 텍스트에서 영에 의한 나눗셈을 설명할 수 없었습니다: 그의 정의는 대수적 불합리로 이어지는 것으로 쉽게 입증될 수 있습니다. 브라마굽타에 따르면,

영으로 나눌 때 양수 또는 음수는 영을 분모로 갖는 분수입니다. 영을 음수 또는 양수로 나눈 것은 영이거나 분자로 영과 분모로 유한 양을 갖는 분수로 표현됩니다. 영을 영으로 나눈 것은 영입니다.

830년에 마하비러(Mahāvīra)는 그의 책 Ganita Sara Samgraha에서 브라마굽타가 저지른 실수를 수정하려 했지만 실패했습니다: "숫자는 영으로 나누어도 변하지 않습니다."^[3]

Algebra

기본 산술에서, 일부 제한과 함께, 자연수 (양의 정수)에 적용될 때, 네 가지 기본 연산 – 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 나눗셈은 그것들이 적용되는 숫자 영역의 확장을 지원하기 위한 프레임워크로 사용됩니다. 예를 들어, 임의의 자연수에서 또 다른 자연수로부터 뺄 수 있도록 하기 위해, 음의 정수를 통합하기 위해 정수(integers)의 전체 집합으로 숫자 영역을 확장해야 합니다. 유사하게, 임의의 정수를 임의의 다른 정수로 나누는 것을 지원하기 위해, 숫자의 영역이 유리수(rational numbers)로 확장되어야 합니다. 숫자 시스템의 이러한 점진적인 확장 동안, 이전 숫자에 적용될 때 "확장된 연산"이 다른 결과를 생성하지 않도록 주의를 기울여야 합니다. 느슨하게 말해서, 영에 의한 나눗셈은 자연수 설정에서 의미를 가지지 않기 때문에 (정의되지 않기 때문에), 이것은 설정을 실수(real) 또는 심지어 복소수(complex numbers)로 확장될 때에도 참으로 남습니다.

이들 연산이 적용될 수 있는 숫자의 영역이 확장됨에 따라, 연산이 보이는 방법에도 변화가 있습니다. 예를 들어, 정수의 영역에서, 뺄셈은 그것이 부호화된 숫자의 덧셈에 의해 대체될 수 있기 때문에 더 이상 기본 연산으로 여겨지지 않습니다.^[4] 유사하게, 숫자의 영역이 유리수를 포함하도록 확장될 때, 나눗셈은 특정 유리수에 의한 곱셈으로 대체됩니다. 이러한 관점의 변화에 따라, "왜 우리는 0으로 나눌 수 없습니까?"라는 질문은 "왜 유리수는 영 분모를 가질 수 없습니까?"가 됩니다. 이 수정된 질문에 정확하게 답하려면 유리수의 정의에 대한 면밀한 검토가 필요합니다.

실수의 필드를 구성하는 현대적인 접근 방식에서, 유리수는 집합 이론에 기초한 발전에서 중간 단계로 나타납니다. 먼저, 페아노의 공리 시스템(Peano's axiom system)과 같은 공리적 기반 위에 자연수 (0 포함)가 설정되고 그런-다음 이것이 정수의 링(ring of integers)으로 확장됩니다. 다음 단계는 이미 설정되어 온 집합과 연산, 즉 덧셈, 곱셈과 정수만을 사용하여 수행되어야 한다는 점을 염두에 두고 유리수를 정의하는 것입니다. $b \neq 0$ 을 갖는 순서화된 정수의 쌍의 집합 ${(a, b)}$ 로 시작하여, $(a, b) ≃ (c, d)$ 와 $ad = bc$ 가 필요충분 조건임에 의해 이 집합 위에 이항 관계(binary relation)를 정의합니다. 이 관계는 동치 관계(equivalence relation)로 표시되고 그것의 동치 클래스(equivalence classes)는 그런-다음 유리수로 정의됩니다. 이 관계가 동치 관계라는 형식적 증명에서 두 번째 좌표가 영이 아니라는 요구 사항이 필요합니다 (전이성(transitivity) 확인을 위해).^[5]^[6]^[7]

위의 설명은 많은 목적을 위해 너무 추상적이고 기술적인 것일 수 있지만, 기본 수학에서 공통적으로 수행되는 것처럼 유리수의 존재와 속성을 가정하면, 영에 의한 나눗셈이 허용되지 않는 "이유"가 시야에서 숨겨집니다. 그럼에도 불구하고, 이 설정에서 (비-엄격한) 정당화가 주어질 수 있습니다.

그것은 우리가 사용하고 있는 숫자 시스템 (즉, 정수, 유리수, 실수, 등)의 속성에서 따르며, 만약 $b \neq 0$ 이면 방정식 $a / b = c$ 는 $a = b \times c$ 와 동등합니다. $a / 0$ 이 숫자 $c$ 라고 가정하면, 그것은 $a = 0 \times c = 0$ 이어야 합니다. 어쨌든, 단일 숫자 $c$ 는 $0 = 0 \times c$ 방정식에 의해 결정되어야 하지만, 모든 각 숫자가 이 방정식을 만족시키므로, 우리는 $0 / 0$ 에 수치적 값을 할당할 수 없습니다.^[8]

Division as the inverse of multiplication

대수학에서 나눗셈(division)을 설명하는 개념은 그것이 곱셈의 역이라는 것입니다. 예를 들어,^[9] ${\frac {6}{3}}=2$ 왜냐하면 $2$ 는 다음이 참이 되는 미지수 양에 대한 값입니다: $?\times 3=6$ 그러나 다음 표현은: ${\frac {6}{0}}=\,x$ 다음에서 미지수 양에 대해 구해지려는 값을 요구합니다: $x\times 0=6.$ 그러나 임의의 숫자에 $0$ 을 곱하면 $0$ 이고 따라서 그 방정식을 푸는 숫자가 없습니다.

그 표현은 ${\frac {0}{0}}=\,x$ 다음에서 미지수 양에 대해 구해지려는 값을 요구합니다: $x\times 0=0.$ 다시, 임의의 숫자에 $0$ 을 곱하면 $0$ 이고 따라서 이번에는 $0 / 0$ 의 값으로 취할 수 있는 단일 숫자가 있는 대신 모든 각 숫자가 방정식을 풉니다.

일반적으로, 분모가 $0$ 인 분수에는 단일 값을 할당할 수 없으므로 값이 정의되지 않은 상태로 유지됩니다.

Fallacies

영에 의한 나눗셈을 허용하지 않는 강력한 이유는, 그것이 허용되면, 많은 불합리한 결과 (즉, 오류(fallacies))가 발생하기 때문입니다. 수치적 양으로 작업할 때, 영으로 나누려는 불법적인 시도가 언제 이루어졌는지 쉽게 판별할 수 있습니다. 예를 들어, 다음 계산을 생각해 보십시오.

가정과 함께: ${\begin{aligned}0\times 1&=0,\\0\times 2&=0,\end{aligned}}$ 다음은 참입니다: $0\times 1=0\times 2.$

양쪽 변을 영으로 나누면 다음을 제공합니다: ${\begin{aligned}{\frac {0\times 1}{0}}&={\frac {0\times 2}{0}}\\[6px]{\frac {0}{0}}\times 1&={\frac {0}{0}}\times 2.\end{aligned}}$

단순화되면, 다음을 산출합니다: $1=2.$

오류는 여기서 0을 0으로 나누는 것이 임의의 다른 숫자로 나누는 것과 같은 속성을 갖는 합법적인 연산이라는 가정입니다.

어쨌든, 대수적(algebraic) 인수에서 영에 의한 나눗셈을 가장하는 것이 가능합니다.^[3] 예를 들어 다음과 같이 $1 = 2$ 라는 유효하지 않은 증명(invalid proofs)으로 이어집니다:^[10]

1 = x

라고 놓습니다.

다음을 얻기 위해 양쪽 변에 $x$ 를 곱합니다: $x=x^{2}.$ 다음을 얻기 위해 양쪽 변에 $1$ 을 뺍니다: $x-1=x^{2}-1.$ 양쪽 변을 $x - 1$ 로 나누면: ${\begin{aligned}{\frac {x-1}{x-1}}&={\frac {x^{2}-1}{x-1}}\\[6pt]&={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}},\end{aligned}}$ 단순화해서 다음을 얻습니다: $1=x+1.$ 그러나, $x = 1$ 이기 때문에, $1=1+1=2$ 그리고 따라서

1=2.

위장된 영에 의한 나눗셈은 $x = 1$ 일 때 $x - 1 = 0$ 이후 발생합니다.

Analysis

Extended real line

처음에 얼핏 보면 $b$ 가 $0$ 에 접근할 때 ${\frac {a}{b}}$ 의 극한(limit)을 고려함으로써 ${\frac {a}{0}}$ 을 정의 가능한 것으로 보입니다.

임의의 양수 $a$ 에 대해, 오른쪽으로부터 극한은 다음입니다: $\lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}=+\infty$ 어쨌든, 왼쪽으로부터 극한은 다음입니다: $\lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}=-\infty$

그리고 따라서 $\lim _{b\to 0}{a \over b}$ 는 정의되지 않습니다 (극한은 역시 음수 $a$ 에 대해 정의되지 않습니다).

게다가, 비율의 극한을 고려하는 것에서 유도될 수 있는 0/0에 대한 명확한 정의가 없습니다. 다음 극한은 $\lim _{(a,b)\to (0,0)}{a \over b}$ 존재하지 않습니다. 다음 형식의 극한은 $\lim _{x\to 0}{f(x) \over g(x)}$

이것에서 $f(x)$ 와 $g(x)$ 둘 다는 $x$ 가 $0$ 으로 접근할 때 $0$ 으로 접근하며, 특정 함수 $f$ 와 $g$ 에 따라 임의의 실수 또는 무한 값과 같을 수 있거나, 전혀 존재하지 않을 수 있습니다.

예를 들어, 다음을 생각해 보십시오: $\lim _{x\to 1}{x^{2}-1 \over x-1}$

이것은 처음에는 불확정으로 보입니다. 어쨌든: ${\begin{aligned}&=\lim _{x\to 1}{(x-1)(x+1) \over x-1}\\&=\lim _{x\to 1}{(x+1)}\\&=2\end{aligned}}$

그리고 따라서 극한이 존재하고, 2와 같습니다.

이것들과 다른 유사한 사실은 표현 ${\frac {0}{0}}$ 가 극한으로 잘-정의(well-defined)될 수 없음을 보여줍니다.

Formal operations

형식적 계산(formal calculation)은 계산 결과가 잘 정의되었는지 여부를 고려하지 않고 산술의 규칙을 사용하여 수행되는 계산입니다. 따라서, ${\frac {a}{0}}$ 을 $a\neq 0$ 일 때 무한대라고 생각하는 것이 때때로 유용합니다. 이 무한대는 문맥에 따라 양수, 음수, 또는 부호가 없을 수 있습니다. 예를 들어, 형식적으로: $\lim _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .$

임의의 형식 계산과 마찬가지로, 유효하지 않은 결과가 얻어질 수 있습니다. (형식과 달리) 논리적으로 엄격한 계산은 오직 다음임을 주장합니다: $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty ~{\text{ and }}~\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty .$

한-쪽 극한(one-sided limits)이 다르기 때문에, 실수의 표준 틀에서 두-쪽 극한이 존재하지 않습니다. 역시, 분수 ${\frac {1}{0}}$ 은 확장된 실수 직선(extended real line)에서 정의되지 않은(undefined) 채로 남겨지고, 따라서 그것과 다음은 무의미한 표현(expressions)입니다: ${\frac {\lim \limits _{x\to 0}1}{\lim \limits _{x\to 0}x}}$

Projectively extended real line

집합 $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ 은 투영적으로 확장된 실수 직선(projectively extended real line)이며, 이것은 실수의 한-점 컴팩트화(one-point compactification)입니다. 여기서 $\infty$ 는 부호-없는 무한대 또는 무한대에서 점(point at infinity), 양수도 아니고 음수도 아닌 무한한 양을 의미합니다. 이 양은 $-\infty =\infty$ 을 만족하며, 이것은 이 문맥에서 필요한 것입니다. 이 구조에서, ${\frac {a}{0}}=\infty$ 는 비-영 $a$ 에 대해 정의되지 않을 수 있고, $a$ 가 $\infty$ 가 아닐 때 ${\frac {a}{\infty }}=0$ 입니다. 그것이 삼각법(trigonometry)의 탄젠트(tangent) 함수와 코탄젠트 함수의 범위를 보기 위한 자연스러운 방법입니다: $tan(x)$ 는 $x$ 가 어느 방향에서든 $+ π / 2$ 또는 $- π / 2$ 에 접근할 때 무한대에서 단일 점에 접근합니다.

이 정의는 많은 흥미로운 결과로 이어집니다. 어쨌든, 결과 대수적 구조는 필드(field)가 아니고, 필드처럼 동작할 것으로 예상되어서는 안 됩니다. 예를 들어, $\infty +\infty$ 는 실수 직선의 이 확장에서 정의되지 않습니다.

Riemann sphere

집합 $\mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \cup \{{\tilde {\infty }}\}$ 은 리만 구(Riemann sphere)이며, 복소 해석학(complex analysis)에서 매우 중요한 것입니다. 여기서 ${\tilde {\infty }}$ 는 복소 무한대이며, 역시 무한대에서 점입니다. 이 집합은 복소수(complex numbers)의 필드(field)를 기반으로 한다는 점을 제외하고는 투영적으로 확장된 실수 직선과 유사합니다. 리만 구에서, ${\frac {1}{0}}={\tilde {\infty }}$ 와 ${\frac {1}{\tilde {\infty }}}=0$ 이지만, ${\frac {0}{0}}$ , ${\frac {\tilde {\infty }}{\tilde {\infty }}}$ , 및 $0\times {\tilde {\infty }}$ 는 정의되지 않습니다.

Higher mathematics

영에 의한 나눗셈은 실수와 정수로 결코 현명하게 정의될 수 없지만, 다른 수학적 구조에서 그것을 일관되게 정의하거나, 유사한 연산을 수행하는 것은 가능합니다.

Non-standard analysis

초실수(hyperreal numbers)와 초현실수(surreal numbers)에서, 영에 의한 나눗셈은 여전히 불가능하지만, 비-영 무한소(infinitesimals)에 의한 나눗셈은 가능합니다.

Distribution theory

분포 이론(distribution theory)에서, 우리는 함수 ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$ 를 실수의 전체 공간에 대한 분포로 확장할 수 있습니다 (코시 주요 값(Cauchy principal values)을 사용함으로써 효과에서). 어쨌든, x = 0에서 이 분포의 "값"을 묻는 것은 이치에 맞지 않습니다; 정교한 대답은 분포의 특이 지원(singular support)을 참조합니다.

Linear algebra

행렬(matrix) 대수학 (또는 일반적으로 선형 대수(linear algebra))에서, 우리는 a/b = ab⁺를 설정함으로써 유사-나눗셈을 정의할 수 있으며, 이것에서 b⁺는 b의 유사-역행렬(pseudoinverse)을 나타냅니다. b⁻¹이 존재하면 b⁺ = b⁻¹임을 증명할 수 있습니다. b가 0과 같으면, b⁺ = 0입니다.

Abstract algebra

추상 대수학에서, 정수, 유리수, 실수, 및 복소수는 더 친숙한 숫자 시스템에서 하는 것처럼 덧셈, 뺄셈, 및 곱셈이 작동하지만, 나눗셈은 정의되지 않을 수 있는 수학적 구조인 교환 링(commutative ring)과 같은 보다 일반적인 대수적 구조로 추상화될 수 있습니다. 더 친숙한 숫자 체계에서는 나눗셈이 정의되지 않을 수 있습니다. 교환 링에 곱셈 역을 연결하는 것을 지역화(localization)라고 불립니다. 어쨌든, 영에서 모든 각 교환 링의 지역화는 자명한 링(trivial ring)이므로, 여기서 $0=1$ , 비-자명한 교환 링은 영에서 역수를 갖지 않고, 따라서 영에 의한 나눗셈은 비-자명한 교환 링에 대해 정의되지 않습니다.

그럼에도 불구하고, 교환 링(commutative ring)을 형성하는 임의의 숫자 시스템은 영에 의한 나눗셈이 항상 가능한 휠(wheel)이라고 불리는 거의 사용되지 않는 구조로 확장될 수 있습니다. 어쨌든, 곱셈이 더 이상 덧셈에 걸쳐 분배하지 않기 때문에 결과 수학적 구조는 더 이상 교환 링이 아닙니다. 게다가, 휠에서, 원소 자체의 나눗셈은 더 이상 곱셈 항등 원소 $1$ 을 초래하지 않고, 원래 시스템이 정수 도메인(integral domain)이면, 휠에서 곱셈은 더 이상 취소 반그룹(cancellative semigroup)을 초래하지 않습니다.

표준 산술에 적용되는 개념은 링(rings)과 필드(fields)와 같은 보다 일반적인 대수적 구조에서 개념과 유사합니다. 필드에서, 모든 각 비-영 원소는 곱셈 아래에서 역-가능입니다; 위와 같이, 나눗셈은 영으로 나누려고 시도할 때만 문제가 됩니다. 이것은 스큐 필드(skew field) 에서도 마찬가지입니다 (이러한 이유로 이것은 나눗셈 링(division ring)이라고 불립니다). 어쨌든, 다른 링에서, 비-영 원소에 의한 나눗셈은 역시 문제를 일으킬 수 있습니다. 예를 들어, 정수 모드 6의 링 Z/6Z. 표현식 ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$ 의 의미는 방정식 $2x=2$ 의 해 $x$ 이어야 합니다. 그러나 링 Z/6Z에서, 2는 영 제수(zero divisor)입니다. 이 방정식은 $x = 1$ 과 $x = 4$ 라는 두 가지 구별되는 해를 가지므로, 표현식 ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$ 는 정의되지 않습니다(undefined).

필드 이론에서, 표현식 ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ 는 형식적 표현 ab⁻¹의 약어일 뿐이며, 여기서 b⁻¹는 b의 곱셈의 역입니다. 필드 공리는 비-영 원소에 대해 그러한 역의 존재만을 보장하기 때문에, 이 표현식은 b가 영일 때 의미를 가지지 않습니다. 필드를 특별한 유형의 링으로 정의하는 현대 텍스트에는 필드 (또는 이와 동등한 것)에 대해 영 링(zero ring)이 필드인 것으로부터 제외되도록 공리 $0 \neq 1$ 이 포함되어 있습니다. 영 링에서, 영에 의한 나눗셈은 가능하며, 이는 다른 필드 공리가 필드에서 영에 의한 나눗셈을 제외하기에 충분하지 않음을 보입니다.

Computer arithmetic

거의 모든 현대 부동-점 단위(floating-point units)에 의해 지원되는 IEEE 부동-점 표준(IEEE floating-point standard)은 영에 의한 나눗셈을 포함하여 모든 각 부동-점 산술(floating-point arithmetic) 연산이 잘-정의된 결과를 가짐을 지정합니다. 그 표준은 부호화된 영(signed zero)과 마찬가지로 무한대(infinity)와 NaN (숫자가 아님)을 지원합니다. 두 개의 영: +0 (양의 영)과 −0 (음의 영)이 있고 이것은 나눌 때 임의의 모호성을 제거합니다. IEEE 754 산술에서, a ÷ +0는 a가 양수일 때 양의 무한대, a가 음수일 때 음의 무한대이고, a = ±0일 때 NaN입니다. 대신 −0으로 나눌 때 무한대 기호가 변경됩니다.

이 정의에 대해 정당성은 산술 언더플로(arithmetic underflow)의 경우를 초래하는 결과의 부호를 보존하기 위한 것입니다.^[11] 예를 들어, 단일-정밀도 계산 1/(x/2)에서, 여기서 x = ±2⁻¹⁴⁹이며, x/2 계산은 언더플로되고 부호 일치 x로 ±0을 생성하고, 그 결과는 부호 일치 x에서 ±∞일 것입니다. 부호는 정확한 결과 ±2¹⁵⁰의 그것과 일치하지만, 정확한 결과의 크기가 너무 커서 표현할 수 없으므로, 무한대는 오버플로를 나타내기 위해 사용됩니다.

영에 의한 정수 나눗셈은 결과에 대한 정수 표현이 없기 때문에 보통 부동-점과 다르게 처리됩니다. 일부 프로세서는 영에 의한 정수를 나누려고 시도할 때 예외(exception)를 생성하지만, 다른 프로세서는 단순히 계속하고 나눗셈에 대해 부정확한 결과를 생성할 것입니다. 결과는 나눗셈이 구현되는 방법에 따라 달라지고, 영일 수도 있고, 때로는 가능한 가장 큰 정수일 수도 있습니다.

영에 의한 나눗셈에 임의의 값을 할당하는 부적절한 대수적 결과로 인해, 많은 컴퓨터 프로그래밍 언어(programming languages) (계산기(calculators)에 의해 사용된 언어 포함)는 연산의 실행을 명시적으로 금지하고 그것들 시도하는 프로그램을 성급히 중지할 수 있으며, 때로는 "영에 의한 나누기" 오류를 보고합니다. 이들 경우에서, 영에 의한 나눗셈에 대해 몇 가지 특별한 동작이 필요되면, 그 조건은 명시적으로 테스트되어야 합니다 (예를 들어, if 문을 사용). 일부 프로그램 (특히 전용 부동-점 하드웨어를 사용할 수 없는 고정-점 산술(fixed-point arithmetic)을 사용하는 프로그램)은 IEEE 표준과 유사한 동작을 사용할 것이며, 무한대를 근사하기 위해 큰 양수와 음수를 사용합니다. 일부 프로그래밍 언어에서, 영에 의해 나누려고 시도하면 정의되지 않은 동작(undefined behavior)을 초래합니다. 많은 학교에서 사용되는 그래픽 프로그래밍 언어 Scratch 2.0과 3.0은 피제수 기호에 따라 Infinity 또는 −Infinity를 반환합니다.

2의 보수(two's complement) 산술에서, 가장 작은 부호화된 정수를 −1로 나누려는 시도에는 유사한 문제에 부딪히고 명시적 오류 조건에서 정의되지 않은 동작(undefined behavior)에 이르기까지 같은 범위의 해로 처리됩니다.

대부분의 계산기는 1/0를 정의되지 않은 것으로 오류 또는 상태를 반환할 것입니다; 어쨌든, 일부 TI와 HP 그래프 계산기는 (1/0)²를 ∞로 평가할 것입니다.

Microsoft Math와 Mathematica는 1/0에 대해 ComplexInfinity를 반환합니다. Maple와 SageMath는 1/0에 대해 오류 메시지를 반환하고, 1/0.0에 대해 무한대를 반환합니다 (0.0은 이들 시스템에서 대수적 산술 대신 부동-점 산술을 사용하도록 말합니다).

일부 현대식 계산기는 특수한 경우에 영에 의한 나눗셈을 허용하며, 여기서 학생들에게 유용하고 아마도 수학자들에 의해 문맥상 이해될 수 있을 것입니다. 일부 계산기, 온라인 Desmos 계산기는 arctangent(1/0)를 허용하는 한 가지 예입니다. 학생들은 역 코탄젠트 함수, arccotangent는 역수의 아크탄젠트를 취함으로써 계산되어야 하고, 따라서 계산기는 arctangent(1/0)를 허용할 것이며, 출력 ${\tfrac {\pi }{2}}$ 를 제공하며, 이것은 arccotangent 0의 정확한 값입니다. 수학적 정당성은 x가 arctangent 1/x의 0으로 갈 때 극한이 ${\tfrac {\pi }{2}}$ 입니다.

Historical accidents

On September 21, 1997, a division by zero error in the "Remote Data Base Manager" aboard USS Yorktown (CG-48) brought down all the machines on the network, causing the ship's propulsion system to fail.^[12]^[13]

References

Notes

^ Cajori, Florian (1929), "Absurdities due to division by zero: An historical note", The Mathematics Teacher, 22 (6): 366–368, doi:10.5951/MT.22.6.0366, JSTOR 27951153.
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^ "Sunk by Windows NT". Wired News. 1998-07-24.
^ William Kahan (14 October 2011). "Desperately Needed Remedies for the Undebuggability of Large Floating-Point Computations in Science and Engineering" (PDF).

Sources

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Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint / Arithmetic, Algebra, Analysis, translated by Hedrick, E. R.; Noble, C. A. (3rd ed.), Dover
Hamilton, A. G. (1982), Numbers, Sets, and Axioms, Cambridge University Press, ISBN 978-0521287616
Henkin, Leon; Smith, Norman; Varineau, Verne J.; Walsh, Michael J. (2012), Retracing Elementary Mathematics, Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
Patrick Suppes 1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.). This book is in print and readily available. Suppes's §8.5 The Problem of Division by Zero begins this way: "That everything is not for the best in this best of all possible worlds, even in mathematics, is well illustrated by the vexing problem of defining the operation of division in the elementary theory of arithmetic" (p. 163). In his §8.7 Five Approaches to Division by Zero he remarks that "...there is no uniformly satisfactory solution" (p. 166)
Schumacher, Carol (1996), Chapter Zero : Fundamental Notions of Abstract Mathematics, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1
Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0-14-029647-6 (pbk.). This award-winning book is very accessible. Along with the fascinating history of (for some) an abhorrent notion and others a cultural asset, describes how zero is misapplied with respect to multiplication and division.
Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.). Tarski's §53 Definitions whose definiendum contains the identity sign discusses how mistakes are made (at least with respect to zero). He ends his chapter "(A discussion of this rather difficult problem [exactly one number satisfying a definiens] will be omitted here.*)" (p. 183). The * points to Exercise #24 (p. 189) wherein he asks for a proof of the following: "In section 53, the definition of the number '0' was stated by way of an example. To be certain this definition does not lead to a contradiction, it should be preceded by the following theorem: There exists exactly one number x such that, for any number y, one has: y + x = y"